Resolução - 2a Prova - Probabilidade e Estatística

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ
Centro de Tecnologia
Curso de Bacharelado em Engenharia Mecânica
Disciplina: Probabilidade e Estatística José Pereira Ramos Junior
2ª Prova
Questão 01
Seja X uma variável aleatória com a seguinte função de probabilidade:
1x0,4f x , se 1 ≤ x≤ 2
a) Prove que é uma f.d.p.
b) Encontre P( X> 2)
c) Determine E( X ) e Var( X )
Solução
X ---> Variável aleatória
Letra (a)
x ---> Número real
d
2
1
xf xF f.d.p : função de densidade de
probabilidade
P X ---> Probabiliade de X
d
2
1
x1x0,4F
1
2
x0,4
2
x
2
0,4F
10,4
2
1
2
0,4
20,4
2
2
2
0,4F
1F ---> É uma f.d.p
Letra (b)
%{ J053_P3R31R4 %}
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Letra (c)
d
2
1
xf xxE xE Xμ ---> μ ou E X ---> valor esperado, esperança ou
média de X
d
2
1
x1x0,4xE X
d
2
1
xx0,4
2
x0,4E X
1
22
x0,2
3
x
3
0,4E X
2
10,2
3
1
3
0,42
20,2
3
2
3
0,4E X
1,5333E X
d
2
1
xf x
2
xE
2
X
d
2
1
x1x0,4
2
xE
2
X
d
2
1
x
2
x
3
x0,4E
2
X
1
2
3
3
x
4
4
x
0,4E
2
X
1
23
x
3
0,44x0,1E
2
X
3
1
3
0,44
10,1
3
2
3
0,44
20,1E
2
X
2,4333E
2
X
Var X ---> Variância de X
2
E XE
2
XVar X
2
1,5332,433Var X
0,0829Var X
%{ J053_P3R31R4 %}
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Questão 02
O tempo T em minutos necessário para obter um processamento de uma reação para produzir um
componente metálico é uma variável aleatória discreta com a seguinte distribuição de probabilidade:
-------------------------------------------------------------------------------------------
xi 0 1 2 3 4 5
-------------------------------------------------------------------------------------------
P xiX 0,05 0,05 0,25 0,30 0,20 0,15
-------------------------------------------------------------------------------------------
a) Prove que o problema em questão se trata de fato de uma variável aleatória discreta.
b) Calcule o tempo médio de processamento e a variância associada ao experimento.
Solução
Letra (a)
Como o tempo T necessário em minutos para produzir um componente metálico é finito e mensurável
então é uma variável discreta.
Letra (b)
E X ---> Valor médio ou esperança de Xn
1i
pixiE X xi ---> Valores da variável aleatória
0,1550,2040,3030,2520,0510,050E X
min3E X
Var X --> Variância da v.a. X
n
1i
pi
2
xiE
2
x
0,15
2
50,2
2
40,3
2
30,25
2
20,05
2
10,05
2
0E
2
x
min10,7E
2
x
n
1i
pi
2
E XxiVar X
2
E xE
2
xVar x ou
2
310,7Var x
min1,7Var x
%{ J053_P3R31R4 %}
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Questão 03 {Ref. [01]}
Se 5% das lâmpadas de certa marca são defeituosas, calcule a probabilidade de que, numa amostra
de 10 lâmpadas, escolhidas ao acaso:
a) nenhuma lâmpada ser defeituosa;
b) três lâmpadas serem defeituosas;
c) pelo menos uma lâmpada ser perfeita;
d) Qual o número esperado de lâmpadas perfeitas e a variância?
Solução n ---> Tamanho da amostra
Letra (a) k ---> Número de sucesso
kn
p1
k
p
k
n
P kX
knk
n
k
n
010
0,051
0
0,05
0
10
P 0X
0100
10
0
10
10
0,051
0
0,051P 0X
1
0100
10
0,5987P 0X
Letra (b)
310
0,051
3
0,05
3
10
P 3X
10n 3k
3103
10
3
10
7
0,95
3
0,05120P 3X
120
3103
10
0,0105P 3X
Letra (c)
1010
0,051
10
0,05
10
10
1P 10X1
101010
10
10
10
0
0,95
10
0,0511P 10X1 1
101010
10
1P 10X1
%{ J053_P3R31R4 %}
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Letra (d)
(Núm de lampadas perfeitas) = (Núm de lampadas na amostra) × (Percentual de lampadas perfeitas)
pnE X
0,9510nLP
9,5nLP
qpnVar X | p1q
0,050,9510Var
0,475Var
%{ J053_P3R31R4 %}
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Questão 04 {Ref. [02]}
Placas de metal são inspecionadas regularmente quanto ao número de fendas encontrando-se em
média 2,2 fendas por 2m2. Supondo que o número de fendas se comportam segundo uma
distribuição de Poisson, calcule a probabilidade de se obter:
a) nenhuma fenda em 2m2 domaterial.
b) nomínimo uma placa, em um lote de 5 placas, com nenhuma fenda por 2m2.
c) considerando uma área de 4m2 qual é a probabilidade de 3 fendas serem encontradas?
d) Considerando λ = 2,2, calcule a média e a variância associada ao número de fendas encontradas
numa inspeção qualquer.
Solução
Letra (a)
Distribuição de Poisson: x ---> Número de sucesso
λ ---> Número médio de sucesso num intervalo
específico
x
λ
e
x
λ
P ; λx
2,7183e ---> Número de Euler
0
2,2
e
0
2,2
P ; 2,2λ0x
0,1108P ; 2,2λ0x
Letra (b)
P/ x= 0 --> 2,2102,2λ P/ x= 4 --> 11142,2λ
P ; 11λ2xP ; 11λ1xP ; 11λ0xP ; 11λ4x
P ; 11λ4xP ; 11λ3x
4
11
e
4
11
3
11
e
3
11
2
11
e
2
11
1
11
e
1
11
0
11
e
0
11P ; 11λ4x
0,0151P ; 11λ4x
Letra (c)
3
4,4
e
3
4,4P ; 4,4λ3x
0,1743P ; 4,4λ3x
%{ J053_P3R31R4 %}
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Letra (d)
E xMédia var xvariância
λMédia λvar x
2,2Média 2,2var x
%{ J053_P3R31R4 %}
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Questão 05 {Ref. [03]}
A resistência de determinadas peças individuais feitas por um certo processo de manufatura é
conhecida e normalmente distribuída com média μ = 24 e desvio padrão σ = 3. Toda peça produzida
é testada, sendo aceita pelo controle de qualidade se as suas especificações quanto à resistência
estiver entre (μ - 2σ ; μ + 2σ). Caso contrário é rejeitada.
a) Calcule a probabilidade de uma peça não ser rejeitada.
b) Calcule a probabilidade de uma peça ser rejeitada.
Solução
Letra (a)
3224σ2μ 3224σ2μ μ ---> Média
σ ---> Desvio Padrão18σ2μ 30σ2μ
Normalizar os valores de x:
μ
μx
z
P(18 ≤ x≤ 30)= P( 3
2418
≤ 3
24x
≤ 3
2430
)
P(18 ≤ x≤ 30)= P( -2 ≤ z ≤ 2 )
P(18 ≤ x ≤ 30) = P( 2,00 ) - P ( -2,00 )
Da tabela de distribuição normal padrão:
0,9772P 2,00
0,0228P 2,00
P = P(18 ≤ x ≤ 30) = P( 2,00 ) - P ( -2,00 )
0,02280,9772P
0,9544P
Letra (b)
P( x ≤ 18 ou x ≥ 30 ) = 1 - P(18 ≤ x ≤ 30)
0,95441P
0,0456P
%{ J053_P3R31R4 %}
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Questão 06 {Ref. [04]}
Uma empresa produz um equipamento cuja vida útil admite distribuição normal com média 300 h e
desvio padrão 20 h. Se a empresa garantiu uma vida útil de pelo menos 280 h para uma das
unidades vendidas, qual a probabilidade de ela ter que repor essa unidade?
μ ---> Médiahr300μ hr20σ hr280x
σ ---> Desvio Padrão
Solução
Normalizar o valor de x:
σ
μx
z
P ( x> 280 )= P( 20
300x
> 20
300280
)
P ( x > 280 )= P( z > 1 )
P( z > -1) = 1 – P( -∞ ≤ Z ≤ -1 ) = 1 – ϕ(-z) = 1 – ϕ(1)
Da tabela de distribuição normal padrão acumulada :
Para z = 1 é 0,8413
P( -∞ ≤ Z ≤ -1 ) = 0.8413
P( z > -1) = 1 - 0.8413
P( z > -1) = 0.1587
%{ J053_P3R31R4 %}
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Referências
[01] APOSTILA_ESTATISTICA_2_CAP_1_2_3. Disponível em:
https://www.unifac.edu.br/images/materiais_de_apoio/adm/estatistica/apostila_estatistica_2_cap_1_
2_3.pdf
[02] LISTAPOISSON. Disponível em:
http://www.de.ufpb.br/~eufrasio/CPE/ListaPoisson.doc
[03] LISTA3. Disponível em:
http://www.de.ufpb.br/~juliana/Calculo%20das%20Probabilidades%20e%20Estatistica%20I/Lista3.pdf
[03] BRAINLY. Disponível em:
https://brainly.com.br/tarefa/22684854
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