Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
Produto escalar em Rn Se V = (v1, v2, . . ., vn) e W = (w1,w2, . . . ,wn) sa˜o vetores em Rn, o produto escalar entre V e W e´ o nu´mero real 〈V ,W 〉 = v1w1 + v2w2 + · · ·+ vnwn. A norma do vetor V e´ ‖ V ‖= √ v21 + v 2 2 + · · ·+ v2n = √〈V ,V 〉. Observe que isto e´ uma generalizac¸a˜o das definic¸o˜es que ja´ foram dadas e interpretadas para R2 e R3. Produto escalar em Rn Propriedades: (sa˜o as mesmas que ja´ foram demonstradas para o R2 e R3) (a) 〈V ,W 〉 = 〈W ,V 〉. (b) 〈U + V ,W 〉 = 〈U,W 〉+ 〈V ,W 〉. (c) 〈αV ,W 〉 = 〈V , αW 〉 = α〈V ,W 〉. (d) 〈V ,V 〉 =‖ V ‖2 ≥ 0. Mais ainda, ‖ V ‖= 0⇔ V = ~0. (e) |〈V ,W 〉| ≤ ‖ V ‖‖W ‖. (desigualdade de Cauchy-Schwarz). (f) ‖ V + W ‖ ≤ ‖ V ‖ + ‖W ‖. (desigualdade triangular) Produto escalar em Rn Propriedades: (sa˜o as mesmas que ja´ foram demonstradas para o R2 e R3) (a) 〈V ,W 〉 = 〈W ,V 〉. (b) 〈U + V ,W 〉 = 〈U,W 〉+ 〈V ,W 〉. (c) 〈αV ,W 〉 = 〈V , αW 〉 = α〈V ,W 〉. (d) 〈V ,V 〉 =‖ V ‖2 ≥ 0. Mais ainda, ‖ V ‖= 0⇔ V = ~0. (e) |〈V ,W 〉| ≤ ‖ V ‖‖W ‖. (desigualdade de Cauchy-Schwarz). (f) ‖ V + W ‖ ≤ ‖ V ‖ + ‖W ‖. (desigualdade triangular) Produto escalar em Rn Propriedades: (sa˜o as mesmas que ja´ foram demonstradas para o R2 e R3) (a) 〈V ,W 〉 = 〈W ,V 〉. (b) 〈U + V ,W 〉 = 〈U,W 〉+ 〈V ,W 〉. (c) 〈αV ,W 〉 = 〈V , αW 〉 = α〈V ,W 〉. (d) 〈V ,V 〉 =‖ V ‖2 ≥ 0. Mais ainda, ‖ V ‖= 0⇔ V = ~0. (e) |〈V ,W 〉| ≤ ‖ V ‖‖W ‖. (desigualdade de Cauchy-Schwarz). (f) ‖ V + W ‖ ≤ ‖ V ‖ + ‖W ‖. (desigualdade triangular) Produto escalar em Rn Propriedades: (sa˜o as mesmas que ja´ foram demonstradas para o R2 e R3) (a) 〈V ,W 〉 = 〈W ,V 〉. (b) 〈U + V ,W 〉 = 〈U,W 〉+ 〈V ,W 〉. (c) 〈αV ,W 〉 = 〈V , αW 〉 = α〈V ,W 〉. (d) 〈V ,V 〉 =‖ V ‖2 ≥ 0. Mais ainda, ‖ V ‖= 0⇔ V = ~0. (e) |〈V ,W 〉| ≤ ‖ V ‖‖W ‖. (desigualdade de Cauchy-Schwarz). (f) ‖ V + W ‖ ≤ ‖ V ‖ + ‖W ‖. (desigualdade triangular) Produto escalar em Rn Propriedades: (sa˜o as mesmas que ja´ foram demonstradas para o R2 e R3) (a) 〈V ,W 〉 = 〈W ,V 〉. (b) 〈U + V ,W 〉 = 〈U,W 〉+ 〈V ,W 〉. (c) 〈αV ,W 〉 = 〈V , αW 〉 = α〈V ,W 〉. (d) 〈V ,V 〉 =‖ V ‖2 ≥ 0. Mais ainda, ‖ V ‖= 0⇔ V = ~0. (e) |〈V ,W 〉| ≤ ‖ V ‖‖W ‖. (desigualdade de Cauchy-Schwarz). (f) ‖ V + W ‖ ≤ ‖ V ‖ + ‖W ‖. (desigualdade triangular) Produto escalar em Rn Propriedades: (sa˜o as mesmas que ja´ foram demonstradas para o R2 e R3) (a) 〈V ,W 〉 = 〈W ,V 〉. (b) 〈U + V ,W 〉 = 〈U,W 〉+ 〈V ,W 〉. (c) 〈αV ,W 〉 = 〈V , αW 〉 = α〈V ,W 〉. (d) 〈V ,V 〉 =‖ V ‖2 ≥ 0. Mais ainda, ‖ V ‖= 0⇔ V = ~0. (e) |〈V ,W 〉| ≤ ‖ V ‖‖W ‖. (desigualdade de Cauchy-Schwarz). (f) ‖ V + W ‖ ≤ ‖ V ‖ + ‖W ‖. (desigualdade triangular) Produto escalar em Rn Propriedades: (sa˜o as mesmas que ja´ foram demonstradas para o R2 e R3) (a) 〈V ,W 〉 = 〈W ,V 〉. (b) 〈U + V ,W 〉 = 〈U,W 〉+ 〈V ,W 〉. (c) 〈αV ,W 〉 = 〈V , αW 〉 = α〈V ,W 〉. (d) 〈V ,V 〉 =‖ V ‖2 ≥ 0. Mais ainda, ‖ V ‖= 0⇔ V = ~0. (e) |〈V ,W 〉| ≤ ‖ V ‖‖W ‖. (desigualdade de Cauchy-Schwarz). (f) ‖ V + W ‖ ≤ ‖ V ‖ + ‖W ‖. (desigualdade triangular) Produto escalar em Rn Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |〈V ,W 〉| ≤ ‖ V ‖‖W ‖. Desta desigualdade segue que |〈V ,W 〉| ‖ V ‖‖W ‖ ≤ 1. Da´ı −1 ≤ 〈V ,W 〉‖ V ‖‖W ‖ ≤ 1. Isto implica que existe um u´nico nu´mero real θ no intervalo [0, pi] tal que cos(θ) = 〈V ,W 〉 ‖ V ‖‖W ‖ . Este nu´mero θ e´, por definic¸a˜o, o aˆngulo entre os vetores V e W . Como em R2 e em R3, novamente temos que 〈V ,W 〉 =‖ V ‖‖W ‖ cos(θ). Produto escalar em Rn Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |〈V ,W 〉| ≤ ‖ V ‖‖W ‖. Desta desigualdade segue que |〈V ,W 〉| ‖ V ‖‖W ‖ ≤ 1. Da´ı −1 ≤ 〈V ,W 〉‖ V ‖‖W ‖ ≤ 1. Isto implica que existe um u´nico nu´mero real θ no intervalo [0, pi] tal que cos(θ) = 〈V ,W 〉 ‖ V ‖‖W ‖ . Este nu´mero θ e´, por definic¸a˜o, o aˆngulo entre os vetores V e W . Como em R2 e em R3, novamente temos que 〈V ,W 〉 =‖ V ‖‖W ‖ cos(θ). Produto escalar em Rn Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |〈V ,W 〉| ≤ ‖ V ‖‖W ‖. Desta desigualdade segue que |〈V ,W 〉| ‖ V ‖‖W ‖ ≤ 1. Da´ı −1 ≤ 〈V ,W 〉‖ V ‖‖W ‖ ≤ 1. Isto implica que existe um u´nico nu´mero real θ no intervalo [0, pi] tal que cos(θ) = 〈V ,W 〉 ‖ V ‖‖W ‖ . Este nu´mero θ e´, por definic¸a˜o, o aˆngulo entre os vetores V e W . Como em R2 e em R3, novamente temos que 〈V ,W 〉 =‖ V ‖‖W ‖ cos(θ). Produto escalar em Rn Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |〈V ,W 〉| ≤ ‖ V ‖‖W ‖. Desta desigualdade segue que |〈V ,W 〉| ‖ V ‖‖W ‖ ≤ 1. Da´ı −1 ≤ 〈V ,W 〉‖ V ‖‖W ‖ ≤ 1. Isto implica que existe um u´nico nu´mero real θ no intervalo [0, pi] tal que cos(θ) = 〈V ,W 〉 ‖ V ‖‖W ‖ . Este nu´mero θ e´, por definic¸a˜o, o aˆngulo entre os vetores V e W . Como em R2 e em R3, novamente temos que 〈V ,W 〉 =‖ V ‖‖W ‖ cos(θ). Produto escalar em Rn Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |〈V ,W 〉| ≤ ‖ V ‖‖W ‖. Desta desigualdade segue que |〈V ,W 〉| ‖ V ‖‖W ‖ ≤ 1. Da´ı −1 ≤ 〈V ,W 〉‖ V ‖‖W ‖ ≤ 1. Isto implica que existe um u´nico nu´mero real θ no intervalo [0, pi] tal que cos(θ) = 〈V ,W 〉 ‖ V ‖‖W ‖ . Este nu´mero θ e´, por definic¸a˜o, o aˆngulo entre os vetores V e W . Como em R2 e em R3, novamente temos que 〈V ,W 〉 =‖ V ‖‖W ‖ cos(θ). Produto escalar em Rn Desigualdade de Cauchy-Schwarz: |〈V ,W 〉| ≤ ‖ V ‖‖W ‖. Desta desigualdade segue que |〈V ,W 〉| ‖ V ‖‖W ‖ ≤ 1. Da´ı −1 ≤ 〈V ,W 〉‖ V ‖‖W ‖ ≤ 1. Isto implica que existe um u´nico nu´mero real θ no intervalo [0, pi] tal que cos(θ) = 〈V ,W 〉 ‖ V ‖‖W ‖ . Este nu´mero θ e´, por definic¸a˜o, o aˆngulo entre os vetores V e W . Como em R2 e em R3, novamente temos que 〈V ,W 〉 =‖ V ‖‖W ‖ cos(θ). Produto escalar em Rn Se V e W sa˜o vetores na˜o nulos em Rn, vimos que 〈V ,W 〉 =‖ V ‖‖W ‖ cos(θ) onde θ e´ o aˆngulo entre V e W . Isto implica que 〈V ,W 〉 = 0 se, e somente se, θ = 90o . Portanto 〈V ,W 〉 = 0 caracteriza vetores ortogonais. De modo ana´logo ao que ja´ foi feito no plano e no espac¸o, podemos definir o conceito de projec¸a˜o ortogonal. Produto escalar em Rn Se V e W sa˜o vetores na˜o nulos em Rn, vimos que 〈V ,W 〉 =‖ V ‖‖W ‖ cos(θ) onde θ e´ o aˆngulo entre V e W . Isto implica que 〈V ,W 〉 = 0 se, e somente se, θ = 90o . Portanto 〈V ,W 〉 = 0 caracteriza vetores ortogonais. De modo ana´logo ao que ja´ foi feito no plano e no espac¸o, podemos definir o conceito de projec¸a˜o ortogonal. Produto escalar em Rn Se V e W sa˜o vetores na˜o nulos em Rn, vimos que 〈V ,W 〉 =‖ V ‖‖W ‖ cos(θ) onde θ e´ o aˆngulo entre V e W . Isto implica que 〈V ,W 〉 = 0 se, e somente se, θ = 90o . Portanto 〈V ,W 〉 = 0 caracteriza vetores ortogonais. De modo ana´logo ao que ja´ foi feito no plano e no espac¸o, podemos definir o conceito de projec¸a˜o ortogonal. Projec¸a˜o Ortogonal O vetor projec¸a˜o ortogonal e´ caracterizado por: I projV (W ) = αV e´ um mu´ltiplo escalar de V . I A diferenc¸a W − projV (W ) e´ um vetor ortogonal a V . 〈W − projV (W ),V 〉 = 0 ⇒ 〈W − αV ,V 〉 = 0 ⇒ 〈W ,V 〉 − α〈V ,V 〉 = 0 ⇒ α〈V ,V 〉 = 〈W ,V 〉 ⇒ α = 〈W ,V 〉 〈V ,V 〉 ⇒ projV (W ) = 〈W ,V 〉 〈V ,V 〉 V Projec¸a˜o Ortogonal O vetor projec¸a˜o ortogonal e´ caracterizado por: I projV (W ) = αV e´ um mu´ltiplo escalar de V . I A diferenc¸a W − projV (W ) e´ um vetor ortogonal a V . 〈W − projV (W ),V 〉 = 0 ⇒ 〈W − αV ,V 〉 = 0 ⇒ 〈W ,V 〉 − α〈V ,V 〉 = 0 ⇒ α〈V ,V 〉 = 〈W ,V 〉 ⇒ α = 〈W ,V 〉 〈V ,V 〉 ⇒ projV (W ) = 〈W ,V 〉 〈V ,V 〉 V Projec¸a˜o Ortogonal O vetor projec¸a˜o ortogonal e´ caracterizado por: I projV (W ) = αV e´ um mu´ltiplo escalar de V . I A diferenc¸a W − projV (W ) e´ um vetor ortogonal a V . 〈W − projV (W ),V 〉 = 0 ⇒ 〈W − αV ,V 〉 = 0 ⇒ 〈W ,V 〉 − α〈V ,V 〉 = 0 ⇒ α〈V ,V 〉 = 〈W ,V 〉 ⇒ α = 〈W ,V 〉 〈V ,V 〉 ⇒ projV (W ) = 〈W ,V 〉 〈V ,V 〉 V Projec¸a˜o Ortogonal O vetor projec¸a˜o ortogonal e´ caracterizado por: I projV (W ) = αV e´ um mu´ltiplo escalar de V . I A diferenc¸a W − projV (W ) e´ um vetor ortogonal a V . 〈W − projV (W ),V 〉 = 0 ⇒ 〈W − αV ,V 〉 = 0 ⇒ 〈W ,V 〉 − α〈V ,V 〉 = 0 ⇒ α〈V ,V 〉 = 〈W ,V 〉 ⇒ α = 〈W ,V 〉 〈V ,V 〉 ⇒ projV (W ) = 〈W ,V 〉 〈V ,V 〉 V Projec¸a˜o Ortogonal O vetor projec¸a˜o ortogonal e´ caracterizado por: I projV (W ) = αV e´ um mu´ltiplo escalar de V . I A diferenc¸a W − projV (W ) e´ um vetor ortogonal aV . 〈W − projV (W ),V 〉 = 0 ⇒ 〈W − αV ,V 〉 = 0 ⇒ 〈W ,V 〉 − α〈V ,V 〉 = 0 ⇒ α〈V ,V 〉 = 〈W ,V 〉 ⇒ α = 〈W ,V 〉 〈V ,V 〉 ⇒ projV (W ) = 〈W ,V 〉 〈V ,V 〉 V Projec¸a˜o Ortogonal O vetor projec¸a˜o ortogonal e´ caracterizado por: I projV (W ) = αV e´ um mu´ltiplo escalar de V . I A diferenc¸a W − projV (W ) e´ um vetor ortogonal a V . 〈W − projV (W ),V 〉 = 0 ⇒ 〈W − αV ,V 〉 = 0 ⇒ 〈W ,V 〉 − α〈V ,V 〉 = 0 ⇒ α〈V ,V 〉 = 〈W ,V 〉 ⇒ α = 〈W ,V 〉 〈V ,V 〉 ⇒ projV (W ) = 〈W ,V 〉〈V ,V 〉 V Projec¸a˜o Ortogonal O vetor projec¸a˜o ortogonal e´ caracterizado por: I projV (W ) = αV e´ um mu´ltiplo escalar de V . I A diferenc¸a W − projV (W ) e´ um vetor ortogonal a V . 〈W − projV (W ),V 〉 = 0 ⇒ 〈W − αV ,V 〉 = 0 ⇒ 〈W ,V 〉 − α〈V ,V 〉 = 0 ⇒ α〈V ,V 〉 = 〈W ,V 〉 ⇒ α = 〈W ,V 〉 〈V ,V 〉 ⇒ projV (W ) = 〈W ,V 〉 〈V ,V 〉 V Bases Ortogonais e Ortonormais Seja {V1, . . . ,Vk} uma base para um subespac¸o de Rn: (a) Esta base e´ ortogonal se quaisquer dois vetores da base sa˜o ortogonais. 〈Vi ,Vj〉 = 0. (b) Esta base e´ ortonormal se todos os vetores sa˜o unita´rios e perpendiculares. 〈Vi ,Vj〉 = 0 e 〈Vi ,Vi 〉 = 1. Exemplo 1: {~i ,~j , ~k} e´ uma base ortonormal de R3. Exemplo 2: V1 = (1, 3) e V2 = (−3, 1) formam uma base ortogonal de R2. Exemplo 3: V1 = (cos(θ), sen(θ)) e V2 = (−sen(θ), cos(θ)) formam uma base ortonormal de R2. Bases Ortogonais e Ortonormais Seja {V1, . . . ,Vk} uma base para um subespac¸o de Rn: (a) Esta base e´ ortogonal se quaisquer dois vetores da base sa˜o ortogonais. 〈Vi ,Vj〉 = 0. (b) Esta base e´ ortonormal se todos os vetores sa˜o unita´rios e perpendiculares. 〈Vi ,Vj〉 = 0 e 〈Vi ,Vi 〉 = 1. Exemplo 1: {~i ,~j , ~k} e´ uma base ortonormal de R3. Exemplo 2: V1 = (1, 3) e V2 = (−3, 1) formam uma base ortogonal de R2. Exemplo 3: V1 = (cos(θ), sen(θ)) e V2 = (−sen(θ), cos(θ)) formam uma base ortonormal de R2. Bases Ortogonais e Ortonormais Seja {V1, . . . ,Vk} uma base para um subespac¸o de Rn: (a) Esta base e´ ortogonal se quaisquer dois vetores da base sa˜o ortogonais. 〈Vi ,Vj〉 = 0. (b) Esta base e´ ortonormal se todos os vetores sa˜o unita´rios e perpendiculares. 〈Vi ,Vj〉 = 0 e 〈Vi ,Vi 〉 = 1. Exemplo 1: {~i ,~j , ~k} e´ uma base ortonormal de R3. Exemplo 2: V1 = (1, 3) e V2 = (−3, 1) formam uma base ortogonal de R2. Exemplo 3: V1 = (cos(θ), sen(θ)) e V2 = (−sen(θ), cos(θ)) formam uma base ortonormal de R2. Bases Ortogonais e Ortonormais Seja {V1, . . . ,Vk} uma base para um subespac¸o de Rn: (a) Esta base e´ ortogonal se quaisquer dois vetores da base sa˜o ortogonais. 〈Vi ,Vj〉 = 0. (b) Esta base e´ ortonormal se todos os vetores sa˜o unita´rios e perpendiculares. 〈Vi ,Vj〉 = 0 e 〈Vi ,Vi 〉 = 1. Exemplo 1: {~i ,~j , ~k} e´ uma base ortonormal de R3. Exemplo 2: V1 = (1, 3) e V2 = (−3, 1) formam uma base ortogonal de R2. Exemplo 3: V1 = (cos(θ), sen(θ)) e V2 = (−sen(θ), cos(θ)) formam uma base ortonormal de R2. Bases Ortogonais e Ortonormais Seja {V1, . . . ,Vk} uma base para um subespac¸o de Rn: (a) Esta base e´ ortogonal se quaisquer dois vetores da base sa˜o ortogonais. 〈Vi ,Vj〉 = 0. (b) Esta base e´ ortonormal se todos os vetores sa˜o unita´rios e perpendiculares. 〈Vi ,Vj〉 = 0 e 〈Vi ,Vi 〉 = 1. Exemplo 1: {~i ,~j , ~k} e´ uma base ortonormal de R3. Exemplo 2: V1 = (1, 3) e V2 = (−3, 1) formam uma base ortogonal de R2. Exemplo 3: V1 = (cos(θ), sen(θ)) e V2 = (−sen(θ), cos(θ)) formam uma base ortonormal de R2. Bases Ortogonais e Ortonormais Seja {V1, . . . ,Vk} uma base para um subespac¸o de Rn: (a) Esta base e´ ortogonal se quaisquer dois vetores da base sa˜o ortogonais. 〈Vi ,Vj〉 = 0. (b) Esta base e´ ortonormal se todos os vetores sa˜o unita´rios e perpendiculares. 〈Vi ,Vj〉 = 0 e 〈Vi ,Vi 〉 = 1. Exemplo 1: {~i ,~j , ~k} e´ uma base ortonormal de R3. Exemplo 2: V1 = (1, 3) e V2 = (−3, 1) formam uma base ortogonal de R2. Exemplo 3: V1 = (cos(θ), sen(θ)) e V2 = (−sen(θ), cos(θ)) formam uma base ortonormal de R2. Bases Ortogonais e Ortonormais Exemplo 4: Considere o plano 2x + y − 3z = 0 de R3. Observe que ele e´ um subespac¸o de R3. (a) Determine uma base de W . (b) Determine uma base ortogonal de W . (c) Determine uma base ortonormal de W . Exemplo 5: Sejam V1 = (1, 3,−2, 5) e V2 = (1, 2, 1, 3) vetores de R4. Seja W o conjunto dos vetores de R4 que sa˜o ortogonais a V1 e a V2. (a) Determine uma base de W . (b) Determine uma base ortogonal de W . (c) Determine uma base ortonormal de W . Bases Ortogonais e Ortonormais Exemplo 4: Considere o plano 2x + y − 3z = 0 de R3. Observe que ele e´ um subespac¸o de R3. (a) Determine uma base de W . (b) Determine uma base ortogonal de W . (c) Determine uma base ortonormal de W . Exemplo 5: Sejam V1 = (1, 3,−2, 5) e V2 = (1, 2, 1, 3) vetores de R4. Seja W o conjunto dos vetores de R4 que sa˜o ortogonais a V1 e a V2. (a) Determine uma base de W . (b) Determine uma base ortogonal de W . (c) Determine uma base ortonormal de W . I Fac¸am os exerc´ıcios da Lista. I Na pro´xima aula vamos falar de mudanc¸as de coordenadas. I As aulas sa˜o importantes, pois estamos aprendendo muitos conceitos. I Os slides na˜o substituem a apostila e a aula.
Compartilhar