Matemática II - AVAMEC 04

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31/10/2021 16:49 Matemática - Cálculo
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MINICURSO 1 O ESTUDO DAS FUNÇÕES
UNIDADE 4 REVISÃO E AUTOAVALIAÇÃO
Slide 4 de 4
Dada a função determine:
I. a variação no valor de quando passa de a ; 
II. a variação no valor de quando passa de a ; 
III. A taxa de variação de em relação a ; 
IV. A variação no valor de quando passa de a ;
V. A variação no valor de quando passa de a . 
 
Julgue as afirmações abaixo - em verdadeiras ou falsas - quanto aos itens de I à V acima:
 y = 13x + 760,  
 y   x  10 11
 y   x  1985 1986
 y   x 
 y   x  3000 3002
 y   x  5010 5015
As respostas dos itens I, II e III são todas iguais a Va 13
F
A resposta do item IV é Vb 26
F
Em nenhum dos itens a variação é diferente de , pois esse é o coeficiente angular da reta Vc 13
 y = 13x + 760
F
No item IV, a variação é diferente de , pois varia duas unidades e não uma, como nos
outros casos
Vd 13  x 
F
Calcular a variação no item V é o mesmo que calcular Ve 13 ⋅ 15
F
A taxa de variação de uma função linear é o coeficiente que multiplica a variável . Ou seja, nesse
exercício, a função dada é e por isso a taxa de variação é igual a o que
 x
 y = 13x + 760,   13,  
QUESTÃO 1 DE 10
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



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responde o item III. 
 
Isso significa que a cada unidade que aumentar, aumenta unidades. Além disso, a cada
unidade que diminuir, diminui unidades. 
 
Logo, se varia duas unidades, vai variar unidades. 
Se varia três unidades, vai variar unidades. 
Se varia quatro unidades, vai variar unidades. 
Assim, calcular a variação de quando varia unidades, é o mesmo que calcular o
que nos mostra que a afirmação "e" é verdadeira. 
Nos itens I e II, a variação é igual a porque em cada um deles, varia só uma unidade. 
No item IV, a variação é igual a , pois varia duas unidades, ou seja, varia unidades.
 x   y  13
 x   y  13
 x   y   13 ⋅ 2 
x  y  13 ⋅ 3
 x   y  13 ⋅ 4
 y   x   15   13 ⋅ 15,  
13  x 
26  x   y  13 ⋅ 2
Um corpo está em movimento uniforme quando percorre distâncias iguais em tempos iguais. Assim, em cada
unidade de tempo, é percorrida sempre a mesma distância, o que é a velocidade do corpo. Por exemplo, se
um carro em movimento uniforme tem velocidade de 90 km/h, então a cada hora ele percorrerá 90 km.
Partindo do marco quilométrico 20 de certa rodovia e deslocando-se no sentido da quilometragem crescente,
após horas ele estará no marco quilométrico , sendo que : 
 
A função que expressa a interdependência entre a posição, determinada por e o tempo é a função
horária do carro. A taxa de variação em em relação a é a velocidade. 
 
Determine a velocidade dos carros que apresentam as seguintes funções horárias: 
 
I. 
II. 
III. 
IV. 
 
Julgue as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas:
t S  S = 20 + 90t
 S,    t 
 S   t 
S = 30 + 80t
S = 60t
S = 80 + 30t
S = 300 − 75t
A velocidade no item I é igual a ;Va  80km/h
F
A velocidade do item II é igual a ;Vb  16, 66m/s
F
A velocidade do item III é igual a ;Vc  20km/h
F
QUESTÃO 2 DE 10
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
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A velocidade do item IV é igual a ;Vd   − 20, 83m/s
F
A velocidade do item IV não existe porque é impossível uma velocidade ser negativaVe
F
Para julgar esses itens, basta sabermos que a taxa de variação em em relação a é a velocidade,
como está dizendo no enunciado. 
A taxa de variação em uma função linear, é sempre o coeficiente que acompanha a variável - que
nesse caso é . 
Dessa forma, nossa velocidade em cada um dos itens será igual ao coeficiente que está
multiplicando :
Para converter a velocidade de km/h para m/s, basta dividir o número por . Dessa forma, 
 e 
Podemos concluir então, que o item c é falso, enquanto que a, b e d são verdadeiros. 
O item "e" é falso, pois existe sim velocidade negativa - que indica que o carro está no sentido
contrário da trajetória. Por exemplo, se estávamos considerando que ele estava indo da esquerda
para a direita, a velocidade negativa indicará que ele estará indo da direita para a esquerda.
S t
t
t
No item I, é 80km/h
No item II, é 60km/h
No item III, é 30km/h
No item IV, é −75km/h
3, 6
60km/h = 16, 66m/s −75km/h = −20, 83m/s
Calcule a derivada nos pontos indicados (A, B e C):
QUESTÃO 3 DE 10
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Dica: Encontre o coeficiente angular das retas. 
 
As respectivas derivadas nos pontos (A, B e C), são:
1, 0 e -6;a
1, 2 e -1;b
4, 0 e -4;c
4, 4 e 6;d
Nenhuma das alternativas anteriores.e
Descobrir a derivada em um ponto, é o mesmo que descobrir a inclinação da reta tangente à
parábola nesse ponto. 
Nós sabemos calcular a inclinação da reta tangente por meio da seguinte divisão: 
 
 
 
Que é o mesmo que 
 
 
 
A reta que passa pelo ponto também passa pelo ponto . Assim, a inclinação da
reta tangente à parábola no ponto A será: 
 
 
 
Já a inclinação da reta tangente à parábola no ponto B é zero, pois é a reta . Ou seja,
m =
f(x)−f( )x0
x−x0
m =
y−y
0
x−x0
 A = (1, 9)   (3, 17)
m = = = 417−93−1
8
2
y = 17

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independente do valor de , sempre será igual a : 
 
 
 
Pelo gráfico podemos ver que a inclinação da reta tangente à parábola no ponto C é negativa, pois
ela é decrescente. Além disso, essa reta também passa pelo ponto . Logo, a sua inclinação é: 
 
 
 
Portanto, a alternativa correta é C.
 x  y 17
m = = = 017−17
4−3
0
1
 (5, 17)
m = = = −413−176−5
−4
1
Em cada um dos três casos, indique se existe ou não, no ponto indicado, a derivada da função representada:
I.
II.
III.
QUESTÃO 4 DE 10
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A alternativa que aponta corretamente a existência ou não de derivadas em cada item, respectivamente, é:
Não existe em nenhum dos pontos indicados;a
Existe apenas no ponto indicado no gráfico III;b
Existem apenas nos pontos indicados nos gráficos II e III;c
Existem apenas nos pontos indicados nos gráficos I e III;d
Existem nos três pontos indicados.e
Nos pontos indicados nos gráficos I e II há "bicos". E como vimos anteriormente, não há derivada
nesses pontos.
Calcule a derivada da função nos pontos de abscissas e  y = f(x)    ,x0 x1 x2
QUESTÃO 5 DE 10
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Dica 1: as retas e são paralelas à reta , de equação . 
Dica 2: quando duas retas são paralelas, elas têm o mesmo coeficiente angular. 
 
As respectivas derivadas nos pontos A, B e C são:
r s  t  y = 3x + 9
-1, 0 e 1a
2, 0 e -2b
3, 0 e 3c
1, 0 e -1d
Nenhuma das alternativas anteriorese
Se as retas e são paralelas à reta então tem a mesma inclinação que a reta e 
tem a mesma inclinação que a reta . Ou seja, tem a mesma inclinação que a reta . 
Sabemos que a derivada de uma função linear em um ponto é igual à inclinação da reta tangente
naquele ponto. 
A inclinação da reta é a taxa de variação da reta - coeficiente que multiplica a variável da
equação da reta. Como a equação da reta é podemos concluir que a inclinação
dessa reta é igual a 3. 
Dessa forma, a inclinação das retas e também são iguais a 3, pois ambas são paralelas à . 
Já a derivada dessa função no ponto B é igual a zero, pois a reta tangente nesse ponto é a reta
constante, ou seja, aquela que independente do valor de sempre terá o mesmo valor.
 r   s   t,    r   t   s 
 t  r   s
 t   t 
 t   y = 3x + 9,  
 r   s   t
 x,    y 

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Calcule, nos pontos de abscissas e , a derivada da função cujo gráfico é o arco
de circunferência representado.
Dica 1: para encontrar a derivada da função no ponto de abscissa , trace uma reta
tangente à função nesse ponto (a reta ). 
Dica 2: trace a reta - que é perpendicular a reta e encontre o seu coeficiente angular.
Dica 3: se duas retas e são perpendiculares e seus coeficientes angulares são e ,
respectivamente, então . 
 
 
As derivadas nos pontos e são iguais a:
  = 5x0   = −5x1  y = f(x) 
 y = f(x)    = 5x0
 s
 r  s 
 r   s     m1  m2
  ⋅ = −1m1 m2
  = 5 x0   = −5 x1
a ;−512 512
b 5; 12
c ;125 −125
QUESTÃO 6 DE 10
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d ;−125 125
Nenhuma das alternativas anteriorese
Seguindo as dicas dadas pelo enunciado, vamos calcular primeiramente a derivada da função 
 no ponto de abscissa , traçando uma reta tangente à função nesse ponto (a reta
). Em seguida, vamos traçar a reta - que é perpendicular à reta :
Para calcular a inclinação da reta , basta aplicarmos a fórmula da taxa de variação de uma reta: 
 
 
 
 
Que é o mesmo que 
 
 
 
Não confunda! Calculamos a inclinação da reta . A inclinação - ou taxa de variação - da reta é
igual a , pois as duas são perpendiculares. Veja: 
 
 
 
Agora descobrimos a derivada da função no ponto de abscissa . Vamos
descobrir a que passa pelo outro ponto. 
Para calcular a inclinação da reta que passa pelo ponto abscissa , podemos fazer os
mesmos passos… 
 
Traçamos uma reta perpendicular à reta :
 y = f(x)    = 5x0
 s  r   s
 r 
m =
 f(x) − f( ) x0
x − x0
= = =mr
y−y
0
x−x0
12−0
5−0
12
5
 r  s 
   −1    mr
= = = = ⋅ = −ms
−1
mr
   − 1  
12
5
 −1 
1
     125
−1
1
5
12
5
12
 y = f(x)    = 5x0
 t    = −5x1
 p   t
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Sabemos que o produto dos coeficientes angulares dessas duas retas será igual a , pois elas
são perpendiculares. 
 
 
Vamos então calcular o coeficiente angular - taxa de variação da reta : 
 
 
 
 
Agora, podemos concluir que 
 
 
 
 
 
Portanto, a alternativa correta é "a".
  − 1
 p
= = = −mp
 y −  y0
 x −  x0
 12 − 0 
−5 − 0
12
5
⋅ = −1mp mt
= = =mt
−1
   mp
  − 1 
  −  125
5
12
A derivada da função no ponto é igual a : f(x) = + 2x + 3 x2  A = (1, 6) 
4a
1b
6c
QUESTÃO 7 DE 10

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31d
13e
Para encontrar a derivada da função em um ponto, primeiro precisamos saber qual é a função
derivada dessa função . 
 
Sabemos por enquanto, calcular derivada apenas por definição, né? Então vamos fazer isso
mesmo!!! 
 
 
 
 
Para facilitar mais o entendimento, vamos calcular separadamente:
Dessa forma, 
 
 
 
 
 
 
Portanto, vamos calcular a derivada no ponto : 
 
 
 
Podemos concluir que a alternativa correta é "a".
 ( f(x) = + 2x + 3 )x2
(x) =f ′ lim
h→0
 f(x + h) − f(x) 
h
 
 
f(x) = + 2x + 3x2
 
 
 
f(x + h) = (x + h + 2(x + h) + 3)2
= + 2xh + + 2x + 2h + 3x2 h2
 
 
f(x + h) − f(x) = + 2xh + + 2x + 2h + 3 − − 2x − 3x2 h2 x2
= 2xh + + 2hh2
(x) = = =f ′ lim
h→0
 f(x + h) − f(x) 
h
lim
h→0
 2xh + + 2h h2
h
lim
h→0
 h(2x + h + 2) 
h
(x) =  2x + h + 2 = 2x + 2f ′ lim
h→0
 A = (1, 6)
(x) = 2x + 2   ⟹    (1) = 2 ⋅ 1 + 2   ⟹    (1) = 4f ′ f ′ f ′
QUESTÃO 8 DE 10
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Quais as equações das retas tangentes à curva nos pontos e
, respectivamente?
 y = + 2x + 3 x2  A = (1, 6),  B = (0, 3) 
 C = (−1, 2)
 e a y = 6x;   y = 2x + 3     y = 2
 e b y = 4x + 2;   y = 2x + 3     y = −2
 e c y = 6x;   y = x + 3     y = 2
 e d y = 6x;   y = x + 3     y = −2
 e e y = 4x + 2;   y = 2x + 3     y = 2
Primeiramente, vamos descobrir a função derivada de . Caso você tenha visto a
solução do exercício anterior, já sabe que essa função derivada é igual a , né? 
Se ainda não viu como calcular essa derivada, veja a parte em azul. Caso já tenha visto, pode pular
essa parte…
 
 
 
 
 
 
 y = + 2x + 3x2
  = 2x + 2y ′
(x) =f ′ lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h
Para facilitar mais o entendimento,  vamos calcular separadamente :
 
 
f(x) = + 2x + 3x2
 
 
 
f(x + h) = (x + h + 2(x + h) + 3)2
= + 2xh + + 2x + 2h + 3x2 h2
 
 
f(x + h) − f(x) = + 2xh + + 2x + 2h + 3 − − 2x − 3x2 h2 x2
= 2xh + + 2hh2
Dessa forma,
(x) = = =f ′ lim
h→0
 f(x + h) − f(x) 
h
lim
h→0
2xh + + 2hh2
h
lim
h→0
 h(2x + h + 2) 
h
(x) =  2x + h + 2 = 2x + 2f ′ lim
h→0

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Agora, queremos saber as equações das retas tangentes nos pontos e 
. A seguir, calcularemos qual o coeficiente angular - taxa de variação - de cada uma
dessas retas e em seguida, a equação de cada uma delas, utilizando a fórmula 
:
Portanto, a alternativa correta é a letra e. 
Veja o gráfico abaixo:
 A = (1, 6),  B = (0, 3) 
 C = (−1, 2)
 y − = m(x − )y0 x0
No ponto A = (1,6): 
 
 
 
 
 
 
m = (1) = 2 ⋅ 1 + 2 = 4f ′
y − 6 = 4(x − 1)
⟹ y − 6 = 4x − 4
⟹ y = 4x − 4 + 6
⟹ y = 4x + 2
No ponto B = (0,3): 
 
 
 
 
 
m = (0) = 2 ⋅ 0 + 2 = 4f ′
y − 3 = 2(x − 0)
⟹ y − 3 = 2x
⟹ y = 2x + 3
No ponto C = (-1,2): 
 
 
 
m = (−1) = 2 ⋅ (−1) + 2 = 0f ′
y − 2 = 0(x − (−1))
⟹ y − 2 = 0
⟹ y = 2
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Qual o sinal da derivada da função nos respectivos pontos: 
 
 
 
 g(x) = − 2x x3
I.   A = (0, 0)
II.   B = (−1, 1)
III.   C = (1, −1)
IV .   Raízes
Negativo, positivo, positivo e nas raízes em uma é negativo e em duas são positivos;a
Negativo, negativo, positivo e nas raízes em uma é positivo e em duas são negativos;b
Positivo, positivo, positivo e nas raízes são todos negativos;c
QUESTÃO 9 DE 10

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Negativo, positivo, positivo e nas raízes são todos positivos;d
Positivo, positivo, negativo e nas raízes em uma é negativo e em duas são positivos;e
Primeiramente vamos calcular a função derivada de . 
Pela definição, 
 
 
 
 
 
Para facilitar mais o entendimento, vamos calcular separadamente:
Dessa forma, 
 
 
 
Agora, queremos saber os sinais da derivada nos pontos 
 e nas raízes. 
Para isso, basta substituirmos os valores das coordenadas de cada um desses pontos na função
derivada, ou seja, em …
 g(x) = − 2xx3
(x) =g′ lim
h→0
 g(x+h)−g(x) 
h
g(x) = − 2xx3
 
 
g(x + h) = (x + h − 2(x + h))3
= + 3 h + 3x + − 2x − 2hx3 x2 h2 h2
 
; 
g(x + h) − g(x) = + 3 h + 3x + − 2x − 2h − + 2xx3 x2 h2 h2 x3
= 3 h + 3x + − 2hx2 h2 h2
(x) = = =g′ lim
h→0
g(x+h)−g(x)
h
lim
h→0
3 h+3x + −2hx2 h2 h2
h
lim
h→0
h(3 +3xh+h+2)x2
h
(x) = 3 + 3xh + h − 2 = 3 − 2g′ lim
h→0
x2 x2
 A = (0, 0),  B = (−1, 1),
 C = (1, −1)
 x 
  (x)g′
No ponto : 
 
Nesse ponto, o sinal da derivada é negativo. 
 
 A = (0, 0)
(0) = 3 ⋅ − 2 = 0 − 2 = −2g′ 02
No ponto : 
 
Nesse ponto, o sinal da derivada é positivo. 
 
 B = (−1, 1)
(−1) = 3(−1 − 2 = 3 − 2 = 1g′ )2
No ponto : 
 
 C = (−1, 2)
(−1) = 1g′
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Como essa é uma função do terceiro grau (cúbica), deve ter três raízes. Comecemos colocando em
evidência: 
 
 
Uma multiplicação é igual a zero quando pelo menos um dos termos (ou os dois) é igual a zero.
Assim, 
 se e/ou . 
 
Ou seja, 
 se e/ou . 
 
Então as raízessão: e 
Portanto, a resposta correta é a alternativa "a".
Nesse ponto, o sinal da derivada é igual ao do ponto B: positivo. 
 
Nas raízes: 
As raízes são os valores de tal que . Ou seja, para quais valores de ,
?
x g(x) = 0 x
− 2x = 0x3
x
g(x) = − 2x = x( − 2) = 0x3 x2
x( − 2) = 0 x2  x = 0    − 2 = 0x2
 x( − 2) = 0 x2  x = 0   x = ± 2
–√
 x = 0, x =  2
–√  x = − 2
–√
Quando já vimos que 
 
 x = 0,     (0) = −2g′
Quando 
 
 x = ,    ( ) = 3( − 2 = 3 ⋅ 2 − 2 = 42
–√ g′ 2
–√ 2
–√ )2
Quando  x = − ,    (− ) = 3 ⋅ (− − 2 = 3 ⋅ 2 − 2 = 42–√ g′ 2–√ 2–√ )2
Dados o gráfico de e os pontos de abscissas determine o sinal da derivada em
cada caso, indicando onde ela se anula.
 y = f(x)    , , . . . , ,x1 x2 x9
QUESTÃO 10 DE 10
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É positiva nos pontos de abscissas e . 
É negativa - decrescente - nos pontos de abscissas e . 
É nula nos pontos de abscissas e .
a   ,  x1 x3    x7
   x5  x9
  , ,  x2 x4 x6  x8
É positiva nos pontos de abscissas e . 
É negativa - decrescente - nos pontos de abscissas e . 
É nula nos pontos de abscissas e .
b   ,  x3 x5  x7
   x1  x9
  , ,  x2 x4 x6  x8
É positiva nos pontos de abscissas e . 
É negativa - decrescente - nos pontos de abscissas e . 
É nula nos pontos de abscissas e .
c   ,  x1 x3  x9
   x5  x7
  , ,  x2 x4 x6  x8
Nenhuma das alternativas anterioresd
Quando a reta tangente à um ponto do gráfico é crescente, significa que a derivada dessa função
nesse ponto é positivo. Já quando ela é decrescente, dizemos que ela é negativa. Já quando ela é
paralela ao eixo , ou seja, quando representa igual a uma constante, dizemos que a derivada
é zero. Mas você se lembra o que é uma reta ser crescente ou decrescente? Seja a reta uma função 
 que passa pelos pontos e :
Podemos concluir que a derivada é:
 Ox  y 
 g(x)    x0    x1
Crescente: se e   <  x0 x1  g( ) < g( ) x0 x1
Decrescente: se e   <  x0 x1  g( ) > g( ) x0 x1
É nula se e constante g( ) = c x0  g( ) = c,  c x1
Positiva - crescente - nos pontos de abscissas e .  ,  x1 x5  x7
Negativa - decrescente - nos pontos de abscissas e .   x3  x9
Nula nos pontos de abscissas e   , ,  x2 x4 x6   .x8

31/10/2021 16:49 Matemática - Cálculo
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Respondidas 10 de 10 questões.
SLIDE 4 DE 4
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IR PARA O SLIDE:
1 2 3 4
Dessa forma, a alternativa correta é "d".
 REFAZER ATIVIDADE

REALIZAÇÃO E PRODUÇÃO:
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http://www.labtime.ufg.br/
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