Estudo do plano.

Prévia do material em texto

Geometria Analítica
Estudo do Plano
Prof° Marcelo Maraschin de Souza
Plano
Equação Geral do Plano
Seja 𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) um ponto pertencente a um plano 𝜋 e 𝑛 =
𝑎, 𝑏, 𝑐 , 𝑛 ≠ 0, um vetor normal (ortogonal) ao plano.
Plano
Como 𝑛 ⊥ 𝜋, 𝑛 é ortogonal a todo vetor em 𝜋. Então um 
ponto P(x,y,z) pertence a 𝜋 se, e somente se, o vetor 𝐴𝑃 é 
ortogonal ao vetor 𝑛, isto é,
𝑛 ⋅ 𝑃 − 𝐴 = 0
ou
(𝑎, 𝑏, 𝑐) ⋅ 𝑥 − 𝑥1, 𝑦 − 𝑦1, 𝑧 − 𝑧1 = 0
Ou, ainda
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 − 𝑎𝑥1 − 𝑏𝑦1 − 𝑐𝑧1 = 0
Segue a equação geral do plano
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0
Plano
Equação Segmentária do Plano
Se um plano 𝜋 intercepta os eixos coordenados nos pontos
(p,0,0), (0,q,0) e(0,0,r) com p,q,r ≠ 0, então 𝜋 admite a
equação
𝑥
𝑝
+
𝑦
𝑞
+
𝑧
𝑟
= 1
Denominada a equação segmentária do plano.
Para o exercício anterior a equação segmentária da reta é
𝑥
2
+
𝑦
3
+
𝑧
6
= 1
Exercícios
Obs: o plano mediador de AB é o plano perpendicular a AB 
e que contém o seu ponto médio.
Plano
Vimos que um plano é determinado por um de seus pontos 
e por um vetor normal a ele. Existem outras formas de 
determinação de um plano nas quais estes dois elementos 
ficam evidentes, mas não explícitos.
Vamos aos exemplos.
Exercícios
Exercícios
Planos Paralelos aos Planos Coordenados
Se duas das componentes do vetor normal 𝑛 = (𝑎, 𝑏, 𝑐) são
nulas, 𝑛 é colinear a um dos vetores 𝑖 = (1,0,0) ou 𝑗 =
(0,1,0) ou 𝑘 = (0,0,1), e, portanto, o plano 𝜋 é paralelo ao
plano dos outros dois vetores.
Caso 1: se a=b=0, 𝑛 = 0,0, 𝑐 = 𝑐(0,0,1)=c𝑘, ou seja, o
vetor normal 𝑛 é paralelo a 𝑘, assim o plano 𝜋 é paralelo ao
plano xOy. Ainda, a equação geral do plano 𝜋 é dada por:
𝑐𝑧 + 𝑑 = 0
Planos Paralelos aos Planos Coordenados
Neste caso, 𝑛 = 0,0,1 e um ponto pertencente ao plano 
A(x,y,4), assim
0. 𝑥 + 0. 𝑦 + 1.4 + 𝑑 = 0
𝑑 = −4
Portanto, 𝑧 − 4 = 0 ou 𝑧 = 4 é a eq. do plano 𝝅
Planos Paralelos aos Planos Coordenados
Caso 2: se a=c=0, 𝑛 = 0, 𝑏, 0 = 𝑏(0,1,0)=b 𝑗, ou seja, o
vetor normal 𝑛 é paralelo a 𝑗, assim o plano 𝜋 é paralelo ao
plano xOz. Ainda, a equação geral do plano 𝜋 é dada por:
𝑏𝑦 + 𝑑 = 0
Caso 3: se b=c=0, 𝑛 = 𝑎, 0,0 = 𝑎(1,0,0)=a 𝑖, ou seja, o
vetor normal 𝑛 é paralelo a 𝑖, assim o plano 𝜋 é paralelo ao
plano yOz. Ainda, a equação geral do plano 𝜋 é dada por:
𝑎𝑥 + 𝑑 = 0
Planos Paralelos aos Planos Coordenados
Considere o ponto A(2,3,4) e as seguintes equações dos
planos:
 
𝜋1: 𝑥 = 2
𝜋2: 𝑦 = 3
𝜋3: 𝑧 = 4
Planos Paralelos aos Planos Coordenados
Observe que, os planos cartesianos são casos particulares,
onde
 
𝜋1: 𝑥 = 0 (𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑦𝑂𝑧)
𝜋2: 𝑦 = 0 (𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥𝑂𝑧)
𝜋3: 𝑧 = 0 (𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝑥𝑂𝑦)
Planos Paralelos aos Eixos Coordenados
Tome como exemplo o plano 3x+4y+2z-12=0
Caso 1: se a=0, a equação seria 4y+2z-12=0 e representa
um plano paralelo ao eixo x. Observe que nenhum ponto do
tipo (x,0,0) satisfaz a equação.
Planos Paralelos aos Eixos Coordenados
Caso 1: se ainda tivéssemos d=0, a equação resultante
4y+2z=0 representa um plano que passa pela origem e
portanto contém o eixo x, neste caso qualquer ponto do tipo
(x,0,0) satisfaz a equação.
Planos Paralelos aos Eixos Coordenados
Caso 2: se b=0, a equação seria 3x+2z-12=0 e representa
um plano paralelo ao eixo y.
Planos Paralelos aos Eixos Coordenados
Caso 3: se c=0, a equação seria 3x+4y-12=0 e representa
um plano paralelo ao eixo z.
Planos
Se d=0, então o plano sempre irá passar pela origem.
Por exemplo, 3x+4y+2z=0
Exercício
Exercício
Exercício
Equação Vetorial do Plano
Seja 𝐴(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) um ponto pertencente a um plano 𝜋 e 𝑢 =
(𝑎1, 𝑏1, 𝑐1) e 𝑣 = (𝑎2, 𝑏2, 𝑐2) dois vetores paralelos a 𝜋, 
porém 𝑢 e 𝑣 não paralelos.
Equação Vetorial do Plano
Para todo ponto P do plano, os vetores 𝐴𝑃, 𝑢 e 𝑣 são 
coplanares. Um ponto P(x,y,z) pertence a 𝜋 se, e somente 
se, existem números reais h e t tais que
𝑃 − 𝐴 = ℎ𝑢 + 𝑡 𝑣
ou
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 + ℎ 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 + 𝑡(𝑎2, 𝑏2, 𝑐2)
Esta equação é denominada equação vetorial do plano.
Equações Paramétricas do Plano
Da equação vetorial do plano, obtemos as equações 
paramétricas do plano,
 
𝑥 = 𝑥0 + 𝑎1ℎ + 𝑎2𝑡
𝑦 = 𝑦0 + 𝑏1ℎ + 𝑏2𝑡
𝑧 = 𝑧0 + 𝑐1ℎ + 𝑐2𝑡
Exercícios
Exercícios
Equação Vetorial de um Paralelogramo
Dados os pontos A,B e C não em linha reta, os vetores 𝐴𝐵
e 𝐴𝐶 determinam um paralelogramo cuja equação vetorial é 
dada por 
𝑃 = 𝐴 + ℎ 𝐴𝐵 + 𝑡(𝐴𝐶) com ℎ, 𝑡 ∈ [0,1],
Onde P representa um ponto qualquer deste paralelogramo.
Equação Vetorial de um Paralelogramo
Ângulos de Dois Planos
Sejam os planos 𝜋1 e 𝜋2 com vetores normais 𝑛1 e 𝑛2, 
respectivamente.
Ângulos de Dois Planos
Chama-se ângulo de dois planos o menor ângulo que um 
vetor normal a 𝜋1 forma com um vetor normal 𝜋2. Sendo 𝜃
este ângulo, temos
cos 𝜃 =
|𝑛1 ⋅ 𝑛2|
|𝑛1||𝑛2|
,
com 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋/2
Ângulos de Dois Planos
Exemplo:
Paralelismo de dois Planos
Sejam os planos
𝜋1: 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 + 𝑑1 = 0
e
𝜋2: 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 + 𝑑2 = 0
Então, 𝑛1 ⊥ 𝜋1 e 𝑛2 ⊥ 𝜋2.
Logo, para dois planos serem paralelos, basta que seus 
vetores normais sejam paralelos,
𝜋1 ∥ 𝜋2 → 𝑛1 ∥ 𝑛2 →
𝑎1
𝑎2
=
𝑏1
𝑏2
=
𝑐1
𝑐2
Paralelismo de dois Planos
Paralelismo de dois Planos
Se além das igualdades anteriores tivermos
𝑎1
𝑎2
=
𝑏1
𝑏2
=
𝑐1
𝑐2
=
𝑑1
𝑑2
os planos serão coincidentes.
Perpendicularidade de dois Planos
Sejam os planos
𝜋1: 𝑎1𝑥 + 𝑏1𝑦 + 𝑐1𝑧 + 𝑑1 = 0
e
𝜋2: 𝑎2𝑥 + 𝑏2𝑦 + 𝑐2𝑧 + 𝑑2 = 0
Então, 𝑛1 ⊥ 𝜋1 e 𝑛2 ⊥ 𝜋2.
Logo, para dois planos serem perpendiculares, basta que 
seus vetores normais sejam ortogonais,
𝜋1 ⊥ 𝜋2 → 𝑛1 ⊥ 𝑛2 → 𝑛1 ⋅ 𝑛2 = 0
Perpendicularidade de dois Planos
Exercícios
Exercícios
Ângulo entre reta e plano
Seja uma reta r com direção do vetor 𝑣 e um plano 𝜋, sendo 
𝑛 o vetor normal a 𝜋.
O ângulo 𝜙 da reta r com o plano 𝜋 é o complemento do 
ângulo 𝜃 que a reta r forma com uma reta normal ao plano.
Ângulo entre reta e plano
Tendo em vista que 𝜙 + 𝜃 =
𝜋
2
, e portanto, cos(𝜃)=sen(𝜙), 
temos
sen 𝜙 =
| 𝑣 ⋅ 𝑛|
| 𝑣||𝑛|
,
com 0 ≤ 𝜙 ≤ 𝜋/2
Paralelismo entre reta e plano
Seja a reta r e o plano 𝜋, temos
𝑟 ∥ 𝜋 → 𝑣 ⊥ 𝑛 → 𝑣 ⋅ 𝑛 = 0
Perpendicularidade entre reta e plano
Seja a reta r e o plano 𝜋, temos
𝑟 ⊥ 𝜋 → 𝑣 ∥ 𝑛 →
𝑎1
𝑎2
=
𝑏1
𝑏2
=
𝑐1
𝑐2
Exemplo
Exercícios
Reta contida no Plano
Uma reta r está contida em um plano 𝜋 se:
• Dois pontos A e B de r forem também de 𝜋
ou
• 𝑣 ⋅ 𝑛 = 0, onde 𝑣 é um vetor diretor de r e 𝑛 um vetor 
normal a 𝜋. E um ponto A ∈ 𝜋, sendo A ∈ 𝑟.
Exemplo
Interseção de dois Plano
Sejam os planos não-paralelos
𝜋1: 5𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 5 = 0
e
𝜋2: 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 − 7 = 0
A interseção de dois planos não-paralelos é uma reta r 
cujas equações se deseja determinar.
Vamos apresentar duas formas de resolver:
Interseção de dois Plano
Caso 1)
Como r está contida nos dois planos, as coordenadas de
qualquer ponto (x,y,z) de r devem satisfazer
simultaneamente as equações dos dois planos. Logo, os
pontos de r constituem a solução do sistema.
 
5𝑥 − 𝑦 + 𝑧 − 5 = 0
𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 − 7 = 0
Que tem infinitas soluções e (em termos de x) é dado por
𝑟: 
𝑦 = 3𝑥 − 1
𝑧 = −2𝑥 + 4
Interseção de dois Plano
Caso 2)
Outra maneira é determinar um de seus pontos e um vetor
diretor. Seja o ponto A ∈ 𝑟 que tem abcissa zero, então as
equações ficam
 
−𝑦 + 𝑧 − 5 = 0
𝑦 + 2𝑧 − 7 = 0
Logo, temos um ponto de r, A(0,-1,4).
Interseção de dois Plano
Caso 2)
Como o vetor diretor de r é simultaneamente ortogonal a
𝑛1 = 5,−1,1 𝑒 𝑛2 = (1,1,2), normais aos planos, o vetor
diretor pode ser dado por 𝑣 = 𝑛1 × 𝑛2
Interseção de dois Plano
Caso 2)
Escrevendo as equações paramétricas de r, temos
𝑟: 
𝑥 = 𝑡
𝑦 = −1 + 3𝑡
𝑧 = 4 − 2𝑡
Interseção de reta com plano
Exemplos:
Se I(x,y,z) é um ponto de interseção de r e 𝜋,suas 
coordenadas devem verificar as equações do sistema. 
Interseção de reta com plano
Exemplos:
Distância de Ponto e Plano
Dado um ponto P e um plano 𝜋, queremos calcular a 
distância d(P, 𝜋). Seja A um ponto qualquer de 𝜋 e 𝑛 um 
vetor normal a 𝜋. A distância d(P, 𝜋) é o módulo da projeção 
de 𝐴𝑃 na direção de 𝑛.
Distância de Ponto e Plano
𝑑 𝑃, 𝜋 = 𝑝𝑟𝑜𝑗𝑛𝐴𝑃 = 𝐴𝑃 ⋅
𝑛
𝑛
𝑛
𝑛
𝑑 𝑃, 𝜋 = 𝐴𝑃 ⋅
𝑛
𝑛
Considerando P(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0), 𝜋: 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 e 
A(𝑥1, 𝑦1𝑧1)∈ 𝜋, temos
𝑑 𝑃, 𝜋 =
|𝑎𝑥0 + 𝑏𝑦0 + 𝑐𝑧0 + 𝑑|
𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐²
Distância de Ponto e Plano
Distância entre dois Planos
A distância entre dois planos é definida somente quando os 
planos forem paralelos.
Dados dois planos paralelos, a distância entre eles é a 
distância de um ponto qualquer de um dos planos ao outro.
𝑑 𝜋1, 𝜋2 = 𝑑 𝑃1, 𝜋2 = 𝑑 𝜋1, 𝑃2
Com 𝑃1 ∈ 𝜋1 𝑒 𝑃2 ∈ 𝜋2.
Distância entre dois Planos
Exemplo:
Distância entre reta e plano
A distância entre reta e plano é definida somente quando 
forem paralelos.
Dada uma reta r e um plano 𝜋 , a distância entre eles é a 
distância de um ponto qualquer da reta ao plano, isto é
𝑑 𝑟, 𝜋 = 𝑑 𝑃0, 𝜋
Com 𝑃0 ∈ 𝑟.
Distância entre reta e plano