Capítulo 02 - Deformação

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RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
- DEFORMAÇÃO-
MOSSORÓ/RN 
UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DO SEMI-ÁRIDO
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS AMBIENTAIS E TECNOLÓGICAS
CURSO BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS I
Profa. CHRISTIANE MYLENA TAVARES DE 
MENEZES GAMELEIRA
ESTRUTURA DA APRESENTAÇÃO
◼ CAPÍTULO 2 – DEFORMAÇÃO
2.1 Deformação
2.2 Conceito de deformação
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Objetivos do capítulo
 Em engenharia, a deformação de um corpo é 
especificada pelo conceito da deformação normal 
e por cisalhamento.
 Neste capítulo, definiremos essas quantidades e 
mostraremos como elas podem ser determinadas 
para vários tipos de problemas.
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2.1 Deformação
 Sempre que uma força é aplicada a um corpo, esta tende a mudar a 
forma e o tamanho dele.
 Essas mudanças são denominadas deformações e podem ser altamente 
visíveis ou praticamente imperceptíveis se não forem utilizados 
equipamentos que façam medições precisas.
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Note as posições antes e depois de três
segmentos de reta, onde o material está
submetido à tensão.
2.1 Deformação
 De um modo geral, a deformação de um corpo não será 
uniforme em todo o seu volume e, portanto, a mudança na 
geometria de cada segmento de reta no interior do corpo 
pode variar ao longo de seu comprimento.
 Por exemplo, uma parte da reta pode se alongar, ao passo 
que outra porção pode se contrair.
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2.2 Conceito de deformação
 Para descrever a deformação por meio de 
mudanças no comprimento de segmentos de reta e 
nos ângulos entre eles, desenvolveremos o conceito 
de deformação.
 De fato, as medições de deformação são 
experimentais e, uma vez obtidas, podem ser 
relacionadas com as cargas aplicadas, ou tensões, 
que agem no interior do corpo, o que mostraremos 
a seguir.
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2.2 Conceito de deformação
 Deformação normal
 O alongamento ou contração de um segmento 
de reta por unidade de comprimento é 
denominado deformação normal.
 Considere a reta AB, contida no interior do 
corpo não deformado (figura). Essa reta se 
encontra dentro do eixo n e tem um 
comprimento original ∆𝑠. Após a deformação, 
os pontos A e B são deslocados para A’ e B’, e 
a reta torna-se uma curva de comprimento ∆𝑠′. 
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2.2 Conceito de deformação
 Deformação normal
 Portanto, a mudança no comprimento da reta é ∆𝑠′ − ∆𝑠.
Se definirmos a deformação normal média usando o 
símbolo 𝜖𝑚é𝑑(𝑒𝑝𝑠í𝑙𝑜𝑛), então:
𝜖𝑚é𝑑 =
∆𝑠′ − ∆𝑠
∆𝑠
 Se a deformação normal for conhecida, podemos usar essa 
equação para obter o comprimento final aproximado de 
um segmento curto de reta na direção de n após a 
deformação. Temos:
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( ) ss + 1' +ε ➔reta se alonga
-ε ➔reta se contrai
2.2 Conceito de deformação
 Deformação normal
Unidades
 A deformação normal é uma quantidade adimensional, visto que é uma razão
entre dois comprimentos. 
 Apesar disso, é prática comum expressá-la em termos de uma razão
entre unidades de comprimento. 
 Se usarmos o Sistema Internacional de Unidades de Medida (SI), as 
unidades básicas serão metros/metros (m/m).
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2.2 Conceito de deformação
 Deformação por cisalhamento
 A mudança que ocorre no ângulo entre os dois 
segmentos de reta que originalmente eram 
perpendiculares um ao outro é denominada 
deformação por cisalhamento. 
 Esse ângulo é representado por 𝛾 (gama) e medido em 
radianos (rad).
 Considere os segmentos de reta AB e AC que se 
originam no mesmo ponto A de um corpo e estão 
direcionados ao longo dos eixos perpendiculares n e t 
(figura). Após a deformação, as extremidades das 
retas são deslocadas, e as próprias retas transformam-
se em curvas, de modo tal que o ângulo entre elas em 
A é 𝜃′(figura)
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2.2 Conceito de deformação
 Deformação por cisalhamento
 Por consequência, definimos a deformação por 
cisalhamento no ponto A associada aos eixos n e t 
como:
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tAC
nAB
nt
 de longo ao 
 de longo ao 
'lim
2
→
→
−= 


θ < 90° (𝜋/2)➔ Deformação por cisalhamento positiva
θ > 90° (𝜋/2)➔ Deformação por cisalhamento negativa
2.2 Conceito de 
deformação
 Componentes cartesianas da 
deformação
 Demonstraremos como as deformações normais e 
deformações por cisalhamento, podem ser usadas 
para descrever a deformação do corpo.
 Imagine que o corpo (figura a) esta subdividido em 
pequenos elementos (figura b). Esse elemento é 
retangular, suas dimensões, quando não deformado, 
são ∆𝑥, ∆𝑦 𝑒 ∆𝑧 e ele está localizado na vizinhança 
de um ponto no corpo (figura a). Considerando que 
as dimensões do elemento são muito pequenas, sua 
forma, quando deformado, será a de um 
paralelepípedo (figura c), visto que segmentos de 
reta muito pequenos permanecerão 
aproximadamente retos após a deformação do 
corpo.
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2.2 Conceito de 
deformação
 Componentes cartesianas da deformação
 Para chegar a isso, temos de considerar, em primeiro lugar, 
como a deformação normal muda os comprimentos dos 
lados do elemento retangular e, em seguida, como a 
deformação por cisalhamento muda os ângulos de cada 
lado. Assim, pela equação:
Em relação às retas ∆𝑥, ∆𝑦 𝑒 ∆𝑧, os componentes aproximados 
dos lados do paralelepípedo são
E os ângulos aproximados entre os lados, mais uma vez 
definidos originalmente pelos lados ∆𝑥, ∆𝑦 𝑒 ∆𝑧, são:
𝜋
2
− 𝛾𝑥𝑦
𝜋
2
− 𝛾𝑦𝑧
𝜋
2
− 𝛾𝑥𝑧
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( ) ss + 1'
( ) xx +1 ( ) yy +1 ( ) zz +1
2.2 Conceito de 
deformação
 As deformações normais causam 
uma mudança no volume do 
elemento retangular, ao passo que 
deformações por cisalhamento 
provocam uma mudança em sua 
forma. É claro que ambos os efeitos 
ocorrem simultaneamente durante a 
deformação.
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2.2 Conceito de 
deformação
 O estado de deformação em um ponto de um corpo exige a 
especificação de três deformações normais, 𝜖𝑥 , 𝜖𝑦 𝑒 𝜖𝑧, e três 
deformações por cisalhamento, 𝛾𝑥𝑦 , 𝛾𝑦𝑧 𝑒 𝛾𝑥𝑧 . Essas 
deformações descrevem completamente a deformação de um 
elemento de volume retangular do material localizado no 
ponto e orientado de modo que seus lados são originalmente 
paralelos aos eixos x, y, z. Uma vez definidas essas 
deformações em todos os pontos no corpo, a forma 
deformada do corpo poderá ser descrita.
 Conhecido o estado de deformação em um ponto, definido 
por suas seis componentes , é possível determinar as 
componentes da deformação em um elemento orientado no 
ponto em qualquer outra direção.
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2.2 Conceito de deformação
 Análise de pequenas deformações
 A maioria dos projetos de engenharia envolve 
aplicações para as quais são permitidas somente 
pequenas deformações.
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Pontos Importantes
 Cargas provocarão deformações em todos os corpos 
materiais e, como resultado, os pontos no corpo 
sofrerão deslocamentos ou mudanças de posição;
 Deformação normal é uma medida do alongamento 
ou contração de um pequeno segmento de reta no 
corpo, ao passo que deformação por cisalhamento é 
uma medida da mudança que ocorre no ângulo entre 
dois segmentos de reta pequenos originalmente 
perpendiculares um ao outro.
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 O estado de deformação em um ponto é caracterizado por seis 
componentes da deformação: três deformações normais, 𝜖𝑥, 𝜖𝑦 𝑒 𝜖𝑧 e três 
deformações por cisalhamento, 𝛾𝑥𝑦, 𝛾𝑦𝑧 𝑒 𝛾𝑥𝑧. Essas componentes 
dependem da orientação dos segmentos de reta e de sua localização no 
corpo.
 Deformação é a quantidade geométrica medida por técnicas 
experimentais. Uma vez obtida, pode-se determinar a tensão no corpo 
pelas relações entre as propriedades do material;
 A maioria dos materiais de engenharia sofre pequenas deformações e, 
portanto, uma deformação normal ∈≪ 1. Essa premissa da “análise de 
pequenas deformações” permite a simplificação dos cálculos da 
deformação normal, já que é possível fazer aproximações de primeira 
ordem em relação ao seu tamanho.
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Pontos Importantes
Uma chapa é deformada até a forma representada pelas 
linhas tracejadas mostradas na figura ao lado. Se, nessaforma deformada, as retas horizontais na chapa 
permanecerem horizontais e seus comprimentos não 
mudarem, determine (a) a deformação normal ao longo 
do lado AB e (b) a deformação por cisalhamento média 
da chapa em relação aos eixos x e y.
Exemplo 2.3
Solução:
Parte (a)
A reta AB, coincidente com o eixo y, torna-se a reta AB’ após a deformação. 
Logo, o comprimento da reta é:
Portanto, a deformação normal média para AB é:
O sinal negativo indica que a deformação causa uma contração de AB.
( ) mm 018,24832250' 22 =+−=AB
( ) ( ) (Resposta) mm/mm 1093,7
250
250018,248' 3
méd
−−=
−
=
−
=
AB
ABAB
AB
Parte (b)
Como observado, o ângulo BAC entre os lados da chapa, em relação aos eixos
x, y, que antes era 90°, muda para θ’ devido ao deslocamento de B para B’.
Visto que , então é o ângulo mostrado na figura. Assim,'2 
 −=xy xy
(Resposta) rad 0121,0
2250
3
tg 1 =





−
= −xy
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