IAL_-_I_I_-_Exercicios_Resolvidos_01[1]

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Introdução à Álgebra Linear
Módulo II – Exercícios  2
1) Desenho um sistema de coordenadas de mão direita e marque os pontos cujas1) Desenho um sistema de coordenadas de mão direita e marque os pontos cujas 
coordenadas são
a) (3,4,5) b) (3,-4,5)a) (3,4,5) b) (3, 4,5)
c) (-3,-4,5) d) (3,0,3)
Solução:Solução:
Introdução à Álgebra Linear
Módulo II – Exercícios  3
2) Encontre os componentes do vetor de ponto inicial P e ponto final P2) Encontre os componentes do vetor de ponto inicial P
1
e ponto final P
2
.
a) P
1
(4,8), P
2
(3,7) b) P
1
(3,-7,2), P
2
(-2,5,-4) 
S l ã
   
   
6125247532
1,187,43
21


PP
PP
b)
   a)
Solução:
   
6,12,524,75,32
21
PP   b)
3) Encontre o ponto inicial de um vetor não nulo u com ponto final Q(3,0,-5) , tal 
que u tem a mesma direção e sentido que v=(4,-2,-1).
Solução:
 ‐ Considere um ponto P(x,y,z), tal que
‐ Vetor na mesma direção e sentido que v = (múltiplo escalar de v) = kv, k>0.
 zyxPQ  5,0,3u
então,
   






55
22
4343
1,2,45,0,3
kk
kyky
kxkx
kzyxk       
    
             vu
Portanto o ponto inicial P é qualquer ponto na forma 
  55 kzkz     
 
0,5,2,43  kkkk     
Introdução à Álgebra Linear
Módulo II – Exercícios  4
4) Sejam ( 3 1 2) (4 0 8) e (6 1 4) Encontre os componentes do vetor4) Sejam u=(-3,1,2), v=(4,0,-8) e w=(6,-1,-4) . Encontre os componentes do vetor 
x que satisfaz a equação wxxvu  72
Solução:
1
Portanto, 
ç  wvuxwxxvu   2
6
1
72
vetorial  aritmética
111      
16,3,16
6
1
)4,1,6()8,0,4()2,1,3(2
6
1
2
6
1  xwvux         
5) Encontre os escalares c
1
, c
2
e c
3
tais que        
4,5,05,7,11,2,36,9,2
321
 ccc
Solução:   032
321
ccc
       






 
456
5729
032
4,5,05,7,11,2,36,9,2
321
321
321
321
ccc
ccc
ccc
ccc linear  sistema o  monte

impossível  linear  sistema

0)126920()1351412(
516
729
132
516
‐ Não existem escalares c
1
, c
2
e c
3
que satisfaça a equação. 
Introdução à Álgebra Linear
Módulo II – Exercícios  5
6) Sejam P o ponto (2 3 2) e Q o ponto (7 4 1) Encontre o ponto médio do6) Sejam P o ponto (2,3,-2) e Q o ponto (7,-4,1).  Encontre o ponto médio do 
segmento de reta que liga P a Q.
Solução:ç
P QX
 .
                  
PQtPX 
‐ Considere os pontos  O=(0,0,0),  P=(2,3,-2) e
Q=(7,-4,1) de acordo com o desenho geométrico 
ao lado. O ponto X é um ponto sobre a reta que
O
ao lado.  O ponto X é um ponto sobre a reta que 
une os pontos P e Q. O vetor         é múltiplo 
escalar de       , sendo t > 0.
PX
PQ
OQPQOP
OXPQtOP


‐Da figura, tem‐se:
  OQtOPtOXOPOQtOPOX  )1(
O ponto de interesse é o ponto médio, então t = 1/2.p p
                 

 
2
1
,
2
1
,
2
9
)1,4,7(
2
1
)2,3,2(
2
1
2
1
2
1 OXOXOQOPOX
O ponto médio é  

 
2
1
,
2
1
,
2
9
Introdução à Álgebra Linear
Módulo II – Exercícios  6
7) Mostre que o vetor não nulo n ( b) é perpendicular à reta +b + 0 no7) Mostre que o vetor não nulo n=(a,b) é perpendicular à reta ax+by+c=0 no 
espaço bidimensional
Solução:
y
0 cbyax
ç  
111
, yxP 
 yxP 
‐Considere o plano bidimensional e os pontos P
1
e P
2
contidos na reta, conforme o desenho ao lado.  
222
, yxP 
x
‐mostre que vetor perpendicular a reta   
0
21
 PPn
      
?,,
1212121221
 yybxxayyxxbaPPn
‐ na reta tem‐se:                                             .  
(2)     
(1)     
0
0
22
11


cbyax
cbyax     0
1212
 yybxxa
Fazendo (2)‐(1) tem‐se:
Portanto,       0
121221
 yybxxaPPn