Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral IV

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UFF - Departamento de Matema´tica Aplicada (GMA)
2a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo Diferencial e Integral IV - 2011-1
1. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forc¸as
~F (x, y) = (x2−y2, 2xy) ao mover uma part´ıcula ao
longo do quadrado limitado pelos eixos coordenados
e pelas retas x = a e y = a, (a > 0), no sentido
anti-hora´rio.
2. Se uma forc¸a ~C constante atua sobre um objeto
mo´vel quando ele percorre uma vez um c´ırculo,
mostre que o trabalho realizado por ~C sobre o ob-
jeto e´ 0.
3. Ache o trabalho realizado por uma forc¸a ela´stica
dirigida para O = (0, 0), de mo´dulo proporcional
a` distaˆncia do ponto de aplicac¸a˜o a` (0,0) se o
ponto de aplicac¸a˜o da forc¸a trac¸a um quarto da
elipse
x2
a2
+
y2
b2
= 1 (sentido positivo) pertencente
ao primeiro quadrante.
4. Uma part´ıcula de peso ω desce de (0, 2) a (4, 0) ao
longo da para´bola 8y = (x − 4)2. Agem sobre a
part´ıcula a gravidade e tambe´m uma forc¸a horizon-
tal de mo´dulo igual a` coordenada y do ponto. De-
termine o trabalho realizado por essas duas forc¸as.
5. Um ponto se desloca de (a, 0) a (−a, 0) ao longo
do semi-c´ırculo superior x2 + y2 = a2. Sobre o
ponto age uma forc¸a de mo´dulo constante igual a
2 e cuja direc¸a˜o faz um aˆngulo de 45◦ com o eixo
ox negativo. Determine o trabalho exercido pela
forc¸a.
6. Um campo de forc¸as bi-dimensional ~F dado por
~F (x, y) = (cxy, x6y2), onde c e´ uma constante pos-
itiva. Este campo age em uma part´ıcula que se
move do ponto (0, 0) para a linha x = 1 ao longo
da curva y = axb, com a > 0 e b > 0. Encontre
um valor de a (em termos de c) tal que o trabalho
realizado e´ independente de b.
Nos exerc´ıcios de 7 a 17, calcule
∫
C
~F · d~r
7. ~F (x, y, z) = x~ı + y~ + z~k, C: segmento de ex-
tremidades (0,0,0) e (1,2,1), orientado no sentido
de (1,2,1) para (0,0,0).
8. ~F (x, y, z) = 2y~ı + z~ + 3y~k, C: intersec¸a˜o de x2 +
y2 + z2 = 6z e z = x + 3, orientada no sentido
anti-hora´rio quando vista da origem.
9. ~F (x, y, z) = 4z~ı− 2x~+2x~k, C: intersec¸a˜o de x2+
y2 = 1 e z = y+1, orientada no sentido anti-hora´rio
quando vista da origem.
10. ~F (x, y, z) = (2y − z)~ı + (z − x)~ + (x − y)~k, C:
intersec¸a˜o de x2+ z2 = 4 e y2+ z2 = 4 de (2,2,0) a
(0,0,2).
11. ~F (x, y, z) = (y − z)~ı + (z − x)~ + (x − y)~k, C: in-
tersec¸a˜o de z = x2 + y2 e x+ y = 0 de (−2, 2, 8) a
(2,−2, 8).
12. ~F (x, y, z) = (x2−z)~ı+(y2+z)~+x~k, C: intersec¸a˜o
de z = x2 e x2 + y2 = 4, x ≥ 0, de (0,−2, 0) a
(0,2,0).
13. ~F (x, y, z) = x~ı+~+2~k, C: intersec¸a˜o de z = x2+y2
e z = 2x + 2y − 1, o sentido de percurso deve ser
escolhido de modo que a projec¸a˜o C no plano xy,
caminhe no sentido anti-hora´rio.
14. ~F (x, y, z) = ~ı + xy~ + z~k, C: intersec¸a˜o de x2 +
y2 + z2 = 2, x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 0, com o plano
y = x; o sentido de percurso e´ do ponto (0, 0,
√
2)
para (1,1,0).
15. ~F (x, y, z) = ~ı + y~ + ~k, C: intersec¸a˜o do plano
y = x com a a superf´ıcie z = x2 + y2, z ≤ 2, sendo
o sentido de percurso do ponto (−1,−1, 2) para o
ponto (1,1,2).
16. ~F (x, y, z) =~ı+~+~k, C: intersec¸a˜o das superf´ıcies
y = x2 e z = 2 − x2 − y2, x ≥ 0, y ≥ 0 e z ≥ 0,
sendo o sentido de percurso do ponto (1,1,0) para
o ponto (0,0,2).
17. ~F (x, y, z) = 2y~ı + z~ + x~k, C: intersec¸a˜o das su-
perf´ıcies x2+4y2 = 1 e x2+ z2 = 1, y ≥ 0 e z ≥ 0,
sendo o sentido de percurso do ponto (1,0,0) para
o ponto (−1, 0, 0).
18. Se um objeto move-se em um campo de forc¸as ~F
de tal modo que, em cada ponto (x, y, z), seu vetor
velocidade seja ortogonal a ~F (x, y, z), mostre que o
trabalho realizado por ~F sobre o objeto e´ 0.
19. Considere uma part´ıcula deslocando-se de A =
(0, 0, 0) para B = (1, 1, 1), ao longo da curva C
definida por ~σ(t) = (t, t2, t3), −∞ < t < ∞, sob a
ac¸a˜o da forc¸a ~F (x, y, z) = (x2 − y)~ı + (y2 − z)~ +
1
Lista 2 de Ca´lc. Dif. e Int. IV 2011-1 2
(z2 − x)~k. Determine o trabalho realizado por essa
forc¸a no deslocamento.
20. Em um movimento el´ıptico uma part´ıcula de massa
m e´ atra´ıda para a origem com uma forc¸a ~F =
−mc~r, c > 0. Ache a energia potencial e mostre
que ‖~v ‖2 + c‖~r ‖2 =cte.
21. Ache a func¸a˜o potencial de uma forc¸a ~F (x, y, z) =
(0, 0,−mg) e determine o trabalho realizado por
~F para mover um corpo de uma posic¸a˜o A =
(200, 199, 198) para B = (100, 99, 98). Determine
a energia potencial de ~F e encontre a equac¸a˜o da
conservac¸a˜o da energia.
22. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forc¸as
~F (x, y, z) = (y2, z2, x2) ao longo da curva obtida
como intersec¸a˜o da esfera x2 + y2 + z2 = a2 com
o cilindro x2 + y2 = ax, onde z ≥ 0 e a > 0. A
curva e´ percorrida no sentido anti-hora´rio quando
vista do plano xy.
23. Calcule
∫
C
~F · d~r, onde ~F (x, y, z) = (xy, x2+z, y2−
x) e C e´ a curva obtida como intersec¸a˜o do cone
x2 + y2 = z2, z ≥ 0, com o cilindro x = y2 de
(0, 0, 0) a (1, 1,
√
2).
24. Calcule
∫
C
~F · d~r, onde ~F (x, y, z) = (x2 − y2, z2 −
x2+z, y2−z2) e C a´ a curva de intersec¸a˜o da esfera
x2 + y2 + z2 = 4 com o plano y = 1, percorrida no
sentido anti-hora´rio quando vista da origem.
25. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forc¸as
~F (x, y, z) = (−y, x, z) para deslocar uma part´ıcula
ao longo da curva C intersec¸a˜o de x2 + y2 + z2 =
a2, z ≥ 0 com x2+y2−ay = 0, orientada no sentido
hora´rio quando vista da origem.
26. Se um campo inverso de forc¸as ~F (x, y, z) =
k
r3
~r,
onde ~r = x~ı + y~ + z~k, r = ‖~r ‖ 6= 0, deter-
mine o trabalho realizado por ~F quando seu ponto
de aplicac¸a˜o move-se ao longo do eixo x, de A =
(1, 0, 0) a B = (2, 0, 0).
27. A forc¸a que atua em um ponto (x, y) num plano
coordenado e´ dado por ~F (x, y) =
4
r3
~r, com ~r =
x~ı + y~, r = ‖~r ‖ 6= 0. Determine o trabalho real-
izado por ~F quando seu ponto de aplicac¸a˜o move-se
ao longo do semic´ırculo superior x2 + y2 = a2 de
(−a, 0) a (a, 0).
28. Prove que a integral de linha I =∫ (2,3)
(1,−1)
(x+ y)dx+ (x+ y)dy e´ independente
do caminho e calcule o valor de I.
29. Se ~F (x, y, z) = y2 cosx~ı +
(2y senx+ e2z)~+ 2ye2z~k, prove que
∫
C
~F · d~r e´
independente do caminho e determine uma func¸a˜o
potencial para ~F .
30. Prove que a integral de linha I =∫ (−2,1,3)
(1,0,2)
(6xy3 + 2z2)dx+ 9x2y2 dy + (4xz + 1)dz
e´ independente do caminho e calcule o valor de I.
31. Suponha que ~F (x, y, z) e´ uma forc¸a dirigida para a
origem e com mo´dulo inversamente proporcional a`
distaˆncia da origem. Prove que ~F e´ conservativo,
determine uma func¸a˜o potencial para ~F e encontre
a equac¸a˜o da conservac¸a˜o da energia.
32. Seja a forc¸a ~F orientada a partir da origem e com
mo´dulo diretamente proporcional a` distaˆncia da
origem. Prove que ~F e´ conservativo e determine
uma func¸a˜o potencial para ~F .
Nos exerc´ıcios 33 a 38 determine se o campo vetorial
~F e´ conservativo. Se for, encontre uma func¸a˜o potencial
ϕ.
33. ~F (x, y) = (6x2y2 − 14xy + 3)~ı+ (4x3y − 7x2 − 8)~.
34. ~F (x, y) =
(
1
x2
+
1
y2
)
~ı+
(
1− 2x
y3
)
~.
35. ~F (x, y) = (2xy + y2 + 1)~ı+ (x2 + 2xy + x)~.
36. ~F (x, y, z) = (2y − 5z)~ı+ (2x+ 8z)~− (5x− 8y)~k.
37. ~F (x, y, z) = z tan y~ı+ xz sec2 y ~+ x tan y ~k.
38. ~F (x, y, z) = ex(ez − ln y)~ı + (ey ln z − exy−1)~ +
(ex+z + eyz−1)~k.
Nos exerc´ıcios de 39 a 52, use o me´todo que lhe pare-
cer mais simples para calcular as integrais de linha.
39.
∮
C+
√
y dx+
√
x dy, onde C e´ a fronteira da regia˜o
do primeiro quadrante limitada por: x = 0, y =
1, y = x2.
40.
∮
C+
(ex
2
+ y)dx+ (x2 + arctan
√
y)dy, onde C e´ a
fronteira do retaˆngulo de ve´rtices: (1,2), (5,2),
(5,4), (1,4).
41.
∮
C+
(xy − y2)dx+ xy2 dy, onde C e´ formado por
y = 0, x = 1 e y = x.
42.
∮
C+
y−1dx+ x−1dy, onde C e´ formado por y =
4, x = 1 e y = x .
43.
∫ (0,0)
(4,0)
−xy(1 + x)−1dx+ ln(1 + x)dy,onde C e´
formado por x+ 2y = 4, x = 0.
Lista 2 de Ca´lc. Dif. e Int. IV 2011-1 3
44.
∫ (0,0)
(1,0)
(ex + y2)dx+ (x+
√
1 + y7)dy, onde C e´
formado por x = 1 e y = x.
45.
∮
C+
ex sen y dx+ (excos y + x)dy, onde C : 3x2 +
8y2 = 24.
46.
∮
C+
(x2 − y arctan y)dy, onde C : (x−a)2+y2 = a2.
47.
∮
C+
xy(3xy dx+ 7x dy), C : 10x2 + 17y2 = 29.
48.
∮
C+
xy(y dy − x dx) onde C e´ a fronteira do semi-
disco x2 + y2 ≤ a2, x ≥ 0.
49.
∮
C+
(ex
4 − y3)dx+ (x3 + ey5)dy, onde C e´ dado por
~σ(t) = (cos t, sen t), 0 ≤ t ≤ 2pi
50.
∮
C+
4y dx+ 3x dy, onde C e´ o quadrado com
ve´rtices (0,0), (1,0), (1,1), (0,1).
51.
∮
C+
2xy dx− x2y dy, onde C e´ o triaˆngulo com
ve´rtices (0,0), (1,0), (0,1).
52.
∮
C+
(x+ y)dx+ xy dy, onde C e´ a curva fechada
determinada pelo eixo ox, pela reta x = 2 e pela
curva 4y = x3
53. Seja A a a´rea de uma regia˜o R limitada por uma
curva C simples, fechada, diferencia´vel por partes.
Prove que:
A =
∮
C+
x dy = −
∮
C+
y dx =
1
2
∮
C+
x dy − y dx
54. Use o exerc´ıcio anterior para calcular a a´rea da
regia˜o delimitada por:
(a) C :
x2
a2
+
y2
b2
= 1
(b) C : x = a cos3 t, y = a sen3 t, 0 ≤ t ≤ 2pi
(c) pelo quadrila´tero de ve´rtices (0,0), (4,0), (3,2),
(1,1).
(d) pelos gra´ficos de y = x2 e y =
√
x.
55. Calcule
∮
C
−y
x2 + y2
dx+
x
x2 + y2
dy, onde C e´ a
curva da fig. 1.
56. Suponha ~F = (P,Q) de classe C1 em D = R2 −
{(0, 0), (1, 1)}. Suponha que ∂Q
∂x
=
∂P
∂y
em D.
Calcule
∮
C+
~F · d~r, sabendo que
∮
C+1
~F · d~r = 1 e∮
C+2
~F · d~r = 2, onde C, C1 e C2 sa˜o curvas da fig.
2.
C
x
y
1
2
C
C
C
1
1 x
y
Fig. (exerc´ıcio 55) Fig. 2 (exerc´ıcio 56)
57. Seja ~F (x, y) =
(
y − 1
x2 + (y − 1)2 − 2y,
−x
x2 + (y − 1)2
)
∀(x, y) ∈ R2 − {(0, 1)} Calcule:
(a)
∮
C+1
~F · d~r, onde C1 : x2 + (y − 1)2 = 1
(b)
∮
C+2
~F · d~r, onde C2 : x2 + y2 = 16.
58. Seja U ⊂ R2, limitada pelas curvas C1 : (x− 2)
2
4
+
y2
36
= 1 e C2 : (x− 1)2 + y2 = 1. Sendo ~F = (P,Q)
um campo de classe C1 em R2 − {(1, 0)}, tal que
∂P
∂y
=
∂Q
∂x
− 3, calcule
∮
C+1
~F · d~r, sabendo que∮
C+1
~F · d~r +
∮
C+2
~F · d~r = 3pi.
59. Seja ϕ : R2 → R de classe C2, tal que ∇2ϕ =
−3. Considere o campo ~F =
(
∂ϕ
∂y
,
−∂ϕ
∂x
)
. Calcule∮
C+
~F · d~r, onde C e´ a curva formada por y2 = x3
e y = x.
60. Sejam u e v func¸o˜es escalares de classe C2 em
D ⊂ R2. Seja C uma curva simples, fechada,
diferencia´vel por partes, orientada no sentido anti-
hora´rio e fronteira de um compacto R ⊂ D. Seja ~n
a normal exterior a R. Prove:
(a)
∮
C+
∂u
∂~n
ds =
∫∫
R
∇2u dxdy, onde ∂u
∂~n
= ~∇u · ~n
(b)
∮
C+
u
∂v
∂~n
ds =
∫∫
R
(
u∇2v + ~∇u · ~∇v
)
dxdy
(c)
∮
C+
u
∂u
∂~n
ds =
∫∫
R
(
u∇2u+ ‖~∇u‖2
)
dxdy
61. Seja ~r = (x, y), r = ‖~r ‖, r 6= 0.
(a) Encontre g(r) de modo que ∇2g(r) = 0,
sabendo que g(1) = 0 e g′(1) = 1.
Lista 2 de Ca´lc. Dif. e Int. IV 2011-1 4
(b) Considere ~F (r) = g′(r)~r com g(r) do item
(a). Calcule
∫
C
~F · d~r, onde C e´ uma curva
de extremidade inicial A = (1, 0) e final B =
(
√
2,
√
2).
62. Seja C qualquer caminho unindo qualquer ponto
na circunfereˆncia x2+ y2 = a2 a qualquer ponto na
circunfereˆncia x2 + y2 = b2, b > a. Seja ~F = 5r3~r.
Mostre que
∫
C
~F · d~r tem sempre o valor b5 − a5.
63.
∫
C
ex sen y dx+ excos y dy, no sentido anti-hora´rio,
onde C : x2 +
(
y − pi
4
)2
=
pi2
16
, x ≥ 0.
64. Verifique os Teoremas de Stokes e de Gauss no
plano se:
(a) ~F (x, y) = x2~ı+ y2~ e D = {(x, y) ∈ R2; 4x2 +
25y2 ≤ 100};
(b) ~F (x, y) = 3y~ı − 2x~ e D = {(x, y) ∈ R2;x 23 +
y
2
3 ≤ 1}.
65. Seja ~F (x, y) =
(
2xy3 − y2 cosx, 1− 2y senx+ 3x2y2).
(a) ~F e´ conservativo?
(b) Calcule
∫
C
~F · d~r, onde C e´ o arco da para´bola
2x = piy2 de P1(0, 0) ate´ P2
(pi
2
, 1
)
.
66. Calcule
∮
C+
yx2dx− x3dy
(x2 + y2)2
, onde:
(a) C e´ a curva dada pela equac¸a˜o
x2
4
+
(
y − 1
3
)2
= 1.
(b) C e´ a curva dada pela equac¸a˜o
x2
4
+ (y − 2)2 = 1.
67. Calcule
∫
C
(
4xy − 3x2z2) dx+ 2x2 dy − 2x3z dz,
onde C e´ a intersec¸a˜o da superf´ıcie
x2
3
+
y2
4
+ z2 = 1, z ≥ 0, com o plano y = 1.
Indique a orientac¸a˜o escolhida.
68. Calcule
∫
C
(2xyz + 2x) dx+ x2z dy + x2y dz, onde
C e´ a intersec¸a˜o da superf´ıcie z =
√
4− x2 − y2,
com o plano x+ y = 2. Indique a orientac¸a˜o escol-
hida.
69. Seja ~F (x, y, z) =
(
2xz + y2, 2xy + 3y2, ez + x2
)
:
(a) ~F e´ um campo conservativo?
(b) Calcule
∫
C
~F · d~r, onde C e´ a intersec¸a˜o da
superf´ıcie z = 9 − x2 − y2, z ≥ −4, com o
plano y = 2. Indique a orientac¸a˜o escolhida.
70. Calcule
∫
C
~F · d~r, onde ~F (x, y, z) = (yz + x3, xz +
3y2, xy + 4) e C e´ a intersec¸a˜o da superf´ıcie z =
5− y2, z ≥ 1, com o plano x+ z = 5, orientada no
sentido do crescimento de y.
71. Seja ~F (x, y, z) =
(
ex sen y +
x
x2 + y2
, excos y+
y
x2 + y2
, z2
)
. Mostre que o valor da integral do
campo ~F ao longo de qualquer curva fechada C
que na˜o intercepte o eixo z e´ zero.
72. Calcule
∫
C
(
xy − y
x2 + y2
)
dx+
(
2x+
x
x2 + y2
)
dy,
onde C e´ a semi-elipse
x2
16
+
y2
4
= 1, y ≥ 0, cuja
orientac¸a˜o e´ aquela que indica um percurso sobre
C de (4, 0) a` (−4, 0).
73. Seja C uma curva sime´trica em relac¸a˜o ao eixo y,
que vai do ponto (−2, 0) a (2, 0), como mostrado
na Fig. 3 abaixo. Sabendo-se que a a´rea da regia˜o
delimitada por C e pelo eixo x vale 5pi, calcule∫
C
~F · d~r, onde ~F (x, y) = (x2 + xy3)~ı+ (2x+ y)~.
C
y
x–2 2
Fig. 3 (exerc´ıcio 73)
74. Seja o campo vetorial ~F (x, y) = (2ey senx cosx +
y2excos y)~ı+(eysen2x+2yexcos y−y2ex sen y+x)~.
Calcule o trabalho de ~F ao longo do semic´ırculo
x2 + y2 =
pi4
4
, y ≥ 0, que vai do ponto
(pi
2
, 0
)
ao
ponto
(
−pi
2
, 0
)
75. Encontre todos os poss´ıveis valores de
I =
∮
C
(2x− y)dx+ (2y + x)dy
x2 + y2
onde C e´ uma curva fechada qualquer que na˜o passa
pela origem.
Lista 2 de Ca´lc. Dif. e Int. IV 2011-1 5
76. Calcule
∮
C
yx2dx− x3dy
(x2 + y2)2
, onde C e´ a curva dada
pela equac¸a˜o
x2
4
+
(
y − 1
3
)2
= 1, percorrida no
sentido anti-hora´rio.
77. Seja o campo ~F = (P,Q) de classe C1 em R2. Seja
∂Q
∂x
=
∂P
∂y
em R2, exceto nos pontos (4, 0), (0, 0) e
(−4, 0). Indiquemos por C1, C2, C3 e C4 as circun-
fereˆncias de equac¸o˜es: (x− 2)2+ y2 = 9, (x+2)2+
y2 = 9, x2+y2 = 25 e x2+y2 = 1 respectivamente,
orientadas no sentido anti-hora´rio. Sabendo que∮
C1
~F · d~r = 11,
∮
C2
~F · d~r = 9 e
∮
C3
~F · d~r = 13,
calcule
∮
C4
~F · d~r.
78. Calcule
∮
C+
(
2 arctan
y
x
− y2
)
dx+ ln(x2 + y2)dy,
onde C e´ a curva situada no primeiro quadrante,
limitada por x2 + y2 = 1, x2 + y2 = 4, y = x e
y = 0.
79. Seja ϕ : R2 → R de classe C2, tal que ∇2ϕ = 0 e
‖~∇ϕ‖ = 2. Calcule
(a) ~∇ · (ϕ~∇ϕ);
(b)
∮
C+
ϕ
∂ϕ
∂~n
ds, onde C e´ o quadrado de ve´rtices
(0, 0), (1, 0), (1, 1) e (0, 1) e ~n representa o
normal unita´rio em cada ponto de C, dirigido
para fora.
80. Seja ~F (x, y) =
(
y
x2 + y2
− 8y,− x
x2 + y2
)
,
definido em U = R2 − {(0, 0)}.
(a) ~F e´ conservativo? Por que?
(b) Calcule
∮
C+1
~F · d~r, onde C1 e´ dada pela
equac¸a˜o x2 + y2 = 1;
(c) Calcule
∮
C+2
~F · d~r, onde C2 e´ dada pela
equac¸a˜o |x|+ |y| = 2.
81. Seja ~F (x, y) = x3y3~ı +
(
3y − 3
4
x2y4
)
~ e seja C
dada por ~γ(t) = (t3, sen (4 arctan t2)), 0 ≤ t ≤ 1.
Seja α a a´rea do conjunto limitado pelo eixo x e
pela curva C. Calcule
∫
C
~F · ~nds, onde ~n e´ a nor-
mal a C que aponta parafora do conjunto acima
mencionado.
82. Seja ~F o campo do exerc´ıcio anterior e seja C :
~γ(t) = (cos t, sen t), 0 ≤ t ≤ pi
2
. Calcule
∫
C
~F · ~nds,
onde ~n e´ a normal com componente y ≥ 0.
83. Seja ~F (x, y) = x10~ı + (3x − 10x9y)~.Calcule∫
C
~F · ~nds, onde C e´ a curva do exerc´ıcio anterior
com o mesmo ~n.
Respostas
1. 2a3 3.
k(a2 − b2)
2
, k ≥ 0
4. 2ω +
8
3
5. 2a
√
2 6. a =
√
3c
2
7. −3 8. 18pi√2 9. 4pi 10. −2
11.
64
3
12. 16 13. 0 14.
1
3
15. 2 16. 0 17. 0 19. −29
60
20.
mc‖~r ‖2
2
21. −mgz+c, c = constante; 100mg, gz+ 1
2
v2 = cte.
22.
pia3
4
23.
4 + 10
√
2
15
24. 0 25.
pia2
2
26.
k
2
27. 0
28.
25
2
29. ϕ(x, y, z) = y2 senx+ ye2z + c 30. −31
31. ϕ(x, y, z) = −c ln r = − c
2
ln(x2 + y2 + z2)
32. ϕ(x, y, z) =
c
2
r2 =
c
2
(x2 + y2 + z2)
33. ϕ(x, y) = 2x3y2 − 7x2y + 3x− 8y + c
34. ϕ(x, y) =
2x2 − 2y2 − x
2xy2
+ c
35. ~F na˜o e´ conservativo
36. ϕ(x, y, z) = 2xy − 5xz + 8yz + c
37. ϕ(x, y, z) = xz tan y + c
38. ϕ(x, y, z) = ex+z + ey ln z − ex ln y + c
39.
3
10
40. 40 41.
1
12
42. 4 ln 2− 15
4
43. 4
44.
7
6
− e 45. 2√6pi 46. 2pia3 47. 0 48. pia
4
4
49.
3pi
2
50. −1 51. − 5
12
52. −3
7
54. (a) piab (b)
3pia2
8
(c)
9
2
(d)
1
3
55. 2pi 56. 3 57. (a) 0 (b) 30pi
58. 18pi 59.
3
10
61. (a) g(r) = ln r (b) 1
Lista 2 de Ca´lc. Dif. e Int. IV 2011-1 6
63. 1 64. (a) 0; 0 (b) −15pi
8
; 0
65. (a) ~F e´ conservativo e ϕ(x, y) = x2y3−y2 senx+y
(b)
pi2
4
66. (a) −pi (b) 0 67. 0
68. 4 de (0, 2, 0) para (2, 0, 0)
69. (a) ~F e´ conservativo
(b) 24 de (−3, 2,−4) para (3, 2,−4)
70. 32 66. 9pi 67. −10pi + 16
3
68.
pi3
8
75. 2pi, −2pi e 0 76. −pi 77. 7 78. 7
3
(2−√2)
79. (a) 4
(b) 4
80. (a) Na˜o (b) 6pi (c) 64− 8pi
81. 3α 82.
3pi
4
83.
3
2