Deducao_Solucoes_Aletas1

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ABORDAGEM PADRÃO: TAXA DE TRANSFERÊNCIA DE CALOR NA BASE 
DA ALETA 
 
CASO A – EXTREMIDADE COM CONVECÇÃO 
 
( )[ ] ( )
LxLx
trtr dx
dkLxh
dx
dTkATLxThA
==
∞
−==⇒−=−=
θθ (1) 
 
( ) bb TTx θθ =−== ∞0 (2) 
 
A solução geral da equação 022
2
=− θθ m
dx
d
 é: 
 
( ) mxmx eCeCx −+= 21θ (3) 
 
Aplicando a solução geral na equação (1) obtém-se: 
 ( ) ( )mLmLmLmL emCemCkeCeCh −− −−=+ 2121 (4) 
 
Aplicando a solução geral na equação (2) obtém-se: 
 
( ) 21210.20.10 CCCCeCeCx bbmm −=⇒=+=+== − θθθ (5) 
 
Com as equações (4) e (5) pode-se obter as constantes 1C e :2C 
 
( )[ ] ( )[ ]
( )
mLmLmLmL
mL
b
mL
b
mL
b
mL
b
mLmLmLmL
mLmLmL
b
mLmLmL
b
mLmL
b
mLmL
b
mkemkehehe
ehemkC
ehemkmkemkeheheC
emkCemkCemkehCehCeh
eCeCmkeCeCh
−−
−−
−−
−−
−−−
−−
=
−−=−−−
++−=+−
−−−=+−
θθ
θθ
θθ
θθ
2
2
2222
2222
 (6) 
 
Substituindo a expressão de 2C na equação (5): 
 
( )
mLmLmLmL
mL
b
mL
b
mLmLmLmL
mL
b
mL
b
mL
b
mL
b
mL
b
mL
b
mLmLmLmL
mL
b
mL
b
mLmLmLmL
b
mLmLmLmL
mL
b
mL
b
bb
mkemkehehe
emkehC
mkemkehehe
ehemkemkemkehehC
mkemkehehe
ehemkmkemkeheheC
mkemkehehe
ehemkCC
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−
−−−
−
=
−−−
++−−−
=
−−−
++−−−
=






−−−
−−
−=−=
θθ
θθθθθθ
θθθ
θθθθ
1
1
1
21
 (7) 
 
 
Substituindo as expressões de 1C e 2C na equação (3) obtém-se: 
 
( )
( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )





 +
+




 −





 +
+





−
=
+−−
+−−
=
−−−
−−−
=






−−−
−−
+





−−−
−
=
−−
−−−−−−
−−
−−−−−−
−−
−−+−+−
−
−−−−
−−
22
22
mLmLmLmL
xLmxLmxLmxLm
b
mLmLmLmL
xLmxLmxLmxLm
b
mLmLmLmL
mxmL
b
mxmL
b
mxmL
b
mxmL
b
mx
mLmLmLmL
mL
b
mL
bmx
mLmLmLmL
mL
b
mL
b
ee
mkeeh
ee
mkeeh
x
eemkeeh
eemkeehx
mkemkehehe
ehemkemkeh
x
e
mkemkehehe
ehemk
e
mkemkehehe
emkeh
x
θ
θ
θ
θ
θθθθθ
θθθθθ
 (8) 
 
Sabe-se que 
2
cosh
xx ee
x
−+
= e 
2
sen
xx eehx
−
−
= de tal forma que: 
 
( ) ( ) ( )
mLmkhmLh
xLmmkxLhmhx
b coshsen
coshsen
+
−+−
=
θ
θ
 (9) 
 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) hmLmkhmL
xLhmmkhxLm
TT
TxTx
bb sen/cosh
sen/cosh
+
−+−
=
−
−
=
∞
∞
θ
θ
 (10) 
 
A taxa de transferência de calor aq pode ser calculada pela lei de Fourier aplicada na 
base da aleta: 
 
00 ==
−=−=
x
tr
x
tra dx
dkA
dx
dTkAq θ (11) 
 
( )210.20.1
0
21 CCmemCemCdx
d
emCemC
dx
d mm
x
mxmx
−=−=⇒−= −
=
−
θθ
 (12) 
 
Substituindo as expressões de 1C e 2C na equação (12) obtém-se: 
 
( ) ( )
( ) ( )




+−−
−++
=






−−−
++−
=






−−−
−−
−
−−−
−
=
−−
−−
=
−−
−−
=
−−−−
−−
=
mLmLmLmL
mLmLmLmL
b
x
mLmLmLmL
mL
b
mL
b
mL
b
mL
b
x
mLmLmLmL
mL
b
mL
b
mLmLmLmL
mL
b
mL
b
x
eemkeeh
eemkeeh
m
dx
d
mkemkehehe
ehemkemkeh
m
dx
d
mkemkehehe
ehemk
mkemkehehe
emkeh
m
dx
d
:
0
0
0
θθ
θθθθθ
θθθθθ
 
 
 
( )
( ) hmLmkhmL
mLmkhhmL
m
dx
d
mLmkhmLh
hmLmkmLh
m
dx
d
ee
mkeeh
ee
mkeeh
m
dx
d
b
x
b
x
mLmLmLmL
mLmLmLmL
b
x
sen/cosh
cosh/sen
coshsen
sencosh
22
22
0
0
:
0
+
+
−=
+
+
−=

















 +
+





−





 −
+




 +
−=
=
=
−−
−−
=
θθ
θθ
θθ
 (13) 
 
Assim, substituindo a expressão resultante (13) na equação (11) obtém-se: 
 
( )
( )
( )
( ) hmLmkhmL
mLmkhhmL
mkAq
hmLmkhmL
mLmkhhmL
mkAq
btra
btra
sen/cosh
cosh/sen
sen/cosh
cosh/sen
+
+
=






+
+
−−=
θ
θ
 (14) 
 
Sabe-se que 
trkA
hP
m = de tal forma que: 
 
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( ) hmLmkhmL
mLmkhhmLhPKAq
hmLmkhmL
mLmkhhmL
kA
kAhPq
hmLmkhmL
mLmkhhmL
kA
hPkAq
btra
b
tr
tr
a
b
tr
tra
sen/cosh
cosh/sen
sen/cosh
cosh/sen
sen/cosh
cosh/sen
2
+
+
=
+
+
=
+
+
=
θ
θ
θ
 (15) 
 
onde .btrhPkAM θ= Assim, tem-se que: 
 
( )
( ) hmLmkhmL
mLmkhhmLMqa
sen/cosh
cosh/sen
+
+
= (16) 
 
Assim, para condição de convecção na extremidade da aleta os seguintes resultados 
foram obtidos: 
 
Distribuição de temperaturas: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) hmLmkhmL
xLhmmkhxLm
TT
TxTx
bb sen/cosh
sen/cosh
+
−+−
=
−
−
=
∞
∞
θ
θ
 
Taxa de transferência de calor: ( )( ) hmLmkhmL
mLmkhhmLMqa
sen/cosh
cosh/sen
+
+
= 
 
 
 
CASO B – EXTREMIDADE ADIABÁTICA 
 
LxLx dx
d
dx
dT
==
=
θ
 (1) 
 
( ) bb TTx θθ =−== ∞0 (2) 
 
A solução geral da equação 022
2
=− θθ m
dx
d
 é: 
 
( ) mxmx eCeCx −+= 21θ (3) 
 
Aplicando a solução geral na equação (1) obtém-se: 
 
( ) mLmLmLmL
Lx
mxmx eCeCeCeCm
dx
d
emCemC
dx
d
−−
=
−
=⇒=−=⇒−= 212121 0
θθ
 (4) 
 
Aplicando a solução geral na equação (2) obtém-se: 
 
( ) 21210.20.10 CCCCeCeCx bbmm −=⇒=+=+== − θθθ (5) 
 
Com as equações (4) e (5) pode-se obter as constantes 1C e :2C 
 
( )
( )
mLmL
mL
b
mLmLmL
b
mLmLmL
b
mLmL
b
ee
eC
eeCe
eCeCe
eCeC
+
=
+=
=−
=−
−
−
−
−
θ
θ
θ
θ
2
2
22
22
 (6) 
 
Substituindo a expressão de 2C na equação (5) obtém-se: 
 
( )
mLmL
mL
b
mLmL
mL
b
mL
b
mL
b
mLmL
mL
b
mLmL
b
mLmL
mL
b
bb
ee
eC
ee
eeeC
ee
eeeC
ee
eCC
+
=
+
−+
=
+
−+
=
+
−=−=
−
−
−
−
−
−
−
θ
θθθ
θθ
θθθ
1
1
1
21
 (7) 
 
Substituindo as expressões de 1C e 2C na equação (3) obtém-se: 
 
( )
( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( )
mL
xLm
ee
ee
x
ee
ee
x
ee
ee
x
e
ee
e
e
ee
e
x
mLmL
xLmxLm
b
mLmL
xLmxLm
b
mLmL
mxmL
b
mxmL
b
mx
mLmL
mL
bmx
mLmL
mL
b
cosh
cosh
2
2
−
=





 +





 +
=
+
+
=
+
+
=






+
+





+
=
−
−−−
−
−−−
−
−+−
−
−−
−
θ
θ
θθ
θθθ
θθθ
 (8) 
 
( ) ( ) ( )
mL
xLm
TT
TxTx
bb cosh
cosh −
=
−
−
=
∞
∞
θ
θ
 (9) 
 
A taxa de transferência de calor aq pode ser calculada pela lei de Fourier aplicada na 
base da aleta: 
 
00 ==
−=−=
x
tr
x
tra dx
dkA
dx
dTkAq θ (10) 
 
( )210.20.1
0
21 CCmemCemCdx
d
emCemC
dx
d mm
x
mxmx
−=−=⇒−= −
=
−
θθ
 (11) 
 
Substituindo as expressões de 1C e 2C na equação (11) obtém-se: 
 
hmLm
mL
hmL
m
ee
ee
m
dx
d
ee
ee
m
ee
ee
m
dx
d
ee
e
ee
e
m
dx
d
bbmLmL
mLmL
b
x
mLmL
mLmL
bmLmL
mLmL
b
x
mLmL
mL
b
mLmL
mL
b
x
tg
cosh
sen
2
2
0
0
0
θθθθ
θθθ
θθθ
−=−=












+
−
−=






+
−
−=





+
−
=






+
−
+
=
−
−
=
−
−
−
−
=
−−
−
=
 (12) 
 
Assim, substituindo a expressão resultante de (12) na equação (10) obtém-se: 
 
( )
hmLmkAq
hmLmkAq
btra
btra
tg
tg
θ
θ
=
−−=
 (13) 
 
 
Sabe-se que 
trkA
hP
m = de tal forma que: 
( )
hmLhPkAq
hmL
kA
kAhPq
hmL
kA
hPkAq
btra
b
tr
tr
a
b
tr
tra
tg
tg
tg
2
θ
θ
θ
=
=
=
 (14) 
 
onde .btrhPkAM θ= Assim, tem-se: 
 
hmLMqa tg= (15) 
 
Assim, para condição de extremidade adiabática os seguintes resultados foram obtidos: 
 
Distribuição de temperaturas: ( ) ( ) ( )
mL
xLm
TT
TxTx
bb cosh
cosh −
=
−
−
=
∞
∞
θ
θ
 
Taxa de transferência de calor: hmLMqa tg= 
 
CASO C – EXTREMIDADE COM TEMPERATURA ESPECIFICADA 
 
( ) LLx θθ == (1) 
 
( ) bb TTx θθ =−== ∞0 (2) 
 
A solução geral da equação 022
2
=− θθ m
dx
d
 é: 
 
( ) mxmx eCeCx −+= 21θ (3) 
 
Aplicando a solução geral na equação (1) obtém-se: 
 
( ) LmLmL eCeCLx θθ =+== −21 (4) 
 
Aplicando a solução geral na equação (2) obtém-se: 
 
( ) 21210.20.10 CCCCeCeCx bbmm −=⇒=+=+== − θθθ (5) 
 
Com as equações (4) e (5) pode-se obter as constantes 1C e :2C 
 
 
( )
( )
mLmL
L
mL
b
mLmL
mL
bL
mL
bL
mLmL
L
mLmLmL
b
L
mLmL
b
ee
eC
ee
eC
eeeC
eCeCe
eCeC
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−
=
−=−
=+−
=+−
θθ
θθ
θθ
θθ
θθ
2
2
2
22
22
 (6) 
 
Substituindo a expressão de 2C na equação (5) obtém-se: 
 
( )
mLmL
mL
bL
mLmL
mL
bL
mL
b
mL
b
mLmL
mL
bL
mLmL
b
mLmL
mL
bL
bb
ee
eC
ee
eeeC
ee
eeeC
ee
eCC
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
−
−++−
=
−
+−−
=
−
−
−=−=
θθ
θθθθ
θθθ
θθθθ
1
1
1
21
 (7) 
 
Substituindo as expressões de 1C e 2C na equação (3) obtém-se: 
 
( )
( )
( )( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )
( ) ( )






−






−






+





−
=






−
−+−
=
−
−+−
=
−
−+−
=






−
−
+





−
−
=
−
−−−−
−
−−−−
−
−−−−
−
−−+−
−
−−
−
2
22
mLmL
mxmx
b
L
xLmxLm
b
mLmL
mxmx
bL
xLmxLm
b
mLmL
mxmx
L
xLmxLm
b
mLmL
mx
L
mxmL
b
mxmL
b
mx
L
mx
mLmL
L
mL
bmx
mLmL
mL
bL
ee
eeee
x
ee
eeee
x
ee
eeee
x
ee
eeee
x
e
ee
e
e
ee
e
x
θ
θ
θ
θ
θθθθ
θθθ
θθθθθ
θθθθθ
 (8) 
 
( ) ( ) ( ) ( )
hmL
xLhmhmx
TT
TxTx bL
bb sen
sensen −+
=
−
−
=
∞
∞
θθ
θ
θ
 (9) 
 
A taxa de transferência de calor aq pode ser calculada pela lei de Fourier aplicada na 
base da aleta: 
 
00 ==
−=−=
x
tr
x
tra dx
dkA
dx
dTkAq θ (10) 
 
( )210.20.1
0
21 CCmemCemCdx
d
emCemC
dx
d mm
x
mxmx
−=−=⇒−= −
=
−
θθ
 (11) 
 
Substituindo as expressões de 1C e 2C na equação (11) obtém-se: 
 
( )
( )
( )
hmL
mL
m
dx
d
hmL
mL
m
ee
ee
m
dx
d
ee
ee
m
dx
d
ee
ee
m
ee
e
ee
e
m
dx
d
bL
b
x
Lb
mLmL
mLmL
b
L
x
mLmL
mLmL
bL
x
mLmL
L
mL
b
mL
bL
mLmL
L
mL
b
mLmL
mL
bL
x
sen
cosh
sen
cosh
2
22
2
2
0
0
0
0
θθθθ
θθ
θθ
θ
θθθ
θθθθθθθθθ
−
−=
+−
=

















 −





 +
−
=






−
+−
=






−
+−−
=





−
−
−
−
−
=
=
−
−
=
−
−
=
−
−
−−
−
=
 (12) 
 
Assim, substituindo a expressão resultante de (12) na equação (10) obtém-se: 
 
( )



 −
−−=−=
=
hmL
mL
mkA
dx
dkAq bLbtr
x
tra
sen
cosh
0
θθθθ (13) 
 
Sabe-se que 
trkA
hP
m = de tal forma que: 
 
( )
( ) ( )
( )
hmL
mLhPkAq
hmL
mL
kA
kAhPq
hmL
mL
kA
hPkAq
bL
btra
bL
b
tr
tr
a
bL
b
tr
tra
sen
cosh
sen
cosh
sen
cosh
2
θθθ
θθθ
θθθ
−
=
−
=
−
=
 (14) 
 
onde .btrhPkAM θ= Assim, tem-se: 
 
( )
hmL
mLMq bLa
sen
cosh θθ−
= (15) 
 
 
Assim, para condição de temperatura prescrita na extremidade os seguintes resultados 
foram obtidos: 
Distribuição de temperaturas: ( ) ( ) ( ) ( )
hmL
xLhmhmx
TT
TxTx bL
bb sen
sensen −+
=
−
−
=
∞
∞
θθ
θ
θ
 
Taxa de transferência de calor: ( )
hmL
mlMq bLa
sen
cosh θθ−
= 
 
CASO D – ALETA INFINITA 
 
( ) 0=∞→xθ (1) 
 
( ) bb TTx θθ =−== ∞0 (2) 
 
A solução geral da equação 022
2
=− θθ m
dx
d
 é: 
 
( ) mxmx eCeCx −+= 21θ (3) 
 
Aplicando a solução geral na equação (1) obtém-se: 
 
( ) 00 121 =⇒=+=∞→ ∞−∞ CeCeCx mmθ (4) 
 
Aplicando a solução geral na equação (2) obtém-se: 
 
( ) bbmm CCCeCeCx θθθ =⇒=+=+== − 2210.20.10 (5) 
 
Substituindo as expressões de 1C e 2C na equação (3) obtém-se: 
 
( ) ( ) ( ) mxbmx eex −+= θθ 0 
 
( ) ( ) mx
bb
e
TT
TxTx
−
∞
∞
=
−
−
=
θ
θ
 (6) 
 
A taxa de transferência de calor aq pode ser calculada pela lei de Fourier aplicada na 
base da aleta: 
 
00 ==
−=−=
x
tr
x
tra dx
dkA
dx
dTkAq θ (7) 
 
( )210.20.1
0
21 CCmemCemCdx
d
emCemC
dx
d mm
x
mxmx
−=−=⇒−= −
=
−
θθ
 (8) 
 
Substituindo as expressões de 1C e 2C na equação (8) obtém-se: 
 
b
x
m
dx
d θθ −=
=0
 (9) 
 
Assim, substituindo a expressão resultante de (9) na equação (7) obtém-se: 
 
( ) btrbtra mkAmkAq θθ =−−= (10) 
 
Sabe-se que 
trkA
hP
m = de tal forma que: 
 
( )
btra
b
tr
tr
a
b
tr
tra
hPkAq
kA
kAhPq
kA
hPkAq
θ
θ
θ
=
=
=
2
 (11) 
 
onde .btrhPkAM θ= Assim, tem-se: 
 
Mqa = (12) 
 
Assim, para condição de aleta infinita os seguintes resultados foram obtidos: 
Distribuição de temperaturas: ( ) ( ) mx
bb
e
TT
TxTx
−
∞
∞
=
−
−
=
θ
θ
 
Taxa de transferência de calor: Mqa = 
 
ABORDAGEM ALTERNATIVA: TAXA NA QUAL O CALOR É 
TRANSFERIDO POR CONVECÇÃO DA SUPERFÍCIE DA ALETA 
 
Outra forma de se determinar a taxa de transferência de calor em uma aleta de seção 
transversal uniforme é através da conservação da energia para uma superfície estendida, 
que possui o seguinte enunciado: 
 






=










aleta da base da
através condutiva Taxa
aleta da superfície da
convecçãopor otransferid
écalor o qual na Taxa
 
 
Conseqüentemente, uma formulação alternativa para aq é: 
 
( )[ ] ( ) sAsAa dAxhdATxThq aa ∫∫ =−= ∞ θ 
 
 
A área aA indica a área superficial total da aleta, incluindo sua extremidade. Assim, 
para facilitar o tratamento matemático, é conveniente separar a integral anterior em dois 
termos: o primeiro termo levando em consideração a taxa de transferência de calor pela 
superfície da aleta, excluindo sua extremidade, e o segundo termo levando em 
consideração a taxa de transferência de calor pela extremidade da aleta. Dessa forma, 
sabendo que PdxdAs = obtém-se: 
 
( ) ( )[ ] ( ) ( )LxhAdxxhPTLxThAdxxhPq trLtrLa =+=−=+= ∫∫ ∞ θθθ 00 
 
CASO A – EXTREMIDADE COM CONVECÇÃO 
 
Perfil de temperaturas: ( ) ( ) ( ) ( )( ) hmLmkhmL
xLhmmkhxLm
x b
sen/cosh
sen/cosh
+
−+−
= θθ 
 
Taxa de transferência de calor: ( ) ( ) ( )( ) dxhmLmkhmL
xLhmmkhxLmhPq
L
ba ∫ 





+
−+−
=
0 sen/cosh
sen/coshθ 
( ) ( ) ( )
( ) hmLmkhmL
LLhmmkhLLmhA btr
sen/cosh
sen/cosh
+
−+−
+ θ 
 
Com LmPh b ,,,, θ e k constantes e sabendo que ( ) 00sen =h e ( ) 10cosh = obtém-se: 
 
( ) ( ) ( ) ( )[ ]
( ) hmLmkhmL
hA
dxxLhmmkhxLm
hmLmkhmL
hPq
btr
Lb
a
sen/cosh
sen/cosh
sen/cosh 0
+
+
−+−
+
= ∫
θ
θ
 
 
Separando em duas integrais obtém-se: 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) hmLmkhmL
hA
dxxLhmmkhdxxLm
hmLmkhmL
hPq
btr
LLb
a
sen/cosh
sen/cosh
sen/cosh 00
+
+




−+−
+
= ∫∫
θ
θ
 
 
As duas integrais podem ser resolvidas fazendo a substituição ( )xLma −= de tal 
maneira que .mdadx −= Dessa forma tem-se que: 
 
( )
( )
( ) hmLmkhmL
hA
m
hadamkh
m
ada
hmLmkhmL
hPq
btr
LL
b
a
sen/cosh
sen/cosh
sen/cosh
00
+
+










−−
+
=
∫∫
θ
θ
 
 
Resolvendo as duas integrais e voltando na variável x obtém-se: 
 
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]
( ) hmLmkhmL
hA
xLm
m
mkh
xLhm
mhmLmkhmL
hPq
btr
LLb
a
sen/cosh
cosh/sen1
sen/cosh 00
+
+






−−−−
+
=
θ
θ
 
 
Sabendo que ( ) 00sen =h e ( ) 10cosh = e rearranjando obtém-se: 
 
( )( )[ ]
( )[ ] ( ) hmLmkhmL
hA
hmLmkhmLm
mLmkhmLhPq btrba
sen/coshsen/cosh
cosh1/senh
+
+
+
−−
=
θθ
 
 
Sabendo que MhPkAmhP btrb == θθ obtém-se: 
 
( )( )[ ]
( )[ ]hmLmkhmL
hAmLmkhmLMq btra
sen/cosh
cosh1/senh
+
+−−
=
θ
 
 
Distribuindo M obtém-se: 
 
( ) ( )
( )[ ]hmLmkhmL
hAmLmkhMmkhMmLMq btra
sen/cosh
cosh//senh
+
++−
=
θ
 
 
Utilizando as definições de M e m pode-se mostrar que ( ) btrhAmkhM θ=− / de tal 
maneira que: 
 
( )
( ) hmLmkhmL
mLmkhmLMqa
sen/cosh
cosh/senh
+
+
= 
 
CASO B – EXTREMIDADE ADIABÁTICA 
 
Perfil de temperaturas: ( ) ( )
mL
xLm
x b
cosh
cosh −
= θθ
 
 
Taxa de transferência de calor: ( ) ( )48476
A)(ADIABÁTIC 0
0 cosh
cosh
=
=+


 −
= ∫ LxhAdxmL
xLmhPq tr
L
ba θθ 
 
Com LmPh b ,,,, θ e k constantes obtém-se: 
 
( )[ ]dxxLm
mL
hPq
Lb
a ∫ −= 0 coshcosh
θ
 
 
 
A integral pode ser resolvida fazendo a substituição ( )xLma −= de tal maneira que 
.mdadx −= Dessa forma tem-se que: 
 










−=
∫
m
daa
mL
hPq
L
b
a
0
cosh
cosh
θ
 
 
Resolvendo a integral e voltando na variável x obtém-se: 
 
( )[ ]






−−=
Lb
a xLhm
mmL
hPq 0sen
1
cosh
θ
 
 
Sabendo que ( ) 00sen =h e rearranjando obtém-se: 
 
[ ]






−−= hmL
mmL
hPq ba sen0
1
cosh
θ
 
 
Sabendo que hmLmLhmL tgcoshsen = e trkAhPm = obtém-se: 
 
hmLhPkAhmLhPhP
hP
kA
hmLhP
hP
kA
q trb
tr
b
tr
a tgtgtg bθθθ === 
 
Fazendo btrhPkAM θ= obtém-se: 
 
hmLMqa tg= 
 
CASO C – EXTREMIDADE COM TEMPERATURA ESPECIFICADA 
 
( ) ( ) ( )
hmL
xLhmhmx
x bLb
sen
sensen −+
=
θθθθ
 
 
Taxa de transferência de calor: ( ) ( ) dx
hmL
xLhmhmxhPq
L bL
ba ∫ 


 −+
=
0 sen
sensenθθθ 
( ) ( )
hmL
LLhmhmLhA bLbtr
sen
sensen −+
+
θθθ 
 
Com LmPh b ,,,, θ e k constantes e sabendo que ( ) 00sen =h obtém-se: 
 
( ) ( )[ ] LtrL bLba hAdxxLhmhmxhmLhPq θθθθ +−+= ∫0 sensensen
 
 
Separando em duas integrais obtém-se: 
 
( ) ( ) LtrLLbLba hAdxxLhmhmxdxhmL
hPq θθθθ +




−+= ∫∫ 00 sensensen
 
 
As duas integrais podem ser resolvidas fazendo a substituição mxa = para a primeira 
integral e ( )xLma −= para a segunda integral de tal maneira que mdadx = e 
,mdadx −= respectivamente. Dessa forma tem-se que: 
 
( ) Ltr
LL
bL
b
a hA
m
hada
m
hada
hmL
hPq θθθθ +










−=
∫∫ 00 sensen
sen
 
 
Resolvendo as duas integrais e voltando na variável x obtém-se: 
 
( )[ ] ( )[ ] LtrLLbLba hAxLm
m
mx
mhmL
hPq θθθθ +






−−= 00 cosh
1
cosh
sen
?? 
 
Sabendo que ( ) 10cosh = e rearranjando obtém-se: 
 
( ) ( ) LtrbLba hAhmLm
mLhPq θθθθ ++−= 1
sen
1cosh
 
 
Sabendo que MhPkAmhP btrb == θθ obtém-se: 
 
( ) ( ) LtrbLa hAhmL
mLMq θθθ ++−= 1
sen
1cosh
 
 
Rearranjando obtém-se: 
 
( )
hmL
mlMq bLa
sen
cosh θθ−
= 
 
CASO D – ALETA INFINITA 
 
( ) mxbex −= θθ 
Taxa de transferência de calor: ( )4484476
A)(ADIABÁTIC 0
0
=
∞
−
∞→+= ∫ xhAdxehPq tr
mx
ba θθ 
 
Com LmPh b ,,,, θ e k constantes obtém-se: 
 
dxehPq mxba ∫
∞
−
=
0
θ 
 
 
A integral pode ser resolvida fazendo mxa −= de tal maneira que .mdadx −= Dessa 
forma tem-se que: 
 










−=
∫
∞
m
dae
hPq
a
ba
0θ 
 
Resolvendo a integral e voltando na variável x obtém-se: 
 
[ ]∞−−= 0mxba e
m
hPq θ 
 
Rearranjando obtém-se: 
 
b
0
0
11 θθθθθ trbtrbtrbmmba hPkAhPhPhP
kA
hP
hP
kA
m
hP
eem
hPq ====



−−=
∞
∞
 
 
Fazendo btrhPkAM θ= obtém-se: 
 
Mqa =