Cinetica de reaçoes_calculo integral

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CDD 541.394 
CDU 541.127 
 
 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL APLICADO A CINÉTICA 
QUIMICA DE REAÇÕES REVERSIVEIS E HOMOGÊNEAS 
 
 
 
Ney Rodrigues Ferreira* 
 
 
 
A Físico-Química apresenta algumas 
dificuldades com relação ao desenvolvimento 
de suas equações cinéticas, baseado nisto este 
trabalho apresenta um modelo teórico de 
equações cinéticas de reações químicas 
reversíveis, baseados no cálculo diferencial 
integral. Muitas dessas equações são usadas 
para se determinar um parâmetro cinético 
muito importante no monitoramento de uma 
reação química, a constante de velocidade, que 
pode fornecer informações de como estão as 
concentrações dos reagentes e produtos com o 
decorrer do tempo, durante uma reação 
química, e que ainda podem ser tratados 
graficamente e estatisticamente. No entanto, 
antes será necessário fazer-se uma breve 
revisão em conceitos muito usado em cinética 
química. 
 
 
1 INTRODUÇÃO 
 
1.1 Cinética química 
 
 
Escritores antigos já observavam a velocidade das reações em 
metalurgia, fermentação e alquimia. No entanto algo de realmente 
significativo foi realizado em 1850,por L. Wilhemy. 
 
Wilhemy investigou a inversão da sacarose, verificando a 
transformação com o auxilio de um polarímetro. 
___________________ 
* Concludente do Curso de Química Industrial 
 9 
H2O + C12H22O11 C6H12O6 + C6H12O6 (1.1-1) 
 Sacarose glucose frutose 
 
Verificando que a taxa de diminuição da concentração do açúcar 
(C) com o tempo(t) era proporcional à concentração do açúcar não invertido. 
 
Wilhemy descreveu assim: 
 
Ck
dt
dC
1=− (1.1-2) 
 
Onde chamou k1 de constante de velocidade. 
 
Feito isto integrou a equação diferencial, obteve assim: 
 
lnC = -k1t + Const (1.1-3) 
 
Num t = 0, a concentração inicial é C0, de forma que a constante 
passa a ser lnC0, logo: 
 
lnC = -k1t + lnC0 (1.1-4) ou 
 
tk
0
1eCC −= (1.1-5) 
 
Baseado neste trabalho Wilhemy é considerado o fundador da 
Cinética Química. 
 
Guldberg e Waage, em 1863, realizaram um trabalho enfatizando a 
natureza dinâmica do equilíbrio químico. 
 
Em seguida, mais tarde, Van't Hoff pôs a constante de equilíbrio 
igual à razão das constantes de velocidade, K= kf /kb. 
 
A. V. Harcourt e W. Esson, em 1865-1867, estudaram a reação 
entre o permanganato de potássio e o acido oxálico. Mostrando como calcular 
as constantes de velocidade para uma reação na qual a velocidade é 
proporcional ao produto das concentrações dos dois reagentes. 
 
Em condições favoráveis e adequadas, alguns materiais podem 
sofrer transformações para outros com características bem diferentes. Quando 
isso ocorre apenas por rearranjo ou distribuição dos átomos presentes para 
formar novas moléculas, concluímos que ocorreu uma reação química. A 
“função” da química é estudar essas reações, procura explicar a forma, o 
 10 
mecanismo, a facilidade com que ocorrem, também as transformações físicas 
e energéticas na reação, os produtos que serão obtidos, e em último estagio, o 
rendimento do processo. 
 
A cinética química é um ramo da físico-química, que procura 
explicar com que velocidade uma reação atinge o equilíbrio. 
 
A mesma está dividida no estudo das reações homogêneas e das 
heterogêneas. 
 
"Cinética química é o estudo da velocidade de reação, 
como a velocidade da reação muda debaixo de condições 
variadas e por qual mecanismo a reação procede." (1) 
 
1.2 Importância da cinética química 
 
Na físico-química é indispensável para o conhecimento da natureza 
do sistema reagente, formação e “quebra das moléculas”, quantidades de 
energia e estabilidade do processo. 
 
Na química orgânica, é importante porque a forma como reagem os 
compostos dá informações sobre sua estrutura, permite analisar a força das 
ligações químicas, bem como a estrutura molecular dos compostos. 
 
É muito importante nas teorias de combustão e dissolução no estudo 
da transferencia de massa e calor. 
 
Em engenharia química, é importante para projetar-se 
adequadamente um equipamento em que será realizadas as reações, em escala 
industrial. 
 
 
2 TERMOS IMPORTANTES EM CINÉTICA QUÍMICA 
 
2.1 Reações 
 
As reações correspondem ao resultado da atuação de um ou mais 
reagentes sobre o analito para formar o produto. Existem vários modelos de 
reação e aquele a ser escolhido para determinado sistema analítico irá 
depender dos reagentes a serem utilizados ou disponíveis e das facilidades 
instrumentais. 
 
 11 
2.2 Reações cinéticas 
 
São reações onde a velocidade da formação do produto é medida 
durante um intervalo de tempo, que pode ser horas, minutos ou segundos e a 
denominação cinética é decorrente do relacionamento da reação com o tempo. 
 
2.3 Mecanismos 
 
Podemos ter dois significados para o termo acima: 
 
O primeiro pode significar uma seqüência particular de reações 
elementares que leva à transformação química total cuja cinética está em 
estudo. 
A expressão pode ainda significar a analise detalhada de como as 
ligações químicas (ou os núcleos e elétrons) dos reagentes, se agrupam para 
formar o/um complexo ativado. 
 
“O mecanismo é pesquisado através das expressões 
empíricas de velocidade. Durante o projeto, é necessária 
uma considerável soma de informações nas mais diversas 
áreas”.(2) 
 
Isso ocorre porque poderemos mudar de idéia com relação a 
estequiometria, com base nos dados cinéticos, que são surgeridos pelo estudo 
dos mecanismos. 
 
 
2.4 Molecularidade 
 
Corresponde ao número de moléculas presentes na reação, na etapa 
que determina a velocidade da reação. 
 
"A molecularidade tem sentido só para reações 
elementares, e geralmente coincidem a ordem e a 
molecularidade".(3) 
 
"A molecularidade de uma reação elementar está 
determinada por numero de moléculas de reagentes 
implicadas na reação quando esta se interpreta a nível 
molecular" (4) 
 
Se temos uma só molécula num sistema, a reação denomina-se 
unimolecular. Se tivermos duas moléculas(do mesmo reagente, ou reagentes 
 12 
diferentes) temos uma reação bimolecular; por analogia se temos três 
moléculas, a reação será trimolecular. 
 
 “A molecularidade de uma reação pode ser um, dois e, 
mais raramente, três”. É necessario frisar que a 
molecularidade se refere apenas às reações elementares” 
(5)
 
 
 
2.5 Ordem de reação 
 
A velocidade com que ocorre uma reação, com os reagentes 
genéricos, A, B, C,...,G, pode ser dada por uma equação do tipo: 
r = k[A]a[B]b[C]c...[G]g (2.5-1) 
 
Em que: n = a + b + c +...+ g (2.5-2) 
 
Onde n corresponde a ordem geral; a, b, c,...,g são as potências que 
representam a ordem da reação, e não são necessariamente os coeficientes 
estequiometricos. 
 
 
2.6 Reações elementares 
 
São reações em que a velocidade da reação corresponde a uma 
equação estequiométrica. 
 
A + B R (2.6-1) 
 
Cuja equação de velocidade, para o consumo de A, é: 
 
-rA = k[A][B] (2.6-2) 
 
 
2.7 Não-elementares 
 
“Quando não houver correspondência entre a 
estequiometria e a velocidade de reação, então teremos 
uma reação não-elementar." (6) 
 
 
H2 + Br2 2HBr (2.7-1) 
 
 13 
Cuja a expressão de velocidade é: 
 
 ]Br/[]HBr[k
]Br][H[k
r
22
2/1
221
HBr
+
= . (2.7-2) 
 
 
3 CLASSIFICAÇÃO DAS REAÇÕES 
 
Há varias formas de se classificarem uma reações químicas. 
 
 
3.1 Quanto ao número de fases 
 
3.1.1 Homogênea 
 
Quando ocorre em uma única fase. 
 
Não-Catalíticas: Grande parte das reações em fase gasosa. 
 
Catalíticas: Grande parte das reações em fase liquida. 
 
3.1.2 Heterogênea 
 
Quando exige a presença de, pelo menos, duas fases para ocorrer 
numa certa velocidade: 
 
Não-catalíticas: Queima do coque, ustulação de minérios, ataque de 
sólidos por ácidos, redução de minério de ferro, etc. 
 
Catalíticas: Síntese do NH3; oxidação do NH3 na produção de 
HNO3;craqueamento do óleo cru; oxidação de SO2 para SO3, etc. 
 
 
3.2 Quantoa estequiometria 
 
3.2.1 Simples 
 
“Quando uma equação estequiométrica simples e uma 
equação de velocidade simples forem escolhidas para 
representar o andamento da reação, teremos uma reação 
simples ou isolada”.(7) 
 
 
 14 
3.2.2 Múltiplas 
 
 “Quando mais de uma equação estequiométrica for 
usada para representar as modificações observadas e 
mais de uma expressão cinética for necessária para 
acompanhar as variações de composição dos 
componentes da reação, teremos reações múltiplas”.(8) 
 
Reações múltiplas em série: 
 
A B C (3.2.2-1) 
 
Reações em paralelo: 
 
 B A B 
A (3.2.2-2) (competitiva) R C (3.2.2-3) (laterais) 
 C 
 
Reversíveis: 
 
A B (3.2.2-4) 
 
Existem ainda reações mais complexas: 
 
A + B R 
 (3.2.2-5) 
R + B S 
 
Na qual a reação é paralela em relação a B, e em serie com relação 
a A, R e S. 
 
 
4 VARIÁVEIS QUE AFETAM A VELOCIDADE DE UMA 
REAÇÃO 
 
A velocidade de uma reação química pode ser afetada por muitas 
variáveis. Isto é muito evidente nos sistemas homogêneos, por exemplo, 
temperatura, concentração, tamanho das partículas, luz, radiação e outros. 
 
Vejamos como cada um destes pode afetar as reações: 
 
 
 
 15 
4.1 Concentração dos reagentes 
 
 “ Quanto mais concentrado, maior será a velocidade da 
reação química ( em alguns casos a velocidade pode não 
ser afetada pela concentração de um dos reagentes em 
particular, por está presente em concentração mínima).” 
(9) 
 
 
4.2 Temperatura 
 
 “Normalmente as reações aceleram com temperatura 
crescente ( 10° C de elevação a velocidade dobra).” (10) 
 
 
4.3 Estado físico dos reagentes 
 
 “Pós(Grãos) reagem mais rapidamente que blocos, pois 
sua área superficial é maior, desde que a reação 
aconteça na superfície.” (11) 
 
 
4.4 Presença de um catalisador (ou um inibidor) 
 
Um catalisador acelera uma reação, um inibidor reduz a 
velocidade da mesma.” (12) 
 
 
4.5 Presença de luz 
 
 “Luz de um comprimento de onda particular também 
pode acelerar uma reação.” (13) 
 
 
4.6 Radiação 
 
 “Nos processos radioativos, fatores como a quantidade e 
intensidade da radiação, bem como sua natureza são 
importantes na determinação da velocidade de reação.” 
(14) 
 
 
 16 
5 DEFINIÇÃO DE VELOCIDADE DE REAÇÃO 
 
"A velocidade de reação é o aumento em concentração 
molar de produto de uma reação por unidade de tempo 
ou a diminuição da concentração molar de reagente por 
unidade de tempo."(15) 
 
Podemos expressar a velocidade de uma reação de várias formas. 
 
Em certos casos, a serem investigados, é conveniente medir a 
concentração de um produto de reação em vários tempos. 
 
Na curva da figura a seguir mostra-se esquematicamente como esta 
concentração varia com o tempo, para o pentóxido de nitrogênio. 
 
2N2O5(g) 4NO2(g) + O2(g) (5-1) 
 
Fig. Taxa de formação de O2. * 
 
Podemos expressar a velocidade de três formas: 
 
Taxa de consumo do N2O5( dt
ONd ][ 52
− ) (5-2), 
 
Velocidade de formação do NO2( dt
NOd ][ 2+ ) (5-3) e 
___________________ 
* http:\\ www.newi.ac.uk/buckleyc/bed.htm 
 17 
A velocidade de formação do O2( dt
Od ][ 2+ ) (5-4). 
 
 “ Verifica -se que a decomposição do N2O5 segue uma lei 
de primeira ordem para pressões compreendidas entre 
10-2 a 10 atm. e para temperaturas de 0 a 200°C”. (16) 
 
Esta lei toma as seguintes formas: 
 
][][ 52152 ONkdt
ONd
=− (5-5) 
 
]['][ 5212 ONkdt
NOd
=+ (5-6) 
 
][''][ 5212 ONkdt
Od
=+ (5-7) 
 
 “As unidades da constate de velocidade dependem da 
ordem da reação. Para de primeira ordem, -dC/dt=k1C , 
as unidades de k1 são: mol.L-1.s-1 .(L.mol-1)=s –1.Para a de 
segunda ordem, -dC/dt=k2C2 , as unidades de k2 são: 
mol.L-1.s-1.(mol-1.L)2=L.mol-1.s-1. Em geral para uma 
reação de ordem n, as dimensões da constante kn 
são(tempo)-1.(C)1-n.” (17) 
 
 
6 CARACTERIZAÇÃO MATEMÁTICA DE EQUAÇÕES 
CINÉTICAS PARA REAÇÕES ELEMENTARES E REVERSIVEIS 
 
 
“Nos sistemas o nde ocorrem reações reversíveis, a 
velocidade da reação direta diminuirá com o acumulo de 
produtos, até que um equilíbrio dinâmico seja 
estabelecido. No equilíbrio as velocidades das reações 
direta e inversa se igualam e a velocidade resultante é 
nula.” (18) 
 
 
 
 
 
 18 
6.1 Monitoradas pelo(s) reagente(s) 
 
6.1.1 Reação Reversível de Primeira Ordem 
 
Reações reversíveis de 1ª ordem a volume constante podem ser 
representadas pelas seguintes equações: 
 
k1 
Equação estequiométrica: aA xX (6.1.1-1) 
k2 
Equação cinética: 
 
][][][][ 21 XkAk
xdt
Xd
adt
Ad
−==
−
 (6.1.1-2) 
Esta equação diferencial pode ser resolvida por separação de variáveis 
e pela integração da equação resultante nos limites t=0 ([A]0) e um tempo t 
([A]) de acordo com a equação(1-1) do anexo 1. 
 
Então rearranjando a eq. (6.1.1-2), temos: 
 
a
AxXaax
X
])[][][(][ 00 −+= (6.1.1-3) 
 
Deste modo substituindo a eq. (6.1.1-3) em (6.1.1-2),temos: 
 
( )][][][][][ 21 AxXaAxkAakdt
Ad
oo
−+−=− (6.1.1-4) 
 
Usando a condição de equilíbrio, onde: 
 
0][ =−
dt
Ad
 
 
Segue-se: 
 
( )
∞∞
−+= ][][][][ 21 AxXaAxkAak oo (6.1.1-5) 
 
Onde: ( )
∞
∞
−+
= ][][][
][1
2 AxXaAx
Aakk
oo
 (6.1.1-6) 
 
Substituindo (6.1.1-6) em (6.1.1-3), segue: 
 19 
( ) ( )][][][.][][][
][][][ 11 AxXaAxAxXaAx
Aak
Aak
dt
Ad
oo
oo
−+
−+
−=−
∞
∞ (6.1.1-7) 
 
Arrumando os termos, temos: 
 
( )
( )
( ) ∫∫
∞∞
−+
+
=
−
−
t
oo
oo
A
A
dt
AxXaAx
XaAxak
AA
Ad
0
1][
][ ][][][
][][
][][
][
0
 (6.1.1-8) 
 
Integrando ambos os membros da equação (6.1.1-8) de acordo com a 
equação(2-1) do anexo 2, temos: 
 
Fazendo-se: 
 
( ) ( ) ( )( ) tAxXaAx
XaAxak
AAAA
oo
oo
.][][][
][][][][ln][][ln 1
∞
∞∞
−+
+
+−−=−−
 (6.1.1-9) 
 
ou 
 
txkakAAAA )()][]ln([)][]ln([ 210 ++−−=−− ∞∞ (6.1.1-10) 
 
 
Temos assim a equação cinética integrada de 1ª ordem, em sua forma 
não-elementar, monitorada pelo reagente A. 
 
 
6.1.2 Reação Reversível de Segunda Ordem Direta e Primeira Ordem Inversa 
Podemos representar esta equação assim: 
k1 
Equação estequiométrica: a A + b B x X (6.1.2-1) 
k2 
Equação cinética: 
 
xdt
Xd
bdt
Bd
adt
Ad ][][][
=−=−
 (6.1.2-2) 
 
 
A equação cinética do reagente A, é: 
 
][]][[][ 21 XkBAk
adt
Ad
+−=
 (6.1.2-3) 
 
 20 
Rearranjando a equação (6.1.2-2) e integrando seus termos de 
acordo com as equações(3-1)e (3-5) do anexo 3, segue-se: 
 
a
BaAbAbB )][][][(][ 00 +−=
 (6.1.2-4) 
 
a
XaAxAxX )][][][(][ 00 +−=
 (6.1.2-5) 
 
Substituindo os valores das equações (6.1.2-4) e (6.1.2-5) em 
(6.1.2-3), temos: 
 
a
XaAxAxk
a
BaAbAbAk
adt
Ad )][][][()][][][]([][ 002001 +−++−−= (6.1.2-6) 
 
Fazendo-se na equação (6.1.2-6): 
 
)][][( 00 AbBap −= (6.1.2-7) e 
 
)][][( 00 XaAxq += (6.1.2-8) 
 
Temos assim: 
 
])[(])[]([][ 21 AxqkAbpAkdt
Ad
−+−−= (6.1.2-9) 
 
No equilíbrio r=0,então; a eq. (6.1.2-9) pode tomar a seguinte 
forma: 
 
)][(
)][(][1
2
∞
∞∞
−
+
=
Axq
AbpAkk (6.1.2-10) 
 
Substituindo a eq. (6.1.2-10) em (6.1.2-9), antes da transformação, 
temos: 
 
)][(
])[)(][(][])[]([][ 11
∞
∞∞
−
−+
+−−=
Axq
AxqAbpAk
AbpAk
dt
Ad
 (6.1.2-11) 
Multiplicando membro a membro, separando os termos e 
transformando em uma função quadrática obteremos: 
 
 21 




−
+
+
−
+
−−=
∞
∞∞
∞
∞
)][(
)][(][
)][(
]).[][(][][
2
2
1 Axq
AbpAq
Axq
AAbxpq
Abk
dt
Ad
 (6.1.2-12) 
 
Fazendo-se na eq. (6.1.2-12) 
 
f
Axq
Abxpq
=
−
+
∞
])[(
)][( 2
 (6.1.2-13) e 
 
g
Axq
AbpAq
=
−
+
∞
∞∞
)][(
)][(][
 (6.1.2-14) 
 
Separando os membros e integrando de acordo com a equação(4-1) 
 
do anexo 4, vamos obter: 
 
∫∫ =+−−
tA
A
dtk
gAfAb
Ad
01
][
][ 20 )][][(
][
 (6.1.2-15) 
 
Que nos dá por integração a seguinte equação. 
 
t
bgfk
bgf
Abf
arctgh
bgf
Abf
arctgh .
2
4
4
][2
4
][2 21
2
0
2+
+



+
+
=



+
+
 (6.1.2-16) 
 
Que é conhecida como equação cinética integrada de primeira 
ordem direta e inversa. 
 
 
6.1.3 Reação Reversível de Primeira Ordem Direta e Segunda Ordem Inversa 
 
Reações reversíveis deste tipo podem ser representadas pelas 
formas seguintes: 
 
k1 
Equação estequiométrica: a A x X + yY (6.1.3-1) 
k2 
Equação cinética: 
 
ydt
Yd
xdt
Xd
adt
Ad
r
][][][
==−= (6.1.3-2) 
 22 
A equação cinética do reagente A é: 
 
][]][[][ 12 AkYXk
adt
Ad
−=−
 (6.1.3-3) 
 
 
Rearranjando a eq. (6.1.3-2) e integrando de acordo com a 
equação(5-1) do anexo 5, temos: 
 
a
AxXaAx
X
])[][][(][ 00 −+= (6.1.3-4) 
 
a
AyYaAyY ])[][][(][ 00 −+= (6.1.3-5) 
 
Substituindo estes valores na equação (6.1.3-3) e usando a condição 
de equilíbrio, onde: r=0, temos: 
 
 

 −+

 −+
+−=
a
AyYaAy
a
AxXaAxkAk
adt
Ad ][][][][][][][][ 000021 (6.1.3-6) 
 
 
Que nos dá: 
 
)][][][)(][][][(][ 0000221 ∞∞∞ −+−+= AyYaAyAxXaAxa
k
Ak (6.1.3-7) 
 
Encontrando-se o Valor de k1 em (6.1.3-7), e substituindo o mesmo 
em (6.1.3-6), temos: 
+


−+−+−=
∞∞
∞
][)][][][)(][][][(][
][
00002
2 AAyYaAyAxXaAx
Aa
k
adt
Ad
])[][][])([][][( 000022 AyYaAyAxXaAxa
k
−+−+ (6.1.3-8) 
Simplificando os termos constantes, fazendo-se na eq. (6.1.3-8) 
)][][( 00 XaAxp += (6.1.3-9) e 
 )][][( 00 YaAyq += (6.1.3-10) 
 23 
Substituindo p e q em (6.1.3-9), temos: 



−−+−−
−
=
∞∞
∞
])[])([()][)(][(][
][][ 2 AyqAxpAyqAxp
A
A
a
k
dt
Ad (6.1.3-11) 
Rearranjando a eq. (6.1.3-11), chegamos a: 



+


 +
−=
∞
∞ pqA
A
AxypqAxy
a
k
dt
Ad ][][
][][][
2
22 (6.1.3-12) 
Simplificando a eq. (6.1.3-12), fazendo: 
xy=e (6.1.3-13) 



 +
=
∞
∞
][
][ 2
A
Axypqf
 (6.1.3-14) e 
pq=g (6.1.3-15) 
 
Substituindo estes valores em (6.1.3-12), para em seguida separar as 
variáveis e integrar de acordo com a equação(6-1) do anexo 6, vamos obter: 
∫∫ =+−
tA
A
dt
a
k
gAfAe
Ad
0
2][
][ 20 )][][(
][ (6.1.3-16) 
A eq. (16) nos fornece: 
t
a
egfk
egf
Aef
arctg
egf
Aef
arctg .
2
4
4
][2
4
][2 22
2
0
2
−
+



−
−
=



−
−
 (6.1.3-17) 
 
Que é conhecida como equação cinética integrada de 1ª ordem com 
relação ao reagente e 2ª ordem com relação aos produtos. Em sua forma não-
elementar, monitorada pelo reagente A. 
 
 
6.1.4 Reação Reversível de Segunda Ordem Direta e Segunda Ordem Inversa 
 
Esta reação pode ser representada das seguintes formas: 
 
 24 
Equação estequiométrica: 
k1 
a A + b B x X + y Y (6.1.4-1) 
k2 
Equação cinética: 
 
ydt
Yd
xdt
Xd
bdt
Bd
adt
Ad
r
][][][][
==−−= (6.1.4-2) 
 
A equação cinética para o reagente A é : 
 
]][[]][[][ 21 YXkBAk
adt
Ad
+−= (6.1.4-3) 
 
Rearranjando a eq. (6.1.4-2), e integrando os termos de acordo com 
a equação(7-1) e (7-5) do anexo 7, segue: 
 
a
AbAbBa
B
])[][][(][ 00 +−= (6.1.4-4) 
 
a
AyyaAy
Y
])[][][(][ 00 −+= (6.1.4-5) 
 
a
AxXaAxX ])[][][(][ 00 −+= (6.1.4-6) 
 
Substituindo as eq. (6.1.4-4), (6.1.4-5) e (6.1.4-6) em (6.1.4-3), 
temos a seguinte equação: 
 
+

 +−
−=
a
AbAbBa
Ak
adt
Ad ][][][][][ 001


 −+

 −+
a
AyYaAy
a
AxXaAxk ][][][][][][ 00002 (6.1.4-7) 
 
Fazendo-se na eq. (6.1.4-7) as seguintes convenções: 
 
00 ][][ AbBap −= (6.1.4-8) 
 
00 ][][ XaAxq += (6.1.4-9) 
 
 25 
00 ][][ YaAyr += (6.1.4-10) 
 
Temos: 
 
])[])([(])[]([][ 221 AyrAxqa
kAbpA
a
k
adt
Ad
−−++
−
= (6.1.4-11) ou 
 
[ ]][])([(]])[[(1][ 21 AyrAxqkAAbpak
adt
Ad
−−−+=− (6.1.4-12) 
 
No equilíbrio: 
 
0][ =
dt
Ad
 (6.1.4-13) 
 
Igualando a eq. (6.1.4-11) à eq. (6.1.4-13), temos: 
 
)][)(][()][(][ 21 ∞∞∞∞ −−=+ AyrAxqkAbpAak (16.1.4-4) 
 
Onde: 
 
)][)(][(
][(][1
2
∞∞
∞∞
−−
+
=
AyrAxq
AbpAakk (6.1.4-15) 
 
Substituindo a eq. (6.1.4-15) em (6.1.4-12), multiplicando membro 
a membro, os produtos, e separando os termos, vem: 
 
[ ]
[ ]








+
++++
−−++
−−
=
∞∞
∞
∞
∞∞ qrAAbp
ApqrAxypbxrbyq
AbqrAbxrbyqxyp
AyrAxq
k
dt
Ad
])[][(
][])[(
][])[(
)][)(][(
][ 2
2
1
 (6.1.4-16) 
 
Fazendo-se na eq. (6.1.4-16): 
 
[ ]bqrAbxrbyqxype −++=
∞
])[(
 (6.1.4-17) 
 [ ]pqrAxypbxrbyqf +++=
∞
2])[( (6.1.4-18) 
 
∞∞
+= ][)][( AqrAbpg
 (16.1.4-9), temos: 
 
 26 
)][][()][)(][(
][ 21 gAfAe
AyrAxq
k
dt
Ad
+−
−−
=
∞∞
 (6.1.4-20) 
 
 
Separando as variáveis e integrando os termos da eq (6.1.4-20) de 
acordo com a equação(8-1) do anexo 8, temos: 
 
t
AyrAxq
egfk
egf
Aef
rctgh
egf
Aef
rctgh )][)(][(2
4
4
][2
4
][2 21
2
0
2
∞∞
−−
−
+



−
−
=



−
−
aa 
(6.1.4-21) 
 
Que é conhecida como equação cinética integrada para a reação 
reversível de segunda ordem direta e inversa. 
 
 
7.0 CONCLUSÃO 
 
 
Neste trabalho procurou-se mostrar um método matemático para 
dedução e compreensão de como proceder na obtenção de equações cinéticas 
para reações reversíveis. 
 
Convém ressaltar que: 
 
 “Amplamente, a Cinética química pode ser definida 
como o estudo de sistemas cuja composição química ou 
distribuição energética varia com o tempo.” 19 
 
Podemos ainda afirmar que: 
 
 “O objetivo da Cinética química é o estudo das 
velocidades das reações químicas, e dos fatores que 
dependem estas velocidades. Destes fatores, os mais 
importantes são a concentração, temperatura e pressão 
hidrostática.” 20 
 
Em toda investigação cinética se mede de forma direta ou indireta a 
concentração em tempos distintos. O problema é expressar a velocidade em 
forma de uma equação que relacione a velocidade com a concentração dos 
reagentes, e as vezes dos produtos( e outras substancias). 
 
 27 
Neste trabalho usamos o método de integração, que parte de uma 
equação cinética que se supõe aplicável. 
 
Caso tenha uma boa concordância se pode determinar o valor da 
constante de velocidade por um método gráfico. 
 
Para isso, deduzimos as seguinte equações abaixo: 
 
Equação estequiométrica: 
k1 
aA xX (6.1.1-1) 
k2 
Equação cinética integrada: 
 
 
txkakAAAA )()][]ln([)][]ln([ 210 ++−−=−− ∞∞ (6.1.1-10) 
 
Equação estequiométrica: 
k1 
a A + b B x X (6.1.2-1) 
k2 
Equação cinética integrada: 
 
t
bgfK
bgf
Abf
arctgh
bgf
Abf
arctgh .
2
4
4
][2
4
][2 21
2
0
2
+
+



+
+
=



+
+
 (6.1.2-16) 
 
Onde: 
 
f
Axq
Abxpq
=
−
+
∞
])[(
)][(
 (6.1.2-13) e 
 
g
Axq
AbpAq
=
−
+
∞
∞∞
)][(
)][(][
 (6.1.2-14) 
 
 
Equação estequiométrica: 
 
k1 
a A x X + yY (6.1.3-1) 
k2 
 
 
 28 
Equação cinética integrada: 
 
t
a
egfk
egf
Aef
arctg
egf
Aef
arctg .
2
4
4
][2
4
][2 22
2
0
2
−
+



−
−
=



−
−
 (6.1.3-17) 
Onde: 
 
xy=e
 (6.1.3-13) 



 +
=
∞
∞
][
][ 2
A
Axypqf (6.1.3-14) e 
pq=g
 (6.1.3-15) 
 
 
Equação estequiométrica: 
 
k1 
a A + b B x X + y Y (6.1.4-1) 
k2 
 
Equação cinética integrada: 
 
t
AyrAxq
egfk
egf
Aef
rctgh
egf
Aef
rctgh )][)(][(2
4
4
][2
4
][2 21
2
0
2
∞∞
−−
−
+



−
−
=



−
−
aa
 
(6.1.4-21) 
 
Onde: 
 
[ ]bqrAbxrbyqxype −++=
∞
])[( (6.1.4-17) 
 [ ]pqrAxypbxrbyqf +++=
∞
2])[( (6.1.4-18) 
 
∞∞
+= ][)][( AqrAbpg
 (16.1.4-9). 
 
 
 
 
 29 
 
 
 
 
 
 SUMMARY 
 
 
The Physical-Quimca it presents adds 
difficulties with relationship to the 
development of your kinetic equations, based 
on this this work presents the theoretical model 
of kinetic equations of reversible chemical 
reactions, based on the calculation integral 
diferential. Many of those equations plows 
used to be determined the very important 
kinetic parameter in the monitoramento of the 
chemical reaction, the constant of rate, that 
it can supply information of the they plows the 
concentrations of the reagentes and products 
with elapsing of the team, during the chemical 
reaction, and thatcan still be treated 
graphically and estatisticamente. However, 
before it will be necessary to do an 
abbreviation revision in concepts very used in 
chemical kinetics. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 30 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
8.0 ANEXOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 31 
1) 
 
 
xdt
Xd
adt
Ad ][][
=−
 (1-1) 
 
 ∫ ∫=− ][ ][ ][ ][0 0 ][][AA XX XdaAdx (1-2) 
 
)][]([)][]([ 00 XXaAAx −=−− (1-3) 
 
a
XaAxAx
X
)][][][(][ 00 ++−= (1-4) 
 
 
 
2) 
 
 
( )∫
∞
−
−
][
][ 0 ][][
][A
A AA
Ad
 (2-1) 
 
( ) u[A][A] =−
∞
 (2-2) 
 
1
d[A]
du
= dud[A] = (2-3) 
 
( )
( ) ∫∫
∞
−+
+
=−
t
0
oo
oo1u
u
dt]A[x]X[a]A[x
]X[a]A[xaK
u
du
o
 (2-4) 
 
[ ] ( )( ) tAxXaAx
XaAxaK
u
oo
oou
u .][][][
][][ln 1
0
∞
−+
+
=− (2-5) 
 
( ) ( ) ( )( ) t.]A[x]X[a]A[x
]X[a]A[xaK]A[]A[ln]A[]A[ln
oo
oo1
∞
∞∞
−+
+
+−−=−− (2-6) 
 
 
 
 
 
 
 32 
3) 
 
 
dtb
Bd
adt
Ad ][][
−=−
 (3-1) 
 
∫ ∫=][ ][ ][ ][0 0 ][][AA BB BdaAdb (3-2) 
 
)][]([)][]([ 00 BBaAAb −=− (3-3) 
 
 
a
)]B[a]A[b]A[b(]B[ 00 +−= (3-4) 
 
xdt
Xd
adt
Ad ][][
=− (3-5) 
 
∫ ∫=− ][ ][ ][ ][0 0 ][][AA XX XdaAdx (3-6) 
 
)][]([)][]([ 00 XXaAAb −=− (3-7) 
 
a
AxXaAxX ])[][][(][ 00 −+= (3-8) 
 
 
 
4) 
 
 
=
+−−∫
][
][ 20 )][][(
][A
A gAfab
Ad
][
][
2
0
42
4
][22
A
Abgf
bgf
Abf
arctgh
+




+
+
 (4-1) 
 
 
t
bgfK
bgf
Abf
arctgh
bgf
Abf
arctgh .
2
4
4
][2
4
][2 21
2
0
2
+
+



+
+
=



+
+
 (4-2) 
 
 
 33 
5) 
 
 
xdt
Xd
adt
Ad ][][
=−
 (5-1) 
 
∫ ∫−=][ ][ ][ ][0 0 ][][XX AA AdxXda (5-2) 
 
)][]([)][]([ 00 AAxXXa −−=− (5-3) 
 
][][][][ 00 AxAxAaXa −=− (5-4) 
 
a
AxXaAxX ])[][][(][ 00 −+= (5-5) 
 
De modo análogo calculamos a seguinte equação: 
 
a
AyYaAyY ])[][][(][ 00 −+=
 (5-6) 
 
 
 
6) 
 
 
=
+−∫
][
][ 20 )][][(
][A
A gAfAe
Ad
][
][
2
2
0
4
4
][22
A
Aegf
egf
Aef
arctgh
−




−
−
 (6-1) 
 
 
 
t
a
fegk
feg
fAe
arctg
feg
fAe
arctg .
2
4
4
][2
4
][2 22
2
0
2
+−
+



+−
+−
=



+−
+−
 (6-2) 
 
 
 
 
 
 34 
7) 
 
 
dtb
Bd
adt
Ad ][][
−=−
 (7-1) 
 
∫ ∫=][ ][ ][ ][0 0 ][][AA BB BdaAdb (7-2) 
 
)][]([)][]([ 00 BBaAAb −=− (7-3) 
 
 
a
)]B[a]A[b]A[b(]B[ 00 +−= (7-4) 
 
xdt
Xd
adt
Ad ][][
=− (7-5) 
 
∫ ∫=− ][ ][ ][ ][0 0 ][][AA XX XdaAdx (7-6) 
 
)][]([)][]([ 00 XXaAAb −=− (7-7) 
 
a
AxXaAxX ])[][][(][ 00 −+= (7-8) 
 
De modo análogo calculamos a seguinte equação: 
 
a
AyYaAyY ])[][][(][ 00 −+= (7-9) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 35 
8) 
 
 
=
+−∫
][
][ 20 )][][(
][A
A gAfAe
Ad
][
][
2
2
0
4
4
][22
A
Aegf
egf
Aef
arctgh
−




−
−
 (8-1) 
 
t
a
fegk
feg
fAe
arctg
feg
fAe
arctg .
2
4
4
][2
4
][2 22
2
0
2
+−
+



+−
+−
=



+−
+−
 (8-2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 36 
REFERENCIA BIBLIOGRAFICA 
 
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Universidade de São Paulo, 1974.p.23. 
 
3)
 Ralph E. Weston, Jr. SCHWARZ, Harold A. Cinética química. Madrid: 
Alhambra, 1976.p.7. 
 
4)
 Ralph E. Weston, Jr. SCHWARZ, Harold A. op. cit. p.7. 
 
5)
 LEVENSPIEL, Octave. op. cit. p.9. 
 
6)
 LEVENSPIEL, Octave. op. cit. p.7. 
 
7) LEVENSPIEL, Octave. op. cit. p.7. 
 
8) LEVENSPIEL, Octave. op. cit. p.7. 
 
9) Capturado em 9 de novembro. 1999. On line. Disponível na Internet http:\\ 
www.newi.ac.uk/buckleyc/bed.htm 
 
10) Capturado em 9 de novembro. 1999. On line. Disponível na Internet http:\\ 
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11) Capturado em 9 de novembro. 1999. On line. Disponível na Internet http:\\ 
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12) Capturado em 9 de novembro. 1999. On line. Disponível na Internet http:\\ 
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13) Capturado em 9 de novembro. 1999. On line. Disponível na Internet http:\\ 
www.newi.ac.uk/buckleyc/bed.htm 
 
14) SILVEIRA,B.I. Cinética química das reações homogêneas. São Paulo: 
Edgard Blucher, 1996.p.57. 
 
15) Capturado em 9 de novembro. 1999. On line. Disponível na Internet http:\\ 
www.newi.ac.uk/buckleyc/bed.htm 
 37 
16) MOORE, J.D. Físico-química. São Paulo: Edgard Blucher,[1970|.p.303. 
 
17) MOORE, J.D. op. cit.p.303. 
 
18) SILVEIRA,B.I. op. cit. p.57 
 
19) Ralph E. Weston, Jr. SCHWARZ, Harold A. op. cit. p.1. 
 
20)
 LAIDLER, Keith J. Cinética de reacciones: reacciones homogéneas en 
fase gaseosa. Madrid: Alhambra, 1979.p.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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