GAAL - Aula 10

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SEGUNDA PROVA
Segunda prova: 10/11 ou 17/11, sa´bado, 08:00 horas
Cap´ıtulo 4: Vetores, produto escalar, produto vetorial.
Cap´ıtulo 5: Retas e Planos no espac¸o. Aˆngulos e distaˆncias.
Para quem perdeu a primeira prova:
Entrar em contado com o professor, por email.
* URGENTE *
Plano cartesiano e sistemas de coordenadas no espac¸o
Plano cartesiano e sistemas de coordenadas no espac¸o
Plano cartesiano e sistemas de coordenadas no espac¸o
No plano ou no espac¸o, as coordenadas de um vetor sa˜o as
coordenadas do seu ponto final, quando representamos o vetor
saindo da origem.
Norma = comprimento
Se V = (v1, v2) enta˜o ‖ V ‖ =
√
v21 + v
2
2 .
Norma = comprimento
Se V = (v1, v2, v3) enta˜o ‖ V ‖ =
√
v21 + v
2
2 + v
2
3 .
Distaˆncia entre dois pontos
Se P = (x1, y1) e Q = (x2, y2) enta˜o
~PQ = Q − P = (x2 − x1, y2 − y1)
dist(P,Q) =‖ ~PQ ‖=
√
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 .
Vetores unita´rios
Se α e´ um nu´mero real e V e´ um vetor, enta˜o ‖ αV ‖= |α| ‖ V ‖.
Por exemplo ‖ −2V ‖= 2 ‖ V ‖.
Mudamos o sentido e dobramos o comprimento.
Um vetor V e´ unita´rio se ele tem norma igual a 1, isto e´,
‖ V ‖= 1.
Se V e´ um vetor na˜o nulo, enta˜o existe um vetor unita´rio no
mesmo sentido e na mesma direc¸a˜o de V . Este vetor e´ dado por
U =
(
1
‖ V ‖
)
V
Vetores unita´rios
Se α e´ um nu´mero real e V e´ um vetor, enta˜o ‖ αV ‖= |α| ‖ V ‖.
Por exemplo ‖ −2V ‖= 2 ‖ V ‖.
Mudamos o sentido e dobramos o comprimento.
Um vetor V e´ unita´rio se ele tem norma igual a 1, isto e´,
‖ V ‖= 1.
Se V e´ um vetor na˜o nulo, enta˜o existe um vetor unita´rio no
mesmo sentido e na mesma direc¸a˜o de V . Este vetor e´ dado por
U =
(
1
‖ V ‖
)
V
Vetores unita´rios
Se α e´ um nu´mero real e V e´ um vetor, enta˜o ‖ αV ‖= |α| ‖ V ‖.
Por exemplo ‖ −2V ‖= 2 ‖ V ‖.
Mudamos o sentido e dobramos o comprimento.
Um vetor V e´ unita´rio se ele tem norma igual a 1, isto e´,
‖ V ‖= 1.
Se V e´ um vetor na˜o nulo, enta˜o existe um vetor unita´rio no
mesmo sentido e na mesma direc¸a˜o de V . Este vetor e´ dado por
U =
(
1
‖ V ‖
)
V
Vetores unita´rios
Se α e´ um nu´mero real e V e´ um vetor, enta˜o ‖ αV ‖= |α| ‖ V ‖.
Por exemplo ‖ −2V ‖= 2 ‖ V ‖.
Mudamos o sentido e dobramos o comprimento.
Um vetor V e´ unita´rio se ele tem norma igual a 1, isto e´,
‖ V ‖= 1.
Se V e´ um vetor na˜o nulo, enta˜o existe um vetor unita´rio no
mesmo sentido e na mesma direc¸a˜o de V . Este vetor e´ dado por
U =
(
1
‖ V ‖
)
V
Vetores unita´rios
Se α e´ um nu´mero real e V e´ um vetor, enta˜o ‖ αV ‖= |α| ‖ V ‖.
Por exemplo ‖ −2V ‖= 2 ‖ V ‖.
Mudamos o sentido e dobramos o comprimento.
Um vetor V e´ unita´rio se ele tem norma igual a 1, isto e´,
‖ V ‖= 1.
Se V e´ um vetor na˜o nulo, enta˜o existe um vetor unita´rio no
mesmo sentido e na mesma direc¸a˜o de V . Este vetor e´ dado por
U =
(
1
‖ V ‖
)
V
Vetores unita´rios
Exemplo 1. Determine um vetor unita´rio na direc¸a˜o da reta
y = 2x . Quantos destes vetores existem?
Exemplo 2. Determine um vetor unita´rio na direc¸a˜o da reta
y = −1
2
x . Quantos destes vetores existem?
Exemplo 3. Todo vetor unita´rio no plano e´ da forma
U = (cos(θ), sen(θ)). Interprete.
Exemplo 4. Determine um vetor unita´rio na direc¸a˜o da reta que
liga os pontos P = (−1, 2, 4) e Q = (3, 5, 1).
Vetores unita´rios
Exemplo 1. Determine um vetor unita´rio na direc¸a˜o da reta
y = 2x . Quantos destes vetores existem?
Exemplo 2. Determine um vetor unita´rio na direc¸a˜o da reta
y = −1
2
x . Quantos destes vetores existem?
Exemplo 3. Todo vetor unita´rio no plano e´ da forma
U = (cos(θ), sen(θ)). Interprete.
Exemplo 4. Determine um vetor unita´rio na direc¸a˜o da reta que
liga os pontos P = (−1, 2, 4) e Q = (3, 5, 1).
Vetores unita´rios
Exemplo 1. Determine um vetor unita´rio na direc¸a˜o da reta
y = 2x . Quantos destes vetores existem?
Exemplo 2. Determine um vetor unita´rio na direc¸a˜o da reta
y = −1
2
x . Quantos destes vetores existem?
Exemplo 3. Todo vetor unita´rio no plano e´ da forma
U = (cos(θ), sen(θ)). Interprete.
Exemplo 4. Determine um vetor unita´rio na direc¸a˜o da reta que
liga os pontos P = (−1, 2, 4) e Q = (3, 5, 1).
Vetores unita´rios
Exemplo 1. Determine um vetor unita´rio na direc¸a˜o da reta
y = 2x . Quantos destes vetores existem?
Exemplo 2. Determine um vetor unita´rio na direc¸a˜o da reta
y = −1
2
x . Quantos destes vetores existem?
Exemplo 3. Todo vetor unita´rio no plano e´ da forma
U = (cos(θ), sen(θ)). Interprete.
Exemplo 4. Determine um vetor unita´rio na direc¸a˜o da reta que
liga os pontos P = (−1, 2, 4) e Q = (3, 5, 1).
Produto escalar
O produto escalar entre dois vetores V e W e´ o nu´mero real
(a) 〈V ,W 〉 = ‖ V ‖ ‖W ‖ cos(θ).
(b) 〈V ,W 〉 = 0 se V = ~0 ou se W = ~0.
Produto escalar
Exemplo. Se V = (4, 1) e se W = (2, 3) como calcular 〈V ,W 〉 ?
〈V ,W 〉 = ‖ V ‖ ‖W ‖ cos(θ) = √17√13 cos(θ).
Mas como determinar o aˆngulo θ entre V e W ?
E no espac¸o...como calcular o aˆngulo entre dois vetores?
Produto escalar
Exemplo. Se V = (4, 1) e se W = (2, 3) como calcular 〈V ,W 〉 ?
〈V ,W 〉 = ‖ V ‖ ‖W ‖ cos(θ) = √17√13 cos(θ).
Mas como determinar o aˆngulo θ entre V e W ?
E no espac¸o...como calcular o aˆngulo entre dois vetores?
Produto escalar
Exemplo. Se V = (4, 1) e se W = (2, 3) como calcular 〈V ,W 〉 ?
〈V ,W 〉 = ‖ V ‖ ‖W ‖ cos(θ) = √17√13 cos(θ).
Mas como determinar o aˆngulo θ entre V e W ?
E no espac¸o...como calcular o aˆngulo entre dois vetores?
Produto escalar
Enta˜o dados dois vetores em coordenadas, para calcular
〈V ,W 〉 = ‖ V ‖ ‖W ‖ cos(θ), precisamos calcular ‖ V ‖, ‖W ‖ e
cos(θ).
‖ V ‖ e ‖W ‖ e´ fa´cil. Mas calcular θ na˜o parece ta˜o fa´cil assim.
Vamos calcular θ e, portanto, o produto escalar, usando a
Lei dos Cossenos
a2 = b2 + c2 − 2bc cos θ
Produto escalar
Enta˜o dados dois vetores em coordenadas, para calcular
〈V ,W 〉 = ‖ V ‖ ‖W ‖ cos(θ), precisamos calcular ‖ V ‖, ‖W ‖ e
cos(θ).
‖ V ‖ e ‖W ‖ e´ fa´cil. Mas calcular θ na˜o parece ta˜o fa´cil assim.
Vamos calcular θ e, portanto, o produto escalar, usando a
Lei dos Cossenos
a2 = b2 + c2 − 2bc cos θ
Produto escalar
Enta˜o dados dois vetores em coordenadas, para calcular
〈V ,W 〉 = ‖ V ‖ ‖W ‖ cos(θ), precisamos calcular ‖ V ‖, ‖W ‖ e
cos(θ).
‖ V ‖ e ‖W ‖ e´ fa´cil. Mas calcular θ na˜o parece ta˜o fa´cil assim.
Vamos calcular θ e, portanto, o produto escalar, usando a
Lei dos Cossenos
a2 = b2 + c2 − 2bc cos θ
Produto escalar em coordenadas
Teorema: No plano, se V = (v1, v2) e W = (w1,w2) enta˜o
〈V ,W 〉 = v1w1 + v2w2
Teorema: No espac¸o, se V = (v1, v2, v3) e W = (w1,w2,w3)
enta˜o
〈V ,W 〉 = v1w1 + v2w2 + v3w3
Produto escalar em coordenadas
Teorema: No plano, se V = (v1, v2) e W = (w1,w2) enta˜o
〈V ,W 〉 = v1w1 + v2w2
Teorema: No espac¸o, se V = (v1, v2, v3) e W = (w1,w2,w3)
enta˜o
〈V ,W 〉 = v1w1 + v2w2 + v3w3
Produto escalar
Exemplo. Se V = (4, 1) e se W = (2, 3) calcule 〈V ,W 〉.
Agora ficou fa´cil: 〈V ,W 〉 = 4× 2 + 1× 3 = 8 + 3 = 11.
Produto escalar
Exemplo. Se V = (4, 1) e se W = (2, 3) calcule 〈V ,W 〉.
Agora ficou fa´cil:
〈V ,W 〉 = 4× 2 + 1× 3 = 8 + 3 = 11.
Produto escalar
Exemplo. Se V = (4, 1) e se W = (2, 3) calcule 〈V ,W 〉.
Agora ficou fa´cil: 〈V ,W 〉 = 4× 2 + 1× 3
= 8 + 3 = 11.
Produto escalar
Exemplo. Se V = (4, 1) e se W = (2, 3) calcule 〈V ,W 〉.
Agora ficou fa´cil: 〈V ,W 〉 = 4× 2 + 1× 3 = 8 + 3 = 11.
Aˆngulo entre dois vetores
Se V e W sa˜o dados em coordenadas, enta˜o sabemos calcular
norma e produto escalar.
Da´ı podemos calcular o aˆngulo θ entre estes vetores, pois
cos(θ) =
〈V ,W 〉
‖ V ‖ ‖W ‖
e o lado direito e´ fa´cil de ser calculado.
Aˆngulo entre dois vetores
Se V e W sa˜o dados em coordenadas, enta˜o sabemos calcular
norma e produto escalar.
Da´ı podemos calcular o aˆngulo θ entre estes vetores, pois
cos(θ) =
〈V ,W 〉
‖ V ‖ ‖W ‖
e o lado direito e´ fa´cil de ser calculado.
Aˆngulo entre dois vetores
Exemplo. Se V = (4, 1) e se W = (2, 3) calcule θ.
Fa´cil: cos(θ) =
〈V ,W 〉
‖ V ‖ ‖W ‖ =
4× 2 + 1× 3√
17
√
13
=
11√
17
√
13
θ = arccos
(
11√
17
√
13
)≈ 42o .
Aˆngulo entre dois vetores
Exemplo. Se V = (4, 1) e se W = (2, 3) calcule θ.
Fa´cil:
cos(θ) =
〈V ,W 〉
‖ V ‖ ‖W ‖ =
4× 2 + 1× 3√
17
√
13
=
11√
17
√
13
θ = arccos
(
11√
17
√
13
)
≈ 42o .
Aˆngulo entre dois vetores
Exemplo. Se V = (4, 1) e se W = (2, 3) calcule θ.
Fa´cil: cos(θ) =
〈V ,W 〉
‖ V ‖ ‖W ‖
=
4× 2 + 1× 3√
17
√
13
=
11√
17
√
13
θ = arccos
(
11√
17
√
13
)
≈ 42o .
Aˆngulo entre dois vetores
Exemplo. Se V = (4, 1) e se W = (2, 3) calcule θ.
Fa´cil: cos(θ) =
〈V ,W 〉
‖ V ‖ ‖W ‖ =
4× 2 + 1× 3√
17
√
13
=
11√
17
√
13
θ = arccos
(
11√
17
√
13
)
≈ 42o .
Aˆngulo entre dois vetores
Exemplo. Se V = (4, 1) e se W = (2, 3) calcule θ.
Fa´cil: cos(θ) =
〈V ,W 〉
‖ V ‖ ‖W ‖ =
4× 2 + 1× 3√
17
√
13
=
11√
17
√
13
θ = arccos
(
11√
17
√
13
)
≈ 42o .
Aˆngulo entre dois vetores
Exemplo. Se V = (4, 1) e se W = (2, 3) calcule θ.
Fa´cil: cos(θ) =
〈V ,W 〉
‖ V ‖ ‖W ‖ =
4× 2 + 1× 3√
17
√
13
=
11√
17
√
13
θ = arccos
(
11√
17
√
13
)
≈ 42o .
Aˆngulo entre dois vetores
Exemplo. Se V = (4, 1) e se W = (2, 3) calcule θ.
Fa´cil: cos(θ) =
〈V ,W 〉
‖ V ‖ ‖W ‖ =
4× 2 + 1× 3√
17
√
13
=
11√
17
√
13
θ = arccos
(
11√
17
√
13
)
≈ 42o .
Aˆngulo entre dois vetores
Dados dois vetores na˜o nulos V e W , se θ e´ o aˆngulo entre eles,
enta˜o
cos(θ) =
〈V ,W 〉
‖ V ‖ ‖W ‖
1. θ e´ um aˆngulo agudo se 〈V ,W 〉 > 0.
2. θ e´ um aˆngulo obtuso se 〈V ,W 〉 < 0.
3. θ = 90o se 〈V ,W 〉 = 0.
Assim 〈V ,W 〉 = 0 determina a ortogonalidade dos vetores V e W .
Isso e´ muito importante!! Mesmo.
Aˆngulo entre dois vetores
Dados dois vetores na˜o nulos V e W , se θ e´ o aˆngulo entre eles,
enta˜o
cos(θ) =
〈V ,W 〉
‖ V ‖ ‖W ‖
1. θ e´ um aˆngulo agudo se 〈V ,W 〉 > 0.
2. θ e´ um aˆngulo obtuso se 〈V ,W 〉 < 0.
3. θ = 90o se 〈V ,W 〉 = 0.
Assim 〈V ,W 〉 = 0 determina a ortogonalidade dos vetores V e W .
Isso e´ muito importante!! Mesmo.
Aˆngulo entre dois vetores
Dados dois vetores na˜o nulos V e W , se θ e´ o aˆngulo entre eles,
enta˜o
cos(θ) =
〈V ,W 〉
‖ V ‖ ‖W ‖
1. θ e´ um aˆngulo agudo se 〈V ,W 〉 > 0.
2. θ e´ um aˆngulo obtuso se 〈V ,W 〉 < 0.
3. θ = 90o se 〈V ,W 〉 = 0.
Assim 〈V ,W 〉 = 0 determina a ortogonalidade dos vetores V e W .
Isso e´ muito importante!! Mesmo.
Aˆngulo entre dois vetores
Dados dois vetores na˜o nulos V e W , se θ e´ o aˆngulo entre eles,
enta˜o
cos(θ) =
〈V ,W 〉
‖ V ‖ ‖W ‖
1. θ e´ um aˆngulo agudo se 〈V ,W 〉 > 0.
2. θ e´ um aˆngulo obtuso se 〈V ,W 〉 < 0.
3. θ = 90o se 〈V ,W 〉 = 0.
Assim 〈V ,W 〉 = 0 determina a ortogonalidade dos vetores V e W .
Isso e´ muito importante!! Mesmo.
Aˆngulo entre dois vetores
Dados dois vetores na˜o nulos V e W , se θ e´ o aˆngulo entre eles,
enta˜o
cos(θ) =
〈V ,W 〉
‖ V ‖ ‖W ‖
1. θ e´ um aˆngulo agudo se 〈V ,W 〉 > 0.
2. θ e´ um aˆngulo obtuso se 〈V ,W 〉 < 0.
3. θ = 90o se 〈V ,W 〉 = 0.
Assim 〈V ,W 〉 = 0 determina a ortogonalidade dos vetores V e W .
Isso e´ muito importante!!
Mesmo.
Aˆngulo entre dois vetores
Dados dois vetores na˜o nulos V e W , se θ e´ o aˆngulo entre eles,
enta˜o
cos(θ) =
〈V ,W 〉
‖ V ‖ ‖W ‖
1. θ e´ um aˆngulo agudo se 〈V ,W 〉 > 0.
2. θ e´ um aˆngulo obtuso se 〈V ,W 〉 < 0.
3. θ = 90o se 〈V ,W 〉 = 0.
Assim 〈V ,W 〉 = 0 determina a ortogonalidade dos vetores V e W .
Isso e´ muito importante!! Mesmo.
Exerc´ıcios
1. Mostre que A = (3, 0, 2), B = (4, 3, 0) e C = (8, 1,−1) sa˜o
ve´rtices de um triaˆngulo retaˆngulo.
2. Determine o aˆngulo entre uma aresta e uma diagonal de um
cubo. Determine tambe´m o aˆngulo entre duas diagonais do
cubo. Elas sa˜o perpendiculares?
Exerc´ıcios
1. Mostre que A = (3, 0, 2), B = (4, 3, 0) e C = (8, 1,−1) sa˜o
ve´rtices de um triaˆngulo retaˆngulo.
2. Determine o aˆngulo entre uma aresta e uma diagonal de um
cubo. Determine tambe´m o aˆngulo entre duas diagonais do
cubo. Elas sa˜o perpendiculares?
Propriedades do produto escalar
1. 〈V ,W 〉 = 〈W ,V 〉.
2. 〈U,V + W 〉 = 〈U,V 〉+ 〈U,W 〉.
3. α〈V ,W 〉 = 〈αV ,W 〉 = 〈V , αW 〉.
Estas propriedades seguem das propriedades do produto de
matrizes. Como?
Propriedades do produto escalar
1. 〈V ,W 〉 = 〈W ,V 〉.
2. 〈U,V + W 〉 = 〈U,V 〉+ 〈U,W 〉.
3. α〈V ,W 〉 = 〈αV ,W 〉 = 〈V , αW 〉.
Estas propriedades seguem das propriedades do produto de
matrizes. Como?
Propriedades do produto escalar
1. 〈V ,W 〉 = 〈W ,V 〉.
2. 〈U,V + W 〉 = 〈U,V 〉+ 〈U,W 〉.
3. α〈V ,W 〉 = 〈αV ,W 〉 = 〈V , αW 〉.
Estas propriedades seguem das propriedades do produto de
matrizes. Como?
Propriedades do produto escalar
Bom Feriado !!!!