Espaço normados e banack, exercícios resolvidos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAPÁ
PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO E ENSINO
COORDENAÇÃO DO CURSO DE MATEMÁTICA
.
ESPAÇOS NORMADOS E BANACK
PROFESSOR: KELMEM BARROSO
ACADÊMICOS: EVELLYM GOMES
JOÃO PAULO SILVA
ROSINETE PANDILHA
MACAPÁ
2021
ATIVIDADE DE 04/12/2020
1. Defina um espaço vetorial e dê exemplos.
Resposta:
Dizemos que um conjunto V 6= ∅ é um espaço vetorial R quando. e somente quando:
1º) Existe uma adição (u, v) −→ u+ v em V , com as seguintes propriedades:
a) u+ v = v + u, ∀u, v ∈ V (comutatividade)
b) u+ (v + w) = (u+ v) + w, ∀u, v, w ∈ V (associatividade)
c) Existe em V um elemento neutro para essa adiçao o qual será simbolizado genericamente
por o, ou seja:
∃ o ∈ V |u+ o = u,∀u ∈ V ;(∗)
d) Para todo elememto de u de V existe ooposto; inndicaremos por (−u), esse oposto. Assim:
∀u ∈ V, |∃ (−u) ∈ V |u+ (−u) = o.(∗∗)
2º) Esta definida uma multiplicação de R × V em V , o que significa que cada a par (α, u)
de R × V , esta associado um único elemento de V que se por αu, e para essa multiplicação
tem-se o seguinte:
a) α(βu) = (αu)β
b) (α + β)u = αu+ βu
c) α(u+ v) = αu+ αv
d) 1u = u
EXEMPLOS:
1 - Conujunto dos números reais é Espaço Vetoriais V = R.
2 - Conjunto dos Números Complexos é um espaço Vetorial C = V
3 - Conjunto das matrizes M×M é um espaço vetorial.
2. No exemplo 3 exiba pelo menos dois elementos do conjunto X e calcule a imagem desses
elementos pelo operador em questão.
Resposta:
Exemplo 1: x(t) = t3 + 5t
Dado o operador linear
T (x(t)) = x′(t) = (t3 + 5t)′ = (t3)′ + (5t)′
Calculando a imagem de T (x(t)), temos:
Im (T (x(t)) = {T (x(t)); t ∈ R} = {(t3)′ + (5t)′ = 3t2 + 5; t ∈ R}
Exemplo 2: x(t) = 4t4 + 8t
O operador linear é da forma
T (x(t)) = x′(t) = (4t4 + 8t)′ = (4t4)′ + (8t)′ = 16t3 + 8
Calculando a imagem de T (x(t)), temos
Im (T (x)) = {T (x(t)); t ∈ R} = {(4t4)′ + (8t)′ = 16t3 + 8; t ∈ R}
3. No exemplo 4 exiba dois elementos de C[a,b] e calcule a imagem desses elementos pelo
operador em questão.
Resposta:
Exemplo 1: x(t) = y2 + 2y, sendo t ∈ [1, 2]
1
T : C[1, 2] → C[1, 2]
x(t)→ T (x) =
∫ t
a
x(y)dy
T (x) =
∫ t
1
(y2 + 2y)dy =
(
1
3
y3 + y2
)∣∣∣∣t
1
=
(
1
3
t3 + t2
)
−
(
1
3
+ 1
)
=
1
3
t3 + t2 − 4
3
Im(T (x)) = {T (x); t ∈ [1, 2]} =
{
1
3
t3 + t2 − 4
3
; t ∈ [1, 2]
}
Exemplo 2: x(t) = y3 + 5y2
T : C[1, 2] → C[1, 2]
x(t)→ T (x) =
∫ t
a
x(y)dy
T (x) =
∫ t
1
(y3 + 5y2) dy =
(
1
4
y4 +
5
3
y3
)∣∣∣∣t
1
=
(
1
4
t4 +
5
3
t3
)
−
(
1
4
+
5
3
)
=
1
4
t4 +
5
3
t3 − 23
12
Im (T (x)) =
{
1
4
t4 +
5
3
t3 − 23
12
, t ∈ [1, 2]
}
2
ATIVIDADE DE 07/12/2020
1. Encontre os espaços nulos dos exemplos 1, 2, 3 e 4.
Resposta:
Exemplo 1: O espaço nulo do operador Identidade é dado por
Ix : X → X
x Ix(x) = x
N(Ix) = {x ∈ X; Ix(x) = 0}, onde
Ix(x) = x = 0 ⇒ x = 0
∴ N(Ix) = {0;x ∈ X}
Exemplo 2: O espaço nulo do operador zero
0 : X → Y
x 0x = 0
N(0) = {x ∈ X; 0x = 0}
0 = 0x = 0 ⇒ x = R
∴ N(0) = {R; x ∈ X}
Exemplo 3: O espaço vetorial X de todos os polinômios sobre [a, b]. O espaço nulo do
operador X é dado por:
T : X → X
x→ T (x(t)) = x′(t)
N(T ) = {x(t) ∈ X; T (x(t)) = 0} onde,
T (x(t)) = x′(t) = 0 ⇒ x(t) = k (uma constante)
∴ N(T ) = {k; x(t) ∈ X}
Exemplo 4: Seja
T : C[a, b]→ C[a, b]
x(t)→ T (x(t)) =
∫ t
a
x(y)dy
t ∈ [a, b].
T (x(t)) =
∫ t
a
x(y)dy = F (y)|ta = F (t)− F (a) = 0 ⇒ F (t) = F (a)
∴ N(T ) = {t ∈ [a, b];F (t) = F (a)}
2. Mostre que todo subespaço vetorial também é um espaço vetorial.
Resposta: Dado V um espaço vetorial e W um subespaço vetorial de V , vamos mostrar
que W é também um espaço vetorial. As propriedades de W é dada por
1) 0 ∈ W
2) u+ v ∈ W
3) βu ∈ W
Vamos verificar as propriedades de V para W ;
ADIÇÃO
1) (u+ v) + w = u+ (v + w)
3
Dados u, v, w ∈ V , como u, v, w também pertence a W , logo
(u+ v) + w = u+ (v + w) ∈ W
2) u+ v = v + u
Dados u, v ∈ V , como u, v também pertence W , logo
u+ v = v + u ∈ W
3) u+ 0 = u
Pela propriedade (1) de W , vimos que 0 ∈ W , logo u+ 0 = u ∈ W ;
4) u+ (−u) = 0
Sabemos que 0 ∈ W , logo −u ∈ W , então u+ (−u) = 0 ∈ W .
MULTIPLICAÇÃO
1) α(βu) = (αβ)u
Pela propriedade (3) de W sabemos que β ∈ W , como β ∈ R então α ∈ R implica que
α ∈ W . Daí
α(βu) = (αβ)u ∈ W ;
2) 1u = u
Como 1 ∈ R e u ∈ W , então 1u = u ∈ W
3) (α + β)u = αu+ βu
Sendo α, β ∈ R e u ∈ W , então (α + β)u = αu+ βu ∈ W ;
4) β(u+ v) = βu+ βv
Dados β ∈ R e u, v ∈ W , então β(u+ v) = βu+ βv ∈ W .
Portanto, W é um espaço vetorial.
3. Defina dimensão de um espaço vetorial.
Resposta: Seja V um espaço vetorial finitamente gerado. denomina-se Dimensão de V o
número de vetores de uma qualquer de suas bases. Diz-se também, neste caso que V é um
espaço de dimensão finita.
EXEMPLOS:
1 - dim R2 = 2;
2 - dim Pn(R) = n+ 1.
4
ATIVIDADE DE 14/12/2020
1. Mostre que o operador identidade I(u) = u é injetivo.
Resposta: Seja a transformação linear I : U → U definida por I(u) = u, para todo u ∈ U .
Dados u, v ∈ U , então
I(u) = u e I(v) = v.
Logo, u 6= v ⇒ I(u) 6= I(v), mostrando que I(u) é injetivo para todo u, v ∈ U .
2. Mostre que a função constante f : R→ R, f(x) = 5 não é injetiva.
Resposta:
Dados x1, x2 ∈ R calculando as imagens de f(x) = 5, então
f(x1) = 5, f(x2) = 5
Como x1 6= x2 ⇒ f(x1) = f(x2), então a função f(x) = 5 não é injetora para todo
x1, x2 ∈ R.
ATIVIDADE DE 17/12/2020
1. Calcule as normas dos seguintes vetores:
a) v = (1, 2, 3)
Resposta:
‖v‖ = ‖(1, 2, 3)‖ =
√
12 + 22 + 32 =
√
1 + 4 + 9 =
√
14
b) w = (3, 0,−2)
Resposta:
‖w‖ = ‖(3, 0,−2)‖ =
√
32 + 02 + (−2)2 =
√
9 + 0 + 4 =
√
13
c) q(x) = −x2, p(x) = x3 onde J = [1, 2].
Resposta:
‖q(x)‖ = ‖ − x2‖ = max
x∈[1,2]
| − x2| = 2
‖p(x)‖ = ‖x3‖ = max
x∈[1,2]
|x3| = 2
5
ATIVIDADE DE 21/12/2020
1. Calcule a imagem dos seguintes vetores usando o operador diferencial e calcule a norma
de suas imagens:
a) x1(t) = 3t3
Resposta:
Calculando o operador diferencial T (x1(t)), temos:
T (x1(t)) = x
′
1(t) = (3t
3)′ = 9t2
Calculando a imagem de T (x1(t)), temos:
Im (T (x1(t)) = {T (x1(t)); t ∈ R} = {T (x1) = (3t3)′ = 9t2; t ∈ R}
Calculando a norma de Im(T (x1(t))), temos:
‖Im(T (x1))‖ =
√∫ 1
0
(9t2)2 dt =
√
81
∫ 1
0
t4 dt = 9
√
1
5
t5
∣∣∣∣1
0
= 9
√
1
5
(1− 0) = 9
√
1
5
=
9√
5
=
9
√
5
5
b) x2(t) = 2t2 + 5t+ 7
Resposta:
Calculando o operador diferencial T (x2(t)), temos:
T (x2(t)) = x
′
2(t) = (2t
2 + 5t+ 7)′ = (2t2)′ + (5t)′ + (7)′ = 4t+ 5.
Calculando a imagem de T (x2(t)), temos:
Im(T (x2(t))) = {T (x2(t)); t ∈ R} = {(2t2 + 5t+ 7)′ = 4t+ 5; t ∈ R}
Calculando a norma de Im(T (x2)), temos:
‖Im(T (x2))‖ =
√∫ 1
0
(4t+ 5)2 dt =
√∫ 1
0
(16t2 + 40t+ 25) dt
2. Encontre um operador linear em qualquer espaço de dimensão finita.
Resposta:
Seja T : R3 → R3 um operador linear dado por (x, y, z) → (x,−y, z) e
dimensão dim (T ) = 3. Então
a) T (u+ v) = T (u) + T (v)
Dado u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) ∈ R2.
T (u+v) = T (x1+x2, y1+y2, z1+z2) = (x1+x2,−(y1+y2), z1+z2) = (x1+x2,−y1−y2, z1+z2)
= (x1,−y1, z1) + (x2,−y2, z2) = T (u) + T (v)
b) T (αu) = αT (u)
T (αu) = T (α(x1, y1, z1)) = T (αx1, αy1, αz1) = (αx1,−αy1, αz1) = α(x1,−y1, z1) = αT (u)
Logo T é um operador linear de dimensão dim = 3.
6
ATIVIDADE DE 04/01/2021
1. Seja F : R3 → R definida por
F (x, y, z) = (z + x+ y)
Este operador é linear? Este operador é limitado? (sugestão: utilize o teeorma 1 que fala
de dimensão finita) Este operador é contínuo?
Resposta:
a) Vamos verificar se F (x, y, z) é linear. Dado u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) ∈ R3 e α ∈ R.
Daí,
F (u+ v) = F (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) = ((z1 + z2) + (x1 + x2) + (y1 + y2))
= ((z1 + x1 + y1) + (z2 + x2 + y2)) = F (x1, y1, z1) + F (z2, x2, y2)
= F (u) + F (v)
F (αu) = F (α(x1, y1, z1)) = F (αx1, αy1, αz1) = (αz1 + αx1 + αy1)
= α(z1 + x1 + y1) = αF (x1, y1, z1) = αF (u)
∴ F (x, y, z) é um operador linear.
b) Vamos verificar se F (x, y, z) é limitado.
Segue da desigualdade de Cauchy-Schwarz que
|F (x, y, z)| = |z + x+ y| = |(x, y, z) · (1, 1, 1)| ≤ ‖(x, y, z)‖ · ‖(1, 1, 1)‖
sendo C = (1, 1, 1), então |F (x, y, z)| ≤ C · ‖(x, y, z)‖
Tomando o supremo sobre todos os (x, y,z) de norma 1, temos
‖F‖ = sup
x(t)∈D(t)
‖x‖=1
|f(x)| ≤ (1, 1, 1)
Por outro lado,
|F (w)|
‖w‖
≤ sup
x∈D(t)
x 6=0
|F (x)|
‖x‖
= ‖F‖
onde w = (1, 1, 1), logo
‖w‖ = ‖w‖
2
‖w‖
≤ ‖F‖
O que mostra que a norma de F é dada por
‖F‖ = ‖w‖ = ‖(1, 1, 1)‖
Portanto, F (x, y, z) é limitado e contínuo.
2. Seja F : R → R2
F (x) = (x, 2)
Este operador é linear? Este operador é limitado? (sugestão: use o teorema 1 que fala da
dimensão finita) Este operador é contínuo?
7
Resposta: Vamos verificar se F (x) é linear. Dado x1, x2 ∈ R. Daí
F (x1 + x2) = (x1 + x2, 2) 6= F (x1) + F (x2)
porque
F (x1) + F (x2) = (x1, 2) + (x2, 2) = (x1 + x2, 2 + 2) = (x1 + x2, 4)
Portanto, F (x, y) não é um operador linear. Como F (x) não é linear, consequentemente
não é um operador limitado e nem contínuo.
3. Relembre a desigualdade de Cauchy-Schwarz e escolha alguns vetores e calcule o lado
esquerdo e o lado direito dessa fórmula, isto é, o produto interno entre estes vetores e as suas
respectivas normas
Resposta: A Desigualdade de Cauchy-Schwarz é da forma: |〈~u,~v〉| ≤ ‖~u‖ · ‖~v‖
Dados ~u = (2, 3, 1), ~v = (0, 1, 2) ∈ R3.
Calculando inicialmente |〈~u,~v〉|, temos:
|〈~u,~v〉| = |〈(2, 3, 1), (0, 1, 2)〉| = |2 · (0) + 3 · 1 + 1 · 2| = |0 + 3 + 2| = |5| = 5
Calculando agora ‖~u‖ · ‖~v‖, temos:
‖~u‖ · ‖~v‖ =
√
22 + 32 + 12 ·
√
02 + 12 + 22 =
√
4 + 9 + 1 ·
√
0 + 1 + 4
√
14 ·
√
5 =
√
14 · 5 =
√
70 ≈ 8, 366
Portanto, 4 ≤ 9, 38, mostrando que |〈~u,~v〉| ≤ ‖~u‖ · ‖~v‖
Dados ~u1 = (1, 4,−8), ~v1 = (2, 8,−16) ∈ R3.
Calculando inicialmente |〈 ~u1, ~v1〉|, temos:
|〈 ~u1, ~v1〉| = |〈(1, 4,−8), (2, 8,−16)〉| = |1 · 2 + 4 · 8 + (−8) · (−16)|
= |2 + 32 + 108| = |142| = 142
Calculando agora ‖ ~u1‖ · ‖~v1‖, temos:
‖ ~u1‖ · ‖~v1‖ =
√
12 + 42 + (−8)2 ·
√
22 + 82 + (−16)2 =
√
1 + 16 + 64 ·
√
4 + 64 + 256
√
81 ·
√
324 = 9 · 18 = 162
Portanto, 142 ≤ 162, mostrando que |〈 ~u1, ~v1〉| ≤ ‖ ~u1‖ · ‖~v1‖.
8
ATIVIDADE DE 14/01/2021
1. Mostre as seguintes igualdades:
〈αx+ βy, z〉 = α〈x, z〉+ β〈y, z〉
Resposta: 〈αx+ βy, z〉 = 〈αx, z〉+ 〈βy, z〉 = α〈x, z〉+ β〈y, z〉
〈x, αy〉 = α〈x, y〉
Resposta: 〈x, αy〉 = 〈αy, x〉 = α〈y, x〉 = α〈x, y〉
〈x, αy + βz〉 = α〈x, y〉+ β〈x, z〉
Resposta:
〈x, αy + βz〉 = 〈αy + βz, x〉 = 〈αy, x〉+ 〈βz, x〉 = α〈y, x〉+ β〈z, x〉 = α〈x, y〉+ β〈x, z〉
‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2(‖x‖2 + ‖y‖2)
Resposta:
1º) Calculando ‖x+ y‖2;
‖x+ y‖2 = 〈x+ y, x+ y〉 = 〈x, x+ y〉+ 〈y, x+ y〉 = 〈x+ y, x〉+ 〈x+ y, y〉
〈x, x〉+ 〈x, y〉+ 〈y, x〉+ 〈y, y〉 = ‖x‖2 + 〈x, y〉+ 〈x, y〉+ ‖y‖2
‖x‖2 + 2〈x, y〉+ ‖y‖2
2º) Calculando ‖x− y‖2;
‖x− y‖2 = 〈x− y, x− y〉 = 〈x, x− y〉+ 〈−y, x− y〉 = 〈x− y, x〉+ 〈x− y,−y〉
= 〈x, x〉+ 〈−y, x〉+ 〈x,−y〉+ 〈−y,−y〉 = ‖x‖2 − 〈y, x〉+ 〈−y, x〉 − 〈y,−y〉
= ‖x‖2 − 〈x, y〉 − 〈y, x〉 − 〈−y, y〉 = ‖x‖2 − 〈x, y〉 − 〈x, y〉+ 〈y, y〉
‖x‖2 − 2〈x, y〉+ ‖y‖2
3º) Somando ‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2, obtemos:
‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 =
(
‖x‖2 + 2〈x, y〉+ ‖y‖2
)
+
(
‖x‖2 − 2〈x, y〉+ ‖y‖2
)
= ‖x‖2 + ‖x‖2 + ‖y‖2 + ‖y‖2 + 2〈x, y〉 − 2〈x, y〉
2‖x‖2 + 2‖y‖2 = 2
(
‖x‖2 + ‖y‖2
)
Portanto,
‖x+ y‖2 + ‖x− y‖2 = 2
(
‖x‖2 + ‖y‖2
)
9
OUTRAS ATIVIDADES
1. Se x é ortogonal a y em um espaço produto interno X, mostre que
‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2
Resposta:
1º) Calculando inicialmente ‖x+ y‖2, temos:
‖x+ y‖2 = 〈x+ y, x+ y〉 = 〈x, x+ y〉+ 〈y, x+ y〉 = 〈x+ y, x〉+ 〈x+ y, y〉
= 〈x, x〉+ 〈y, x〉+ 〈x, y〉+ 〈y, y〉 = ‖x‖2 + 〈y, x〉+ 〈x, y〉+ ‖y‖2
Sabe-se que x ⊥ y, então 〈x, y〉 = 〈y, x〉 = 0. Daí
‖x+ y‖2 = ‖x‖2 + ‖y‖2
2. Mostre que em um espaço produto interno X, vale a seguinte igualdade
〈x, 0〉 = 0
Resposta:
〈x, 0〉 = 〈x, 0 · x〉 = 〈0 · x, x〉 = 0 · 〈x, x〉 = 0 · ‖x‖2 = 0
3. Mostre que se H é um espaço de Hilbert e Y é fechado então Y é completo.
Resposta:
Suponha que Y seja completo, então para cada x ∈ Y (fecho de Y ), existe uma sequência
(xn)n∈N em Y que converge para x ∈ H. Visto que (xn)n∈N é de Cauchy e Y é completo, (xn)nN
converge em Y , pela unicidade x ∈ Y .
Reciprocamente, seja Y fechado e (xn)n∈N uma sequência de Cauchy em Y . Então xn → x ∈ H,
implica que x ∈ Y e assim x ∈ Y , pois Y = Y por hipótese. Logo a sequência de Cauchy
arbitrária converge em Y , o que mostra que Y é completo.
4. Mostre que num espaço produto interno vale a seguinte igualdade para todo n ∈ N〈
n∑
i=1
xi, z
〉
=
n∑
i=1
〈xi, z〉
Resposta:
Vamos mostrar por Indução Finita que vale igualdade
〈
n∑
i=1
xi, z
〉
=
n∑
i=1
〈xi, z〉, ∀n ∈ N.
Para n = 2: 〈
2∑
i=1
xi, z
〉
=
2∑
i=1
〈xi, z〉 ⇔ 〈x1 + x2, z〉 = 〈x1, z〉+ 〈x2, z〉
Para n = k: 〈
k∑
i=1
xi, z
〉
=
k∑
i=1
〈xi, z〉
10
Por hipótese a igualdade
〈
k∑
i=1
xi, z
〉
=
k∑
i=1
〈xi, z〉 é verdadeira, vamos verificar se vale para
(k + 1), isto é,
〈
k+1∑
i=1
xi, z
〉
=
k+1∑
i=1
〈xi, z〉.
Inicialmente vamos calcular
〈
k+1∑
i=1
xi, z
〉
;
〈
k+1∑
i=1
xi, z
〉
=
〈
k∑
i=1
xi + xk+1, z
〉
=
〈
k∑
i=1
xi, z
〉
+ 〈xk+1, z〉 =
k∑
i=1
〈xi, z〉+ 〈xk+1, z〉
Calculando agora
k+1∑
i=1
〈xi, z〉, temos:
k+1∑
i=1
〈xi, z〉 =
k∑
i=1
〈xi, z〉+ 〈xi, z〉k+1 =
k∑
i=1
〈xi, z〉+ 〈xk+1, z〉
Portanto, 〈
k+1∑
i=1
xi, z
〉
=
k+1∑
i=1
〈xi, z〉
11
ATIVIDADE DE 08/02/2021
1. Verifique se o conjunto B(X, Y ) munidos das operações
(T1 + T2)(x) = T1x+ T2x
e
(αT )(x) = αT (x)
é um espaço vetorial.
Resposta:
Vamos mostrar as propriedades para a adição e depois para a multiplicação:
I) ASSOCIATIVIDADE: Dados T1(x), T2(x), T3(x) ∈ B. Então
T1(x) + (T2x+ T3x) = T1(x) + (T2 + T3)(x) = (T1 + T2 + T3)(x) = (T1 + T2)(x) + T3(x)
= (T1x+ T2x) + T3(x)
II) COMUTATIVIDADE: Dados T1(x), T2(x) ∈ B. Então
(T1 + T2)(x) = T1x+ T2x = T2x+ T1x = (T2 + T1)(x)
III) ELEMENTO NEUTRO: Dado T (x), e ∈ B. Então
T (x) + e = T (x) ⇒ e = T (x)− T (x) = (T − T )(x) = 0(x) = 0
⇒ e = 0 (Elemento neutro da adição de B)
IV) ELEMENTO SIMÉTRICO: Dado T (x), T0(x) ∈ B, tal que
T (x) + T0(x) = 0 (e) ⇒ T0(x) = 0(x)− T (x) = (0− T )(x) = −T (x)
T0(x) = −T (x) (Elemento simétrico adição de B)
Propriedades para a multiplicação:
I) ASSOCIATIVIDADE: Dados T (x) ∈ B e α, β ∈ R, assim temos
α((βT )(x)) = α(βT (x)) = α β T (x) = (αβ)T (x) = (αβ)(T )(x)
II) DISTRIBUITIVIDADE A: Dados α, β ∈ R e T (x) ∈ B, logo temos
(α + β)T (x) = ((α + β)T )(x) = (αT + βT )(x) = αT (x) + βT (x)
III) DISTRIBUITIVIDADE B: Dados T1(x), T2(x) ∈ B e α ∈ R, assim temos
α(T1 + T2)(x) = (α(T1 + T2))(x) = α(T1(x) + T2(x)) = αT1(x) + αT2(x)
IV) ELEMENTO NEUTRO: Dados T (x), T0(x) ∈ B, logo temos
T (x) · T0(x) = T (x) ⇒ T0(x) = T (x) · T−1(x) = (T · T−1)(x) = 1(x) = 1
⇒ T0(x) = 1 (Elemento Neutro de B)
Portanto, B(X, Y ) é um espaço vetorial.
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2. Seja V um espaço vetorial euclidiano. Dados u e v ∈ V (v 6= 0) e k = 〈u, v〉
‖v‖2
, mostrar
que u− kv é ortogonal a v.
Resposta:
Vamos caluclar o vetor u− kv, sendo k = 〈u, v〉
‖v‖2
. Então,
u− kv = u− 〈u, v〉
‖v‖2
· v.
Note que, o produto interno 〈u, v〉 = u · v, logo
u− kv = u− 〈u, v〉
‖v‖2
· v = u− u · v
‖v‖2
· v = u− u · v
2
‖v‖2
= u− u ·
(
v
‖v‖
)2
Sabemos ainda que,
v
‖v‖
= 1, então
u− kv = u− u · 1 = u− u = 0
O produto interno de (u− kv) por v, é dado por
0 · v = 0
O que msotra que (u− kv) é ortogonal v.
3. Considere no R3 o produto interno usual. Determine m ∈ R de modo que sejam ortogo-
nais os vetores
u = (1,m+ 1,m) e v = (m− 1,m,m+ 1)
Resposta:
Usando a ortogonalidade para os vetores u e v, tal que u · v = 0, assim
u · v = (1,m+ 1,m) · (m− 1,m,m+ 1) = 1 · (m− 1) + (m+ 1) ·m+m · (m+ 1)
= m− 1 +m2 +m+m2 +m = 2m2 + 3m− 1 = 0
Obtemos a equação 2m2 + 3m− 1 = 0, cuja suas raízes são:
m1 =
−3 +
√
17
4
ou m2 =
−3−
√
17
4
Daí, o valor de m para os vetores u e v serem ortogonais é m =
−3 +
√
17
4
ou
m =
−3−
√
17
4
.
4. Mostre que se u e v são vetores de um espaço euclidiano tais que
‖u+ v‖ = ‖u− v‖
então u e v são ortogonais.
Resposta:
Vamos calcular as normas ‖u+ v‖ e ‖u− v‖. Então,
I) ‖u+ v‖ =
√
〈u+ v, u+ v〉 =
√
〈u, u〉+ 〈u, v〉+ 〈v, u〉+ 〈v, v〉
13
=
√
‖u‖2 + 〈u, v〉+ 〈v, u〉+ ‖v‖2
II) ‖u− v‖ =
√
〈u− v, u− v〉 =
√
〈u, u〉+ 〈u,−v〉+ 〈−v, u〉+ 〈−v,−v〉
=
√
‖u‖2 − 〈u, v〉 − 〈v, u〉+ ‖v‖2
As normas ‖u + v‖ e ‖u − v‖ são iguais se, e somente se, o vetor u for ortogonal a v ou
vice-versa. Então, se u ⊥ v ou v ⊥ u
‖u+ v‖ = ‖u− v‖ =
√
‖u‖2+ ‖v‖2.
Sendo 〈u, v〉 = 〈v, u〉 = 0.
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