Geometria Analítica e Álgebra Vetorial, trab 2

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Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Vetorial (EMC02) 
Avaliação: Avaliação II - Individual FLEX ( Cod.:512317) ( peso.:1,50) 
Prova: 18013817 
Nota da Prova: 10,00 
Legenda: Resposta Certa Sua Resposta Errada Questão Cancelada 
1. Durante o estudo das transformações lineares, verificamos os conceitos de núcleo e 
imagem de uma transformação. O núcleo de uma transformação linear é o 
subconjunto do domínio formado pelos vetores que são levados ao vetor nulo do 
contradomínio. Por sua vez, a imagem é o conjunto de vetores do contradomínio que 
são resultados da aplicação dos vetores do domínio na transformação. Baseado nisso, 
assinale alternativa CORRETA a respeito da transformação a seguir: 
 
 a) O vetor (2,2) possui imagem (0,0). 
 b) A transformação a seguir não é um operador linear. 
 c) O vetor (1,-1) pertence ao núcleo da transformação. 
 d) O vetor (2, 4) não pertence ao domínio da transformação. 
 
2. Imagine que você queira empurrar um objeto. A força que você aplica sobre ele 
precisa estar na direção e sentido em que você pretende movimentá-lo ou não 
chegará ao resultado desejado: se desejar que o objeto vá para frente, logicamente 
não adiantará empurrá-lo para baixo. Isso porque a força é um exemplo de grandeza 
vetorial. Para descrevê-la, é preciso que se diga também o sentido e a direção em que 
ela é aplicada. Com relação ao vetor resultado (R) da operação -2u + 3v, sendo u = (-
1,2,0) e v = (-1,-2,3), analise as opções a seguir: 
 
I- R = (1,10,9). 
II- R = (-1,-10,9). 
III- R = (-5,2,9). 
IV- R = (5,-2,9). 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Somente a opção IV está correta. 
 b) Somente a opção III está correta. 
 c) Somente a opção I está correta. 
 d) Somente a opção II está correta. 
 
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3. A norma ou módulo de um vetor trata da verificação de qual é o comprimento do 
vetor analisado. Fisicamente, o módulo do vetor informa qual a intensidade da 
grandeza física envolvida em um dado problema. Sendo assim, assinale a alternativa 
CORRETA que apresenta a norma (ou módulo) do vetor z = (3,4): 
 a) Raiz de 5. 
 b) 5. 
 c) 3. 
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 d) Raiz de 10. 
 
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4. Em matemática, o produto vetorial é uma operação binária sobre vetores em um 
espaço vetorial. Seu resultado difere do produto escalar por ser também um vetor, ao 
invés de um escalar. Seu principal uso baseia-se no fato de que o resultado de um 
produto vetorial é sempre perpendicular a ambos os vetores originais. Quanto ao 
resultado do produto escalar entre u = (1,-2,3) e v = (0,2,1), classifique V para as 
opções verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) u x v = -2. 
( ) u x v = -1. 
( ) u x v = 0. 
( ) u x v = 1. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) F - F - F - V. 
 b) F - F - V - F. 
 c) V - F - F - F. 
 d) F - V - F - F. 
 
5. A noção comum de vetores como objetos com tamanho, direção e sentido, com as 
operações de adição e multiplicação por números reais forma a ideia básica de um 
espaço vetorial. Deste ponto de partida então, para definirmos um espaço vetorial, 
precisamos de um conjunto, uma operação de adição de elementos deste conjunto, e 
uma operação de multiplicação de escalares (por exemplo, números reais) por 
elementos deste conjunto. A respeito das propriedades dos espaços vetoriais, 
classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas: 
 
( ) Os espaços vetoriais preservam as operações de soma e multiplicação por 
escalar. 
( ) Os espaços vetoriais de podem ser imaginados como domínio de contradomínio 
de operações lineares. 
( ) A base de um espaço é um conjunto LI que gera todos os elementos de um 
espaço. 
( ) A base de um espaço é um conjunto LD que gera todos os elementos de um 
espaço. 
 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA: 
 a) F - V - V - F. 
 b) V - V - V - F. 
 c) V - F - V - F. 
 d) V - V - F - F. 
 
6. Os problemas ligados ao conceito de autovalores, vistos em Álgebra Linear, 
permeiam muito mais do que estamos acostumados a verificar. Não são apenas as 
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raízes do polinômio característico de uma transformação linear, mas sim o problema 
clássico de autovalores, que é absolutamente essencial para a compreensão e a 
análise de estruturas simples, tais como treliças, vigas, pórticos, placas etc., como 
também de sistemas estruturais mais complexos, dentre os quais podem ser citados 
os seguintes: pontes rodoviárias e ferroviárias, torres de aço de telecomunicações e 
de transmissão de energia, estádios de futebol, passarelas de pedestres, edificações 
residenciais, edifícios altos, plataformas off-shore etc. Sobre a soma dos autovalores 
da transformação apresentada a seguir, classifique V para as opções verdadeiras e F 
para as falsas e, em seguida, assinale a alternativa que apresenta a sequência 
CORRETA: 
 
 a) V - V - V - F. 
 b) F - F - F - V. 
 c) F - V - F - F. 
 d) V - F - F - F. 
 
7. O produto vetorial é de grande utilidade para a física para analisar o comportamento 
no eletromagnetismo, mecânica de corpos rígidos e dos fluidos. Na matemática, o 
produto vetorial aplica-se a vetores em R³ resolvendo problemas na geometria, no 
qual o produto entre dois vetores tem como solução um novo vetor, simultaneamente 
ortogonal aos outros dois. Baseado nisto, quanto ao produto vetorial (u x v) entre os 
vetores u = (1,1,2) e v = (-3,1,2), analise as opções a seguir: 
 
I- u x v = (1,8,-4). 
II- u x v = (0,8,4). 
III- u x v = (0,-8,4). 
IV- u x v = (0,8,-4). 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Somente a opção I está correta. 
 b) Somente a opção IV está correta. 
 c) Somente a opção III está correta. 
 d) Somente a opção II está correta. 
 
 
Uma das aplicações mais práticas do conceito de produto vetorial é o cálculo de área. 
Por exemplo, temos a área do paralelogramo formada pela unificação de dois 
vetores, que é o módulo (ou norma) do produto vetorial entre os dois. Já para o caso 
da área do triângulo, bastaria dividir este resultado por dois, pois a área do triângulo 
é a metade da área do paralelogramo. Baseado nisto, determine a área do triângulo 
formado pelos vetores u = (2,2,1) e v = (1,1,2). Analise as opções a seguir: 
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I- Raiz de 3. 
II- 9. 
III- Raiz de 18. 
IV- 6. 
 
Assinale a alternativa CORRETA: 
 a) Somente a opção II está correta. 
 b) Somente a opção I está correta. 
 c) Somente a opção III está correta. 
 d) Somente a opção IV está correta. 
 * Observação: A questão número 8 foi Cancelada. 
 
9.Um conjunto de vetores é dito linearmente independente (frequentemente indicado 
por LI) quando nenhum elemento contido nele é gerado por uma combinação linear 
dos outros. Em contrapartida, naturalmente, um conjunto de vetores é dito 
linearmente dependente (LD) se pelo menos um de seus elementos é combinação 
linear dos outros. Baseado nisso, assinale a alternativa CORREA que apresenta um 
conjunto de vetores LI: 
 a) {(1,1,0),(2,2,0),(0,0,3)}. 
 b) {(1,1,0),(1,0,1),(5,2,3)}. 
 c) {(2,1,-1),(0,0,1),(2,1,0)}. 
 d) {(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}. 
 
10. Ao falar das aplicações do cálculo dos autovetores e autovalores de uma matriz, 
podemos colocar as soluções de equações diferenciais que são de interesse físico, 
como as frequências naturais de vibração de um instrumento musical, ou de uma 
simples corda esticada. No entanto, anteriormente a isto, devemos compreender 
corretamente este conceito para que as futuras aplicações sejam corretas. Assinale a 
alternativa CORRETA que apresenta o conceito de autovetor de transformação: 
 a) É um número real que multiplica o vetor após a transformação. 
 b) É um número real que anula a transformação. 
 c) É um vetor que gera uma base do núcleo da transformação. 
 d) É um vetor que após aplicado à transformação resulta num múltiplo de si mesmo. 
 
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