Questão resolvida - Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da curva f(x)= e^x-e, no intervalo (0, 2), rotacionado em torno do eixo x - volume de sólidos de revolução - Cálculo I

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Tiago Lima - Instagram: @professor_disciplinas_exatas
 
• Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da curva 
, no intervalo (0, 2), rotacionado em torno do eixo x. f x = e - e( ) x
 
Resolução:
 
Temos que encontrar a região de integração graficamente, assim, é necessário encontrar 
onde a curva toca o eixo x e y, fazemos e resolvemos a equação;f x = 0( )
 
e - e = 0 e = e ln e = ln e x = 1x → x → x ( ) →
 
Se x = 0 f 0 = e - 2 f 0 = 1 - e f 0 ≅ - 1, 72→ ( ) 0 → ( ) → ( )
Com isso, é possível montar a região de integração como abaixo;
 
A fórmula que fornece o volume de um sólido de revolução é;
 
V = 𝜋 f x dx
b
a
∫ [ ( )]2
 
V = 𝜋 e - e dx
2
0
∫ x 2
 
 
 
 
V = 𝜋 e - 2e ⋅ e + e dx
2
0
∫ 2x x 2 ]
 
V = 𝜋 - 2e ⋅ e + e x
e
2
2x
x 2
2
0
 
V = 𝜋 - 2e ⋅ e + e ⋅ 2 - - 2e ⋅ e + e ⋅ 0
e
2
2⋅2
2 2
e
2
2⋅0
0 2
 
V = 𝜋 - 2e + 2e - - 2e ⋅ 1 + 0
e
2
4
3 2
e
2
0
 
V = 𝜋 - 2e + 2e - + 2e
e
2
4
3 2 1
2
 
 
V ≅ 6, 84𝜋 u. v.
 
 
(Resposta )