Matemática II - AVAMEC 03

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31/10/2021 16:16 Matemática - Cálculo
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MINICURSO 1 O ESTUDO DAS FUNÇÕES
UNIDADE 3 TAXAS DE VARIAÇÃO E DERIVADA
Slide 8 de 8
Determine a taxa de variação no ponto indicado: 
 
 
I)
II)
QUESTÃO 1 DE 5
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III)
Agora marque a alternativa que apresenta corretamente cada uma das taxas de variações em suas
respectivas ordens.
 e a 12; −1 0
 e b −2; 1 0
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 e c 2; −1 7
 e d 2; −1 0
 e e −2; 1 7
I: 
Nesse primeiro gráfico temos que e que . Ou seja, a cada unidade de que
varia, varia 2 unidades. Por isso, a taxa de variação é . Você pode também fazer os cálculos e
verificar esse resultado: 
 
 
 
II: 
Nesse segundo gráfico quando . Já quando . Perceba que
quando aumenta duas unidades, diminui duas unidades, ou seja, a cada unidade que 
aumenta, diminui uma unidade. Por isso, dizemos que a função é decrescente e sua taxa de
variação é igual a . 
Fazendo os cálculos podemos também descobrir o valor dessa taxa de variação - também conhecida
como tangente da reta: 
 
 
 
III: 
Veja nesse gráfico que independente do valor que assumir, sempre será igual a . Chamamos
essa função de função constante e sua taxa de variação é zero. Parece meio óbvio né? Porque 
não varia nunca. Veja nos cálculos:
 f(0) = 1   f(1) = 3  x 
 y  2
m = = = = 2
y−y
0
x−x0
3−1
1−0
2
1
 x = 0,   f(x) = 5  x = 2,  f(x) = 3
 x   f(x)   x 
 y 
  − 1
m = = = = −1
y−y
0
x−x0
3−5
2−0
−2
2
 x   y   7
 y 
m = = = = 0
y−y
0
x−x0
7−7
3−1
0
2
m = = = = 0
y−y
0
x−x0
7−7
2−1
0
1
m = = = = 0
y−y
0
x−x0
7−7
3−2
0
1
Classifique a função representada como crescente ou decrescente em cada intervalo indicado. Determine o
sinal da derivada em cada caso:
QUESTÃO 2 DE 5

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I) 
II) 
III) 
Dica: um intervalo do tipo indica que todos os elementos que estão entre e pertencem à esse
intervalo, exceto e . 
 
 
Marque a alternativa que contém as informações corretas sobre cada intervalo indicado nos respectivos itens:
]  ,  [x1 x2
]  ,  [x2 x3
]  ,  [x3 x4
 ]a, b[   a   b 
 a   b
I. Crescente; derivada positiva. 
II. Crescente; derivada positiva. 
III. Decrescente; derivada negativa.
a
I. Decrescente; derivada negativa. 
II. Crescente; derivada positiva. 
III. Decrescente; derivada negativa.
b
I. Decrescente; derivada negativa. 
II. Decrescente; derivada negativa. 
III. Crescente; derivada positiva.
c
I. Crescente; derivada positiva. 
II. Crescente; derivada positiva. 
III. Decrescente; derivada negativa.
d
Nenhuma das alternativas anteriorese

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Em um determinado intervalo, quando a derivada é negativa, a função é decrescente. Já quando a
derivada é positiva - nesse mesmo intervalo - a função é crescente. Isso quer dizer que, se ela for
crescente, quanto maior o valor de maior o valor de (ou seja, se então 
). Se ela for decrescente, quanto maior o valor de menor o valor de (ou
seja, se então ). Agora vamos analisar os intervalos: 
 
I. e logo nesse intervalo a função é decrescente e a derivada é
negativa. 
 
II. e logo nesse intervalo a função é crescente e a derivada é positiva. 
 
III. e logo nesse intervalo a função é decrescente e a derivada é
negativa.
 x,    f(x)    > ,  x1 x2
 f( ) > f( ) x1 x2  x,    f(x) 
  > ,  x1 x2  f( ) < f( ) x1 x2
  <  x1 x2  f( ) > f( ),  x1 x2
  <  x2 x3  f( ) < f( ),  x2 x3
  <  x3 x4  f( ) > f( ),  x3 x4
Julgue cada informação abaixo como verdadeira ou falsa
A derivada é a taxa de variação (que acontece entre e ) no ponto que consideramos.Va y x
F
Quando calculamos uma derivada, o valor encontrado é a taxa de variação de em relação a 
.
Vb x
y
F
Obter a função derivada significa obter uma lei ou regra que nos dá a taxa de variação em
todos os pontos onde ela possa ser calculada - o domínio da função derivada pode não ser o
mesmo que o domínio da função.
Vc
F
O valor da derivada é igual em todos os pontos do gráfico da função.Vd
F
Quando a derivada é positiva em um determinado ponto, a reta tangente nesse ponto será
decrescente.
Ve
F
QUESTÃO 3 DE 5
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



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Quando a derivada é negativa em um determinado ponto, a reta tangente nesse ponto será
decrescente.
Vf
F
A ideia da derivada é de que uma curva pode ser bem aproximada por uma reta nas
proximidades de um ponto.
Vg
F
Observe as curvas C e as retas a seguir:
QUESTÃO 4 DE 5


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Agora analise as afirmações abaixo, em relação ao comportamento das curvas e retas nos pontos P: 
 
I. As retas tangentes à curva C são q, r e t. 
II. As retas que não são tangentes à curva C são s, u e v . 
III. As retas tangentes à curva C são q, r e v . 
IV. Somente as retas q e r são tangentes à C. 
IV. A única reta que não é tangente à C é u . 
IV. A reta única reta tangente à C é t.
Sobre essas seis informações, é verdadeiro que
Os itens I e II estão corretos;a
Nenhum dos itens estão corretos;b
Somente o item IV está correto;c
Somente o item V está correto;d
Somente o item VI está correto.e
QUESTÃO 5 DE 5

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Calcule a derivada de nos pontos de abscissas e .
Dica: Observe que no intervalo o gráfico da função é uma reta. Assim, calcular a taxa de
variação nessa pedaço, é o mesmo que calcular a taxa de variação de uma reta. Você se lembra? 
 
Os respectivos valores das derivadas nesses pontos ( e ) são:
 y = f(x)    = 7 x1   = 3x2
 [5, 10]   y = f(x) 
   x1  x2
1,2 e 2a
2 e 5b
3,5 e 12c
2 e 2d
Nenhuma das alternativas anteriores.e
No intervalo o gráfico da função é uma reta. Dessa forma, podemos calcular a
taxa de variação no ponto cuja coordenada é igual a : 
 
 
 
Portanto, a taxa de variação - derivada - no ponto é igual a . 
No ponto vamos calcular a derivada de a partir da reta tangente :
 [5, 10]   y = f(x) 
 x  7
m = = = = 1, 2
y−y
0
x−x0
21−15
10−5
6
5
  = 7 x1 1, 2
  = 3,  x2  y = f(x)   t

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Respondidas 5 de 5 questões.
SLIDE 8 DE 8
ANTERIOR PRÓXIMO 
IR PARA O SLIDE:
1 2 3 4 5 6 7 8
A derivada da função no ponto em que a coordenada é igual à inclinação da reta
tangente à esse ponto, que é a reta . E para calcular a inclinação da reta basta calcularmos a
sua variação: 
 
 
 
Portanto, a derivada dessa função no ponto é enquanto que no ponto é
igual a . Assim, a opção correta é 
 y = f(x)   x = 3 
 t  t,  
m = = = = 2
y−y
0
x−x0
10−4
3−0
6
3
  = 7 x1  1, 2,     = 3 x2
 2  a.
 REFAZER ATIVIDADE

REALIZAÇÃO E PRODUÇÃO:
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https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m1/uni3/slide3.html
https://avamec.mec.gov.br/ava-mec-ws/instituicao/labtime/conteudo/modulo/2821/m1/uni3/slide4.html
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http://www.labtime.ufg.br/
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