Lista 1 2012_versao_3

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EAE0207 - Matemática aplicada à Economia
1a Lista de Exercícios
2o semestre de 2012
Prazo da entrega: até 28/08/2012
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1. Dada a matriz A =
24 2 1 �30 2 1
5 1 3
35, encontre: a) adjA; b) detA; c) A�1.
2. Considere o sistema:
x+ y � w = 0
x� z + w = 2
y + z � w = �3
x+ y � 2w = 1
a) Calcule o posto da matriz dos coe…cientes
b) Calcule o posto da matriz ampliada
c) Descreva a solução deste sistema
3. Considere um sistema homogêneo AX = 0, onde A é uma matriz n
� n. Que condição se deve impor sobre A para que o sistema admita
soluções diferentes da trivial (X = 0)?
4. Verdadeiro ou falso:
a) Se detA = 1, então A�1 = A.
b) SeA é umamatriz triangular superior não-singular, então sua inversa
também será uma matriz triangular.
c) Se A é uma matriz escalar (isto é kIn) então det A = kn.
5. Considere umamatriz triangularA(n; n). Mostre que detA = a11a22:::ann:
6. Dizemos que A e B são matrizes semelhantes se existe uma matriz
P tal que B = P�1AP . Mostre que, se A é semelhante a B, então
detA = detB.
1
7. Mostre que os seguintes subconjuntos do R4 são subespaços:
a) W = f(x; y; z; t) 2 R4j x+ y = 0 e z � t = 0g
b) U = f(x; y; z; t) 2 R4j 2x+ y � t = 0 e z = 0g
8. Responda se os subconjuntos abaixo são subespaços de M(2; 2) (isto
é, do espaço de matrizes 2x2). Em caso a…rmativo, exiba uma base e
mostre como ela gera o subespaço.
a) V =
��
a b
c d
�
com a; b; c; d 2 R e b = c
�
b) W =
��
a b
c d
�
com a; b; c; d 2 R e b = c+ 1
�
9. Considere dois vetores (a; b) e (c; d) no plano. Mostre que, se ad� bc =
0, os vetores são LD; se ad� bc 6= 0, eles são LI.
10. Mostre que ��
1 0
0 0
�
;
�
0 1
0 0
�
;
�
0 0
1 0
�
;
�
0 0
0 1
��
é base de M(2; 2).
Sejam W1 e W2 os seguintes subespaços de M(2; 2):
W1 =
��
a b
c d
�
tais que a = d e b = c
�
W2 =
��
a b
c d
�
tais que a = c e b = d
�
a) Determine W1\ W2 e exiba uma base.
b) Determine W1+ W2.
c) W1+ W2 = M(2; 2)?
11. Escreva uma base para o espaço vetorial das matrizes n � n. Qual é a
dimensão deste espaço?
12. Veri…que se os conjuntos abaixo são espaços vetoriais reais, com as op-
erações usuais. No caso a…rmativo, exiba uma base e dê sua dimensão.
a) Matrizes diagonais n � n.
b) Matrizes escalares n � n.
c) V = f(a; a; :::; a) 2 Rn : a 2 Rg
d) f(1; a; b) : a; b 2 Rg
2
13. O vetor w = (1;�1; 2) pertence ao subespaço deR3 gerado pelos vetores
u = (1; 2; 3) e v = (3; 2; 1)?
14. Mostre que os vetores u = (�5; 3; 2) e v = (3;�1; 3) não geram o R3.
15. Mostre que, em um espaço vetorial V , existe um único vetor nulo e cada
elemento v 2 V possui um único inverso. (Dica: use as propriedades
que de…nem um espaço vetorial).
16. Considere o subespaço de R4 gerado pelos vetores v1 = (1;�1; 0; 0),
v2 = (0; 0; 1; 1), v3 = (�2; 2; 1; 1) e v4 = (1; 0; 0; 0).
a) O vetor (2;�3; 2; 2) pertence a este subespaço? Justi…que.
b) Exiba uma base para este subespaço e encontre sua dimensão.
c) Este subespaço é igual ao R4? Justi…que.
17. Considere o sistema linear S dado por:
2x1 + 4x2 � 6x3 = a
x1 � x2 + 4x3 = b
6x2 � 14x3 = c
Seja W = f(x�1; x�2; x�3) 2 R3: (x�1; x�2; x�3) é solução de Sg. Isto é, W é
o conjunto solução do sistema S.
a) Que condições devemos impor a a; b; c para que W seja subespaço
vetorial de R3?
b) Nas condições de…nidas no item (a), encontre uma base para W .
c) Que relação existe entre a dimensão de W e o grau de liberdade do
sistema? Seria este resultado válido para qualquer sistema homogêneo?
18. SejamW1 = fx; y; z; t) 2 R4j x+y = 0 e z�t = 0g eW2 = fx; y; z; t) 2
R4j x� y � z + t = 0g subespaços de R4.
a) Determine W1 \W2 e exiba uma base para este subespaço.
b) Determine W1 +W2.
c) W1 +W2 é soma direta? Justi…que.
d) W1 +W2 = R4? Justi…que.
3