Questão resolvida - Seja b =(1,1,1), (0,1,1), (0,0,1) base R³ verifique se a base r³dada é ortogonal se nao for, obtenha de b, uma base b' que seja ortogonal - Álgebra Linear I

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Seja base de R³, verifique se a base R³ dada é b = 1, 1, 1 ; 0, 1, 1 ; 0, 0, 1{( ) ( ) ( )}
ortogonal. se não for, obtenha de b uma base b' que seja ortogonal.
 
Resolução:
 
Os vetores que compem uma base de R³ serão ortogonais quando o produto escalar entre 
todos os vetores são iguais a zero, ou seja, sejam 3 vetores que formam uma ( , ,v1 v2 v3)
base do R³, estes vetores serão orgonais quando;
 
⋅ = 0, ⋅ = 0 e ⋅ = 0v1 v2 v1 v3 v2 v3
Caso os 3 três vetores não sejam ortogonais, é possível cirar uma base ortogonal, a partir 
dos vetores , sendo este conjunto dado pelos vetores , com;( , ,v1 v2 v3) ( , ,w1 w2 w3)
 
= ; = - ⋅ e = - ⋅ - ⋅w1 v1 w2 v2
⋅
⋅
v2 w1
w1 w1
w1 w3 v3
⋅
⋅
v3 w2
w2 w2
w2
⋅
⋅
v3 w1
w1 w1
w1
 
Assim, primeiro, vamos verificar se os vetores que formam a base b são ortogonais:
 
1, 1, 1 ⋅ 0, 1, 1 = 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 = 0 + 1 + 1 = 2( ) ( ) ( )
 
1, 1, 1 ⋅ 0, 0, 1 = 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 = 0 + 0 + 1 = 1( ) ( ) ( ) ( )
 
0, 1, 1 ⋅ 0, 0, 1 = 0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1 = 0 + 0 + 1 = 1( ) ( ) ( ) ( )
 
Pelo resultado obtido acima, podemos concluir que os vetores não são ortogonais! Para 
achar 3 vetores que sejam base de R³ e sejam também ortogonais advindos da base b, ou 
seja, uma base b' tal que , devemos aplicar as propriedades mostradas b' ⊥ R3
anteriormente e achar os 3 vetores , como visto na sequência;( , ,w1 w2 w3)
 
Sendo : = 1, 1, 1 ; = 0, 1, 1 e = 0, 0, 1v1 ( ) v2 ( ) v3 ( )
 
= = 1, 1, 1w1 v1 ( )
 
 
 
 = - ⋅ = 0, 1, 1 - ⋅ 1, 1, 1w2 v2
⋅
⋅
v2 w1
w1 w1
w1 ( )
0, 1, 1 ⋅ 1, 1, 1
1, 1, 1 ⋅ 1, 1, 1
( ) ( )
( ) ( )
( )
= 0, 1, 1 - ⋅ 1, 1, 1 = 0, 1, 1 - ⋅ 1, 1, 1( )
0 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1
1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1
( )
( ) ( )
0 + 1 + 1
1 + 1 + 1
( )
 = 0, 1, 1 - ⋅ 1, 1, 1 = 0, 1, 1 - ⋅ 1, ⋅ 1, ⋅ 1 = 0, 1, 1 - , ,w2 ( )
2
3
( ) ( )
2
3
2
3
2
3
( )
2
3
2
3
2
3
 = 0 - , 1 - , 1 - = , , = - , ,w2
2
3
2
3
2
3
0 - 2
3
3 - 2
3
3 - 2
3
2
3
1
3
1
3
 
= - ⋅ - ⋅w3 v3
⋅
⋅
v3 w2
w2 w2
w2
⋅
⋅
v3 w1
w1 w1
w1
= 0, 0, 1 - ⋅ - , , - ⋅ 1, 1, 1( )
0, 0, 1 ⋅ - , ,
- , , ⋅ - , ,
( )
2
3
1
3
1
3
2
3
1
3
1
3
2
3
1
3
1
3
2
3
1
3
1
3
0, 0, 1 ⋅ 1, 1, 1
1, 1, 1 ⋅ 1, 1, 1
( ) ( )
( ) ( )
( )
= 0, 0, 1 - ⋅ - , , - ⋅ 1, 1, 1w3 ( )
0 ⋅ - + 0 ⋅ + 1 ⋅
- ⋅ - + ⋅ + ⋅
( )
2
3
( )
1
3
1
3
2
3
2
3
1
3
1
3
1
3
1
3
2
3
1
3
1
3
0 ⋅ 0 + 1 ⋅ 0 + 1 ⋅ 1
1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1 + 1 ⋅ 1
( )
= 0, 0, 1 - ⋅ - , , - ⋅ 1, 1, 1w3 ( )
0 + 0 +
+ +
1
3
4
9
1
9
1
9
2
3
1
3
1
3
0 + 0 + 1
1 + 1 + 1
( )
= 0, 0, 1 - ⋅ - , , - ⋅ 1, 1, 1 = 0, 0, 1 - ⋅ - , , - ⋅ 1, ⋅ 1, ⋅ 1w3 ( )
1
3
4+1+1
9
2
3
1
3
1
3
1
3
( ) ( )
1
3
6
9
2
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
= 0, 0, 1 - ⋅ ⋅ - , , - , , = - ⋅ - , , - , , + 0, 0, 1w3 ( )
1
3
3
2
2
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
2
2
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
( )
= - ⋅ - , - ⋅ , - ⋅ + - + 0, - + 0, - + 1w3
1
2
2
3
1
2
1
3
1
2
1
3
1
3
1
3
1
3
= , - , - + - , - , = - , - - , - +w3
1
3
1
6
1
6
1
3
1
3
2
3
1
3
1
3
1
6
1
3
1
6
2
3
= 0, , = 0, - , = 0, - ,w3
-1 - 2
6
-1 + 4
6
3
6
3
6
1
2
1
2
Com isso, uma base ortogonal b' extraida da base b é:
 
 
 
b' = 1, 1, 1 ; - , , ; 0, - , ( )
2
3
1
3
1
3
1
2
1
2
 
 
(Resposta )