Av1 e Av - Álgebra Linear e Vetorial

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Av1 - Álgebra Linear e Vetorial
1) As matrizes são classificadas quanto ao tipo e cada tipo tem suas características. Com exemplos: Matriz coluna é aquela que possui apenas uma coluna, Matriz quadrada é aquela que o número de linhas é igual a número de colunas. Uma matriz muito utilizada é a Matriz Identidade, pois esta tem características de outras matrizes.
Neste contexto, complete as lacunas da sentença a seguir.
A matriz Identidade é uma matriz quadrada é também uma matriz triangular  ______________ e ___________ ao mesmo tempo. Logo é também um matriz ________________.Usamos matriz identidade para o cálculo da __________________ de uma matrizes.
Agora, assinale a afirmativa correta:
Alternativas:
· Superior , Triangular Inferior ,  Diagonal, Inversa.
2) Quando multiplicamos uma matriz por outra, é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda matriz. O resultado dessa multiplicação será uma matriz com o número de linhas da primeira e o número de colunas da segunda.
Fonte:Disponível em<http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/multiplicacao-matrizes.htm>17.Nov.2017.
 
 
Neste contexto  considere     e determine  .  
Agora, assinale a alternativa correta.
Alternativas:
  
3)Em uma pequena lanchonete da faculdade são vendidos  esses três tipos de salgados: Torta de Frango,  Coxinhas e Empadas..  Em uma noite, de pouco movimento, o pedido de três mesas são mostrados na tabela a seguir.
	MESA
	PEDIDO
	VALOR PAGO
	1
	1 Torta de Frango, 2 Coxinhas e 3 Empadas.
	R$ 23,00
	2
	2 Tortas de Frango, 5 Coxinhas e Empadas.
	R$ 50,00
	3
	2 Tortas de Frango, 3 Coxinhas e 4 Empadas.
	R$ 36,00
De acordo com os pedidos de cada mesa, podemos afirmar  que valor da  Torta de Frango, da Coxinha e da  Empada são respectivamente:
Alternativas:
R$ 6,00 ; R$ 4,00 e R$ 3,00.
4)
Considere as matrizes   e  a equação matricial  .  Um aluno resolveu a equação  matricial e encontrou um sistema linear com quatro equações e quatro variáveis. Então usou o método de escalonamento para encontrar o valor das variáveis   Considerando o contexto apresentado, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas.
 
I - O aluno classificou esse sistema como sistema impossível.
PORQUE
II -  O sistema não tem solução. 
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa  correta.
Alternativas:
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa da I.
5)A determinação de uma matriz inversa de ordem n é dada através da multiplicação por uma matriz B genérica, sendo que o resultado deverá ser uma matriz identidade. Lembrando que matriz identidade de ordem n é uma matriz onde a diagonal principal é preenchida pelo número 1 e os demais espaços são preenchidos com o número 0. 
Fonte:Disponível em<http://brasilescola.uol.com.br/matematica/regra-cramer.htm>Acesso.08.Jan.2017.
Considerando o contexto apresentado determine a matriz inversa de  .
Agora, assinale a alternativa correta.
Alternativas:
· a)
Av2 - Álgebra Linear e Vetorial
1) Considere o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2 sobre : .
Neste espaço vetorial considere os seguintes produtos internos:
 
Produto interno 1: 
Produto interno 2: 
Produto interno 3: .
 
Neste contexto, julgue as afirmações que se seguem. 
 
I- Os vetores  são ortogonais em relação ao produto interno 1 mas não são ortogonais em relação ao produto interno 2.
  
II - Os vetores  não são ortogonais em relação ao produto interno 2 mas são ortogonais com respeito ao produto interno 3.
III- Os vetores  não são ortogonais com relação a nenhum dos produtos internos anteriores.
Agora, assinale a alternativa correta.
Alternativas:
· b) Apenas as afirmativas II e III estão corretas.
2)O ângulo entre dois vetores de um espaço vetorial qualquer depende do particular produto interno que estivermos usando.
 
Para u e v vetores em um espaço vetorial qualquer o ângulo entre u e v é dado por
 onde 
 
Neste contexto, julgue as afirmações que se seguem.
(   ) Considere o  com o produto interno usual:  e , .
Com este produto interno o ângulo entre os vetores   é .
 
(   ) Considere o espaço vetorial dos polinômios de grau menor ou igual a 2: , com o produto interno   e os vetores  e .
Com este produto interno os vetores f e g são paralelos.
 
(   ) Considere o espaço vetorial , os vetores  e  com o produto interno Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta
Alternativas: V – F – V – F . 
3) Um importante caso de mudança de base é a rotação, tanto no plano quanto no espaço. Considere um sistema de coordenadas bidimensional e um vetor na forma . Suponha ainda que os eixos tenham sido rotacionados de um ângulo  no sentido anti-horário.
 
Considere x e y os eixos usuais do plano e representemos por u e v as retas obtidas a partir dos eixos x e y após rotação de um ângulo  .
 
I. A matriz de rotação para a situação descrita é dada por 
 
II. Um vetor  após rotação no sentido anti-horário de  será representado por
 
III. Suponha que o vetor  sofra uma rotação no sentido anti-horário de .
 
Então, após esta rotação o vetor v fica:
Agora, assinale a alternativa que apresenta a correta 
Alternativas:
Apenas a afirmativa I está correta.  
4) Considere  um espaço vetorial qualquer e as bases  e . Seja x um vetor de .
 
Considere  o vetor x escrito em termos da base B e   este mesmo vetor escrito em termos dos vetores da base C.
 
Representemos por  a matriz de mudança de base de C para B e a matriz de mudança de base de B para C.
 
Efetuar a mudança de base do vetor x da base B para a base C consiste em multiplicar a matriz de mudança de base de B para C pelo vetor x escrito na base B:
 
Para efetuar a mudança de base do vetor x da base C para a base B devemos efetuar a multiplicação . Neste contexto, julgue as afirmações que se seguem e marque (V) para verdadeiro ou (F) para falso.
 
(   ) Sejam as bases  de .
A matriz de mudança de base de C para B é dada por 
 
(   ) Considere as bases  do  e o vetor 
Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta
Alternativas: V – V – F.  
5)Os subespaços vetoriais são subconjuntos de um espaço vetorial, nos quais as operações de adição e multiplicação por escalar estão definidos no espaço vetorial.   Assim a soma de dois subespaços vetoriais também pertence ao espaço vetorial. Ou seja, sejam  dois subespaços de um espaço vetorial . A soma   de , que se representa por , é o conjunto de todos os vetores  de  tais que .
Sejam os  subespaços vetoriais  do espaço vetorial . Neste contexto,  avalie as asserções e a relação proposta entre elas.
I- A soma  é um subespaço vetorial de 
                      PORQUE
II-  consiste no  próprio .
 
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:
Alternativas:
As duas afirmações são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira.