Aap1 - Aap2 -Aap3 - Aap4 - Álgebra Linear e Vetorial

Prévia do material em texto

Aap1 - Álgebra Linear e Vetorial
1) Dadas as matrizes  e as operações de adição/subtração e multiplicação de matrizes.  Neste contexto, julgue as afirmações que se seguem.
 
I. I - A soma A+B não é possível, porque as matriz A não é quadrada.
II. II - A soma A+B não é possível, porque as matrizes A e B são de ordem diferentes.
III. III  - Os produtos  são possíveis.
IV. IV - Os produto   é possível e a matriz resultante é uma matriz de ordem
É correto  apenas o  que se afirma em:
Alternativas: II e IV.
2) O estudo de matrizes esta ligado ao campo da matemática e com aplicações em diversas áreas como na física e na computação, entre outras áreas. As matrizes são compostas por  linhas e colunas sendo essas responsáveis pelas dimensões das matrizes, ou seja, uma matriz de ordem   é formada por  linhas e  colunas. As matrizes podem ser  classificadas pelo tipo, este de acordo com suas características. Também  podemos  realizar as operações de  adição/subtração e multiplicação de matrizes. Neste contexto, julgue as afirmações que se seguem e marque (V) para verdadeiro ou (F) para falso. 
 
(  ) Na operação adição/subtração, as matrizes devem ser quadradas.
(  ) Na operação adição/subtração, as matrizes devem ser de mesma ordem.
(  ) Na operação multiplicação, só será possível se as matrizes forem de mesma ordem.
(  ) Na operação multiplicação, o produto  só será possível se o número de colunas de A for igual ao número de linhas de B. 
(  ) Na operação multiplicação, a matriz resultante    terá o número de linha  B e o número de colunas de A.
Agora,  assinale a alternativa que representa a sequência correta.
Alternativas: F-V-F-V-F.
3) Na matemática matrizes são tabelas compostas com linhas e colunas, utilizadas para armazenamento de dados.  Uma matriz é representada assim:  são os elementos ,onde  i (linha) e j (coluna) representam a posição de cada elemento na matriz.  Sendo as matrizes  e considerando a operação multiplicação de matrizes. Avalie as seguintes asserções e  a relação proposta entre elas.
 I. Os produto ,   e   são possíveis.
                  PORQUE
II. Todas as matrizes tem o mesmo número de linhas.
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.
Alternativas: A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
4) Um construtor tem contratos para construir três casas geminadas em dois lotes. Estes lotes localizam-se na cidade de Belo Horizonte na região de Venda Nova. Os primeiros gastos serão com limpeza do terreno. Sendo que um lote possui uma construção antiga que deverá ser demolida e outro apenas mato.  Para essa limpeza será preciso contratar mão de obra e também caçambas para carregar lixos e entulhos. A tabela seguir mostram valores de locação de caçamba na Região de Venda Nova. Para limpeza total, serão gastos seis dias e três funcionários, sendo um pedreiro e dois ajudantes.  As diárias do pedreiro é R$ 250,00 e do ajudante R$ 100,00.  Sabendo-se que foram usadas  quatro caçambas de entulho e cinco  caçambas de lixo por dia sendo os fornecedores de caçambas listados a seguir..
 
                                                   TABELA DE  PREÇOS E SERVIÇOS CAÇAMBA
 
	ESTABELECIMENTOS
	LIXO (Locação 3 dias úteis)
	ENTULHO (Locação 3 dias úteis)
	1) ABC Caçambas
( preços atualizados 03//08/2017)
	R$ 160,00
	R$ 140,00
	2) Locaçambas
( preços atualizados 02//08/2017)
	R$ 160,00
	R$ 120,00
	3) Exclusiva Caçambas
( preços atualizados 02//08/2017)
	R$ 160,00
	R$ 140,00
	4) Nova Caçambas
( preços atualizados 02//08/2017)
	R$ 180,00
	R$ 140,00
 
Fonte:  Mercado Mineiro
 
 Neste contexto, julgue as afirmações que se seguem.
  I - O orçamento com as caçambas, o melhor é preço é do segundo estabelecimento.
  II- O melhor orçamento é do segundo estabelecimento e o total da mão de obra e caçambas é R$ 2630,00.
  III - O valor com a mão de obra é R$2.700,00. Já valor com as caçambas não faz diferença.
  IV - Os orçamentos do primeiro e terceiro estabelecimento são iguais. E nesse caso o total da mão de obra e caçambas é R$ 5.260,00.
É correto o que se afirma em:
Alternativas: I e IV, apenas.
Aap2 - Álgebra Linear e Vetorial
1)  Os vetores  definidos em   são reapresentados por  , sendo os pontos  e   dados por  . Neste contexto, determine o vetor resultante dado pela soma de .
Agora, assinale a alternativa correta.
Alternativas:
· b) 
2) Podemos definir um vetor como um segmento de reta orientado. Considere os pontos   localizados no vértice de um triangulo  , como mostra a figura.  Neste contexto, determine aproximadamente o perímetro do triangulo .
Agora, assinale a alternativa correta.
Alternativas: 8,06 u.c.
3) Norma de um vetor é outro nome dado ao módulo de um vetor. Para compreender o conceito de módulo ou norma de um vetor, é importante compreender primeiro o conceito de módulo de um número real, pois ambos se referem ao mesmo procedimento, mas com cálculos diferentes. Neste contexto,  considere  os vetores    e  , em seguida julgue as seguintes asserções e a relação propostas entre elas.
 
I - Podemos afirmar que o vetor    é o vetor unitário de  .
 PORQUE
II - Todo vetor unitário tem  módulo igual 2.
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.
Alternativas: A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
4) Um conjunto de vetores em um espaço com produto interno é chamado um conjunto ortogonal se quaisquer dois vetores distintos do conjunto são ortogonais. Sendo os vetores  , Considerando o contexto apresentado, avalie as seguintes asserções e a relação proposta entre elas 
I. O conjunto   dado anteriormente é ortogonal. 
PORQUE
II-  Ao calcular o produto interno entre os vetores   e     .
 A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:
Alternativas: A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.
Aap3 - Álgebra Linear e Vetorial
1) Todo espaço vetorial  admite pelo menos dois subespaço: o  subespaço nulo, e o próprio espaço vetorial , que são chamados de subespaços triviais de. Os demais são chamados de subespaços próprios de . Sendo o espaço  vetorial  de , avalie as asserções e a relação proposta entre elas.
I- Os conjuntos e o próprio   são subespaços de  
                                  PORQUE
II- São  subespaços triviais  de .
 A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta:
Alternativas:As duas afirmações são verdadeiras, e a segunda justifica a primeira.
2) O espaço  vetorial é um conjunto , não-vazio, sobre o qual estão definidas as operações de adição e de multiplicação por escalar. O conjunto V  é chamado de espaço vetorial real (ou espaço vetorial sobre ) se forem verificados alguns axiomas.
 
Neste contexto, considere os axiomas apresentados a seguir, julgue as afirmações e marque (V) para verdadeiro e (F) para falso.
 
 
(  V )  é válido 
(  V ) é válido  
( F   )  onde é válido 
(  V )  e é válido 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
Alternativas: V - V - F - V
3) Seja  um conjunto não vazio e  um corpo, além disso, considere  e ,  a fim de que  seja um espaço vetorial  algumas propriedades devem ser satisfeitas. Neste contexto, julgue as afirmações que  se seguem.
I -  A operação   consiste na distributividade de multiplicação.
II -  A operação   consiste na  comutatividade da adição.
III -  A operação   , tal que,   consiste no elemento neutro da multiplicação.
É correto apenas o que se afirma em:
Alternativas:  I,II e III.
 4) Considere um espaço vetorial  com produto interno . Dois vetores ,  deste espaço vetorial são ditos ortogonais se . 
 
Neste contexto, complete as lacunas da sentença a seguir:
 
Caso  e  sejam tais que ||u|| = 1 e ||v|| = 1 ( e  possuam norma unitária) e  dizemos que  e  são vetores ___________ entre si.
 
Dados  e  vetores de , define-se o ___________ entre  e  por .
 
Podemos aplicar o processo de ___________ de Gram-Schmidt a uma base B do espaço vetorial  e obter uma base ___________ de .
Assinale a alternativa que preenche corretamente as lacunas
Alternativas:ortonormais; ângulo; ortogonalização; ortonormal. 
Aap4 - Álgebra Linear e Vetorial
1) Sejam  e  espaços vetoriais e  e  transformações lineares com .  e  são transformações inversas se satisfazem as condições:  (identidade no espaço ) e  (identidade no espaço ). Dizemos que  é a transformação inversa de  e que ambas as transformações são inversíveis.
Considere a transformação projeção sobre o eixo y que a cada vetor  do plano associa o vetor .
 
I -   é uma transformação linear que não é inversível
PORQUE 
II  - não é bijetora.
A respeito dessas asserções, assinale a alternativa correta.
Alternativas: As asserções I e II são proposições falsas.
2) Sejam  e ,  espaços vetoriais no corpo  e as transformações lineares  e .
  
Agora, complete as lacunas que se seguem.
 
Define-se a operação ____________ de transformações lineares à transformação linear  que a cada vetor  associa vetores em  fazendo .
 
Como  e  a composição de transformações lineares é ____________. Sejam as transformações lineares  tais que  (identidade no espaço ) e  (identidade no espaço ). Dizemos então que a transformação  é ____________ de .
 
Se uma transformação linear  é invertível então sua inversa é ____________.
Agora, assinale a alternativa que preenche corretamente as lacunas.
Alternativas: multiplicação; quadrática; hermitiniana; injetora
3)
Alternativas:
· a)
Seja  uma transformação linear. Do teorema do Núcleo e da Imagem temos que, .  Considere a transformação linear  tal que sua imagem seja gerada por . Suponha que o núcleo de T seja gerado pelo vetor .
Agora, assinale a alternativa que apresenta uma transformação linear que atende ao solicitado anterior.
Alternativas: a)
4)
Seja  uma transformação linear. Do teorema do Núcleo e da Imagem temos que, .  Considere a transformação linear  tal que sua imagem seja gerada por . Suponha que o núcleo de T seja gerado pelo vetor .
Agora, assinale a alternativa que apresenta uma transformação linear que atende ao solicitado anterior.
Alternativas: b)