Apostila de Cálculo II

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FACULDADE DE TECNOLOGIA DE SÃO PAULO
FATEC - SP
/Jif /Jrea de JJJatemática
ASSUNTO:
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO II
DISCfPIJNAS:
1252 - MATEMÁTICA l - MAT l
1260 - MATEMÁTICA II - MAT II
1287 - MÉTODOS DE CÁLCULO II - CALC II
1503 - CÁLCULO PARA MECÂNICA DE PRECISÃO l - CALC I(F)
1562 - CÁLCULO PARA MECÂNICA DE PRECISÃO II - CALC II(F)
APOSTILA N ° 49
AUTOR: Prof. Syozo Yamazato
IMPRESSO NA GRAFICA DA FATEC-SP
.7.
EXERCÍCIOS - LISTA l
Calcule as seguintes integrais
•J1) l = l x dx
2) I •f*
í3) I « I 2x /"x dx
•í4) I = l 3x /x dx
5) I =
2a cos x dx
J 5 sei
6) I « | í-j- dx
sen x
7) I
J
dx
5 c o s x
8) I = l 3a sec x . 2b tg x dx
9) I =
f
l
í
•í
7(1 -t- x
dx
10) I = l (eA + 3x - -) dx
11) I = l. (3.2* - 3 sen x) dx
12) I • f _ ' _
J /l + x . /l - x
dx
.8
131 f tt 1 —A.... ̂ - fl^
«í /4 *»' $jj*
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j| 'jí 1 1f fit S JÍMÍNÍMKMMMMMiMÍW ntt
J feg K
10) X • 1. (! + 1 cotga«) dx
r i
10) I * I flUSafy dX '
r̂ ** Sf
21) X * 1 tg2x dK
23) | * f-SML, âa
J
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f a*f> á» t i
jt y^Om.WPWr,»»
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í
í
Ll^£.f
x ? í"( W \ •
M ** / •
' * J
l/ - x
__
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or
EXERCÍCIOS - tláTA lí
Calcule as seguintes integrais
!3x .•»• 1) dxf
2) í
'3) I
4) t
5) I
•í—J (2x - 3)
5= l i—i
J /H
r *a i ---_* .^
J /X2 4 - 1
— dx
10
6) I dx
7) I * l (2x + 1)+ 1) /x2 -l-
8) I f 2x^1
J /2x3 i- 3x + l
x •* 3 dx
dx
9) I = dx
- â)
10) I
11) I «
12) I
í
í
í
(4x - 2)
(2x - 1)
2
dx
(2x - 5P /2x - "5
/4x - 16
(x - 4)
dx
.13,
13) I = f ^(
4x + 2) ?
J 8x + 4 dx
14) I = dx
15) I = f
16) I = l -4r€//-
dx
dx
17) I =
3_/ 3 \
& í l - 2 /¥J
dx
18) I =
_ x
e a dx
|
3x-4 '
^^r dx
20) I =
r
ii
x+2
x . ex + x
x+1 dx
-í 4x21) I = l a . In a dx
22) I = l sen$ dx
23) I = l (x + l ) . sen(x + 2x) dx
24} I =
2.52 I
-J
•í
•J
x . sen-6x
4-2x2 dx
tg(2x). cos (2x) dx
JC
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o>
(O
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o
x
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X
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X
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X
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0
o
x
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x
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X
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O
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X
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x
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o
0
x
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r-t-
x
x
•o
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1
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X
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C
r-l
r-l
+
X
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X
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x
n*
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-p
O 4-
M
«J r-l
n
M
ti
M
VO
CM
oo
fsj n
ro
<*>
m CO
.15,
39) I = ( arccotg x dx
J l + *
40) I = l arcse"J /T
V-41) I
J x + x . In x
dx
42) I = \ /"x . sen (x /~x) dx
,3, I- J/í.
2x /x" .e dx
44) l x̂*
(a + x /"x)2
- dx
í
45) I - l /x . /l + x /x dx
46) l -
47) l
dx
/•
,., , . j
dx
x(x + l)10 dx
49) I - | x2(x - 2)4 dxí
50) I dx
SI) I dx
x
,16,
«.x-.p
53) I » 1 x5
54) I * 1 x5
* 55! I = 1 x7
56) I * l x3
57) I * 1 x3
/l - x2 dx
/l - x2 dx
2
( x3 + ir dx
/x4 * 2 d*
/2x2 -t- 4 dx
/3x2 - 6 dx
58) I
59) I *
•fc
h
/X
/x" dx
60) I -
61) I
» f -fe
J ( 2 * X ^
. f L_
J /T ( X 4-
- dx
62) I =
l -»• x -f /"
63) I
64) I =
í
f
/?T7- 2
2x + /x + l
x2 + 2x + l
dx
dx
.19.
EXERCÍCIOS * LISTA IIÍ
Calcule as seguintes integrais.
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
6)
9)
10)
11)
12)
I = íVx+2dx
I - e~x dx
1 te l a . e
ax dx
I = i e tgxsec2x dx
í « f X dxr-1
i = f * dx1 J 2x + 5 dx
f - | r
X A vj. - • A- ax
J i + x3
j _ f 3x2 - 5 d..x - l * ax
J xJ - 5x + 7
x f 3x
2 - lOx + é ...A I '-i j «X
J x - 5x 4- 6x - Q
I - i x - ^J (2x - 4) (2x -(- 4) a
T - f 8 /TT ,* i i— ' - - ajj
J 2x /x" + 3 Sx
l « j cos(2x - 5) dx
.20.
13) l * l sen(2abx - 1) dx
14) I * l A - sen (3x + 1) dx
MJ /T7
15) I * i CQtgíx - 1) dx
cotg (x - 1)
16) I « l __-L- dx
17) I
18) I -
19) I
20) I
21) i
22)
23) I
24) I
25) i
J COS (3x « 9)
f
J l - sen (4x +
Í
2tg (2x +
sen2(2x T
f S^g2x
J 2 I tg x
JÜL
l)
l)
dx
dx
tg x
In(cos x) dx
cos (2x)í
Í 2 t . (3x +cos (3x * a) dx
cos (ax) - cos(2ax)
dx
C08T2X 4 4) -i- l
dx
^
J l f 008 (6x - 8ab)
dx
.23.
EXERCÍCIOS LISTA IV
Calcule as seguintes integrais.
...2
1)1
2) I
3) l
4) I
dx
2
I- f *2 * §
J x3 -f 2x -
s l .-„- x -t 3 _
J x + 4x t
dx
13
- 3x - 4
dx
dx
5) I
6} I
7) I
4x t 3
* r _.. 2 x + 4
J x2 - 4x +
. f -i
J (x + 1)? C
dx
dx
8) I *
X
9) I
10) I f V
J x -
3x
2x
11) I =
x -
12} I = f
J
5x - 19
x2 - 7x + 10
dx
N» tu»
M
u
X
X
X
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.0.
X
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X
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X
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X
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-X
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Calcule
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3) I *
4) I w
§) I •
6) I s
7) I t
8) I =
9) I *
X9) I «
11) í «»
12) I «
• ' T" " • • ' , . - . • • ' ; ' -v"'' .« -'?*•'" 'i.- '̂ *-̂ T *:-!f. '̂ 7" . íflff"'. ' .̂ i?' .-"V.- ''W • JSs •;
EXERCÍCIOS * tlétA ., .¥
: l-'' • .-.,.;. .,, •*> v*-; '̂r; -M . -
as seguintes integçai|»
Íx eeiv K. d|| _ • ' ' ' .. . - i - > ' . - .• • . •. '
1 x cos H dx
í"6"*¥
t
f 2 'i x sec x Q#
J
f 2l x çosôc x 4n
J J ' ' % f ;
f :i x sen 2x dx
I 3x cos Sx dx
Í
, '
Xe
3í ídx i ';
J 2x •"?« ̂
l 2x seç2 3* 4x
t - •
( 1 ' ; ;: :::: 'l x In x dx 1
U3 In >e «^
."V
.27
í13) I = /x" In x dx
•í14) x = | ±ü_i dxx
15) I = arctg x dx•í
•í16) i = | arccotg x dx
17) I = arcsen x dx•í
18) I=| arccos 3x dx
J19) I = x sen x dx
20) I = J x cos ax dx
21) I =
22) I =
23) I
-í
J
•í
-í
x2 ex dx
x2 e-x dx
x3 ex dx
24) I = x cos x dx
25) I
•í
-J sec x dx
26* <3x
27) l * fé* 000 * dx
2ô) i * 11* een s» dx
29) l « t f*W 008 ÍX dl
M) i * j eeft » een 3xd
31) t « l coe 4u coa t»
32) S w f sen 2x cos 4x
l 8 COQ2x dx
I x een2 x dx
S3)
34) I «
35) | m \m lutai * 1)í
íS • l iftfiT t
S?) l • &
38) I • i g•I
,33.
EXERCÍCIOS - LISTA VI
Calcule as seguintes Integrais.
1 3 2sen x COS seí
D l -J
2 3 ^sen x cos x dx
3 ) 1 * 1 cos x sen x dxí
J 3.. 12.4) I «9 l sen^x cos x dx
5) I * l cos x sen x dxí
í
•J
6) I * cos 2x sen 2x
7 ) 1 = 1 cos 3x sen 3x dx
B) I * \ cos 5x sen 5x dxí
9) I = l sen xí
/
J
10) I - l cos32x dx
I « } sert 3x dX
12) í* l cos 5x dx
i w: -
» .«-
p»
p»
p»
p?
l?
* f
xp í
«P (Ç 4 xooesoo
xp (S * X8)oee l (€2
xp XBJ oesoo l * i
Kp Xf 098 =, Jí
Xp Xf uesí I (OS
X 800 \ * I (61
9
xp Xt»u9sj
Ití^OO J
' V°° J
i
• I
I Ut
KP ü^tiee | « j
39)
í
í
í
CQsec 2xd*
28) I * l sec62xdx
çoseç x
30) í - l ---8
32)
33)
•J
•í
J
í
s e o x dx
tg 2x dx
cotg ax
dx
|4) J ^ J Qoi;g
32ax dx
m z
37) l
ii
i'
/•
•/• 5x
.16.
I « l tg*x dx
Yf :
40) 1*1 tg * 4*
i * l ase4* tg2x dx
42)
41) I
44) I -
45) X
t sec42x tg 3
l sec x.tg x.
l sec x tg
í
f S 2l 3oosax tg
dx
K dx
46) l • l ootg f cosec
47) I
48) I * l sen 2x ços x dx
49)
SÓ) £
« l
Í
Í
cos 2x sen x dx
aenl3(âX *.I1
aec3(3x * D
dx
dx
cos(5x * l)
.39.
EXERCÍCIOS - LISTA VII
Calcule as seguintes integrais.
1) I = l /l - 4x2 dx-f
2) l dx
3) I = l v6í - l dx
4) I
5) I =
- x. dx
6) I
7) I
dx
-f^
•í̂
dx
T
8) I =
dx
dx
9) I =
10) I =
11) l =
12) I =
"J /P
J xVx+ l
dx
dx
dx
dx
OT
xp
* * g - ?*/ r
* J
= I (ZZ
xp 8 + * 9 - xy l = 1 (ZZ
xp
xp
z/tm + *9 - zx) f m
vr\ V9 v A M •—xp AC "* ^*v l "•—^ j
*p.; + x ; ^yj -
i V J J V \ / * T J _ V^ A•*• gy +
x ) (T •*• 3x) r___ j.
Xp ^ + ^ / v 9 l ~
' *̂ «/
6 -
xp
I ( T Z
I (02
6T
I (8T
I (LI
I (91
xp
xp
xp
52 -
,42,
Cale
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
• -- , _ —^ &&, . - .S, ,'
EXERCÍCIOS DE CALCULO II - LISTA VJÍX ^
;ule o valor das seguintes integrais definidas
p
1 * 1 cos 2x dxJo
I - ( 2 *2
1*1 x2/ 6 - 2x3 d?t
Jo
t
* „ 1 sen x .
i 1 2 axJ 0 cos x
f 1
I . * V ex(3 t ex)4 dx
0
f1 x3 * x i 1 'T « 1 * - T - - ....J; flv* - i ——•»•"-, "̂ UA
J0 x
2 t 1
f1
1*1 x ex+1 dx
Jo
f 2
1 = 1 x In (x2) dx
r3
I = \ x /x t l d x
Jo
r1i i * •T "s li . ... -^ /s v
1 «« . 2it - *J o x •*
fí 3 o
I «* 1 cos x. sen x dx
Jo
Í
T
T 3 5
tg x.sec X dx
0
.45.
EXERCÍCIOS DE CALCULO II - LISTA IX
CALCULE A ÁREA DA PARTE HACHÜRADA DAS SEGUINTES FIGURAS.
f /y=x:
2)
a
7
o
ry * cos x
•*• X
3) 4)
IIy « x.e
5) 6)
x*-2
Vo=l-x
7)
l
=x2-x-2 v... o
X
»
e
Q _!...,
\
(ei
St «l
(Zt (ti
w
.48.
r - - - - .. -•. • - - - •'- .......T> n :— ... m . . - r • i— . ..- .
EXERCÍCIOS DE CALCULO II * tlSTA X
Calcule a Srea limitada pelas curvaa das seguintes íufiçSéS j
1)
2)
K =
\y2 *
x * x
X* * X * 0
3x f 3
3)
'fyl * x
2 - 3x
\y2 • "X
2 - âx
x t i
5)
x - x
x 2 , x
2x2 t
7)
- 2x3 - 3x2
• X3 - 3X2 4
- 2
8) \ 3y2 * x
3
9)
3x^ * $
10) lyx - x (x - l)y2 s (x - l) (x * â)
U)
(x - 2) (2x - 4x - 3)
y2 * (x - 2) (x
4 * 3x * 3)
•' - " - ^
Calcule
i) y
2) y
V y
4) y
5) y
Ç) y
7) y
8) y
Ô) y
10) y
11) y
U) y
lá) y
14) y
15) y
16) y
17) y
-
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO
à medida do comprimento do
* | x/ST ,
*x"? , .,.
- | (2x * 1)3/2
- f . * -^ • « •
„ x3 <. 1
- | ( x-3)/$r ...,
\ v «>v
J» /^** .â. A *^\
- ln(x2 - 1) »
* í̂ %" * x * arc<*9 x*
1 1 2* J ( j x t x - In (x + 1)
-|(xS + U
3/2
1/1
- Á * X2 '»
tfa '* tJCSTAjtí,^ *
arco, nos intervalos da^oâ>'.;,' . . - . . - , - _ . . ( ,. ^.,r,^,, .;í ,.,.i- •.
• « » ip.^M
,r,fa,íj
1 ' ' -.
-M
•••t'»]
•
...H
...[o,i]
...9.3]
.,.[1..]
t-o
-H
•••[°'f]
-N
• « > H ]
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V « . •
* 4 ,-' ('i
,.*[l,2]
,..fo,íl '1 J " ' . ' • , ; - - ; v - ' ^ i
: - • • : • ' • • - . ' ';í '
• • **'
.54.
EXERCÍCIOS DE CALCULO II - IiISTÁ XIII
Calcule a área da superfície de revolução, nos intervalos d&doi
1) y « /Tx
2) y
3) y - x*
2x
4) y - y2 + 5x
5) y
6) y
7) y
8) y
9) y
10) y
11) y
12) y
y
l!LrL
x - 2 In x)
•»• ej
- x
V *
[0,3]
N
E
[2,10]
[0.1]
[1,2]
[0,1]
[1,2]
[1,2]
,56.
i
Calcule
1) v*/ y
2) tf*/ Jf
*\ V«U Jf
í\ y«* j y
5\ o•j i y
e\ o0) y
1\ V' i y
8) V° / y
9) v* ' jf
1 f\\ .»JLU í y
11 \ vAJ- 1 y
l 9\ «14^ y
13) y
14) V*•* / y
i e \ <•13) y
;
1 fi^ VJ.D / y
17^ «* ' / y
I A S w10 ; y
EXERCÍCIOS DB CÁLCULO ÍI
ô volume do sôli4o de revolução
« ex * 1 . , , , , . , . . . , . .
* x4(x9 * 1)3/2
Vx * x/sr
Vx2 + x2 In x'
/ e3x. e2x U/4
\ 9 y
• x3/2(x2 * 1)1/4
"\/x2 - ie'
x * 1 .yx * 10
» 5 y x v s; •
*/ 2x2 t 3
y (x-3) . (x»l)
* LISTA ÍÍIV
t nos Intervalos dados
o.íl
á • ' • ' • - ' '
o'ff1 ^
Li.íV-Í--.Ç, * ' . .
fo li
t * i . • - -O.l]' J , .
.to.il1 ' J
fi.4L ' J
ML' J
TOA!L f J
i** ilo.ilL ' 4
Jo,|l«• °l f
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14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
r (t - sen t)
r (l - cos t)
2 cos t
(CICLÕIDE)
t e [ô ,
(ASTRÕIDE)
2 sen t ...... i. * t Comprimento total
a cos t
3
a sen t
t + 3e
2
2 In t
(ASTRÕIDE)
Comprimento total
t Ç [0,1]
t € [1,2]
2t
In (cos 2t) ....................... t e [O, f]
| t5/2 + l
\ t2 t 2 ........................ t € [0,3]
x
y
* t
-H l)/4t + l ................. t e [0,1]
In t - f t^x
y • 2t t € [1,2]
.65.
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO II - LISTA XVIII
Calcule ã área da superfície àe revolução, nos intervalos dados
i)
2)
8)
X a 9 + 3t^
y * t - 4t2 .
x * li + 4 sen
y * l 4- 4 cos * ,
x * i t7 - t + 3erv t +
t3 - t
y fa t
x « a cos t
y * a ôen t
x * 2 In t
y * t + t"1
t ê fo ,1]
t ê [O ,
t e [0,1]
x * e sen t
y * efc cos t .............. » ..... «,'..• t ç [Ô ,
t e [O ,
t e [1,0]
x * b 4- l
y
x
y * l t2 t é [0,/3]
* t3 ................................ t ê [l, 2]
* i t3 - l
10)
li)
12)
y « s* + l ............................ t e [0,i]
x « t - | e2t
y • i efc .............................. t e [0,1]
à * § t3/2
y * t ................................. t e [0 ,
.67.
EXERCÍCIOS DE CALCULO II - LISTA XIX
Calcule o volume do solido de revolução, nos intervalos dados
t x - arctg t
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
y - /T t e [O, l]
x «= 2t - t2
y - ,: l .. t e
x * arctg t
y - t
x
y
x
t €[0,1]
t2 + 5
/cos t t e [Ó,J]
+ l
t € [ 0 , l j
x
y
* t3 +
x = 2 / tT r
y - t t e [0 , 3]
x = t. sen t + cos t •
y » /sec t" ............ ........ ............ te [O , ]
í x - Í t2 + 3
y = V2t +
\ x « sen 2t + 7
í y - (sen 2t) 3/2
x - t
y p-U^
V 2 t 2 i- t
t e [0,4]
t 6 [O
t €[1,2]
12)
x = In(sec t )
sec t t * [O,f]
.71.
EXERCÍCIOS DE CALCULO II - LISTA XXI
Calcule a área definida pelas curvas das funções abaixo
D P
2) p
3) p
4) p
sen 29 + cos 28 ... .,, 06 [0,-J]
cos 39 -t- sen 39 , ,, 06 [0,$]
sen d t• ô e [O, *)
/sen 20\ee/2
5) p
6) P
e/2
/TT
r l -fl -f e'
2 27) p » a cos 29 ..,(Leminiscata da Bemoulli)
8) p - a cos 33 ...(Rosãcea dá 3 folhas)
2 tg Ô
10) p « sec 28
11) p *"7e38
.73.
2 seo e ...... . . . . . . ........ , . , , , , , . 9 e
4 sen 6 ..... / ..... .,.,, o .........*. 8 C f o , nl
EXERCÍCIOS DE CALCULO II «- LISTA XXII
Calcule o comprimento do arco , nos intervalos dados
D P
2) p
3) p
4) p
5) p
6) p
7) O * (9 + 1)
a(l * cos 6) ....(CardiÔide) ,
e
.
(comprimento total)
e
a e
92
28
i, es[o,/5}
e [o, i]« , < * • •
EXERCÍCIOS DE CALCULO ÍI * LISTA XXIII
èAt£üLÁft ÀS DERIVADAS PARCIAIS DAS SEGUINTES FUNÇÕES
1) z * x*y •»• 2xys - 2x
â) z MI exy + cos(2xy")
3) 8
4) g
Ç) s
e) i y.e
x*f y2
- 6y) g
xy
cos(7rx)
, no ponto (5, 1)
, no ponto (l, 1)
7) t •• x.aíctg
Xa + y2
9)
10) « « 32xy2 + An(xV), no ponto (2, 1)
x* » v2
11) Z * 3xy.e y , no ponto (l, 1)
12) 3x2yz nô ponto
13) c * fcn/c2 •>• y2 , no ponto (~3, 4)
xz14) w * ex z . tg(3xy2z2)
x«z15) w * yx z + y/2x - z ' , no ponto (l,è,l)
16) st * í •»• 1) , no ponto (}, 1)
.77.
EXERCÍCIOS DÊ CALCULO II * LISTAI
Dados
1) z * x2+ 3xy •»• 2y* + 2x - 3y + 5 , calcule as derivadas
ciais de segunda orâem.
2) z * ex.cosy, calcule 3 z
3) *
* v lx^ye-1 -f —=— , calcule
4 1xzy'
,*..>
4) z - ex y , calcule i-i .
3x*
$) z «• 4n xy + 2xy - x1 + y* , calcule
/ t ,a.
. ií|.
é) a , calcule
.79.
e a derivada di-
EXERCÍCIOS DE CALCULI II - LISTA XXV
Calcule o vetor gradiente, a derivada direcional
recional máxima das seguintes funções;
1) z «= x* + 4xy + y3 - l, no ponto ^1, 2) e na direção do vetor
2) z * x e y + x2 ,no ponto (l, 5-) e na direção do vetor
l $ - 2 í - f
3) w = fcn xyz + 2yz - z2 , no ponto ( 1 , 1 , 1 ) e na direção do
vetor v = í + 3 + %
2
4) w s ex ^ - -4-y sen (x2- 2z) , no ponto (2, O, 2) 'e na di
reção do vetor v « = ' 2 Í + 5 + 2 i £
XV5) z = e * ,cos(irx3) , no ponto (l, 1) e na direção do vetor
v = /51 í - 2 5
6) z = ey sen x + í,n(2x + y) , no ponto (O, 1) e na direção do
vetor v = 4Í - 35
7) z s x*y. cos(2xy) , no ponto (l, ir) e na direção do vetor
$ = r + 5
8) z = y ' x , no ponto (í, e) e na direção do vetor
9) w
10) w
11) z
12) z
13) z
14) w
2 l
2X vz + sen(xy 2 z) + -=- , no ponto (O, l, -1) e na dire-
yz 2
cão do vetor v = 6Í - 2 3 -t- 3it
3x2yz -f ^- ̂ -f J l n ( y z 2 ) , no ponto (l, l, 1) e na direção
z do vetor v = ? - 23 -t- 2ÍÊ
2
ex ^ - arctg x 2 y 2 , no ponto (l, 1) e na direção do vetor
v = 4 í - 3j
x2y + senÍTTxy ) , no ponto ( l , 1) e na direção do vetor
v = 3Í - 4}
- £t~ , no ponto ( 2 , 1) e na direção que faz un angu-
x ^ Io de 60° com o eixo do x.
í-n(2x + yz) + sen (xyz) , no ponto ( O , l, 1) e na direção
da normal do plano T T : X + 2y - 2 z = 5
.5 2.
EXERCÍCIOS DE CALCULO II -
1) Dar a expressão da diferencial feotâi
a) t * sen (x Qy )
&
b) * « S -V S,n(coS y )
LISTA XXVI
VO) t - 2y
d) w - 2y •»• -i-
e) w * xy + yx -t- 2Xy
£) w * S,n(xy3z + 2)
g) ^ * exysen(x2y )
h) W - 3x2y3z2 .exyâ
i) z = tg(x.2y)
2) Calcule com o auxílio da diferencial total
a) M = (1,98) J + (1,08) . ( 2 , O I ) 3
b) N * ( 2 , 9 9 ) 3 - ( 2 , 9 9 ) 2 . ( 1 , 9 9 ) + ( 3 , Ô 2 ) 5
3) Resolver s
a) Seja m * 1000 gramas e v « 10 cm/s. Calcule a variação da
energia cinltica para uma perda de massa de 0,01 g" e um
aumento de velocidade de 0 ,002 cm/s.
b) Determinar com o auxílio da diferencial total a variação
do volume de um prisma de base quadrada, sabendo-se que os
lados da base diminuiram de 0,01 cm e a altura aumentou de
0,02 cm. Estado inicial l - 2. IO3 cm e h * 4. IO3 cm,
c) Determinar a variação do volume de um cilindro de raio
r * 10' cm e altura h = 18 cm , sabendo-se que submetido â i
tensões, h diminui de O t 01cm e r cresce de 0,02 cm,
.84.
EXERCÍCIOS DE CALCULO II * tlSTA XXVII
TESTAR OS PONTOS CRÍTICOS DAS FUNCÕE§
1) z • x2 + 2y2 * 4x + 4y * 3
2) 3xy t 30*
3) z 9 6xy -
4) e 3 2x + y - y *• xy
S) a * x3 t x2 * 6xy
2x3 t 3y2 *
7) 2 « x " 2xy t 4y * 4x * 2
3x2y2 * 2
9) z « x »
10) z « x
2x2y 4- 2y - 8y
2 2 2y 4- 2x - yx - 3
11) z
12) z
13) z
14) g
• 2xy t y - y
x3 t y3 - x2y t 5y
x4 4- y4 - xy 4- l
x4 - x2y 4- 3y3 - x2
1S) z * y3 - 3x2y + 2x2
z « 2x8 .T X2y 4- y2
17) a " 2x2y - 2x2 4- 8y2 - 24y + 11
18) a * x3 4- 3xy2 - 3x2 - 3y2 4- 4
> .
19) z « xy2 - 2y2 4- - 12X 4- 2
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i€- _;..;i. *t-'r ' •(. . . .;•>
.87.
7) Calcule a integral I - l l dM, onde M á a região limitada.
M
por y = x e y * x/JT.
8) Calcule a integral I « / / (x -f 2y) dA , onde A ê a região
•V
2
limitada por O ,< x ̂ 2 e O ^ y ^ x ,
= / / (9) Calcule a integral I = (x + y) ds , onde S é a região
limitada por
10) Calcule a integral I =
e x ^ y ^ 8
9
dR , onde R ê a região
'R" i + y .
limitada p o r O ^ x ^ l e O ^
11) Calcule a integral I - l /(2x + y) dA , onde A ê a regiãg
limitada por x = 2 <
A*
e y = x
12) Calcule a integral I * l f (3x - y ) dM , onde M l a região
2
limitada por x = l, y = 0 e y = x .
13) Calcule a integral I =/ Ljl •»• y dD , onde D i a região
D
limitada por x = l , e y = 3 x .
.89,
EXERCÍCIOS DE CALCULO II - LISTA XXIX
RESOLVER AS SEGUINTES EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
D Y1 = -4-
2)
3) y' = . Dê a solução particular para x = l e y = 2
4) dx
x.lnx . Dê a solução particular para x = l e y =-2
5) y"1 = x
6) y 1 » 3x - 2x + 5
2 2
7) y 1 = x^sec x
8) y" - e-2x
9) y1 = x3.sen(5x2 - 1)
10) y1 = x3.cos(3x2 - 12). Dê a solução particular no ponto
11) y1 - In (In x) ^ Dê a solução particular no ponto A(2,2)
12) y" = sen 2x - cos 4x. Dê a solução particular para f'(0) =2
=3.
13) y' = x3(x2 + l)8
14) y'
' 2
+ l
15) y1
x -
.91.
EXERCÍCIOS DE CALCULO II - LISTA XXX
RESOLVER AS SEGUINTES EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
1) x2dx - eydy - O
2 22) cos y dx - x dy = O
3) x/1 - y2 dx - /L- x2 dy = O
4) (l - x)yz dx + x dy = O
5) (x + xy*)dx + (l + x) dy = O
6) (y +1) dx + 2 (y + xy) dy = O
7) (3xy + 3x - y - 1) dx - xy dy = O
8) (xy -i 2x - y + 2) dx + xy dy = O
9) (3x2y-xy) dx + (2x3y2 + *3y4) dy = O
10) 4x dy - y dx « x dy
11) (x y + 2y) dx = (xy + x + y + 1) dy
12) e2x - ̂ dy = dx
13) (x + xy2) dx + (x2 + 2) arctg y dy = O
14) (y + 1) arctg x dx - £ dy
15) y cos (In x) dx = x. e 'y dy
16) /y"(y *• l)ln(sen x) dx = sec x dy
M
17) sec x dx - y(l + tg x)sec y2 dy = O
18) (l - x) dx - (l + x)sec y dy = O
K»
O
X
w
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M*
M X
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3
X
#•
l
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" '-'* ' «- *•-n1.-t''-|
tt-Y_j-
i -i 11111 li f 11 f 1111II tittttVIllItl
.94.
EXERCÍCIOS DE CALCULO II - LISTA XXXI
RESOLVER AS SEGUINTES EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
1) (x * 2y - 2) dx + (2x - y + 1) dy - O
2) ($x2y + 5y2 t 14x) dx + (x3 •»• lOxy * 12y2) dy - O
•!) (SSS-i* t x) dx + (y - SSIi*) dy - O
4) <y••* -%) dx •»• (* + x) dy • O
x
5) dx dy - O
6) (sen x t x een y) dy - (cos y - y cos x) dx - sen y dy
7) (In y dx * (J •»• 3x2y2 dy » O
Determine o valor de o e 6 de modo que as equações dl f e*
rendais sejam exatas, e resolva-as.
8) (2xy3 •»• ox2y - 4y3 + 4x) dx + (3x2y2 - 2x3 * Bxy2 - 9y2)dy«0
9) (3x2y + axy •«• 2y3 •»• 7)dx > (x3 - 5x2 •»• Bxy2 - 16y)dy * O
10) (y3 + axy •»• 15x2y2 - 4)dx * (3xy2 - 2x2 •»• 6x3y •»• 7)dy * Q
11) (axy3 + 4y2 -f 21x2y + 5)dx > (3x2y2 + Bxy * 7x3 -',24y2)dy «P
12) (ox2y2 * i - 3x2 •»• y2ex)dx * (Ix3y * A +-6yex - 2y •*• l)dy*0
y
13) [(a-»- 6) sen y 4- ycosx * cos x]dx -f [(a-6)xcosy * asenx - sen y]dy«0
'
.96.
EXERCÍCIOS DE CÁLCULO II " — LISTA XXXI
RESOLVER AS SEGUINTES EQUAÇÕES
D y» * y *.
: * 4
2) y' - *y » x
3) y1 * (4K - 3x2)y * 4ac - 3x2
U xU
3) 1) y1 * <2x + 3)y • (2x
7) (x * Dy1 + xy • x/ít2 +"
8) (x * |)yf + y • x - x + 2
9) 4 • y - x)
10) xy' «• <2x4 •»• l)y - x
11) (x* * l)y' * y «• earctg x
12) x3y' * (2 -•• 3x2)y » x3
.98.
EXERCÍCIOS DE CALCULO II - LISTA XXXIII
RESOLVER AS SEGUINTES EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
1) Xy1 * y = X2y3
2) 2xy' - 5(2x -
3) 3x5y' + 4 2 cos
5x3y7/5
•y"
4) y' 2* y
l + x
5) y -3x4-3*
2x/y~
6) y ' 3x + 3
7) y 1 + 2(3x"_
2*)y
8) (x - 1) (x + Dy1 + 3(x + l)y = 3(x - Dy2/3
9)xy ' * 2(1 + x.tg x) y = 2x.cos x. /y"
2
10) 3(2x (2x + 3)y - e (2x
5/2
-2í
11) 3xy' - 2y = 2x.ln x.y
12) xy1 - y - xy J(l + In x)
13) y' + ~ y • (xy)3sen x3
14) y ' -
.104.
EXERCÍCIOS DE CALCULO ZZ . - LZSTA XXXIV
RESOLVER AS SEGUINTES EQUAÇÕES DIFERENCIAIS.
" • f1) y" •* 4 yf + 3 y » O
2) y11— $ y1 t â y • o
3) y'1* y« - 6y • O
4)"y"**-f"'' - 12 y'
5) yfw- 4 y'* Ô
6) y" 1* 6 y1 4- 9 y
" » 4 y' + -4 *
= 0
7) y
8) y'" - 3 y
9) y111 - 2 y
10) y"1 «• S y" - y
11) y1" * 2 y" - 9 y
IV - 5 y1"
" + 3 y' - y * O
" - 4 y 1 + 8 y * O
- y' - 5 y - O
1 - 18 y = 0
12) y
13) y
6 y"
V - 6 yIV + 9 y111
*4) - 16 y*"-»- 64 y"14) y(8L 4 y - 16 y
10) y" - 4 y1 + 3 y * 9
16) y" - 8 y1 * 16 y * -2
17) y1" - y' » 4
18) y«« - 4 y1 - 5
19) yIV - y"
íV ««
5
1220) y * y
21) y"1 - 2 y" -»- y1 * l
" + 9 y1 « 8
2x
3x
22) y"' - 6 y
23) y «V - 4 y ' - 5 y » 3 e
24) y» - 4 y' + 4 y
25) y» » * y* + y « 2 e3x
26) y" - 10 y' * 24 y
27) y» - 6 y' + 8 y •
28) y'»' * 4 y" - 5 y' «* 4 e
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