HISTORIA DA ALGEBRA 1

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Edson Samuel Manhoso 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
História da Álgebra 
(Licenciatura em ensino de Matemática ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Universidade Rovuma 
Extensão do Niassa 
2021
Edson Samuel Manhoso 
 
 
 
 
 
História da Álgebra 
 
 
 
Trabalho da cadeira de 
Álgebra Linear 1 a ser 
entregue e apresentado no 
Departamento de Ciências 
Naturais, Tecnologia e 
Engenharia para fins 
avaliativos, leccionado por: 
MSc: Licínio Mirasse 
 
 
 
 
 
 
Universidade Rovuma 
Extensão do Niassa 
2021 
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Índice 
1.Introdução .................................................................................................................................. 4 
1.1.Objectivos: .......................................................................................................................... 4 
1.1.3.Específicos; .................................................................................................................. 4 
1.2.Metodologias: ...................................................................................................................... 4 
2.História da Álgebra .................................................................................................................... 5 
2.1.A álgebra na antiguidade ..................................................................................................... 5 
2.1.2.Álgebra no Egipto ........................................................................................................ 6 
2.1.3.A Álgebra na Mesopotâmia .......................................................................................... 7 
2.1.4. A álgebra na Grécia ..................................................................................................... 8 
2.2.5.A álgebra na China ..................................................................................................... 10 
2.2.6.A álgebra na Índia ...................................................................................................... 11 
2.2.7.A álgebra na Arábia .................................................................................................... 11 
2.2.8.A álgebra na Europa(Ocidental e Oriental) ................................................................ 12 
3.Álgebra moderna ...................................................................................................................... 14 
3.1.Os números Complexos .................................................................................................... 15 
3.1.2.O Teorema Fundamental da Álgebra ......................................................................... 16 
3.1.3. Os Quaterniões .......................................................................................................... 16 
3.1.4.Grupos e Matrizes ...................................................................................................... 18 
3.1.5. Teoria dos Corpos ..................................................................................................... 19 
3.1.6.Anéis e Álgebras ........................................................................................................ 20 
4.A vida e contribuições de 6 algebristas .................................................................................... 21 
4.1.Al-Khowarizmi (Arábia, 780-850) .................................................................................... 21 
4.1.2.Viet (França, 1540-1603) ........................................................................................... 22 
4.1.3.Cardano (Itália, 1501-1576) ....................................................................................... 23 
4.1.4.Bombelli (Itália, 1526-1573) ...................................................................................... 24 
4.1.5. Euler (Suíça. 1707-1783) .......................................................................................... 25 
4.1.6.Gauss (Alemanha, 1777-1855) ................................................................................... 27 
5.Conclusão ................................................................................................................................. 30 
6.Referências bibliográficas ........................................................................................................ 30 
 
 
 
4 
 
1.Introdução 
O presente trabalho de pesquisa da cadeira da Álgebra Linear 1, que como o tema 
história da álgebra, dizer que a álgebra, assim como a matemática em geral, surgiu 
como consequência das necessidades do homem em saber lidar com o meio para 
sobreviver, para tal para o desenvolvimento dessas ciências levou muito tempo e 
participaram vários matemáticos com intuito de criar varias soluções para os problemas 
algébricos e para chegar a um consenso do que era realmente a álgebra e de como era 
vista a álgebra para cada matemático, além de participarem apenas matemáticos 
existiram países e continentes que se interessaram pela ciência, é o caso da Europa 
ocidental, a china entre outros países, e os outros países que contribuíram para o 
desenvolvimento da álgebra podemos ver no trabalho e as contribuições de alguns 
matemáticos, isso tudo com mais desenvolvimento. 
Em termo de estrutura o trabalho apresenta a seguinte organização: Índice, introdução, 
desenvolvimento e suas respectivas referencias bibliográficas. 
1.1.Objectivos: 
1.1.2.Gerais; 
 Conhecer alguns Matemáticos que se desatracam em álgebra 
1.1.3.Específicos; 
 Conhecer alguns lugares que contribuíram com a evolução da álgebra; 
 Descrever a história da álgebra antiga; 
 Conhecer a história da álgebra moderna. 
1.2.Metodologias: 
Para concentralização do presente trabalho, usou-se o método de consulta bibliográfica 
e a pesquisa pela internet. 
 
 
 
 
 
5 
 
 
2.História da Álgebra 
A origem da palavra álgebra. Ela não se sujeita a uma etimologia nítida como, por 
exemplo, a palavra aritmética, que deriva do grego arithmos (número). Álgebra é uma 
variante latina da palavra árabe al-jabr (às vezes transliterada al-jebr), usada no título de 
um livro, Hisab al-jabr w'al-muqabalah, escrito em Bagdá por volta do ano 825 pelo 
matemático árabe Mohammed ibn-Musa al Khowarizmi (Maomé, filho de Moisés, de 
Khowarizm). Este trabalho de álgebra é com frequência citado, abreviadamente, 
como Al-jabr. (Segundo Baumgart 1992) 
2.1.A álgebra na antiguidade 
A álgebra, assim como a matemática em geral, surgiu como consequência das 
necessidades do homem em saber lidar com o meio para sobreviver. Para melhor se 
adaptar ao meio no qual vivia o homem da antiguidade foi descobrindo com o passar 
dos séculos, maneiras de representar as diversas quantidades com as quais estavam 
envolvidos. Através das semelhanças como: cinco dedos em cada mãos e em cada pés; 
dois olhos e ouvidos, e diferenças como: uma ovelha e muitas ovelhas; em certas coisas 
encontradas no nosso quotidiano, o homem foi aos poucos estabelecendo relações entre 
quantidades semelhantes e/ou diferentes surgindo assim o conceito de número que 
serviu como base para uma representação simbólica das quantidades da largura + 
comprimento mãos e comprimento +largura mãos. (segundo, Boyer, 1996) 
Nestas duas equações que podem ser modernamente escritas como e 
 , observando que nesta época não existiam ainda os sinais de + para a soma 
e = para a igualdade, podemos perceber que se trata de um sistema de equações lineares 
e está claro que o uso de partes do corpo relacionadas com uma largura e um 
comprimento que eram medidos em mãos, ou dedos (uma mão = cinco dedos). Desta 
forma mãos ou vinte dedos é a largura procurada e mãos ou 30 dedos, o 
comprimento procurado. 
Durante aproximadamente um milénio (1700 a.C. a 1700 d. C.) a álgebratratava 
somente do estudo das equações. Era uma ciência voltada para a descoberta dos 
diferentes tipos de equações e das formas de se chegar à solução. Teve como principais 
características a invenção gradual do símbolo para representar a quantidade 
desconhecida e a descoberta se resoluções gerais para ás equações cúbicas e quânticas. 
6 
 
Sendo que durante a maior parte deste período as equações mais estudadas eram as 
lineares e as quadráticas. 
 (Segundo Baumgart, 1992) o retórico (ou verbal), no qual eram usadas palavras para 
representar a coisa a ser determinada; o sincopado, onde as palavras foram substituídas 
por suas abreviações; e por último, o simbólico no qual foram implantados símbolos 
para representar a quantidade desconhecida. No estágio simbólico a notação sofreu 
muitas mudanças, pois ainda não tinham (os matemáticos) encontrado uma forma de 
representação específica para a álgebra, já que existia, a possibilidade desses símbolos 
serem confundidos com outros já aplicados na geometria. 
2.1.2.Álgebra no Egipto 
Desde muito tempo, aproximadamente 3000 a.C. quando foram construídas as 
pirâmides, os egípcios sabiam contar e medir com precisão e foram adquirindo um 
considerável conhecimento matemático aplicado ao dia-a-dia. Influenciados a melhor 
lidarem com as cheias do rio Nilo, começaram cedo a se interessarem por astronomia 
para melhor compreenderem o ciclo das águas e se prepararem para a convivência 
comas cheias. Usavam um sistema primitivo de numeração decimal com símbolos 
diferentes, da primeira á sexta, para as potências de dez; e usavam a escrita hieroglífica, 
que eram escritos considerados sagrados, por meio da qual se pode saber muito sobre 
esta civilização. 
(Segundo Baumgart 1992), A álgebra surgiu no Egipto quase ao mesmo tempo que a 
babilónia, mas faltavam a álgebra egípcia os métodos sofisticados da álgebra babilónica, 
bem como a variedade de equações resolvidas, a julgar pelo papiro Moscou e Papiro 
Rhind-documentos egípcios que datam de cerca de 1850 a.C. e 1650 a.C., 
respectivamente, mas repletem métodos matemáticos de um período anterior. Para 
equações lineares, os egípcios usavam um método matemático de um período anterior. 
Para equações lineares, os egípcios usavam um método de resolução consistindo em 
uma estimativa inicial seguida de uma correcção final, um método ao qual os europeus 
posteriormente deram o nome de umtanto abstruso de regra da falsa posição a álgebra 
do Egipto, como a babilónia, era retórica. 
 O Papiro Ahmes trata de vários problemas matemáticos dentre os quais alguns são 
algébricos. Trata-se de expressões algébricas simples, equações lineares do tipo x + 
 , onde são quantidades conhecidas e a quantidade 
7 
 
desconhecida. O problema 24, contido no Papiro Ahmes, pede o valor de aha 
sabendo que aha mais um sétimo de aha é igual a dezanove. 
 A solução de Ahmes não é a dos livros modernos, mas é característica de um método 
conhecido como método da falsa posição ou regra do falso. Esse método consiste em 
atribuir um valor, provavelmente falso, para aha, e as operações indicadas à esquerda da 
igualdade são efetuadas sobre esse número suposto. O resultado é então comparado com 
o resultado que se pretende e usando proporção chega-se à resposta correta. Na equação 
dada à quantidade a ser descoberta é aha e os egípcios usavam uma decomposição dos 
números por frações para chegar à solução. A solução dada por Ahmes é a seguinte: o 
valor tentado para aha é de modo que aha aha é 8, em vez de 19, como se 
queria. Como , deve-se multiplicar por 8 
para obter a resposta. Ahmes achou 16 + 1/2 + 1/8, então conferiu a resposta mostrando 
que se a somarmos (que é de fato, 
obteremos. Neste exemplo já se usava a prova saber se o valor encontrado estava 
correto, o que já era uma evolução para a matemática da época. 
 O Papiro de Moscou tem 25 problemas matemáticos quase todos da vida prática, 
excepto os problemas 10 e 14. O problema 10 apresenta uma questão que pede a 
área do que parece ser um cesto com um diâmetro . Para encontrar a solução o 
escriba procede como se usasse o equivalente da fórmula – 
onde obtendo como resposta 32 unidades. O problema 14 questiona; qual 
o volume de um troco de pirâmide quadrada com altura de seis unidades, se as 
arestas das bases superior e inferior medem 2 e 4 unidades. A solução é encontrada 
usando-se o equivalente a fórmula moderna 2 2 , onde h é a 
altura e a, b são os lados das bases quadradas, encontrando 56 como resposta. 
A álgebra egípcia era retórica e não teve uma evolução significativa devido ao sistema 
de numeração que era muito primitivo impossibilitando uma possível sofisticação rumo 
a novos métodos de solução e extensão a outros tipos de equações. 
2.1.3.A Álgebra na Mesopotâmia 
Assim como no Egipto, pelo final do quarto milénio antes da era cristã, também no vale 
mesopotâmico havia por essa época uma civilização de alto nível. Ali, os sumérios 
construíram casas e templos decorados com cerâmica, e mosaicos artísticos com 
desenhos geométricos e os grandes governantes realizaram vastas obras públicas como 
8 
 
um sistema para irrigar a terra e controlar as inundações. As civilizações antigas da 
Mesopotâmia são frequentemente chamadas de babilónicas devido a uma convenção do 
uso informal do nome babilónica para a região entre os rios Tigre e Eufrates, durante 
um período de cerca de 2000 anos que se estendeu até aproximadamente 600 a.C. 
quando em 538 a.C. a Babilónia, cidade capital do Império Babilónico, foi dominada 
por Ciro da Pérsia terminando assim o império, no entanto, a cidade foi poupada. Os 
babilónicos usavam um sistema de numeração sexagesimal. Usavam a escrita 
cuneiforme, que eram marcas em forma de cunhas feitas com estilete sobre tabletas de 
barro mole que eram cozidas em fornos ou ao calor do sol. Foram encontradas muitas 
destas tabuletas que tratam de problemas algébricos. 
A álgebra babilónica, assim como a egípcia, também era retórica, porém, os babilónicos 
detinham um maior conhecimento algébrico que os egípcios, pois, nos registos 
cuneiformes foram encontradas além das equações lineares, outras como as quadráticas 
dos tipos: 2 2 ; e as cúbicas dos tipos: 
 3 2 3 2 A álgebra babilónica tinha atingido um bom nível de 
abstracção pois as equações do tipo 4 2 8 4 eram reconhecidas 
como sendo apenas equações quadráticas disfarçadas, isto é, quadráticas em 2 4 
Os babilónios também sabiam resolver sistemas por substituição, mas frequentemente 
preferiam usar seu método paramétrico. Do mesmo modo que no Egipto, o sistema de 
numeração primitivo babilónico não permitiu que eles evoluíssem mais no estudo da 
álgebra tanto que para poderem se estender aos resultados egípcios e babilónicos os 
matemáticos europeus tiveram que recorrer a notação indo-arábica de numeração. 
2.1.4. A álgebra na Grécia 
As actividades intelectuais das civilizações egípcias e mesopotâmicas tinham perdido 
sua inspiração bem antes da era cristã, dando vez a novas e vigorosas culturas que 
estavam surgindo ao longo de todo o litoral mediterrâneo. Dentre elas a civilização 
grega. 
A história grega pode ser recuada até o segundo milénio a.C. quando, como invasores 
analfabetos vindos do norte, os povos que formaram essa civilização, abriram caminho 
até o mar. Não trouxeram tradição matemática ou literária consigo; no entanto, tiveram 
desejo ansioso de aprender, e não demoraram a melhorar o que lhes ensinavam. 
9 
 
Por exemplo, tomaram, talvez de fenícios, um alfabeto existente, constituído só por 
consoantes, e lhe acrescentaram as vogais, conforme destaca( segundo, Boyer, 1996) 
Através das rotas mercantis os gregos tiveram acesso às culturas egípciae babilónica. 
Entraram em contacto com a matemática dessas civilizações; mas não estavam 
dispostos a apenas receber as antigas tradições. 
Os gregos usavam um alfabeto composto por vinte e sete letras que representavam os 
números: nove para os inteiros menores do que dez, nove para os múltiplos de dez 
menores do que cem e nove para os múltiplos de cem menores do que mil. 
A álgebra grega foi formulada pelos pitagóricos (sociedade secreta que estudava 
matemática e filosofia liderada por Pitágoras de Samos, 569 a.C. a 475 a.C., 
aproximadamente) e por Euclides de Alexandria (325 a.C a 265 a.C., 
aproximadamente). Era uma álgebra geométrica, já que os gregos, em especial Euclides, 
eram grandes geómetras e não conheciam os números racionais e só sabiam lidar com 
os números inteiros, assim o número representado por raiz quadrada de 2 não podia ser 
compreendido pelos gregos. 
 Os velhos problemas em que dados a soma e o produto de dois lados de um rectângulo 
se pediam as dimensões tinham de ser tratados de um modo diferente dos de até então 
usados. Uma álgebra geométrica tomara o lugar da antiga álgebra aritmética e nessa 
nova álgebra não podia haver somas de segmentos com áreas ou de áreas com volumes. 
Assim, para 2 2 2 os gregos representavam da seguinte forma: 
 
 
 
 
 
 
 
Usando figuras geométricas os gregos puderam demonstrar as soluções para diversos 
tipos de equações bem como deduziram fórmulas que poderiam ser aplicadas a qualquer 
 
 2 
 
 
 
 
 
 2 
10 
 
exemplo do mesmo tipo. Para representar a Lei Distributiva a 
 era feito como se segue: 
 
 
 
O rectângulo sobre a e a soma dos segmentos b, c, d é igual à soma dos rectângulos 
sobre a e cada um dos segmentos b, c, d tomados separadamente. a matemática grega 
deu uma parada brusca devido à ocupação romana. Devido ao estilo da álgebra 
geométrica, esta não poderia sobreviver somente na tradição escrita, era necessário um 
meio de comunicação vivo, oral o que não foi possível visto que as escolas de instrução 
directa não sobreviveram ao domínio romano. 
2.2.5.A álgebra na China 
A civilização da China é mais antiga do que a da Grécia, porém, não mais antiga do que 
as do Egipto e Mesopotâmia. Foi uma civilização que pouco contribuiu para o 
desenvolvimento da matemática. Ao contrário dos gregos, os chineses não se 
interessaram em ampliar os conhecimentos vindos de outras culturas. 
Os chineses repetiam os velhos hábitos dos babilónios de reunir colecções de problemas 
do mesmo tipo e usavam o método da falsa posição dos egípcios. 
Os problemas matemáticos criados pelos chineses muitas vezes parecem mais bonitos 
do que práticos, e, no entanto a civilização chinesa foi responsável por um número 
surpreendente de inovações tecnológicas como a impressão e a pólvora (século VIII); o 
papel e a bússola (século IX) que surgiram mais cedo na China do que em outros 
lugares. 
A álgebra chinesa apresenta equações que vão até as de grau quatorze e um método de 
transformação que usa aproximações decimais para encontrar a raiz (aproximada). 
Esse método se chama fan-fa cujos elementos podem ter surgido muito antes do século 
III na China, mas que tem o nome de Horner, que viveu meio milénio depois. Para 
resolver a equação 2 – , por exemplo, Chu Shih-Cheih (matemático 
que viveu de 1280 a 1303) primeiro obteve como aproximação (uma raiz cai 
11 
 
entre depois usou o método de Horner, nesse caso a transformação 
 – para obter a equação 2 – (com uma raiz entre 
 ) deu então a raíz dessa como, aproximadamente, daí 
o valor correspondente de 
Apesar de os chineses terem desenvolvido muitos tipos de equações, a aplicação dessas 
para a vida prática não estava definida e por isso não houve uma contribuição 
significante para a álgebra por parte dessa civilização. 
2.2.6.A álgebra na Índia 
A civilização indiana também é mais antiga do que a civilização grega, no entanto, 
assim como os chineses, num primeiro momento não tiveram empenho em aprender e 
melhorar a matemática de outras civilizações. Assim como os egípcios os indianos 
usavam cordas para fazer medições e tinham noções geométricas primitivas adquiridas 
com o traçado de templos e medida e construção de altares. 
A álgebra da Índia era voltada para o estudo de equações indeterminadas. Era uma 
álgebra sincopada e os seus maiores colaboradores foram Bhamagupta (viveu em 628) e 
Bháskara (1114 a 1185). 
 O primeiro encontrou soluções gerais de equações quadráticas, inclusive duas raízes 
mesmo quando uma é negativa; aparentemente foi o primeiro a dar uma solução geral 
da equação Diofantina (Diofante foi um matemático grego que viveu entre 250 e 350) 
 , onde a, b e c são inteiros. O segundo, Bháskara, o mais importante 
matemático do século XII, preencheu algumas lacunas na obra de Bhamagupta, por 
exemplo, dando uma solução geral da equação 2 2 proposta por 
Bhamagupta. 
Foi uma infelicidade o fato de os matemáticos indianos terem se apaixonado por análise 
indeterminada em particular, pois esse tema não serviu de base para a matemática 
moderna e dessa forma a Índia ficou de fora no que diz respeito a contribuições 
significativas para a álgebra. 
2.2.7.A álgebra na Arábia 
A civilização árabe, ou islâmica, sob a influência do profeta Maomé expandiu seus 
domínios territoriais a partir de 632 conquistando Damasco, Jerusalém, grande parte do 
12 
 
vale mesopotâmico, Alexandria e etc. Os conquistadores não sabiam ler e escrever e a 
princípio não se interessaram pela cultura dos seus dominados. Somente a partir de 750 
os árabes começaram a absorverem os conhecimentos alheios e em mais ou menos 775, 
traduziram o Surya Siddhanta (obra indiana do século V) para o árabe. 
Os árabes foram tomando gosto por traduções, foram conquistados pelo saber dos seus 
dominados, e logo traduziram muitas outras obras, em especial as gregas, para o árabe. 
Fundaram a Casa da Sabedoria em Bagdá onde reuniram estudiosos da Síria e 
Mesopotâmea, além de estudiosos árabes. Dentre os mestres havia um matemático 
árabe, Mohammed ibu-Musa Al-Khowrizmi, que fez importantes contribuições para o 
desenvolvimento da matamática. 
Na álgebra, Al-Khowrizmi uniu a geometria grega com a aritmética resultando numa 
álgebra geométrica mais compreensível que a dos gregos por ser mais elementar; 
classificou equações em seis tipos, todas relacionadas com raízes, quadrados e números: 
1 - quadrados iguais a raízes 2 
2 - quadrados iguais a um número [ 2 
3 - raízes iguais a um número 
4 - quadrados e raízes iguais a um número 2 
5 - quadrados e número iguais a raízes [ 2 
6 - raízes e número iguais a quadrados 2 
Os árabes contribuíram para as civilizações modernas com os algarismos que usamos 
actualmente que foi uma contribuição fundamental para o desenvolvimento da matemática em 
geral. 
2.2.8.A álgebra na Europa(Ocidental e Oriental) 
Durante a Idade Média a história da matemática concentrou-se na Europa. Foi lá que 
essa ciência teve seu mais notável desenvolvimento. Primeiramente na sua parte 
oriental, islâmica, Império Bizantino, com centro em Constantinopla, onde a língua 
oficial era a grega; e depois na sua parte Ocidental, Império Romano, que não tinha um 
centro único e nem uma única língua, mas o latim era a língua falada pelos estudiosos 
da época. 
13 
 
A matemática bizantina era uma espécie de acção conservadora, destinada a preservar o 
legado da antiguidade até que o Ocidente estivesse pronto para ir adiante. 
Até que, como no século IX na Arábia, os europeus latinos superaram a barreira com acultura árabe no século XII. Aprenderam à língua árabe e traduziram as principais obras 
matemáticas da época: obras de Euclides, como os Elementos, que tinham sido 
traduzidas para o árabe e Al-jabr Wa’l Mugabalah, de Al-Khowarizm. A época foi de 
transição de um ponto de vista antigo para um mais novo. 
Pelo final do século XII foram fundadas muitas das universidades famosas como 
Bolonha, Oxford e Cambridge. Dessa forma, o século XIII apresentou um grandioso 
progresso matemático com relação ao século que o precede, na Idade Média, os 
progressos até então alcançados. Tanto que a Europa Ocidental veio a rivalizar com 
outras civilizações no nível de suas realizações matemáticas. 
O progresso matemático não foi contínuo em nenhuma parte do mundo e também não o 
foi na Europa Ocidental que no século XIV enfrentou a pior peste que já assolou a 
Europa, a Peste Negra. Nesta época a Inglaterra e a França tinham assumido a liderança 
na matemática, porém, além da Peste Negra, foram devastadas pela Guerra dos Cem 
Anos e pela Guerra das Rosas, daí o declínio da cultura europeia que só voltaria a 
evoluir no século seguinte. 
A álgebra entrou na Europa através do livro Al-jabr Wa’l Mugabalah de al-Khowarizmi 
que foi traduzido para o latim por Robert de Chester, em 1140. Vale lembrar que na 
tradução de Chester à palavra al-jabr aparece como algebrae que mais tarde se tornou tal 
como é hoje, álgebra. Devido a influência de Al-Khowarizmi a álgebra europeia 
apresentava uma mistura de geometria com aritmética, mas aos poucos foi deixando de 
ser tão elementar quanto a álgebra árabe. O estudo dessa “nova” (nova na Europa) 
ciência se espalhou pela Europa e logo alguns países se destacaram ao apresentarem 
novidades rumo a modernidade. A contribuição algébrica mais significante veio da 
Itália. Em 1545 Girolamo Cardano, ou Cardan (1501-1575) publicou na sua obra Ars 
Magna, a resolução das equações cúbicas e quárticas com acolaboração de Nicolo 
Tartáglia (cerca de 1500-1557) para as equações cúbicas e de Ludovico Ferrari (1522-
1565), sendo os três italianos, para as equações quárticas. Para a equação cúbica 3 
 (o cubo e seis vezes o lado igual a vinte) Cardano achou como uma 
das raízes do seguinte modo. 
14 
 
Essas descobertas representaram muito para a evolução da álgebra, pois serviram de 
impulso para pesquisas e novos estudos rumo a uma maior generalização. Foi um 
alicerce tão importante para o progresso da matemática, como um todo, que o ano de 
1545 é tido como marco inicial da matemática moderna. A álgebra deixara de ser tão 
elementar e a partir de agora os algebristas estavam 
preparados para ir adiante rumo novas descobertas. O conjunto dessas novas 
descobertas proporcionou a modernização da álgebra. 
 
3.Álgebra moderna 
Segundo os resultados publicados pelo Cardano na sua Ars Magna impulsionaram a 
pesquisa em álgebra e quando surgia algum entrave para a sua evolução, algum 
matemático, mesmo que levasse anos de estudo, apresentava uma saída para se seguir 
em frente e dessa forma à álgebra foi se tornando cada vez mais complexa. 
A Europa serviu como berço para tal evolução e agora os países se revezavam com as 
suas contribuições. Embora nem sempre as fórmulas de resolução para equações 
representem uma ferramenta para a vida prática, elas abrem novos horizontes para os 
estudiosos e dessa forma podem ser à base de grandes descobertas. 
Outro factor muito importante para a abstracção da álgebra foi à evolução da notação, 
nesse aspecto destacam-se François Viét (ou Vieta, em latim) que usou uma vogal para 
representar a quantidade a ser determinada, e uma consoante para representar as 
quantidades, grandezas ou números supostos ou conhecidos. Mas foi um outro 
matemático francês que primeiro usou os símbolos que usamos actualmente, René 
Descartes (1596-1650). Ele usou as letras iniciais do alfabeto para representar as 
quantidades conhecidas, e as letras do final do alfabeto para as desconhecidas, bem 
como os expoentes para as incógnitas ( 2 3) com a diferença de que 
Descartes não via x
2
 e x
3
 apenas como área e cubo, como faziam os gregos antigos, ele 
também os interpretava como segmentos o que tornou sua álgebra bem mais flexível e 
contribuiu para a convenção da simbologia em álgebra. 
Actualmente na álgebra podemos encontrar os números Complexos o Teorema 
Fundamental da Álgebra os Quaterniões Grupos e Matrizes Teoria dos Corpos Anéis e 
Álgebras, vamos ver com mais profundidade abaixo: 
15 
 
3.1.Os números Complexos 
 Segundo Milies até meados do século XVI os matemáticos não aceitavam e nem 
sabiam lidar com raízes quadradas de números negativos. 
 Cardano já tinha se deparado com tal tipo de questão ao aplicar a sua fórmula para ás 
cúbicas na equação 3 que dava 3 mesmo sabendo que 
x = 4 era raiz, Cardano não conseguia entender como sua fórmula seria válida nesta 
situação. Classificou as raízes quadradas de números negativos como “sofisticas” e não 
conseguiu encontrar a saída para a solução. 
 No ano de 1572, Rafael Bombelli (cerca de 1526 – 1573), matemático italiano e 
admirador de Cardano, apresentou uma proposta para a solução do problema de 
Cardano: como x = 4 é raiz da equação. 
 Bombelli supôs que exista uma expressão do tipo a + − b que possa ser considerada 
como raiz cúbica de 2 + − 121 , ou seja, 3 . Para 
calcular essa raiz ele assumiu que a raiz cúbica de 2 - − 121 seja da forma a - − b . 
Somando-se com a - − b = 4 obteve a = 2. Com esse resultado achou b = 1, 
pois 3 . Milies:17 Felizmente as partes + − b e - − b se 
anulam, mas como podemos anular o que não existe? Visto que a compreensão de raiz 
quadrada de número negativo não existia, por parte dos matemáticos da época. Apesar 
de aceitar somente os números reais, era necessário levar em consideração esses 
números fictícios para poderem seguir adiante toda vez que ocorresse uma situação 
como esta, e Bombelli mostrara uma saída. O método de Bombelli só se aplica a uma 
equação quando já se conhece uma das raízes e, portanto não pode ser considerado 
como uma fórmula geral. 
A importância desse método esta em explicar como se pode obter a solução de uma 
equação apesar de surgir pelo caminho raiz quadrada de número negativo. Seu 
raciocínio mostrou o papel importante que os números imaginários iriam desempenhar 
no futuro. Em 1833, William Rowan Hamilton (1805-1865), matemático e físico 
irlandês, deu a fundamentação definitiva dos números complexos como sendo pares 
ordenados de números reais tal como é apresentada actualmente. 
Hamilton observou à expressão e percebeu que não é uma soma 
genuína, do mesmo tipo que , pois bi não pode ser adicionado com a. Assim 
16 
 
percebeu que escrever um número complexo da forma não é mais do que dar o 
par ordenado de números reais (a, b). Dessa forma Hamilton introduziu uma álgebra 
formal de pares de números complexos cujas regras e combinação são precisamente as 
que usamos hoje e definiu a soma e o produto de pares ordenados da seguinte forma: 
 – – 
 
(Segundo, Boyer (1996), Hamilton interpretava seus pares ordenados como sendo 
vectores e o produto de dois desses pares como rotação. E tentou estender a sua ideia a 
três dimensões não o conseguindo devido à multiplicação de n-uplas, para n maior que 
dois que ele não conseguiu formular. 
3.1.2.O Teorema Fundamental da Álgebra 
Resolver problemas por radicais se tornou o centro de estudo da álgebra depois do livro 
L-Álgebra de Bombelli e agora os matemáticos se questionavam quanto a solução de 
equações de grau superior como as de grau maior do que quatro. Provar que uma 
equação de grau n tem exactamente n raízes parecia uma consequência da extensão dos 
resultadosaté aqui obtidos para as equações já estudadas. 
Muitas foram às tentativas de resolver tal questão: em 1702, Gottfied Wilhem Leibniz 
(1646 – 1716), matemático alemão que foi um dos criadores do Cálculo, mostrou que 
não era possível fazer tal factoração, mas Nicholaus Bernoulli (1687 – 1759) o corrigiu 
em 1719 mostrando que Leibniz havia cometido um erro na sua demonstração; Em 
1742, Leonard Euler (1707 – 1783), matemático suíço, observou que se um polinómio 
com coeficientes reais tem uma raiz complexa a + b − 1 também tem a conjugada 
 – e que o produto – – é uma 
expressão quadrática com coeficientes reais. 
A partir dessa observação a questão da factoração ficou reduzida a provar a existência 
de raízes. Este resultado é hoje conhecido como “O Teorema Fundamental da Álgebra”: 
Muitos matemáticos tentaram provar esse teorema, mas nem mesmo o próprio Euler o 
conseguiu até que em 1799, Carl Friederich Gauss (1777 – 1855), matemático alemão, o 
conseguiu na sua tese de Doutorado. 
3.1.3. Os Quaterniões 
17 
 
Todo polinómio com coeficientes reais admite pelo menos uma raiz complexa Após a 
formulação definitiva dos números complexos, Hamilton (1805-1865), matemático 
Irlandês, queria compreender como poderia ser feita a seguinte multiplicação: 
 de forma que os termos desse produto também fosse um 
terno. Esperava que o comprimento do produto de vectores fosse igual ao 
produto dos comprimentos e para tal considerou i = j = -1, mas a dificuldade estava em 
determinar ij e ji. Certo dia enquanto caminhava ao lado de sua esposa veio a revelação: 
era necessária a introdução de um quarto termo de forma que 
 que contém a solução do problema. Partindo dessa fórmula, Hamilton 
deduziu que: 
 
 
 
Uma vez definido o produto Hamilton definiu o conjugado 
como sendo o quaternião: . Para o módulo ele usou a 
seguinte definição: 
Das definições resulta que dados dois quaterniões α e β, tem-se: Com a multiplicação 
definida, o conjunto dos quaterniões constitui o primeiro exemplo de anel não 
comutativo com divisão, embora esse conceito ainda não estivesse em uso. Dessa 
forma, dados dois quaterniões quaisquer, a soma e o produto são também quaterniões. 
Essa descoberta teve um papel decisivo no desenvolvimento da álgebra. 
 Em especial para a abstracção que estava em crescimento. Hamilton mostrou pela 
primeira vez um exemplo de álgebra não comutativa e a possibilidade de estender o 
conjunto das álgebras conhecidas. 
Em 1853 Hamilton introduziu os biquaterniões que nada mais são do que quaterniões 
com coeficientes complexos e constituem assim uma álgebra de dimensão oito. Ainda 
no mesmo artigo que fala dos biquaterniões uma nova generalização se inicia e em 1848 
é apresentado a Royal Irish Academy os Números Híper complexos como o conjunto de 
todos os símbolos da forma: x
1
e
1
 + x
2
e
2
 + ... + x
n
en, onde x
1
, x
2
, x
n
 são números reais, e 
18 
 
eventualmente, complexos e 1, 2, .. n são símbolos, chamados de unidades do sistema 
que apresenta as mesmas propriedades dos quatérnios para a soma e o produto. 
3.1.4.Grupos e Matrizes 
Nos anos seguintes dois novos exemplos de estruturas algébricas, de grande importância 
foram introduzidos por Athur Cayley: o conceito de grupo e de matriz. Cayley tinha 
uma grande habilidade para as formulações abstractas: sabia enxergar uma 
generalização por traz de um exemplo particular e isto lhe permitiu ser o primeiro a dar 
o conceito de grupo abstracto. O primeiro matemático que usou o termo grupo foi 
Evariste Galois (1811 – 1832), um francês. O estudo das permutações estava em alta na 
época e muitos matemáticos estavam envolvidos com o estudo desse tema. Para definir 
a noção de grupo abstracto, Cayley usou uma notação multiplicativa e, para explicar o 
fato de num grupo uma só operação está definida, ele observou que no seu conjunto os 
símbolos + e 0 não têm nenhum significado. Para introduzir a adição ele denotou os 
elementos do grupo por letras gregas α , β, e considerou combinações lineares do tipo 
aα +bβ + .. que tratou como elementos de um sistemas híper complexo. 
Definiu a soma de quaisquer dois elementos desse tipo somando coeficiente a 
coeficiente e a multiplicação distributivamente, a partir do produto de elementos do 
grupo. 
Pouco tempo depois, em 1855, Cayley introduziu o conceito de matriz. Partindo do 
estudo de determinantes ou como uma forma conveniente de expressar as equações: 
 1 
 1 
Segundo Milies o estudo de determinantes estava em uso desde muito tempo, 
introduzidos em conexão com a resolução de sistemas lineares. È interessante observar 
que na actualidade ocorre o contrário: o conceito de matriz é estudado como pré-
requisito para os determinantes, que por sua vez são pré-requisitos para os sistemas 
lineares. Como Cayley estava interessado nas transformações lineares, a composição 
das matrizes lhe sugeriu a definição de produto de matrizes e consequentemente, a 
inversa de uma matriz. Em 1858, Cayley introduziu o conceito de soma de matrizes e de 
produto por escalares. 
19 
 
Aqui novamente a visão de Cayley lhe permitiu ver um novo sistema algébrico 
semelhante aos que vinham sendo observados: o fato de as matrizes se comportarem 
como quantidades, pois elas podem ser somadas, multiplicadas ou compostas. Cayley 
observou aí uma clara relação com os quaterniões; notou que se M e N são duas 
matrizes de ordem 2x2 que verificam M2 = N2 = - 1 e MN = - NM então, L = MN, tem-
se que as matrizes L, M e N satisfazem um sistema de relações precisamente similar 
aquele da teoria dos quaterniões. Daí a demonstração actual de que M2(C), o anel das 
matrizes de ordem 2x2 com coeficientes complexos é isomorfo ao anel dos quaterniões 
nos números complexos, de Hamilton. Neste momento resulta, por fim, que as matrizes 
também são sistemas híper complexos. 
3.1.5. Teoria dos Corpos 
O conceito de corpo como sendo um conjunto fechado para as operações de soma e 
multiplicação onde existem oposto e inverso de qualquer elemento (com exceção do 
inverso do zero), bem como o conceito de corpo gerado por n números complexos α 
1,..., α n, como o conjunto de todos os números que podem ser obtidos por soma, 
subtracção, multiplicação e divisão ( excepto a divisão por zero) já aparecem no 
trabalho de Galois sobre resolução de equações polinomiais. Essencialmente Galois 
usou as ideias de Gauss de considerar congruências módulo um número primo p e 
construiu o corpo dos inteiros módulo p denotado por Z p. Depois considerou o anel de 
polinómios com coeficientes em Z p e tomou congruências módulo um polinómio 
irredutível f. A partir daí pode -se mostrar que se f tem grau n, então o conjunto das 
classes dos restos assim construído é um corpo finito com elementos. Assim, Galois 
construiu os corpos que hoje são conhecidos como Corpos de Galois e são denotados 
por GF(p
n
). 
Tempos depois E. H. Moore (1862 – 1932), matemático inglês, provou, em 1903, que 
todos os corpos finitos de mesma ordem são isomorfos entre si e, portanto, são 
isomorfos aos corpos de Galois dessa ordem. Uma outra linha de pesquisa que 
contribuiu para a Teoria dos Corpos foi a Teoria dos Números de Gauss a qual estudou 
os resíduos quadráticos, ou seja, dado um número primo p e um número inteiro a que 
não é múltiplo de p, um inteiro x diz-se um resíduo quadrático de a, em relação a p se 
x2 ≡ a (mod p). Anos mais tarde Gauss considerou também resíduos cúbicos e 
biquadraticas. A Teoria dos Números de Gauss foi o primeiro passo rumo a uma área de 
20 
 
grande importância na álgebra actual: a Teoria dos Números Algébricos. Esta teoria foi 
desenvolvida a partir dos esforços de inúmeros matemáticos para provar o Teorema de 
Fermat quediz: numa equação da forma tem solução inteira para 
n > 2. 
Com estas definições prova-se que os números algébricos formam um corpo, os inteiros 
algébricos formam um domínio de integridade e que se um inteiro algébrico é um 
número racional, então é um inteiro ordinário. Neste contexto Dedekind deu a primeira 
definição formal de corpo e de anel. 
3.1.6.Anéis e Álgebras 
Desde o começo os sistemas híper complexos, hoje chamados de álgebras lineares 
associativas, eram definidos a partir de elementos básicos, definindo a soma da forma 
natural e o produto distributivamente, a partir da multiplicação de elementos da base. 
Em 1903 Leonard Eugene Dickson (1874 – 1954), matemático americano, deu a 
primeira definição abstracta de álgebra. Deu duas definições de álgebras lineares 
associativas: a primeira é a álgebra já conhecida, em termos de elementos básicos 
constantes estruturais com a novidade de impor certas condições as constantes 
estruturais, os postulados do sistema, e mostra que estas condições são independentes 
entre si e que nenhuma delas é congruência lógica das restantes; sua segunda definição 
se aproxima bastante da forma actual, apesar do uso de coordenadas. 
Ele considerou um sistema de elementos da forma A = (a
1
, a ,..., ) onde os 
coeficientes ai, que ele chamou de coordenadas do elemento, pertencem a um dado 
corpo F. Definiu a soma componente a componente e fez a seguinte observação: dados 
dois elementos A e B sempre existe um outro elemento D tal que . Depois 
ele provou as seguintes características: 
 para quaisquer dois elementos A e B do sistema A∙B é outro elemento do sistema 
cujas coordenadas são funções bi lineares das coordenadas A e B com coeficientes 
em F; 
 (A∙B) ∙C = A∙ (B∙C), se A∙B, B∙C, (A∙B)∙C, A∙(B∙C) pertencem ao sistema; 
 existe no sistema um elemento I tal que A∙I = A para todo elemento do sistema; 
 existe no sistema pelo menos um elemento A tal que A∙Z ≠ 0 para qualquer 
elemento Z ≠ 0. 
21 
 
Finalmente, em 1923, Dickson deu a definição definitiva puramente abstracta, livre de 
coordenadas, que é a álgebra actual. Quanto ao conceito de anel, Dedekind e Leopold 
Kronecker (1823 – 1891), já trabalhavam com esse conceito nos seus estudos sobre 
teoria dos números algébricos, embora o termo usado fosse ordem. Quem introduziu o 
termo anel foi um matemático nascido na Prússia Oriental, David Hilbert (1862 – 1943) 
ainda no contexto dos números algébricos. A definição abstracta, com toda a sua 
generalização foi dada em 1914 por Adolf Abraham H. Fraenkel (1891 – 1965) 
matemático alemão. 
O objectivo de Fraenkel era dar uma teoria abstracta e compreensiva da Teoria dos 
Anéis, no entanto, esta tarefa não pode ser desenvolvida na época. A álgebra se tornara 
uma ciência de alto grau de abstracção. Agora é possível fazer cálculos em dimensões 
superiores a dois, lidar com estruturas inimagináveis pelos nossos antepassados. Muitos 
foram os matemáticos que contribuíram para esse tão elevado nível de desenvolvimento 
algébrico, e o capítulo seguinte é dedicado a alguns deles. 
 
4.A vida e contribuições de 6 algebristas 
4.1.Al-Khowarizmi (Arábia, 780-850) 
Abu Abdullah Mohammed ben Musa Al-Khowarizmi nasceu em torno de 780 da era 
cristã em Khowarizmi, região sul do Mar Aral, na parte Perça ocupada pelos árabes 
(atualmente parte do Uzbequistão). 
Quando criança mudou-se com seus pais para um lugar ao sul de Bagdá. Na época do 
califa al-Mamum (809 – 833) trabalhou na Casa da Sabedoria, onde estavam reunidos 
estudiosos da Síria e Mesopotâmia, bem como estavam reunidas grandes obras 
científicas da Antiguidade. 
Escreveu sobre aritmética, álgebra, astronomia, geografia e sobre o calendário. È 
possível que também tenha escrito sobre o astrolábio e sobre relógios de sol, no entanto, 
pouco da sua obra chegou aos nossos dias 
Na aritmética, Al-Khowarizmi escreveu um pequeno tratado que se perdeu, mas antes 
de se perder, foi traduzido para o espanhol. No texto ele introduziu os nove símbolos 
indianos para representar os algarismos e um círculo para representar o zero. 
22 
 
Depois explicou como escrever um número no sistema decimal usando os dez símbolos. 
Descreveu as operações de cálculo (adição, subtracção, multiplicação e divisão) 
segundo o método indiano e explicou a extracção da raiz quadrada. 
Em 830 aproximadamente, época das traduções das ciências gregas, hindus, percas e etc 
para a língua árabe, Al-Khowarizmi publicou sua álgebra, intitulada aljaber Wa’l 
Mugabalah (ciência da restauração e equilíbrio), que é composto de seis capítulos 
breves onde cada um destes trata de um tipo específico de equação quadrática que ele 
classificara em seis tipos. 
Por ser o primeiro a escrever sobre álgebra e pelo modo simples e claro de explicar seus 
conteúdos ele é considerado o Pai da Álgebra. 
As suas contribuições não param por aí, traduções do seu nome levaram à palavra 
algorismo ou algoritmo; a palavra usada por ele para a incógnita, deu origem ao x 
da álgebra moderna; al-jaber deu origem á palavra álgebra. 
Também deve a ele a introdução do calculo hindu no mundo islâmico, que depois pôde 
ser aprofundado e ampliado por outros matemáticos árabes que o seguiram. 
Al-Khowarizmi morreu em 846 aproximadamente. Pouco se sabe sobre a sua vida, mas 
o que sabemos já é o bastante para que ele seja considerado uma das maiores 
capacidades científicas do islã. 
4.1.2.Viet (França, 1540-1603) 
François Viét ou Franciscus Vieta, em latim, nasceu na França, em 1540. Formou-se em 
direito, mas estudava matemática nas horas vagas. Tornou-se membro do Parlamento da 
Bretanha e depois se tornou membro do Conselho do Rei, servindo durante os reinados 
de Henrique III e Henrique IV. 
Durante o reinado de Henrique IV a França estava em guerra com a Espanha e Viét 
decifrou as mensagens em código, usadas pelo inimigo. 
 Tratava-se de um sistema de caracteres secretos que envolvia cerca de 600 desses 
símbolos que eram periodicamente mudados. 
Nessa época a álgebra estava resumida a um receituário para resolver equações numa 
incógnita ou sistemas de duas equações e duas incógnitas, os nossos sistemas de 
equações lineares, derivadas de problemas comercial ou geométrico. Ao contrário da 
23 
 
Geometria, a álgebra não dispunha de uma forma universal de representação. Existia 
uma mistura entre simbolismo e sincoparão que não ajudavam no entendimento geral 
desse ramo da matemática. 
Ele deu um passo profundo seguindo rumo à convenção dos símbolos ao usar uma 
vogal maiúscula para representar à incógnita e uma consoante, também maiúscula, para 
representar o coeficiente. Foi o primeiro a mostrar a diferença que existe entre 
coeficiente e variável e a partir de suas representações o matemático, também francês, 
René Descartes (1596 – 1650) formulou as representações atuais para os termos 
integrantes de uma equação. Foi o primeiro a aplicar a álgebra na Trigonometria. 
François Viét morreu em 1603, deixando um bom alicerce preparado para maiores 
construções na Matemática. 
4.1.3.Cardano (Itália, 1501-1576) 
Girolamo Cardano nasceu em 24 de Setembro de 1501 na cidade de Pavia, Itália. Filho 
de pais não casados, Cardano sofreu tentativas de morte ainda no ventre de sua mãe, 
mas para o bem da matemática sobreviveu. Seu pai era um intelectual que se dedicava à 
medicina, advocacia, matemática e as ciências ocultas. 
Cardano também se dedicou á matemática, leis, astrologia e probabilidade. Aos 44 anos, 
publicou o trabalho que o tornaria conhecido e através do qual o seu nome entraria para 
a história da matemática: o livro Ars Magna (a Grande Arte) no qual apareceram 
impressas pela primeira vez as fórmulas de resolução para as equações cúbicas e 
quânticas. 
Cardano era viciado em jogo e assumiu ter jogado xadrez, por quarenta anos, e dados 
por 25, diariamente. Nesta época era comum jogar para passaro tempo e como valia 
dinheiro, era uma actividade que poderia render algum para prover suas necessidades, 
mas na verdade ele acabou perdendo boa parte da sua vida e fortuna nesta actividade. 
Mas soube tirar proveito dos jogos e desenvolveu a primeira análise matemática de 
jogos. Formulou o conceito de espaço amostra com resultados igualmente prováveis. 
Escreveu um pequeno manual do jogador intitulado Líber de Ludo Ale e (O Livro dos 
Jogos de Azar), que pode ter sido a sua maior contribuição para a matemática. 
24 
 
Cardano foi um dos primeiros a desenvolver o estudo das probabilidades. Faleceu em 
21 de Setembro de 1576, em Roma, a três dias de completar 75 anos de idade. 
4.1.4.Bombelli (Itália, 1526-1573) 
Rafael Bombelli nasceu em 1526, na cidade de Bolonha, Itália. Era o mais velho dos 
seis filhos de Antonio Mazzoli. O pai de Rafael era um próspero negociante de lãs e 
tinha posses. Em 1506, a cidade de Bolonha estava sob o domínio de Giovanne II e 
Antonio Mazzoli envolveu-se em manifestações contra o seu governo, como não 
conseguiram tirar Giovanne do poder a família de Rafael teve seus bens confiscados e 
foi exilada e somente depois de muitos anos a família Mazzoli obteve o perdão e pode 
voltar à Bolonha e recuperar os seus bens. 
Na tentativa de disfarçar a sua descendência, Rafael mudou seu sobre nome para 
Bombelli. 
Trabalhou para um nobre romano, Alessandro Rufini, futuro bispo de Melfi. Neste 
período interessou-se por matemática e envolveu-se no desafio do momento que era 
determinar as fórmulas geral para a resolução das equações cúbicas e quânticas, quando 
conheceu vários outros estudiosos, dentre os quais Girolamo Cardano, do quase tornaria 
um admirador. 
interrompeu o serviço temporariamente. Enquanto aguardava o recomeço das 
demarcações, escreveu seu famoso livro de álgebra denominado L’Álgebra, a partir dos 
estudos de Cardano. 
Quando o trabalho recomeçou, em 1560, o livro ainda não estava concluído e Bombelli 
passou a visitar o professor António Maria Pazzi, da Universidade de Roma. Nesse 
período teve acesso a um manuscrito de Diofante, que foi um matemático grego da 
antiguidade. 
Tratava-se de um texto sobre aritmética que o deixou apaixonado e os dois, ele e o 
professor, resolveram traduzir tal obra. A influencia de Diofante foi tão grande que dos 
272 problemas existentes no sue livro, 143 eram baseados nos escritos diofantino. 
Rafael Bombelli Foi o primeiro matemático a usar o jogo de sinais. No seu livro sobre 
álgebra ele escreveu: 
 mais vezes mais é igual a mais; 
25 
 
 menos vezes menos é igual a mais; 
 mais vezes menos é igual a menos; 
 menos vezes mais é igual a menos; 
 mais raiz quadrada de menos n vezes mais raiz quadrada de menos n é igual a 
menos n; 
 mais raiz quadrada de menos n vezes menos raiz quadrada de menos n é igual a mais 
n; 
 menos raiz quadrada de menos n vezes mais raiz quadrada de menos n é igual a 
mais n; 
 menos raiz quadrada de menos n vezes menos raiz quadrada de menos n é igual a 
menos n. 
Também foi o primeiro a mostrar uma saída para a solução de uma equação em que 
aparecia raiz quadrada de número negativo. 
Bombelli não era um matemático profissional, pois não fora universitário, no entanto, 
foi importante para o desenvolvimento da álgebra, que era a sua área. Em 1923, seus 
escritos foram encontrados numa biblioteca de Bolonha e seus cinco livros foram e 
publicados em 1929. 
4.1.5. Euler (Suíça. 1707-1783) 
Leonard Euler nasceu no dia 15 de abril de 1707 em Basileia, Suíça. Seu pai, Paul 
Euler, era um ministro religioso que possuía algum conhecimento matemático e era 
casado com Margaret Brucker, filha de um outro homem da igreja. 
Teve suas primeiras aulas de matemática com o pai o que pode ter despertado seu gosto 
pelo assunto. Paul Euler queria mesmo era que seu filho se tornasse um teólogo e 
sonhava em ver seu filho estudando Teologia. Quando completou a idade de ir para a 
escola, Euler foi morar com a sua avó materna e como não tinha muitas aulas de 
matemática, passou a ler livros e a ter aulas, às escondidas, sobre o assunto. 
26 
 
Aos 14 anos entrou para a Universidade e logo fez um exame, com o professor Jean 
Bernoulli (1667-1748), que foi seu professor de matemática e descobriu o potencial do 
garoto. 
Aos 19 anos, após concluir os estudos na Universidade de Basileia, tentou uma vaga 
para professor de Física na própria Universidade, mas não conseguiu devido a sua 
juventude. 
Aos vinte anos foi indicado para o Grande Prémio da Academia de Paris no qual obteve 
o segundo lugar. Foi convidado a trabalhar na Academia de São Petersburgo na Rússia, 
mais chegando lá não conseguiu o emprego devido à morte de Catarina I, que fundara a 
escola e como gostava da ideia de trazer estrangeiros para trabalharem nela, convidara a 
Euler. 
Desiludido com a carreira de professor, Euler entrou para a marinha Russa onde se 
tornou tenente. Mas a esperança não havia morrido e em 1730, com a Academia já em 
melhores condições, assumiu o seu lugar de professor de física na escola. 
Aos 26 anos, se tornou o principal matemático da academia com a saída de seu amigo 
Daniel Bernoulli (1700-1782), filho de Jean Bernoulli. Com esse novo cargo passou a 
ganhar melhor e pode investir mais na sua pesquisa matemática. 
Casou-se em sete de Janeiro de 1734, com Katharin Gsell e tiveram 13 filhos dos quais 
apenas 5 sobreviveram à infância. 
Sua facilidade em escrever era tanto que chegava a estar com um filho no colo, um 
bloco de notas sobre a perna e os outros filhos a brincarem à volta dos seus pés. 
Em 1735, aos 28 anos, perdeu a visão do olho direito. Convidado por Frederico, o 
Grande, deixou a Academia de São Petersburgo e foi para a Academia de Berlim, na 
Alemanha, onde passou 25 anos, voltando à Rússia em 1766, aos 59 anos. 
Dentre as contribuições de Euler para a Matemática estão: 
 o uso da letra e como base do sistema de logaritmos naturais; 
 ouso da letra grega para representar a razão entre o comprimento e diâmetro 
de uma circunferência; 
 o uso do símbolo i para − 1 ; 
27 
 
 o uso de letras maiúsculas A, B, C para representar os lados de um triângulo e 
minúsculas a, b, c para seus ângulos opostos; 
 o uso do símbolo para logaritmo de ; 
 o uso de símbolo para adição; 
 o uso de para representar a função de na álgebra formulou o teorema 
fundamental da álgebra além de outras notações em Geometria, Trigonometria e 
Analise. 
Euler escreveu em todos os níveis, em várias línguas, publicando mais de 500 livros e 
artigos. Por volta de 1770 perdeu a visão do olho esquerdo e agora precisava ditar suas 
ideias para que um dos seus filhos escrevesse, ou escrever com giz em grandes quadros 
negros. No entanto o fluxo de suas pesquisas e publicações não diminuiu. Em 1776, aos 
59 anos perdeu todos os seus bens, a excepção dos manuscritos de matemática, num 
incêndio na sua casa. 
Após passar 17 anos de cegueira total, Euler morreu em 18 de Setembro de 1783, aos 76 
anos, de uma hemorragia cerebral. 
4.1.6.Gauss (Alemanha, 1777-1855) 
Johann Carl Friederich Gauss nasceu num casebre em Brunswich, Alemanha. Seu pai, 
Gerhard Diederich era jardineiro e pedreiro e não queria que o filho estudasse, mas a 
sua mãe Dorothea e seu tio Friederich, que percebeu a inteligência do sobrinho, o 
incentivaram e o ajudaram nos seus primeiros passos como estudante. 
Gauss era um génio; tinha uma memória fotográfica conseguia lembrar dos 
acontecimentos da sua infância; aos dois anos impressionava as pessoas que 
acompanhavam o seu desenvolvimento; antes dos três anos corrigiu uma longa soma 
que seu pai fazia, ao seu lado, em voz alta; aprendeu a ler e a somar sozinho. 
Aos 7 anos entrou para a escola. Certo dia o professor pediu que os alunos somassem 
de um 1 a 100 e Gauss logo achou a resposta, 5050, aparentemente sem cálculos, supõe-
se que já aí ele tivessedescoberto a fórmula para calcular a soma dos termos de uma 
progressão aritmética. 
Aos 10 anos ele foi admitido na classe de aritmética e na primeira aula, sem que os 
alunos ali presentes jamais tivessem ouvido falar de uma progressão aritmética, o 
28 
 
professor deu-lhes um longo problema de soma, cujo resultado, através de uma fórmula 
poderia ser encontrado em poucos segundos. O problema era o seguinte: 
81297+81395+81693+...+100899, em que a diferença de um número para o próximo 
era sempre a mesma (aqui 198) e um determinado número de termos (aqui 100) para ser 
somado, o que tornava a obtenção do resultado simples, caso se soubesse deste macete. 
O professor disse quem for terminando vá colocando a lousa sobre a minha mesa. 
Terminando o ditado Gauss colocou sua lousa na mesa. Quando o professor 
olhou na lousa estava escrito apenas um único número, o certo. Ele descobrira, 
instantaneamente, o macete. 
Todos os outros alunos tinham enormes somas erradas. O professor ficou tão atónito 
com a proeza do menino de 10 anos que pagou do próprio bolso livros de aritmética 
para ele, que as absorvia ligeiramente. 
Reconhecendo que fora ultrapassado pelo aluno, o professor passou o ensino para seu 
jovem assistente, Johann Martin Bartelo (1769-1856), que era apaixonado por 
matemática. Entre Bartelo, com dezassete anos, e Gauss, com 10, nasceu uma amizade 
que durou toda a vida. 
Em 30 de Março de 1796 decidiu-se pela matemática e em 1798 tornou-se doutor pela 
Universidade de Helmstadt e sua tese foi a demonstração do “Teorema Fundamental da 
Álgebra” provando que toda equação polinomial f(x) = 0 tem pelo menos uma raiz real 
ou imaginária e para isso baseou-se em considerações geométricas. 
Foi o primeiro a construir um polígono regular dezassete lados usando somente régua e 
compasso como auxiliares. Também foi o primeiro a representar graficamente os 
números complexos pensando em partes real e imaginária como ordenadas de um plano. 
No seu livro Disquisitiones Arithmtical (pesquisas aritméticas), desenvolveu notações 
da Teoria dos Números, nele apresentando a notação b ≡ c(mod a), para a relação de 
congruência; 
apresentou a lei da reciprocidade quadrática e demonstrou o teorema segundo o qual 
todo número inteiro positivo pode ser representado de uma só maneira como produto de 
números primos. 
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No inicio do século XIX deixou de lado a aritmética para dedicar-se à Astronomia e 
nesta área criou um método para acompanhar a órbita dos satélites, usado até hoje, o 
que lhe proporcionou em 1807, o cargo de director do observatório de Göttinger, onde 
passou 40 anos. Em Geodesia inventou o heliotrópio, aparelho que transmite sinais por 
meio de luz reflectida e em electromagnetismo inventou o magnetómetro biofilia e o 
telégrafo eléctrico. 
Gauss casou-se em 1805, com a idade de 28 anos com Johanne Osthof de Brunswisck. 
Não era ambicioso por dinheiro e poucas obras suas foram publicadas durante sua vida. 
Queria mesmo era o progresso da matemática pelo qual lutou até descobrir que sofria de 
dilatação cardíaca. Gauss morreu em 1855, aos 78 anos e é considerado Príncipe da 
Matemática. 
A contribuição de cada um dos matemáticos funciona como um tijolo numa construção, 
onde essa construção é a própria matemática. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5.Conclusão 
Chegado este conclui que A origem da palavra álgebra. Ela não se sujeita a uma 
etimologia nítida como, por exemplo, a palavra aritmética, que deriva do 
grego arithmos (número). Álgebra é uma variante latina da palavra árabe al-jabr (às 
vezes transliterada al-jebr), usada no título de um livro, Hisab al-jabr w'al-muqabalah, 
escrito em Bagdá por volta do ano 825 pelo matemático árabe Mohammed ibn-Musa al 
Khowarizmi (Maomé, filho de Moisés, de Khowarizm). Este trabalho de álgebra é com 
frequência citado, abreviadamente, como Al-jabr. 
Durante aproximadamente um milénio (1700 a.C. a 1700 d. C.) a álgebra tratava 
somente do estudo das equações. Era uma ciência voltada para a descoberta dos 
diferentes tipos de equações e das formas de se chegar à solução. Teve como principais 
características a invenção gradual do símbolo para representar a quantidade 
desconhecida e a descoberta se resoluções gerais para ás equações cúbicas e quânticas. 
Sendo que durante a maior parte deste período as equações mais estudadas eram as 
lineares e as quadráticas. 
Segundo os resultados publicados pelo Cardano na sua Ars Magna impulsionaram a 
pesquisa em álgebra e quando surgia algum entrave para a sua evolução, algum 
matemático, mesmo que levasse anos de estudo, apresentava uma saída para se seguir 
em frente e dessa forma à álgebra foi se tornando cada vez mais complexa. 
A Europa serviu como berço para tal evolução e agora os países se revezavam com as 
suas contribuições. Embora nem sempre as fórmulas de resolução para equações 
representem uma ferramenta para a vida prática, elas abrem novos horizontes para os 
estudiosos e dessa forma podem ser à base de grandes descobertas 
 
 
 
 
 
 
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6.Referências bibliográficas 
BAUMGART, K John (1994), história da matemática. 
BOYER, C. B.( 1996), História da Matemática. 
GOMES, Pedro Cledison Braga, (2007), Universidade Estadual vale do Acaraú – uva 
Centro de ciências exactas e tecnológicas – CCET(Monografia). 
MILIES, P.C. Breve História da Álgebra Abstracta. Instituto de Matemática e 
Estatística.. 
Site: www.somatematica.com.br\algebra.php.