MEC_FLUIDOS02

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Unidade 02
Aula 01
Regime de Escoamento Laminar
Como já foi apresentado, observamos que, com o número de Reynolds, podemos de�nir o regime
do escoamento como laminar, de transição ou turbulento.
Para poder abordar o comportamento do escoamento, é preciso realizar um estudo de uma
quantidade de �uido com características comuns e realizar um estudo apropriado para cada
situação. Assim, é preciso determinar os princípios e as leis da dinâmica e da teoria da turbulência. 
Existem dois principais tipos de escoamento com comportamento de�nido em função das suas
características: laminar e turbulento.
Matematicamente, podemos avaliar a velocidade do escoamento laminar em uma direção
(unidimensionalmente), já que as características deste se conservam. Isso quer dizer que podemos
avaliá-lo apenas no sentido do escoamento, por exemplo eixo X .
Já na avaliação da velocidade do escoamento turbulento, as �utuações ocorrem em todas as
dimensões, portanto, matematicamente, precisa ser descrito da seguinte forma:
Onde o primeiro termo é a soma de uma velocidade média mais uma �utuação da
velocidade no sentido x. Os seguintes termos são representações das �utuações no sentido ‘y’ e ‘z’
respetivamente. Esses tipos de comportamento, laminar ou turbulento, também variam devido à
viscosidade. A maioria dos escoamentos que ocorrem na natureza são em regime turbulento,
entretanto, quando temos um �uido altamente viscoso, é possível ter facilmente um regime
laminar.
( )ui
=V̄ ¯̄̄ ui
= + +V̄ ¯̄̄ ( + )ū̄̄ u′ î w′ȷ̂ z
′
k̂
( + )ū̄̄ u′ î
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As forças viscosas são predominantes num escoamento laminar, que é representado por um
deslocamento de massa desprezível. Para um escoamento turbulento, temos um deslocamento
transversal de massa predominante, e as forças viscosas são desprezíveis em relação às forças
inerciais. 
Na dinâmica dos �uidos, a viscosidade cinemática, que é uma relação entre a viscosidade dinâmica
e a massa especi�ca, é representada matematicamente da seguinte forma:
E a viscosidade cinemática será:
Onde:
  SI CGS INGLES
Pa Dina/cm Poundals/pie
m/s cm/s Pie/s
m cm pie
Pa.s gm/cm.s=poise Lb/pie.s
m /s cm Pie /s
ϑ =
μ
ρ
μ = − ⋅ [=] = Pa ⋅ sτxy ( )
dvx
dy
−1
[(Pa)( )( )]m
s
m−1
−1
τXY
2 2
vx
y
μ
ϑ 2 2
NA-PRATICA
Nesse sentido, um exemplo de um regime laminar será um óleo lubri�cante altamente
viscoso à baixa velocidade percorrendo um tubo de pequeno diâmetro e seção constante.
Já para um escoamento turbulento, um exemplo claro será um �uido pouco viscoso em alta
velocidade, percorrendo um tubo de grande diâmetro e seção constante.
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As variações do comportamento da viscosidade quando um �uido escoa de�nem o tipo de
escoamento: escoamento compressível ou escoamento incompressível.
No momento em que temos um escoamento de um �uido cuja massa especí�ca tem variações tão
pequenas que se tornam desprezíveis, podemos a�rmar que é um escoamento incompressível. Esse
fenômeno se apresenta na maioria dos líquidos e alguns gases. 
Os escoamentos compressíveis que usualmente se apresentam nos gases possuem uma variação na
massa especí�ca quando escoam.
SAIBA MAIS
Você poderá apreciar o comportamento da viscosidade nas tabelas existentes no seguinte link:
Viscosidade cinematica
Uma sugestão para que amplie o conhecimento sobre esse tema, você pode procurar o livro Mecânica dos Fluidos, de Frank M.
White, editora McGrawHill. Outra opção é a leitura do livro Mecânica dos Fluidos, de Franco Brunetti, presente na sua biblioteca
virtual.
SAIBA MAIS
Saiba um pouco mais dos escoamentos incompressíveis acessando o link a seguir.
Escoamento Viscoso Incompreensível
SAIBA MAIS
Saiba um pouco mais dos escoamentos compressíveis acessando o link a seguir.
Escoamento Compressível
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https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/EADG610/nova_novo/documents/texto07_1.pdf
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/EADG610/nova_novo/documents/texto08.pdf
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Para veri�car o comportamento do escoamento, é possível utilizar o número de Mach:
Onde,
 é a velocidade do �uido;
 é a velocidade do som.
Portanto este é um número adimensional. Este número de Mach apresenta os valores para cada
comportamento do escoamento:
Para gases:
Se M < 0,3 → escoamento é incompressível.
Se M > 0,3 → escoamento é compressível.
Se M = 1,0 → escoamento é crítico (exemplo: barreira do som no voo de aeronaves).
Se M > 1,0 → escoamento é supersônico.
Para líquidos: 
O escoamento será incompressível, pois a velocidade de som dos líquidos é muito grande.
Como já veri�camos, essas características mudam o meu escoamento dependendo da variável.
Nesse sentido, podemos apresentar as principais características do escoamento: 
Vazão volumétrica 
A vazão volumétrica refere-se à quantidade de volume que atravessa uma determinada seção por
unidade de tempo. Isso quer dizer que temos uma relação entre o volume por unidade de tempo.
Veja:
Vazão mássica ou descarga 
Será o volume de massa especí�ca que atravessa uma determinada seção por unidade de tempo.
Veja:
M =
V
c
V →
c →
: /sQV m3
= ⋅ dQV ∫
A
V
→
A
→
= →  Para seções circulares será  → =QV
volume
tempo
QV
π ⋅ ⋅ VD2
4
: kg/sQm
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Velocidade 
A velocidade é o comportamento da relação entre o tempo e a distância. Essa característica de�ne
os números de Reynolds e Mach para poder determinar o tipo de escoamento.
Pressão 
Nos �uidos que se encontram sob pressão atmosférica, sempre vamos encontrar um equilíbrio nas
forças internas e externas. Assim, se temos um reservatório que tem diferentes saídas com forma
geométrica diferentes, vamos encontrar que, independente da geometria de cada bocal, temos uma
altura em metros de coluna de água igual para todos.
= ρ ⋅ ⋅ dQV ∫
A
V
→
A
→
= →  Para seções circulares será  → =QV
volume
tempo
QV
ρ ⋅ π ⋅ ⋅ VD2
4
V : m/s
V =
QV
A
P : Pa.s
Figura 1. Fluido sob pressão atmosférica com diferentes vasos comunicantes.
ATENÇÃO
Essa grandeza é a relação que existe entre uma determinada força e sua área de distribuição.
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Exemplos e Exercícios
Transporte de quantidade de movimento
molecular:
Calcule a massa especí�ca da quantidade de movimento de um escoamento em estado
estacionário, , quando a velocidade da placa inferior da �gura é 
 com direção x positiva; a separação entre as placas, ; e a
viscosidade cinemática, . 
(BIRD et al., 2002) 
Solução:
Para começar o uso das equações, precisamos que as variáveis utilizadas no exercício estejam no
mesmo sistema de unidades, ou seja, homogeneidade. Portanto, temos:
 
Agora, para poder entender o comportamento da velocidade, visualizemos como acontece a
formação de um per�l de velocidade laminar estacionário para um �uido contido entre duas placas.
Lembrando que a de�nição de laminar é quando as camadas adjacentes do �uido (“laminas”) se
deslizam uma sobre a outra de maneira ordenada.
Para entender a seguinte �gura, precisamos imaginar duas placas com um �uido entre elas. Para
nosso volume de controle, temos que o sistema se encontra inicialmente em repouso. No instante
em que t=0,a placa superior se encontra �xa e a placa inferior começa o movimento na direção x
a uma velocidade constante. À medida que o tempo passa, o �uido adquire uma quantidade de
movimento e, �nalmente, estabelece-se um per�l de velocidade lineal no estado estacionário. 
 em  [lb/f ]τyx t2
1 [ft/s] y = 0, 001ft
μ = 0, 7cp
 em  [lb/f ]τyx t2
μ = 0, 7cp (centipoise) ⋅ 2, 0886 × [ ] = 1, 46 × [lb ⋅ s/f ]10−5 [lb⋅s/f ]t
2
cp 10
−5 t2
y = 0, 001ft
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Como a velocidade é constante, podemos veri�car que a relação entre a velocidade e a altura é
constante. Lembrando que a lei da viscosidade de Newton estabelece que a tensão cisalhante por
unidade de área é proporcional ao negativo do gradiente de velocidade. Então, temos que:
Finalmente, ao substituir na equação, temos:
Regime laminar em uma tubulação:
Qual é a equação que de�ne um escoamento laminar completamente desenvolvido em uma
tubulação circular?
Solução:
Para um escoamento laminar completamente desenvolvido em uma tubulação circular, a
velocidade é dada por:
Figura 2. Formação do per�l de velocidade laminar estacionário entre duas placas. 
Fonte: Bird et. al. (2002) 
= = = −1000
dvx
dy
Δvx
Δy
−1, 0ft/s
0, 001ft
s−1
= −μ = −(1, 46 × [lb ⋅ ])(−1000 ) = 1, 46 × [ ]τyx
dvx
dy
10−5
s
ft2
s−1 10−2
lb
ft2
u = − ( )[1 − ]R
2
4μ
∂P
∂x
( )r
R
2
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Onde:
O gasto volumétrico será:
Juntando estas duas equações temos:
Desenvolvendo está equação temos que:
Para um escoamento completamente desenvolvido o gradiente de pressão é constante, por tanto
temos:
Substituindo temos:
Onde a velocidade média está dada por:
 é o gradiente de pressão
∂P
∂x
= ⋅ dA = u ⋅ 2π ⋅ r ⋅ dr∀̇ ∫
A
V̄
¯̄̄ ∫
R
0
= ( ) [ − ] ⋅ 2π ⋅ r ⋅ dr∀̇ ∫
R
0
1
4μ
∂P
∂x
r2 R2
= ( ) [ − r]dr∀̇ ∫
R
0
π
2μ
∂P
∂x
r3 R2
= ( )∀̇
π
2μ
∂P
∂x
[ − ]r
4
4
R2r2
2
R
0
= ( )[ − ]∀̇ π
2μ
∂P
∂x
R4
4
R4
2
= ( )[− ]∀̇ π
2μ
∂P
∂x
R4
4
= − ( )∀̇
πR4
8μ
∂P
∂x
= = −
∂P
∂x
−P2 P1
L
ΔP
L
=∀̇
πR4
8μ
ΔP
L
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Finalmente temos:
Para determinar o ponto de velocidade máxima, precisamos derivar a velocidade interna e igualar a
zero. Isso deve ser feito na seguinte equação:
Quando a�rmamos que a derivada da velocidade é igual a zero, estamos falando que não há mais
aceleração (variação ao longo do tempo), temos que a velocidade chegou ao seu máximo valor (
).
Substituindo:
=V̄ ¯̄̄
∀̇
A
= − ( )V̄ ¯̄̄ πR
4
8μπR2
∂P
∂x
= − ( )V̄ ¯̄̄ R
2
8μ
∂P
∂x
u = − ( )[1 − ]R
2
4μ
∂P
∂x
( )r
R
2
u
umax
= ( )r = 0du
dr
1
2μ
∂P
∂x
= − ( ) = 2umax
R2
4μ
∂P
∂x
V̄ ¯̄̄
SAIBA MAIS
Para entender ainda mais e tirar algumas dúvidas, acesse os exercícios disponíveis no link a
seguir.
Lista de Exercícios: Estática de Fluidos
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Unidade 02
Aula 02
Teorema do Transporte de Reynolds
(T.T.R.)
Estudos Básicos do Teorema
Para avançar com nossos estudos sobre a dinâmica dos �uidos, será de extrema importância
compreender e conhecer novas ferramentas capazes de descrever os fenômenos presentes em um
escoamento. Na maioria das vezes, o interesse é de estudar o que acontece em uma região
especí�ca do volume de controle; em outras situações, o interesse do pesquisador é observar o
efeito de interação do escoamento para com outro corpo.
Para que isso seja possível, precisamos estudar leis que caracterizam o movimento dos �uidos,
considerando a abordagem dos sistemas com uma massa �xa de �uido quanto à abordagem com
volumes de controle.
O teorema do transporte de Reynolds foi criado justamente para facilitar essa análise de um �uido
(gases e líquidos), pois ele é capaz de converter a análise de uma partícula em uma análise de
volume de controle. 
ATENÇÃO
Lembre-se que a Física trata apenas de partículas, o que di�cultaria uma análise para uma
quantidade alta de partículas, as quais se comportam de maneira diferente umas das outras.
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Ou seja, saímos do conceito de partícula e vamos para o conceito de volume.
Na Figura 3, vemos um �uido se deslocando ao longo de um tubo curvo. Se pensarmos em uma
única partícula, poderemos vê-la se chocando na parede desse tubo, criando na parede uma força.
No entanto, se pensarmos em diversas partículas atuando de forma aleatória, agindo com uma
força na parede, teremos o conceito de pressão. 
Isso ilustra bem a ideia de sair do conceito microscópicos (partícula) para um conceito
macroscópico (volume).
Esse teorema é fundamental para a descrição da dinâmica dos �uidos; a�nal, é dele que surgem as
leis base: lei da conservação de massa, lei de conservação de energia e lei da conservação de
quantidade de movimento.
Assim como todas as leis da Física, devemos formular o teorema estudado em função de
parâmetros físicos. Como, por exemplo, a massa, velocidade, temperatura e aceleração; isso se
de�nirmos B como um parâmetro físico e b a quantidade desse parâmetro por unidade de massa.
Ou seja:
Onde m é a massa de �uido que estamos analisando. 
Para facilitar o raciocínio, podemos dizer que B é a massa de uma laranja, então b é a massa de uma
laranja dívida pela sua própria massa, ou seja, b seria igual a 1. E se agora B fosse a suculência da
laranja? Teríamos, então, que b seria a suculência pela massa da laranja. Pode parecer estranho, mas
é comum analisar alguns parâmetros de um �uido pela unidade de massa. 
Com esse conceito, podemos entender agora B como uma propriedade extensiva, uma propriedade
comum a toda aquela massa de �uido. Enquanto b é denominada como uma propriedade intensiva
(vista anteriormente), que não depende da massa. 
Figura 3. Volume de controle 
Fonte : http://tinyurl.com/hblx8tl
B = b.m
http://tinyurl.com/hblx8tl
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Portanto, agora é possível escrever o Teorema do Transporte de Reynolds na sua forma geral:
Nele, é possível perceber nossa propriedade intensiva e extensiva , o tempo , o volume de
controle , a superfície de controle , o volume, é a área, é o vetor normal ao elemento de
área e a velocidade do �uido.
Com o objetivo de facilitar a vida do estudante, construímos uma tabela que facilita relacionar as
propriedades intensivas e extensivas que devemos utilizar no teorema do transporte para garantir
a variação certa entre propriedades:
B b
Tabela 2. Relação entre as propriedades intensivas e extensivas
Onde m é a massa, é a quantidade de movimento linear é a quantidade de movimento angular,
E a energia cinética, e energia cinética por unidade de massa, S a entropia e s a entropia por unidade
de massa.
= (ρb)d + bρ . dA
DBsist
Dt
∫
vc
∂
∂t
V ⃗  ∫
sc
v ⃗  n̂
b B t
vc sc V ⃗   A n̂
→
m 1
p ⃗  v ⃗ 
H⃗  ×p ⃗  v ⃗ 
E e
S s
p ⃗  H⃗ 
SAIBA MAIS
Para entender ainda mais o conceito e tirar dúvidas, acesse o link a seguir.
Propriedades intensivas e extensivas
https://brasilescola.uol.com.br/quimica/propriedades-intensivas-extensivas.htm
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Vamos interpretar agora a equação do transporte, começando com o termo à esquerda do sinal de
igual. Esse termo caracteriza a variação do comportamento do nosso parâmetrofísico a ser
estudado em questão, nas três direções (tridimensional  x, y e z), em função do tempo. 
Ou seja, temos apenas a pergunta: Como nosso parâmetro se comporta em função do tempo?
No lado direito da equação, temos as “respostas”. Iniciando da esquerda para direita, temos que a
primeira integral signi�ca a taxa de variação, ou seja, a quantidade da propriedade que passa no
volume de controle. A segunda integral representa o quanto dessa propriedade está saindo
(escoando) pela superfície de controle. 
Lembrando que o sistema é tudo aquilo que passa pelo volume de controle no tempo analisado. 
Descrição Lagrangeana e Euleriana
A mecânica dos �uidos pode ser analisada de dois modos. O primeiro usa o conceito de que o �uido
é descrito por todos os seus paramentos necessários, como a velocidade, massa e massa especí�ca
em função do espaço e tempo. Essa descrição é conhecida como euleriana. Podemos exempli�car a
descrição euleriana pela medição da velocidade do vento por um tubo de Pitot, pois temos todos os
parâmetros disponíveis ao longo do tempo para uma certa posição em que o tubo de Pitot foi
�xado.
O outro método tem o conceito de acompanhar uma única partícula �uida e determinar como e
quanto as propriedades dessa partícula variam em função de um tempo determinado.
Exempli�cando, imagine que eu conheço a posição que uma partícula de fumaça percorre ao longo
de uma chaminé e posiciono diversos termômetros ao longo dessa chaminé para calcular a
temperatura daquela partícula onde o tempo e a posição são variáveis do problema. 
Cálculos com o Teorema de Transporte de
Reynolds
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Então, como �cariam aquelas formulações entre sistema e volume de controle no princípio da
conservação de massa? 
Se lembrarmos que a conservação da massa diz que a massa no sistema permanece constante, de
acordo com a formulação, temos:
Sabemos também que a massa do sistema pode ser obtida pela integral da massa especí�ca ( )
vezes o diferencial de volume. Basta lembrarmos daquela velha ideia que a massa especí�ca é uma
função da massa total sobre o volume. Arbitrando que nosso volume possa variar devido a algum
fenômeno.
Se trabalharmos com a massa no teorema do transporte de Reynolds, teremos que nossa
propriedade intensiva, b, será igual a 1, e minha propriedade extensiva, B, é a massa, conforme a
tabela apresentada anteriormente para as propriedades intensivas e extensivas. Então, o Teorema
do Transporte de Reynolds vai �car:
Quando isolarmos os termos, um de cada lado da equação, teremos a seguinte fórmula:
O primeiro termo (esquerda) representa a taxa de aumento ou diminuição da massa dentro do
volume de controle em relação ao tempo. Enquanto o outro termo representa taxa líquida de massa
que está entrando ou saindo da superfície.
Note que o sinal negativo depende apenas do referencial, pois dada uma área A o produto escalar
 pode ser positivo ou negativo, dependendo apenas para onde apontarem os vetores. 
É necessário que todos os alunos lembrem que o produto escalar é dado pela fórmula:
Portanto, se os dois vetores apontarem na mesma direção, o cosseno de teta zero será igual a 1.
Caso os vetores forem opostos, o teta será igual a 180º, e o valor do cosseno será -1. A �gura a
seguir ilustra quando os vetores são opostos (vermelho) teremos um produto escalar negativo,
= 0
dm
dt
ρ
ρ =      →     = ρdV
ms
V
ms ∫
v
0 = ρd + ρ . dA∫
vc
∂
∂t
V ⃗  ∫
sc
→ n̂
ρd = − ρ .d
∂
∂t
∫
vc
V ⃗  ∫
sc
→ A ⃗ 
.d→ A ⃗ 
.d = v.A. cosθ→ A ⃗ 
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quando os vetores forem na mesma direção o produto escalar será positivo.
Por �m, se o meu �uido for incompressível, como nos �uidos com massa especí�ca constante,
como �caria o Teorema do Transporte de Reynolds para o caso da conservação de massa? 
Simples! Colocamos a massa especí�ca em evidência, fora da integral. Dividindo os dois lados pela
massa especí�ca, temos:
Como a integral de volume para um diferencial de controle é o próprio volume de controle, temos:
Se o volume de controle permanece constante no tempo, temos que a derivada do volume de
controle é igual a zero, sobrando apenas a integral da superfície de controle do produto escalar
entre a velocidade e a área:
Figura 4 - Volume de controle e a direção dos vetores.
ρ d + ρ .d = 0
∂
∂t
∫
vc
V ⃗  ∫
sc
v ⃗  A ⃗ 
d + .d = 0
∂
∂t
∫
vc
V ⃗  ∫
sc
v ⃗  A ⃗ 
+ .d = 0
∂
∂t
V ⃗  ∫
sc
v ⃗  A ⃗ 
SAIBA MAIS
Para relembrar mais sobre o produto escalar, leia sobre o assunto no site disponível no link a
seguir.
Produto Escalar
https://pt.wikipedia.org/wiki/Produto_escalar
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Se minha velocidade for constante na seção de área, temos, por �m, que essa integral representa
um somatório dos produtos escalares das superfícies de controle é igual a zero:
.d = 0∫
sc
v ⃗  A ⃗ 
. = 0∑ v ⃗ A ⃗ 
SAIBA MAIS
Você pode encontrar exercícios resolvidos para conservação de massa para um volume de
controle acessando o link a seguir:
Lista de Exercícios Resolvidos: Equação da Conservação da Quantidade de Movimento
VÍDEO
Assista o vídeo a seguir:
http://wbraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/fentran/mecflu/resolvidos/cap5/quinta.htm
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Unidade 02
Aula 03
Fator de Atrito e Perda de Carga
Fator de Atrito e Perda de Carga
Quando analisamos um escoamento con�nado, ou seja, um escoamento com limites espaciais
devido a uma barreira física, devemos levar em conta as propriedades da parede ou contorno no
qual o �uido está escoando em seu con�namento. 
Facilitando o raciocínio, vamos pensar em uma tubulação predial, na qual corre água (�uido) da
base de um prédio para o seu topo, como mostra a �gura a seguir. É de senso comum que
precisamos que exista uma bomba trabalhando para que a água chegue até a caixa d’água no
terraço do edifício. 
Mas como saberemos dimensionar essa bomba, ou melhor, quanta pressão seria necessária gerar
para que esse �uido fosse capaz de subir andares e mais andares até a caixa de água?
Figura 5. Bombeio de água até caixa d'água 
Fonte: http://tinyurl.com/jgo6z6z 
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Bom, para entendermos esse fenômeno, devemos estudar os escoamentos viscosos em condutos.
Viscosos porque sabemos que todos os �uidos possuem viscosidade.
Para facilitar o processo de aprendizagem, vamos considerar que o transporte de �uidos em um
conduto fechado será dado apenas em condutos de seção transversal circular. Isso porque a
maioria dos dutos que existem podem ser aproximados para uma seção transversal circular, como,
por exemplo, os canos de um edifício, dutos de saneamento, mangueiras hidráulicas e veias do
corpo humano, entre outros.
Todos esses condutos exempli�cados, geralmente, são feitos para suportar uma grande
quantidade de pressão. 
Para efeito de cálculos, os tubos estarão sempre preenchidos com �uido e o mecanismo principal
para realizar o deslocamento do escoamento é o gradiente de pressão mostrada pela fórmula a
seguir:
Os condutos têm também grande representatividade nessa diferença de pressão causada no
escoamento. Podemos pensar no caso de uma placa de vidro e uma de madeira lixada, o �uido
tende a escoar mais rápido por cima de uma superfície lisa do que sobre uma superfície rugosa, ou
seja, o escoamento na madeira tende a ser mais lento do que sobre o vidro. 
Entenda que até as superfícies mais lisas possuem rugosidade, ou seja, mesmo aquelas que a olho
nu parecem totalmente lisaspossuem alguma rugosidade.
Esse tipo de fenômeno acontece devido a rugosidade do material. A rugosidade é uma quantidade
adimensional que mede o quão retilíneo é um plano, isso quando olhamos microscopicamente. A
rugosidade está intrinsecamente ligada ao fator de atrito ( ). Este é baseado na distribuição da
tensão de cisalhamento no escoamento do tubo, seja ele laminar ou turbulento. O fator de atrito ( )
é um parâmetro básico para calcular a perda de carga.
△p = −p1 p2
f
f
SAIBA MAIS
Caso o conceito de viscosidade ainda não esteja sólido para o aluno, leia mais sobre o assunto
acessando o link a seguir.
Viscosidade
https://pt.wikipedia.org/wiki/Viscosidade
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A perda de carga está associada ao cisalhamento que o �uido tem com a parede das tubulações e,
geralmente, está associada a uma perda de pressão, provocada pelos caminhos nos quais o �uido
escoa.
Existem duas categorias gerais de perda de carga, as perdas distribuídas e as perdas localizadas.
As perdas distribuídas são aquelas que tem sua ocorrência em trechos lineares da tubulação, ou
seja, ao longo de uma extensão de tubo retilíneo. As perdas localizadas, por sua vez, são aquelas
perdas características de elementos individuais, como os joelhos da tubulação, as bifurcações,
entre outras. 
A perda de carga total é a soma entre as duas perdas de carga. 
Vale ressaltar que, na maioria das vezes, as perdas de carga distribuídas são muito maiores do que
as perdas localizadas. A �gura a seguir ilustra, no retângulo verde, onde ocorrem as perdas
distribuídas e, em vermelho, onde ocorrem as perdas localizadas.
Figura 6. Material e sua rugosidade 
Fonte: http://tinyurl.com/h8yvwf3  
Figura 7. Tubulação e perdas de carga 
Fonte: http://tinyurl.com/gqcebcg
SAIBA MAIS
Caso queira uma explicação mais profunda sobre rugosidade, leia o texto disponível no link a
seguir.
Rugosidade Super�cial
http://tinyurl.com/h8yvwf3
http://tinyurl.com/gqcebcg
https://iesb.blackboard.com/bbcswebdav/institution/Ead/_disciplinas/EADG610/nova_novo/documents/texto03_1.pdf
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Cálculo do Fator de Átrio
O cálculo do fator de atrito está associado à perda de carga distribuída e é um problema muito
comum no estudo do transporte de �uidos. Existem duas formas mais difundidas para se calcular o
fator de atrito. Uma utiliza formulações matemáticas para o cálculo de (fator de atrito). Essas
equações mudam para cada regime do escoamento e são dependentes de diversos parâmetros,
como o número de Reynolds.
O relembrando que o número de Reynolds é a relação entre as forças viscosas e as forças de inércia
de um escoamento. Esse número pode ser de�nido com a seguinte equação:
Onde é a massa especi�ca do �uido, o diâmetro do tubo, é a viscosidade dinâmica do �uido e 
é a velocidade média do escoamento.
Para sabermos com qual regime de escoamento estamos trabalhando e calcularmos o fator de
atrito, basta calcularmos o número de Reynolds. A tabela a seguir explica como calcular o fator de
atrito com as fórmulas.
Regime Coe�ciente de Atrito 
Laminar (Re > 2000)
Transição
f
Re =
ρvD
μ
ρ D μ
u 
f
f =
64
Re
=   − 2 ( )1
f
−−√
log10
2,51
Re f
−−√
SAIBA MAIS
Caso necessite relembrar sobre massa especí�ca, leia o texto disponível no link a seguir.
Densidade 
Caso o conceito de viscosidade dinâmica seja estranho a você, leia esse outro texto
disponível no link a seguir.
Viscosidade Dinâmica e Cinamática
https://pt.wikipedia.org/wiki/Densidade
http://www.engquimicasantossp.com.br/2015/04/viscosidade-dinamica-e-cinematica.html
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Turbulento Rugoso
Tabela 3. Tabela para calcular o fator de atrito
Onde , signi�ca a rugosidade relativa do material, ou seja, a rugosidade dividida pelo diâmetro do
tubo.
Para obtermos o cálculo do fator de atrito pela segunda forma, utilizaremos o diagrama de Moody.
Esse grá�co apresenta o fator de atrito em uma escala logarítmica em função do número de
Reynolds e da rugosidade relativa. Basta seguir a linha da rugosidade relativa e marcar no ponto
onde ela cruza com o número de Reynolds. Depois traçamos uma paralela até o fator de atrito na
esquerda.  
É possível ver na Figura 8 que, com os dois parâmetros citados, temos o coe�ciente de fricção, ou
coe�ciente de atrito (no grá�co aparece como ), tornando possível o cálculo da perda de carga.
=   − 2 ( + )1
f
−−√
log10
ϵr
3,7D
2,51
Re f
−−√
ϵr
Figura 8. Diagrama de Moody 
Fonte: http://tinyurl.com/h46fs7u
f λ
SAIBA MAIS
Alguns exercícios estão disponíveis no site a seguir.
Exercícios Resolvidos de Mecânica dos Fluidos
http://tinyurl.com/h46fs7u
http://www.tudoengcivil.com.br/2014/05/exercicio-resolvido-de-mecanica-dos.html
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Cálculo da Perda de Carga Total
Agora que temos todas as variáveis necessárias para calcular a perda de carga, vamos apresentar as
formulações necessárias para o cálculo da perda de carga total.
A perda de carga total depende da perda de carga distribuída e da perda de carga localizada,
conceitos apresentados anteriormente. Portanto, basta somar as duas perdas de carga para
determinar a perda total.
A perda de carga distribuída pode ser calculada com a fórmula, e ela só é calculada para seções de
tubulação retilínea (reta), como antes abordado. Para esse cálculo, é necessário também considerar
o fator de atrito calculado pelas fórmulas ou usando o diagrama de Moody.
Onde é a perda de carga distribuída, é o comprimento do tubo em metros, é o fator de
atrito, o diâmetro do tubo em metros, é a velocidade em metros por segundo quadrado e a
gravidade.
A perda de carga localizada é aquela que acontece em conexões nas tubulações. Para nós, na
maioria das vezes, é a perda de carga que encontramos nos ‘’joelhos’’ e válvulas das tubulações.
Podemos calcular essa perda pela seguinte formulação: 
Onde K é um coe�ciente adimensional dado para cada tipo de conexão e válvula. Isso signi�ca que
aplicaremos a fórmula para cada conexão/válvula e somaremos todos para obter a perda
localizada total.
Por �m, então, a perda de carga total é obtida pela fórmula: 
= f. .hd
L
D
v2
2g
hd L f
D v g
= K.hl ∑
v2
2g
=  f. . + K.Htotal
L
D
v2
2g
∑ v
2
2g
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Unidade 02
Aula 04
As Leis da Conservação na Abordagem
Macroscópica (Parte 1)
Conservação das Equações
Quando estudamos o Teorema do Transporte de Reynolds (TTR), vimos que este era responsável
por transformar equações inicialmente concebidas para sistemas, com massa �xa, em equações
para volumes de controle, com volume �xo.
Lembrem também que é possível aplicar o TTR para alguns tipos de grandezas físicas e obter
equações que caracterizavam o transporte daquela grandeza pelo escoamento. Note que, quando
dizemos transporte, segue a ideia de como o fenômeno se movimenta e se comporta pelo
escoamento.
SAIBA MAIS
Para ver uma lista de exercícios resolvidos sobre perda de carga, acesse o link disponível a
seguir. 
Perda de Carga
http://wbraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/fentran/mecflu/resolvidos/cap8/oitava.htm
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Pois bem, as equações adequadas para realizar a análise nos volumes de controle estabelecidos são
montadas partindo das leis mais elementares aplicadas aos sistemas (massa �xa). No entanto, na
mecânica dos �uidos, é comum resolvermos problemasque envolvem volumes de controle com
uma descrição euleriana. 
Para encontrar equações para o volume de controle, o aluno deve entender o que é um sistema e
um volume de controle que ocupa uma determinada região no espaço em um instante t; além de,
claramente, entender o Teorema do Transporte de Reynolds.
Estudo de Processos Estacionários (Permanentes)
e Transitórios (Variáveis)
Dentro desses estudos, temos que destacar algumas simpli�cações de extrema importância, como
os processos que caracterizam um tipo de escoamento. Analisar o escoamento é necessário para
entender como o escoamento se comporta em relação a algumas variáveis. Assim, podemos realizar
simpli�cações que nos permitem o cálculo das equações de balanço de massa, entre outras.
Os regimes estacionários ou como preferimos chamar na mecânica dos �uidos, os regimes
permanentes, são aqueles que, em um determinado ponto, não variam com o tempo. Entendendo
de uma forma mais analítica, a derivada da velocidade não varia no tempo; portanto, é nula.
O que foge um pouco da realidade, a�nal a maioria dos escoamentos tem um campo de velocidade
que varia com o tempo, ainda que pequeno. No entanto, é razoável que, para alguns casos, seja
considerado o regime permanente do escoamento, pois é muito difícil analisar escoamentos
transitórios tanto analiticamente quanto experimentalmente.
Quando o escoamento é considerado permanente, temos uma análise bem simpli�cada do
problema. 
= 0
∂
∂t
SAIBA MAIS
Relembre as diferenças das descrições eulerianas e lagrangeanas acessando o link a seguir.
Cinemática
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Se essa simpli�cação não for possível, teremos que caracterizá-lo entre algum tipo de escoamento
transitório: os transitórios periódicos, não periódicos e os verdadeiramente aleatórios. Identi�car
qual tipo de escoamento transitório se está abordando geralmente não é uma tarefa muito fácil.
Balanço de Massa
Podemos de�nir um sistema por uma quantidade �xa e pela identi�cação de material. Portanto, um
conceito pode ser estabelecido, o princípio da conservação da massa. Ele exprime que a massa, em
um sistema, se conserva ou se mantém ao longo de todo o sistema. Sua formulação diferencial é
apresentada descrevendo que a taxa de variação temporal da massa é igual a zero, ou seja, no
tempo, a massa não varia, conforme apresentada na equação vista anteriormente:
Onde é a massa do sistema e pode ser representada, de maneira geral, por: 
Figura 9: Escoamentos: (a) permanente e (b) transitório
= 0
DMsist
Dt
Msist
SAIBA MAIS
Caso tenha di�culdades de entender o assunto, leia o texto disponível no link a seguir.
Sistemas abertosEquações de conservação
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Onde representa o diferencial de todo o volume do sistema. 
As formulações integrais que estou apresentando até aqui servem para que o aluno entenda a
tentativa de abordar o problema da forma mais geral possível, levando em conta todo o volume de
controle. No caso da equação da massa, podemos entender que a massa de todo o sistema
corresponde ao somatório das massas distribuídas pelo volume do sistema.
Se relembrarmos sobre o Teorema do Transporte de Reynolds, já �zemos a aplicação considerando
a conservação da massa para um sistema em um volume de controle. Se aplicarmos novamente o
teorema do transporte de Reynolds para a massa, teremos a seguinte equação:
Se formos interpretar essa equação �sicamente, podemos dizer que é a taxa de variação no tempo
da massa do sistema é igual a taxa de variação temporal da massa no volume de controle, mais a
vazão líquida de massa que passa pela superfície de controle.
Se olharmos atentamente para equação, veremos que o primeiro termo antes da igualdade se
parece muito com as de�nições de conservação de massa e descrição da massa do sistema. Se você
não enxergou, isso tudo bem vou esquematizar para que melhore o entendimento. 
Que é exatamente o primeiro termo da nossa equação do transporte de Reynolds, utilizando a
massa. 
Então, �camos com apenas os termos do lado direito da igualdade, certo?! Sim, só com as duas
integrais: 
Agora, nos restou apenas os termos que expressam a taxa de variação temporal da massa no
volume de controle e a vazão líquida de massa na superfície de controle respectivamente.
Entram, então, as considerações do escoamento. Se dissermos que o escoamento já está totalmente
desenvolvido e se encontra em regime permanente, o que isso implica? Bom, quando o regime é
permanente, as propriedades do escoamento, em qualquer ponto, permanecem constantes. 
= ρdVMsist ∫
dV
ρdV = ρdV + ρ . dA
D
Dt
∫
sist
∂
∂t
∫
vc
∫
sc
v ⃗  n̂
= 0   e    = ρdV       →      ρdV
DMsist
Dt
Msist ∫
D
Dt
∫
sist
0 = ρdV + ρ . dA
∂
∂t
∫
vc
∫
sc
v ⃗  n̂
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No caso da nossa equação da continuidade, a massa especí�ca ( ) será constante, ou seja, como a
massa especi�ca é constante ao longo do tempo, a taxa de variação temporal da massa no volume
de controle será nula. Traduzindo na equação:
Sobrando apenas o termo da vazão líquida de massa que passa pela superfície de controle:
Como abordado anteriormente, o termo dentro da integral representa o produto escalar do
vetor velocidade perpendicular à superfície de controle e uma área in�nitesimal (diferencial) .
Então é a vazão de massa que passa através da área. No entanto, vale lembrar que,
quando o vetor velocidade aponta em uma direção diferente do vetor de área, o termo é negativo,
quando apontam na mesma direção, temos uma vazão líquida de massa positiva.
Geralmente, para simpli�car, autores abordam que o balanço de massa é representado pela vazão
mássica que sai menos a vazão mássica que entra em quilograma por segundo (Kg/s).
A conservação de massa da massa em um volume de controle também é conhecida como
Equação da Continuidade. 
Agora que conhecemos uma forma simples de realizar o balanço de massa para um volume de
controle, como iremos expressar a vazão em massa para resolver nosso problema? 
Uma expressão muito comum utilizada para quanti�car a vazão mássica, m, em uma seção da
superfície de controle de área A, é dada por:
Ou seja dependendo apenas da massa especi�ca , da vazão dada em [m_/s], da velocidade e da
área .
Finalmente, se formos aplicar isso em forma de um exemplo, basta pensar em um tubo no qual
nosso escoamento é permanente. Queremos descobrir com qual velocidade o �uido sai da
tubulação, uma vez que sabemos a velocidade de entrada. O que fazer?!
ρ
ρdV = 0
∂
∂t
∫
vc
0 = ρ . dA∫
sc
→ n̂
. dAv ⃗  n̂
dA
ρ . dAv ⃗  n̂
ρ . dA = −∫
sc
v ⃗  n̂ ∑ ṁsai ∑ ṁentra
= ρQ = ρAṁ
ρ Q
A
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Primeiramente, devemos analisar qual seria nosso volume de controle. Após estabelecer os limites
do nosso volume de controle, iriamos observar como se comporta o �uido que passa por ele,
tomando nota por onde o �uido entra e por onde o �uido sai. Por último, bastaria fazer o balanço de
massa: 
Pronto, esse é um exemplo como seria simples realizar o cálculo de um balanço de massa em um
volume de controle.
− = 0∑ ṁsai ∑ ṁentra
Figura 10: Balanço de massa em um volume de controle.
VÍDEO
Seguem alguns exercícios resolvidos em forma de vídeos para a �xação do assunto. Acesse o
link a seguir.
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Unidade 02
Aula 05
As leis da conservação na abordagem
macroscópica (Parte 2)
Balanço de Quantidade de Movimento Linear
Na aula passada, discutimos sobre a conservação de uma propriedade no escoamento em um
regime permanente. O foco daquela aula, no entanto, foi realizar o balanço de massa e entender
como quanti�car o �uxo massa que entrava e saía do sistema, partindo da premissa de que o �uxo
de massa não varia no tempo! 
Mas será que é possível determinar apenas o balanço de massa, como quanti�camos a força ou a
energia de um sistema? 
Sabe-se que, em problemas de engenharia, geralmente é necessário calcular as reações em uma
estrutura sólida devido à ação que algum corpo �uido exerce sobre esse sistema. Para isso, temos
que saber calcular a força por meio da Equação de Quantidade de Movimento. 
Podemos observar a imagem e entender que essa é uma questão muito importante na engenharia
moderna.
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Imagine que o �uido que chega no carrinho, com a velocidade representada pela seta 1 e sai com a
velocidade da seta 2. Pelos tamanhos das setas, é perceptível que o �uido não sai com a mesma
velocidade que entrou. Por isso, devemos entender como se dá essa interação entre o �uido e a
estrutura. Na �gura, a estrutura é móvel, mas nossos cálculos poderiam ser utilizados para calcular
como se comporta um mancal de escora de uma tubulação de usina hidroelétrica.
Os exemplos no caso dos sólidos geralmente são de duas bolinhas que se chocam com massas
diferentes e o objetivo é descobrir a velocidade depois do choque.
A ideia é muito semelhante no caso dos �uidos: qual é a velocidade ou a força que sobra na
estrutura após a passagem de um escoamento? 
Para realizar esse cálculo, partiremos da segunda lei de Newton e utilizaremos nossos
conhecimentos de transporte de Reynolds. Dessa forma, chegaremos à equação da quantidade de
movimento. Inicialmente, vamos escrever a equação da força de forma diferencial, em função da
Figura 11 - Fluido atuando em uma superfície. 
Fonte: http://wbraga.usuarios.rdc.puc-rio.br/fentran/mec�u/resolvidos/cap5/quinta.htm
ATENÇÃO
A equação da conservação da quantidade de movimento é baseada na segunda lei de
Newton, que aprendemos estudando a dinâmica de corpos. Todos devem lembrar que essa é
a lei que de�ne que a força é oriunda da aceleração de um corpo com massa  .m
SAIBA MAIS
Para revisar tanto a segunda lei de Newton como o conceito de quantidade de movimento
linear, acessem os links a seguir.
Resumo de Física - Quantidade de Movimento, Impulso e Colisões
Segunda Lei de Newton
http://guiadoestudante.abril.com.br/estudar/fisica/resumo-fisica-quantidade-movimento-impulso-colisoes-698027.shtml
http://brasilescola.uol.com.br/fisica/segunda-lei-newton.htm
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velocidade: 
Onde é a aceleração, a massa, a força e a velocidade.
Deve-se atentar que essa equação tem de estar na forma vetorial; a�nal, se a velocidade variar seu
módulo, direção ou sentido, a força também irá variar, o que faz total diferença para os cálculos que
devemos realizar. Considerando ainda que a massa do sistema como m, pensando que na maioria
das vezes estamos lidando com casos permanentes, podemos reescrever a equação na forma:
O interessante é que massa vezes a velocidade, por de�nição, é a quantidade de movimento linear,
entendendo que a força que atua no sistema é igual à variação da quantidade de movimento linear
no tempo. Portando, a força resultante é dada por:
Se utilizarmos essa equação da força para nosso volume de controle, aplicando o teorema do
transporte de Reynolds, utilizando a abordagem adequada, com nossos raciocínios anteriores,
termos a segunda lei de Newton para um volume de controle. Veja a seguinte equação:
Aí vemos que a derivada material no tempo da quantidade de movimento no volume de controle
representa o mesmo que a resultante (somatório) das forças no volume de controle. A análise
anterior também é usada para a equação da continuidade: o que entra menos o que sai é o �uxo
líquido de quantidade de movimento e a variação dentro do volume de controle.
= m = mF ⃗  a ⃗ 
dv
dt
−→
a m F v
= (m )F ⃗ 
d
dt
v ⃗ 
= = ( dm)F ⃗  dP
⃗ 
dt
d
dt
∫
sist
v ⃗ 
∑ = = ρ ⋅ dAF
→
conteúdo do vc
DP
→
Dt
∂
∂t
∫
vc
v
→
v
→
n̂
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Aplicações para Fluidos nos Casos
Incompressível e Permanente
As forças que queremos calcular na mecânica dos �uidos são geralmente separadas em dois grupos:
forças de campo e forças de superfície. 
Portanto, a equação pode ser reescrita em função desses dois grupos de forças. Veja:
Tanto as forças de campo como as forças de superfície podem aparecer nas três direções, já que
essa equação é uma equação vetorial, ou seja, as componentes da velocidade podem estar nas três
direções e o vetor velocidade pode ser representado da seguinte forma:
As equações, por sua vez, também serão divididas em três componentes, se voltarmos a pensar na
força resultantes, teremos três equações:
+ = ρdV + ρ . dAF ⃗ campo F ⃗ superficie
∂
∂t
∫
vc
v ⃗  ∫
sc
v ⃗  v ⃗  n̂
= ( , , )v ⃗  vx vy vz
= ρ . dAFx
−→
∫
sc
vx v ⃗  n̂
= ρ . dAFy
−→
∫
sc
vy v ⃗  n̂
= ρ . dAFz
−→
∫
sc
vz v ⃗  n̂
ATENÇÃO
As forças de campo são aquelas forças distribuídas que atuam sob o meio �uido e que atuam
em um corpo quando não estão em contato direto com este. Os exemplos mais clássicos são a
força magnética, a força elétrica e a aceleração da gravidade. Já as forças de superfície são
aquelas que atuam na superfície do elemento analisado com contato direto. Exemplos das
forças de contato são a força normal aplicada, a força de atrito e a força de tensão dentro de
um corpo.
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Comparando com nossa equação da conservação de quantidade de movimento, houve diversas
mudanças, mas não se assustem, a�nal, tudo que apareceu de novo já foi explicado. Inicialmente,
vou comentar sobre o primeiro termo com integral, que sumiu. 
Analogamente, o que foi feito na equação da conservação da massa, quando dizemos que o regime
é permanente, é que o primeiro termo que contém uma integral some (é igual a zero), pois não
existe variação temporal da quantidade de movimento, pois o escoamento tem vazão constante. 
Outra coisa que mudou foi que, para cada direção da força, foi colocado seu respectivo componente
de velocidade ( e assim sucessivamente). Entretanto, não estranhem! A outra
velocidade continuou como o vetor , basta lembrarmos que o produto escalar é dado entre
vetores, ou seja, devemos aplicar o produto escalar entre o vetor velocidade (todo) com o vetor
normal (completo também). Finalmente, o cálculo de cada componente de força se torna fácil, ao
�nal, basta somá-los apropriadamente e obter a resultante total de forças aplicadas. 
Cálculo das Forças
Agora, possuímos todas as ferramentas para realizar o cálculo das forças pela equação da
conservação de quantidade de movimento. Vale ressaltar que esse cálculo nem sempre é simples.
Ele pode envolver diversas forças não facilmente quanti�cáveis. Como nosso intuito é simpli�car e
obter uma resultante dessas forças, vamos mostrar um caso mais simples para �xar melhor.
em   teremos Fx vx
v ⃗ 
n̂
SAIBA MAIS
Caso não lembre como funciona os cálculos vetoriais, acessem os links a seguir.
Cálculo de Vetores – Cálculo Vetorial
http://www.coladaweb.com/matematica/calculo-de-vetores-calculo-vetorial
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Digamos que eu falepara você que eu tenho um canal trapezoidal no qual passa um �uido
incompressível, em um escoamento unidirecional e permanente. A água vem da esquerda para a
direita. Existe uma diferença de pressão devido a uma alteração na seção transversal, resultando
em uma força. No entanto, eu vou colocar um porto no canal e gostaria que você calculasse a
resultante de força dentro canal, sabendo que a velocidade é dada pelos vetores:
Vemos que, nesse caso simpli�cado, só existe velocidade no eixo x, ou seja, as forças resultantes nas
outras direções são nulas. Portanto, utilizaremos apenas a equação para resultante no eixo das
abcissas.
Como o escoamento é incompressível, a massa especí�ca é constante, então, podemos retirá-la da
integral, fazendo o somatório para a entrada e saída. Como o escoamento é uniforme por seção, ou
seja, o módulo sentido e direção são constantes na seção. Se rearmarmos a equação, teremos:
Como a integral da área é a própria área, temos:
Mas atenção! Lembre que o produto escalar de dois vetores opostos é negativo, e o produto escalar
de dois vetores de mesmo sentido é positivo:
Figura 12 - Canal e volume de controle.
= (u1, 0, 0)v
→
entrada
= (u2, 0, 0)v
→
saida
= ρ( . d + . d )Fx
−→
∫
A1
u1u1 n̂1 A1 ∫
A2
u2u2 n̂2 A2
= ρ( . d + . d )Fx
−→
u1u1 n̂1 ∫
A1
A1 u2u2 n̂2 ∫
A2
A2
= ρ ( . + . )Fx
−→
u1u1 n̂1A1 u2u2 n̂2A2
= ρ (− + )Fx
−→
u1u1A1 u2u2A2
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Pronto, agora vamos substituir os valores e calcular. Mas não tenha tanta pressa, se observarmos
um pouco melhor, lembrando que a vazão é mantida ao longo do canal, veremos que o termo da
vazão aparece duas vezes:
Finalmente, podemos escrever a equação da conservação de quantidade de movimento para o caso
mais simples (uma entrada e uma saída) da forma:
Onde é a massa especi�ca, é a vazão e é a velocidade (ou de entrada ou de saída).
= ρ − +F
→
x
⎛
⎝
⎜ u1u1A1  
Q
u2u2A2  
Q
⎞
⎠
⎟
= ρQ (− + )Fx
−→
u1 u2
ρ Q u
VÍDEO
Existem casos em que teremos que determinar ângulos e sistemas de coordenadas. Um caso
mais complexo para dar segmento aos estudos é o caso de uma bifurcação. Para entender
como funciona esse caso especí�co, veja o vídeo disponível no link a seguir.