4 ETAPA EJA

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APOSTILA
DE
MATEMaTICA
4ª ETAPA
6º&7ºano
CPAMCO
G3ΠI√ΔI
LUIS ROBERTO DANTE
COLEÇÃO PROJETO TELARES
2016
SUMÁRIO
UNIDADE 0:
NOÇÕES GERAIS DE CONJUNTO
UNIDADE I: 
NÚMEROS NATURAIS E GEOMETRIA
CAPITULO 1: NÚMEROS NATURAIS E SISTEMAS DE NUMERAÇÃO:
1- INTRODUÇÃO
2- SISTEMAS DE NUMERAÇÃO: UM POUCO DE HISTÓRIA
SISTEMA DE NUMERAÇÃO EGÍPCIA
SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANA
SISTEMA DE NUMERAÇÃO INDO-ARÁBICO
3- NÚMEROS NATURAIS E SEUS USOS
4- CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
SEQUENCIA DE NÚMEROS NATURAIS
SEQUENCIAS ESPECIAIS DE NÚMEROS NATURAIS
CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS
NÚMEROS NATURAIS E RACIOCÍNIO COMBINATÓRIO
CAPITULO 2: OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM NÚMEROS NATURAIS
1- INTRODUÇÃO 
2- ADIÇÃO: IDEIAS ASSOCIADAS E ALGORITMO
3- SUBTRAÇÃO: IDEIAS ASSOCIADAS E ALGORITMO
4- MULTIPLICAÇÃO: IDEIAS ASSOCIADAS E ALGORITMO
5- DIVISÃO: IDEIAS ASSOCIADAS E ALGORITMO
CAPITULO 3: GEOMETRIA: SÓLIDOS GEOMÉTRICOS, ÂNGULOS E POLÍGONOS.
1- INTRODUÇÃO
2- SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
3- PONTO, RETA E PLANO.
4- ÂNGULOS
5- RETAS PARALELAS E RETAS CONCORRENTES
6- REGIÕES PLANAS E CONTORNOS
7- POLÍGONO
TIPOS DE POLÍGONOS
TRIÂNGULOS
QUADRILÁTEROS
POLÍGONOS REGULARES
UNIDADE II: 
POTENCIAÇÃO E DIVISIBILIDADE
CAPITULO 4: POTENCIAÇÃO, RAIZ QUADRADA E EXPRESSÕES NUMÉRICAS.
1- INTRODUÇÃO
2- POTENCIAÇÃO
3- RAIZ QUADRADA
4- EXPRESSÕES NUMÉRICAS
CAPITULO 5: DIVISORES E MÚLTIPLOS DE NÚMEROS NATURAIS
1- INTRODUÇÃO
2- DIVISIBILIDADE
MÚLTIPLO E DIVISOR DE UM NÚMERO NATURAL
3- DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL
4- NÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS
DECOMPOSIÇÃO DE UM NÚMERO EM FATORES PRIMOS
M.D.C.
5- MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO NATURAIS 
M.M.C.
UNIDADE III: 
FRAÇÕES E NÚMEROS DECIMAIS
CAPITULO 6: FRAÇÕES E PORCENTAGENS
1- INTRODUÇÃO
2- ALGUMAS IDEIAS ASSOCIADAS A FRAÇÕES
3- FRAÇÕES EQUIVALENTES
4- COMPARAÇÃO DE FRAÇÕES
5- OPERAÇÕES COM FRAÇÕES
6- PORCENTAGEM
CAPITULO 7: NÚMEROS DECIMAIS
1- INTRODUÇÃO
2- DÉCIMOS, CENTÉSIMOS E MILÉSIMOS NOS NÚMEROS DECIMAIS
3- NÚMEROS DECIMAIS SISTEMAS DE NUMERAÇÃO DECIMAL
4- COMPARAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS
5- OPERAÇÃO COM NÚMEROS DECIMAIS
6- PORCENTAGEM NA FORMA DE NÚMERO DECIMAL
UNIDADE IV: 
GRANDEZAS E MEDIDAS
CAPITULO 8: EXPLORANDO A IDEIA DE MEDIDAS
1- INTRODUÇÃO
2- GRANDEZAS, UNIDADES DE MEDIDA E INSTRUMENTOS DE MEDIDA
3- A IDEIA DE MEDIDA E AS VÁRIAS GRANDEZAS
4- MEDIDA DE TEMPO
5- UNIDADES PADRONIZADAS DE MEDIDAS
CAPITULO 9: PERÍMETROS, ÁREAS E VOLUMES.
1- INTRODUÇÃO
2- PERÍMETRO
3- MEDIDAS DE UMA SUPERFÍCIE: ÁREA DE UMA REGIÃO PLANA
5- VOLUME
23
UNIDADE 0: CONJUNTO
NOÇÕES DE CONJUNTO
Em muitas situações sentimos a necessidade de classificar e agrupar pessoas, objetos, números, letras e etc. A esses agrupados damos o nome de elementos. 
Então, conjunto é a coleção de determinados elementos segundo suas características.
Ex: Conjunto das vogais, conjunto dos planetas, conjunto dos dias da semana.
Os conjuntos são nomeados por letras maiúsculas, e os elementos separados por vírgulas e entre .
Ex: V={a, e, i, o, u}
Representações de um conjunto:
· Através de chaves:
Ex: 
· Através de definição:
Ex: 
· Através do DIAGRAMA DE VENN:
Ex: 
Classificação dos conjuntos:
· Conjunto Infinito: é aquele que é incontável.
Ex: 
· Conjunto Finito: é aquele que é contável.
Ex: V={a, e, i, o, u}
· Conjunto Unitário: é aquele que possui apenas um elemento.
Ex: 
· Conjunto Vazio: é aquele que não possui elemento.
Ex: 
RELAÇÕES:
· Pertinência (elemento → conjunto):
· Pertence : Quando o elemento pertence ao conjunto em questão.
Ex: 
· Não-pertence : Quando o elemento não pertence ao conjunto em questão.
Ex: 
· Continência (conjunto → conjunto):
· Está Contido : Quando um conjunto é subconjunto de outro.
Ex: 
· Não-Está Contido : Quando um conjunto não é subconjunto de outro.
Ex: 
· Contém : Quando um conjunto contém outro.
Ex: 
· Não-Contém : Quando um conjunto não contém outro.
Ex: 
· União :
Quando os elementos pertencem ou a um ou ao outro.
Ex: 
· Intersecção:
Quando os elementos pertencem a ambos
Ex: 
EXERCÍCIOS:
1- Dê que maneira surgiu a noção de conjunto?
2- Como podemos representar um conjunto?
3- Explique e exemplifique:
a) conjunto infinito 
b) conjunto finito
c) conjunto unitário 
d) conjunto vazio
4- Coloque () ou (), () ou () e () ou ():
a) a ___ V={vogais} b) {a} ____ V={vogais}
c) V={vogais} ___ {a} d) b____ V={vogais}
UNIDADE 1: NÚMEROS NATURAIS E GEOMETRIA:
CAPÍTULO 1- NÚMEROS NATURAIS E SISTEMAS DE NUMERAÇÃO.
2- SISTEMAS DE NUMERAÇÃO: UM POUCO DE HISTÓRIA:
SISTEMA DE NUMERAÇÃO EGÍPCIO:
Os egípcios usavam o processo aditivo, ou seja, a soma dos valores de cada símbolo originava o valor do número.
Os símbolos do sistema de numeração egípcio são:
Obs: Cada símbolo pode ser repetido até 9x e depois substituído pela dezena seguinte.
Ex: ..., 9= llllllllll, 10=
Exercício:
Represente os números em numeração egípcia:
a) 14 b) 4321 c) 5 d) 1345 
SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANA:
Os símbolos do sistema de numeração romano são:
	I
	V
	X
	L
	C
	D
	M
	1
	5
	10
	50
	100
	500
	1000
Os símbolos I,X,C e M podem ser repetidos até 3x e são somados:
	III
	XXX
	CCC
	MMM
	3
	30
	300
	3000
Quando valores I, II, III aparecer a direita do V serão acrescentados:
	V+I
	XV+II
	MMCXXV+III
	6
	17
	2128
O valor I, X e C a esquerda do V, do X, do L, do C, do D e do M é subtraído uma unidade, uma dezena e uma centena:
Veja o quadro para as situações:
	I-V(5-1)
	X-L(50-10)
	C-D(500-100)
	4
	40
	400
	I-X(10-1)
	X-C(100-10)
	C-M(1000-100)
	9
	90
	900
As dezenas exatas são escritas usando X, L e C:
	X
	XX
	XXX
	LX
	LXX
	CX
	MCCC
	10
	20
	30
	60
	70
	110
	1300
As demais escritas são feitas usando a decomposição:
	86
	675
	2593
	3999
	LXX+VI
	DC-+LXX+V
	MM+D+XC+III
	MMM+CM+XC+IX
EXERCÍCIO:
1- Passe os arábicos para o sistema romano:
a) 8 b) 13 c) 1975 d) 3649
2- Rescreva os números romanos em arábicos:
a) VIII b) XIX c) LIV d) XLI
SISTEMA DE NUMERAÇÃO INDO-ARÁBICO:
Sistema criado pelos indianos e espalhado pelo mundo pelos árabes. É chamado, também, de sistema de numeração decimal (10 dígitos/algarismo).
OBS: SISTEMAS DE NUMERAÇÃO: conjunto de símbolos e regras que permite representar quantidades:
Números:
É um símbolo usado para definir quantidade, ordem ou medida. Foi um dos primeiros conceitos assimilados pela humanidade para sistematizar a matemática.
Os números são organizados em conjuntos. Que foram sendo descobertos conforme aumentava a necessidade e o conhecimento matemático humano. São eles:
Números Naturais (ℕ) Números Inteiros (ℤ)
Números Racionais (ℚ) Números Irracionais ()
Números Reais (ℝ) Números Complexos (ℂ)
VALOR POSICIONAL:
Exercício:
1- Informe o valor posicional dos números: 
a) 2222 b) 555 c) 1234 d) 4321
2- Escreva todos os números formados pelos algarismos 4, 5 e 8.
3- Qual o valor posicional do algarismo 6 nos números abaixo?
a) 164; b) 1236; c) 6524; d) 654
4- Usando somente os algarismos 3 e 8, escreva as duplas em ordem crescente.
ORDEM E CLASSE:
Os números são separados em grupos de três, cada grupo é uma classe, cada algarismo dentro da classe recebe o nome de ordem.
Ex1: 8.515.692
Ex2: O número 9.876.543.210 possui 10 ordens e atinge a classe dos bilhões.
As várias representações de um número arábico:
Ex: 8.515.692
Forma decomposta: 
· 8000000+500000+10000+5000+600+90+2 ou 8 x 1000000 + 5 x 100000 + 1 x 10000 + 5 x 1000 + 6 x 100 + 9 x 10 + 2 x 1
· Com palavras: oito milhões, quinhentos e quinze mil, seiscentos e noventa e dois.
· Com palavras e algarismos, de modo simplificado: 8 milhões, 515 mil e 692
EXERCÍCIO:
1- Escreva como se lê os seguintes números:
a) 500.611.390; 
b) 125.678.394.200.000; 
c) 40.000.040.000;
d) 41.352.
2- Escreva o número formado por:
a) nove unidades de milhar, mais quatro centenas, mais três dezenas,mais quatro unidades;
b) cinco dezenas de milhão, mais sete centenas de milhar, mais duas unidades de milhar, mais nove dezenas;
c) três unidades de milhão, mais cinco unidades de milhar, mais duas unidades;
d) oito milhões, quinhentos, quarenta e sete mil, quatrocentos e três.
3- Represente usando apenas algarismos:
a) 4 mil e 600 unidades; 
b) 4 milhões e 600 mil;
c) 4 bilhões, 654 milhões, 137 mil, 234 unidades;
d) 4 trilhões e 700 mil.
4- Represente com todos os algarismos:
a) 3,6 mil b) 4,8 milhões 
c) 4,6 bilhões d) 19,35 mil
5- Escreva na forma simplificada:
a) 8 200 000 b) 6 600 
c) 11 500 d) 7 830 000 000
4 CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS:
Sequências dos Números Naturais:
Sucessor: O número cresce 1(+1);
Ex: 3(+1)= 4, o sucessor de 3 é 4.
Antecessor: o número decresce 1 (-1)
Ex: 3(-1)= 2, o antecessor de 3 é 2.
Obs: Números Consecutivos: são dois ou mais números que se seguem, ou seja, um vem após o outro, na sequência dos números naturais.
Atividade:
1- Dê o sucessor:
a) 3______ b) 13______ c) 76______ d) 4______
2- Informe o antecessor:
a) ____3 b) _____13 c) _____76 d) _____4
· Ordem dos Números Naturais:
À medida que avançamos na sequência dos números naturais ou na reta numerada, o valor de cada número é maior do que o de seu antecessor. Assim, usando os símbolos: maior do que (>); menor do que (<) e igual a (=), podemos escrever: 8 < 9 10 > 6 325 > 305 240 < 251
Exercício:
1- Responda:
a) Uma sequencia com três números pares consecutivos maiores do que 100 e menores do que 110;
b) Sequência de cinco números ímpares consecutivos maiores do que 500 e menores do que 510;
c) O conjunto formado pelos números pares de 18 ate 28;
d) O conjunto formado pelos números impares entre 45 e 61.
2- Números naturais e mensagem codificada.
Decodifique a mensagem abaixo:
	A
	B
	C
	D
	E
	F
	G
	H
	I
	J
	K
	L
	M
	1
	2
	3
	4
	5
	6
	7
	8
	9
	10
	11
	12
	13
	N
	O
	P
	Q
	R
	S
	T
	U
	V
	W
	X
	Y
	Z
	14
	15
	16
	17
	18
	19
	20
	21
	22
	23
	24
	25
	26
Resolva a mensagem codificada:
	4
	9
	7
	1
	
	14
	1
	15
	
	1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	22
	9
	15
	12
	5
	14
	3
	9
	1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
3- Números naturais e localização:
A partida é sempre o 0.
· O par ordenado de números naturais (3, 4) indica andar 3 para a direita e 4 para cima.
· O par ordenado (4, 3) indica 4 para a direita e 3 para cima.
Números Naturais e Raciocínio Combinatório:
Ex: Usando as letras a e b e os algarismos 1, 2 e 3 forme placas de carro sem repetições.
CAPÍTULO 2: OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM NÚMEROS NATURAIS (ℕ)
2- ADIÇÃO: IDEIAS ASSOCIADAS E ALGORITMOS:
· 1ª ideia: Juntar quantidades.
Ex: 100 e 900 é igual a 1000
· Algoritmo da adição: (alinhamento é da direita para a esquerda).
Parcela + Parcela = Soma/Total
· 2ª ideia: Acrescentar uma quantidade a outra.
Ex: João tem dois picolés e ganhou mais três. Com quantos ficou?
Propriedades da adição:
· Fechamento: a soma de um número natural é sempre um natural
· Comutativa: a + b = c ou b + a = c
· Associativa: (a + b) + c = d ou a + (b + c) = d
· Elemento neutro: a + 0 = a
3- SUBTRAÇÃO: IDEIAS ASSOCIADAS E ALGORITMO:
· 1ª ideia: Tirar uma quantidade de outra.
Ex: Tinha R$ 200,00 gastei 50. Quanto restou?
· Algoritmo da subtração: (alinhamento é da direita para a esquerda)
Minuendo – Subtraendo = Diferença ou Resto.
· 2ª ideia: Completar quantidade:
Quando se quer saber quanto falta para uma quantidade atingir a outra:
Ex: Uma tv custa 1500,00 e tenho 800,00. Quanto falta?
· 3ª ideia: Comparar quantidades:
Ex: Tenho 44 anos e Carlos tem 59. Quantos anos Carlos é mais velho do que eu?
4- MULTIPLICAÇÃO: IDEIAS E ALGORITMO:
· 1ª ideia: Adicionar parcelas iguais.
Ex: 3 x 5 (5+5+5) = 15 
· Algoritmo da multiplicação: (alinhamento é da direita para a esquerda).
· Fator x fator = produto;
· Multiplicador x multiplicando = produto
· 2ª ideia: Disposição retangular.
Ex: Uma sala tem 8 linhas por 6 colunas de acentos.
Propriedades da multiplicação:
· Comutativa: a ordem dos fatores não altera o produto;
· Associativa: (a x b) x c ou a x (b x c) = d
· Distributiva: a x (b + c) = a x b + a x c
· Elemento neutro: a x 1 = a
· Elemento nulo: a x 0 = 0
· Indeterminação... 
3ª ideia: Números de possibilidades ou combinações.
Ex: Numa lanchonete há 4 tipos de sucos: laranja, abacaxi, melancia e uva. Eles são servidos em copos de 3 tamanhos: peq, med e gra. Quantas são as possibilidades de escolhas?
4ª ideia: Proporcionalidade.
Ex: Cada rolo de arame contém 50 m. Quantos m tem 2 rolos, 3 rolos e 15 rolos?
Exercício:
1- Copie e complete a tabela, que apresenta 3 tipos de bermudas e 2 cores:
	
	Vermelha
	Azul
	ba
	
	
	bb
	
	
	bc
	
	
Qual o total de combinações?
2- Se um pacote com 3 canetas custa 8 reais, quanto Eduarda vai gastar na compra de 12 canetas?
5- DIVISÃO: IDEIAS E ALGORITMO:
1ª ideia: Repartir em partes iguais.
Ex: Tenho 15 balas e vou repartir entre mim e dois colegas. Quantos bombons cada um vai receber?
· Algoritmo da divisão: 
 
 D |d_ 
(r) q 
Notação: 15/3 15 15:3
OBS.: Regra... Baixou?!.... Dividiu.
2ª ideia: Quantas vezes uma quantidade cabe na outra.
Ex: Numa granja os ovos são colocados em dúzias nas caixas. Quantas caixas serão usadas para comportar 195 ovos?
Atividade:
1- Em uma campanha a previsão era que 20.000 participassem. No primeiro dia 11640 participaram e no segundo 3264 a menos. Verifique se o objetivo foi atingindo.
2- Numa escola há 8 classes de 35 alunos, 5 classes de 33 e 12 classes de 30. Quantos estudam?
3- Ivo tinha R$ 320,00 para pagar as contas (177 de energia, 58 de e 88 de tel.) e para fazer compras. Quanto restou para as compras?
CAPÍTULO 3- GEOMETRIA: SÓLIDOS GEOMÉTRICOS, ÂNGULOS E POLÍGONOS.
2- SÓLIDOS GEOMÉTRICOS:
Poliedros e Corpos Redondos
· Poliedros: corpos que não rolam
Ex: Pirâmides, Cubos, Prismas e Paralelepípedos.
· Corpos Redondos: corpos que rolam
Ex: Cilindros, Cones e Esferas.
ATIVIDADE:
Planificar os poliedros e corpos redondos.
Partes de um poliedro:
· Face→ lado
· Arestas→ encontro das faces
· Vértices→ cantos
ATIVIDADE:
Informe a quantidade de faces, arestas e vértices.
a) cubo b) pirâmide (b4) c) prisma (b3)
Prismas e Pirâmides:
· Prismas:
São poliedros que possuem 2 bases (2 faces paralelas idênticas) e demais faces laterais retangulares.
Ex1: (bs4)
Ex2: (bs3)
Obs.: os paralelepípedos (prismas/blocos retangulares) fazem parte do grupo dos prismas.
· Pirâmides:
São poliedros que possuem somente uma base com faces laterais triangulares convergentes em um vértice.
Exs: (b3) (b4) (b5) (b6)
EXERCÍCIO:
Responda:
a) Quais são as características comuns a todos os prismas e pirâmide?
b) Como são as faces laterais de todos os prismas e pirâmides?
c) Como podem ser as bases de um prisma e de uma pirâmide?
d) Quantos vértices, faces e arestas têm?
I- Um prisma e uma pirâmide base pentagonal
II- Um prisma e uma pirâmide de base triangular
III- Um prisma e uma pirâmide de base quadrada
3- PONTO, RETA E PLANO:
· Ponto- é indicado por uma letra maiúscula
· Plano- indicado por uma letra grega
· Reta- indicada por uma letra minúscula
Tipos de retas:
· Seguimento de reta: delimitada por dois pontos. 
Ex:
· Semirreta: iniciada por um ponto e sem fim. 
Ex: 
· Reta: sem inicio e nem fim. 
Ex: 
4- ÂNGULOS:
Figura geométrica formada por duas semirretas de mesma origem. 
Ex: 
Indicamos o ângulo da figura acima por rÂh ou hÂr, ou â. As semirretas AR e AH são os lados do ângulo. O ponto A é o vértice.
Giros e Ângulos:
· Giro de uma volta e ângulo de uma volta: ⟳, ↠;
· Giro de meia volta ou ângulo raso: ⟷;
· Giro de ¼ de volta ou ângulo reto: ∟, ⦜;
· Giro de 1/8 ou ângulo de 1/8 de volta: ∡.
· Ângulos retos, agudos e obtusos.
5- RETAS PARALELAS E CONCORRENTES:
· Retasparalelas- quando nunca se cruzam. Exs: ‖, ⫽;
· Retas concorrentes perpendiculares: quando o cruzamento é perpendicular à outra. Exs: ⤬, ⏊, ⍖, ⍏;
· Retas concorrentes oblíquas: quando o cruzamento forma ângulos agudos e obtusos. Exs: ⍀, ⌿, ∤.
8- POLÍGONOS:
São figuras formadas por linhas fechadas e simples
Elementos de um polígono:
Tipos de polígonos: depende do número de lados 
Os principais polígonos são:
· Triângulos/Triláteros:
	Quanto aos ângulos
	Quanto aos lados
	Retângulo 
	Equilátero 
	Obtusângulo 
	Isósceles 
	Acutângulo 
	Escaleno 
Atividade: Classifique os triângulos abaixo quanto aos ângulos e aos lados.
· Quadriláteros:
· Trapézios:
· Paralelogramos:
· Retângulo 
· Losango
· Quadrado
UNIDADE 2: POTENCIAÇÃO E DIVISIBILIDADE:
CAPITULO 4- POTENCIAÇÃO, RAIZ QUADRADA E EXPRESSÕES NUMÉRICAS:
2- POTENCIAÇÃO:
 
É a representação da repetição de um mesmo fator. Formado pela base (fator) e pelo expoente (número de vezes que o fator se repete)
Ex1: 2² (2 x 2) = 4, 
Ex2: 4³ (4 x 4 x 4) = 64, 
Ex3: 7² (7 x 7) = 49, 
Ex4: 2³ (2 x 2 x 2) = 8
Obs.:
· Potência é diferente de produto:
Ex1: 
Ex2: 4 x 3 = 12 ≠ 4³ = 64
Ex3: 6 x 2 = 12 ≠ 6²=36
· Expoente 0 – Todo número elevado a zero é igual a 1: 
Ex1: 20=1, 
Ex2: 190=1, 
Ex3: 580=1, 
· Expoente 1 – Todo número elevado a 1 é igual a ele mesmo: 
Ex1: 3¹=3, 
Ex2: 17¹=17, 
Ex3: 193¹=193
· Potências de base 10- O expoente é igual ao número de zeros: 
Ex1: 10¹=10, 
Ex2: 10²=100, 
Ex3: 10³=1000
· O inverso é feito colocando a quantidade de zeros representados pelo expoente na frente do numeral 1.
Ex1: , 
Ex2: , 
Ex3: 100=10²
· Potência com expoente fracionário (RAIZ):
Ex1: 
Ex2: 
Ex3: 
3- RAIZ QUADRADA:
É um número que ao ser multiplicado por ele mesmo (elevado ao quadrado) resulta no radicando:
 ⟷ 
Ex1: 
Ex2: 
Ex3: 
Ex4: 
4- EXPRESSÕES NUMÉRICAS ENVOLVENDO AS SEIS OPERAÇÕES:
	OPERAÇÕES:
	SÍMBOLOS:
	 POTÊNCIAS e RAÍZES ()
	(PARÊNTESE)
	(x) MULTIPLICAÇÃO e DIVISÃO ()
	[COLCHETES]
	(+) ADIÇÃO e SUBTRAÇÃO (-)
	{CHAVES}
Prioridades:
· Sinais gráficos:
· Parênteses... (cálculos no seu interior);
· Colchetes... [cálculos no seu interior];
· Chaves... {cálculos no seu interior}.
Ex1: 
Ex2: 
· Operações:
· Potências e raízes;
· Multiplicação e divisão;
· Adição e subtração.
Ex1: 
Ex2: 
Ex3: 
Ex4: 50 –{ 15 + [ 4² : ( 10 – 2 ) + 5 x 2 ] }=
 
Ex5: {[(8 · 4 + 3) ÷ 7 + (3 + 15 ÷ 5) · 3] · 2 – (19 – 7) ÷ 6} · 2 + 12=
EXERCÍCIO:
Calcule e observe a diferença entre os resultados:
a) b) 
CAPITULO 5- DIVISORES E MÚLTIPLOS DE NÚMEROS NATURAIS
2- DIVISIBILIDADE:
CRITÉRIOS DE DIVISIBILIDADE:
Divisibilidade por 2:
Todos os números pares: (0, 2, 4, 6, 8).
Ex: 368, 4560, 37
Obs: ímpares: 13579
Divisibilidade por 3:
Quando a soma dos algarismos for divisível por três:
Exs: 3471, 12937.
Obs.: Quando a soma for 3, 6 ou 9.
Divisibilidade por 4:
Quando os dois últimos algarismos formarem um numero divisível por 4:
Exs: 578428, 3748900, 3750742.
Divisibilidade por 5:
Quando terminar em 0 ou 5.
Exs: 374189035, 399147032.
Divisibilidade por 6:
Quando for par e divisível por 3.
Exs: 53427, 106424, 812472.
Divisibilidade por 7:
Ex: 22389651536
Restos da divisão por 7 de cada um dos grupos de 3 algarismos:
 = +1 - 4 + 0 - 4= -7
Obs: Alternar os sinais + e -.
Se o número resultante for divisível por 7, todo o numero será divisível.
Divisibilidade por 8:
Quando os três últimos números formarem um número divisível por oito:
Ex: 3958743328
Divisibilidade por 9:
Quando a soma de todos os algarismos for um número divisível por nove (=regra de 3):Ex2: 307410541
Soma= 25
Ex1: 4901067 
Soma = 27
Divisibilidade por 10:
Quando terminar em zero
Divisibilidade por 11
Quando as somas alternadas e a diferenças de seus resultados for um número divisível por 11:
Ex1: 10832041
Soma alternada de algarismos...
1+8+2+4= 15
0+3+0+1= 4
15-4=11
Ex2: 2357014982
3- DIVISORES DE UM NÚMERO NATURAL:
Ex1: 
Ex2: 
ATIVIDADE:
A quantidade de números inteiros positivos que são simultaneamente divisores de 48 e 64 é:
a) uma potência de 4; b) um número primo;
c) igual a seis; d) igual a oito.
4- NÚMEROS PRIMOS:
ATIVIDADE:
Escreva os divisores de:
a) 16 b) 11 c) 13 d) 42 e) 50
Número primo: é todo número natural maior que 1 que tenha só 2 divisores o 1 e ele mesmo.
Ex: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19...
Obs.1: O 2(dois) é o único número primo que é par.
Obs.2: Número composto: quando ele possui outros divisores além de do 1 e dele mesmo.
Ex: 12, 21, 25...
Como saber se um número natural é primo?
Regra: o número é primo se as divisões sucessivas por números primos resultarem restos diferentes de zero ate que o divisor for maior ou igual ao quociente.
Ex: 143
Atividade:
1- Responda:
a) O 0 é primo? b) O 1 é primo? c) Existe par primo?
2- Diga se é primo: 
a) 15, b)23, c) 41, d) 39, e)27, f)17
Fatoração (decomposição em fatores primos):
Todo número composto pode ser representado por fatores primos.
Exs: 18, 21, 75.
Fatoração (regra pratica):
Ex1: 
Ex2: 
Ex3: 
Quantidade de divisores de número natural: 
Ex1: 6 = 4 divisores
Ex2: 20 = 6 divisores
Ex3: 
Ex4: 
Ex5: Se um número tem exatamente 24 divisores positivos, então esse número é?
a) 180, b) 270, c) 360, d) 420
MÁXIMO/MAIOR DIVISOR COMUM (MDC):
d(18)= {1, 2, 3, 6, 9, 18}
d(30)= {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
mdm(18,30)= 6
ALGORITMO DE EUCLIDES...
MDC(160,64)= 32
	
	2
	2
	160
	64
	32
	32
	0
	
MDC(12,20)=4
	
	1
	1
	2
	20
	12
	8
	4
	8
	4
	0
	
DECOMPOSIÇÃO SIMULTÂNEA EM FATORES PRIMOS:
mdc(90,54)= 2x3²= 18
mdc (70, 90, 120)= 2x5= 10
PROPRIEDADES DO MDC:
p1- O mdc entre dois ou mais números primos é sempre igual a 1.
mdc (11,7)= 1
mdc (23, 17, 5)= 1
Obs.: Números primos entre si: dois números são primos entre si quando o mdc entre eles for igual a 1.
mdc (4, 5)= 1
p2- Se a é divisor de b, então o mdc (a, b)= a:
mdc (6, 18)= 6
mdc (4, 20)= 4
p3- mdc (8, 12)= 4 ou dividir.
p4- Única relação que existe entre o m.m.c. e o m.d.c.:
mmc (a, b).mdc (a, b)= a.b
mmc (12, 18), mdc (12, 18)= 12.18= 216
ATIVIDADE:
1- Pretende-se decorar uma parede retangular com quadrados pretos e brancos, formando um padrão quadriculado semelhante ao de um tabuleiro de xadrez e preenchendo toda a parede de maneira exata (sem sobrar espaços ou cortar quadrados). a figura a seguir ilustra uma parte desse padrão quadriculado.
Considerando-se que a parede mede 8,80 m por 5,50 m, o número mínimo de quadrados que se pode colocar na parede é: 
a) 40 b) 55 c) 70 d) 95 e) 110
2- O número mínimo de cubos de mesmo volume e dimensões inteiras, que preenchem completamente o paralelepípedo retângulo da figura, é?
a) 64 b) 90 c) 48 d) 125 e) 100
5- MÚLTIPLOS DE UM NÚMERO NATURAL:
MÍNIMO/MENOR MÚLTIPLO COMUM (MMC):
Múltiplo: 
Decomposição simultânea em fatores primos:
mmc (8, 12)= 24
mmc (36, 48, 90) = 
Propriedades do mmc:
P1- O mmc entre dois ou mais números primos será sempre igual ao produto entre eles:
mmc (3, 5)= 15
P2- Dados dois ou mais números em que o maior é múltiplo dos outros, o mmc é o maior deles:
mmc (4, 8)= 8
mmc (2, 8, 24)= 24
P3- Se multiplicar por um numero qualquer os números iniciais, o mmc deles também será multiplicado por aquele mesmo numero:
mmc [(8,12)= 24]x5
ATIVIDADES:
1- Dois sinais luminosos acendem juntos num determinado instante. um deles permanece aceso 1 minuto e apagado 30 segundos, enquanto o outro permanece aceso 1 minuto e apagado 20 segundos. a partir desse instante qual o numero mínimo de minutos necessários para que os dois sinaisvoltem a acender juntos outra vez? Assinale a alternativa correta: 
a) 8 b) 10 c) 12 d) 14
2- João ganhou um premio em dinheiro que é superior a R$2.000,00 e inferior a R$2500,00. Se ele contá-lo de 30 em 30 reais ou de 40 em 40 reais ou ainda de 50 em 50 reais sempre sobrará 25 reais. O valor do premio foi de:
a) R$ 2.185,00 b) R$ 2.225,00 c) R$ 2.305,00 d) R$ 2.375,00 e) R$ 2.425,00
3- Maria recebeu alta do hospital, mas devera continuar o tratamento em casa por mais 30 dias completos. para isso, ela deverá tomar o remédio a a cada 4h, o b a cada 5h e o c a cada 6h. em casa, Maria iniciou o tratamento tomando o remédio a, o b e o c no mesmo horário. Supondo que ela atendera rigorosamente as recomendações medicas quanto ao horário da ingestão dos medicamentos, então o numero de vezes em que os três remédios foram ingeridos simultaneamente foi:
a) 12x b) 13x c) 1x d) 6x e)7x
UNIDADE 3: FRAÇÕES E NÚMEROS DECIMAIS:
CAPITULO 6- FRAÇÕES E PORCENTAGENS:
2- ALGUMAS IDEIAS ASSOCIADAS A FRAÇÃO:
FRAÇÃO COMO PARTE DE UMA FIGURA OU OBJETO:
 1 
Notação:
FRAÇÃO COMO COMPARAÇÃO DE DOIS NÚMEROS NATURAIS:
Ex: Um vendedor de balões tem 7 balões: 3 vermelhos, 2 azuis, 1 amarelo e 1 verde. Qual a fração de cada cor.
FRAÇÃO COMO QUOCIENTE DE DOIS NÚMEROS NATURAIS
Ex: Três pessoas saem para comer uma pizza e dividem-na em três. Quanto cada um come?
TIPOS DE FRAÇÕES:
· 1º Frações Próprias: :
Exs: , 3/5, 8/9, 5/8, 
2/4, 12/32, 2/7, ½ .
 
· 2º Fração Imprópria :
Exs: 8/3, 5/4, 4/3, 7/5, 8/6, 4/2, 9/3.
· Obs1: O numerador é sempre uma ou mais vezes maior q o denominador.
Ex1: 
· Obs2. Um número misto é a mesma coisa que uma fração impropria.
Ex3: Ex4: Ex5: 
Ex6: Ex7: Ex8: 
· 3º Fração Aparente: quando é imprópria.
Ex: 
Obs- O numerador é sempre um múltiplo do denominador.
ATIVIDADE:
1- Observe a reta numerada e os pontos assinalados com letras maiúsculas.
Associe cada fração, número misto ou número natural à letra correspondente:
13/3, 1/3, 6/3, ½, 4, , 8/3, 3½ , 3/2
2- Classifique as frações, abaixo em próprias, impróprias ou impróprias aparentes:
6/2_____ 6/7_____ 7/6_____ 9/9____ 1/8____ 
11/2____ 3/9____ 12/3____ 22/5____ 3/4____ 4/2____ 6/2______ 1/3____ 5/4_____ 1 ½ ____
FRAÇÃO DE UM NÚMERO:
Ex: Marcos tem uma dúzia de bananas e vai usar 1/3. Quantas ele vai usar e quantas vão sobrar?
ATIVIDADE:
1- Resolva:
a) 3/7 de 28 
b) 4/9 de 45
c) 2/5 de 40 
d) 1/8 de 184
e) 1/6 de 30
2- Em uma corrida de fórmula 1, somente 15 carros completaram todas as voltas, e esse número equivale a ¾ dos carros que iniciaram a corrida. Quantos carros havia no inicio da corrida? 
3- Maria tem 12 ovos e vai usar 5/6. Quantos ela usará?
4- Calcule quantos carros iniciaram uma corrida de formula Indy, sabendo que os 12 carros que completaram todas as voltas representam 2/3 dos que iniciaram a corrida.
5- Um tanque tem capacidade de 60l. O marcador indica ¾. Quantos litros têm no tanque?
FRAÇÕES E MEDIDAS:
Ex1: 1/5 de h_________
Ex2: ¾ de h______________
Ex3: 1/100 do real_________
Ex4: 1/1000 do litro_______
EXERCÍCIO:
1- Responda:
a) ¼ de h____________ b) 4/5 de h_________
c) 2/3 de h___________ d) 1 ½ de h__________
2- Responda quanto é:
a) ½ de 1km_________ b) ½ de 1h____________
c) ¼ de 1kg____________ d) 1/100 de 1m_______
3- Complete:
a) 3/7 de uma semana são _____dias
b) 2/3 do ano são ____________meses
c) 1/5 do real são _____________centavos
d) ¾ de ton. são ______________kg
4- Que fração de R$ 100,00 corresponde a R$ 25,00?
3- FRAÇÃO EQUIVALENTE:
 ½ 2/4 3/6
Representam a mesma parte do todo.
Simplificação de frações:
Ex1: 
Obs: é irredutível quando o mdc (a, b) =1.
Ex2: 
Redução de frações a um mesmo denominador:
Obs: Tira-se o mmc dos denominadores.
Ex1: Ex2: 
4- COMPARAÇÃO DE FRAÇÃO:
1º Denominadores Iguais:
Ex: 
2º Denominadores diferentes: com o mmc:
Ex: 
Frações Mistas:
Ex1: Ex2: 
5- OPERAÇÕES COM FRAÇÕES:
· ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO:
1º Denominadores iguais:
Ex1: Ex2: 
2º Denominadores diferentes: (fazer m.m.c.)
Obs: método borboleta:
Ex1: 
ATIVIDADE:
Efetue as adições e subtrações a seguir:
a) b) c) 
d) e) f) 
g) h) 
· MULTIPLICAÇÃO:
· Número natural vezes fração (“de” equivale a vezes):
Ex1: Um bolo foi dividido em 8 partes. Pedro comeu 3. Que parte ele comeu?(3 de 1/8)
R= 
Ex2: Ex3: Ex4: 
· Fração vezes número natural:
Ex1: Marcus comprou duas latas de goiabada e separou 1/3. Como ele fez?
R= 
Ex2: Ex3: Ex4: 
· Fração vezes fração:
Ex1: Ex2: 
· DIVISÃO:
· Divisão de fração por um número natural:
Ex1: Ex2: Ex3: 
· Divisão de número natural por fração:
Ex1: Ex2: Ex3: Ex4: 
· Divisão de fração por fração:
Ex1: 
Ex2: 
· POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO:
Ex1: 
Ex2: 
Ex3: 
Ex4: 
ATIVIDADE (resolvida):
1- Seja: , o valor de m é:
a) 68/3 b) 85/12 c) 125/12 d) 20/3
Resolvendo:
 
2- A expressão numérica é equivalente a:
a) 3 b) -3 c) 6 d) -6 e) 1/2
Resolvendo:
 
3- Uma fração unitária e uma fração da forma , onde n é um numero natural. Uma fração escrita como soma de frações unitárias é denominada fração egípcia. Por exemplo . A soma é a representação egípcia de qual fração?
a) 71/120 b) 3/71 c) 17/60 d) 19/40 e) 17/30 
Resolvendo:
4- Certa rede comercial fez uma pesquisa para saber quais os tipos de calçado mais usados pela população da cidade em que pretendia instalar uma nova loja. Das pessoas ouvidas, um terço usa mais sandália, um quarto usa mais tênis, um quinto usa mais sapato e as 65 restantes usam mais outros tipos de calçado. Com base nesses dados, pode-se afirmar que o número de pessoas ouvidas nessa pesquisa foi?
a) 240 b) 300 c) 360 d) 420 
Resolvendo:
x= nº pessoas
mmc = (3,4,5) = 60
ATIVIDADE:
1- Responda as seguintes expressões numéricas:
2- Resolva:
a) ½:1/4 b) 2/5:4/5 c) 5:2/3 d) 5/6:3/7
e) 2/7:3 f) 3/5:8/9 g) 3/8:2/5 h) 1 2/3 :5
3- Determine o valor das expressões numéricas:
a) b) 
6- PORCENTAGEM:
As porcentagens correspondem a frações de denominadores 100 equivalentes:
Ex1: Represente as frações em forma de porcentagem escreva como se leem as porcentagens:
a) 5/100 b) 20/100 c) 80/100 d) 50/100
Ex2: Escreva em fração as porcentagens abaixo:
a) 10% b) 2% c) 6% d) 100%
Ex3: Escreva a fração correspondente em sua forma mais simples:
a) 40% b) 25% c) 50% d) 20%
Ex4: Escreva na forma de porcentagem:
a) 4/5 b) 2/10 c) ¼ d) 3/25 
Cálculo da porcentagem de um número:
Ex: Numa sala de 35 alunos 80% foram para uma excursão. Quantos ficaram?
CAPITULO 7- NÚMEROS DECIMAIS:
1- INTRODUÇÃO
2- DÉCIMOS, CENTÉSIMOS E MILÉSIMOS NOS NÚMEROS DECIMAIS:
3- NÚMEROS DECIMAIS E SISTEMA DE NUMERAÇÃO DECIMAL:
Fração decimal :
Os denominadores são potencias de 10:
Ex: 
 
Numeral decimal:
Indica um número não inteiro: 5,28; 0,384; 54,8954
Transformação de numeral decimal em fração decimal:
Ex1: 47,32 Ex2: 0,023=
Transformação de fração decimal em numeral decimal:
Ex1: Ex2: 
Propriedades:
P1- 4,23=4,230=4,2300=4,23000 ...
P2- 4,236x10= 42,36
 4,236x100=423,6
 0,048x1000=48,0=48P3- 361,7/10=36,17
 361,7/100=3,617
 35,6/1000=0,0356
4- COMPARAÇÃO DE NÚMEROS DECIMAIS:
Ex: 
5- OPERAÇÕES COM NÚMEROS DECIMAIS
Adição e Subtração:
Ex1: 
Ex2: 
Multiplicação com decimais:
Ex1: 4,3x28,74=123,582
Ex2: 15,43x10,16=156,7688
Divisão de decimais: 
Ex: = 1,8
Obs: Completar as casas decimais com zeros de modo que fiquem com mesma quantidade de números.
2,835/5,25 ⇔ 2835/5250=0,54
Atividade:
1- (UFPR) Um dia sideral corresponde ao tempo necessário para que a terra complete uma rotação em torno do seu eixo relativo a uma estrela fixa no espaço sideral, nos possibilitando aferir um tempo de aproximadamente 23,93447 h. o dia solar médio é o tempo correspondente a uma rotação da terra, em que vemos o sol voltar a sua posição no céu após um tempo de 24 h. a diferença entre o dia sideral e o dia solar médio é de: 
a) 3 min e 45 s. 
b) 6 min e 55 s.
c) 6 min e 56 s. 
d) 3 min e 56 s. 
e) 3 min e 30 s
2- É no carnaval que os catadores de lata mais
lucram. Em cinco dias de festa, eles arrecadaram cerca de 50% da média de latas coletadas por mês. Segundo a prefeitura da cidade do Rio de Janeiro, 80 catadores cooperativados fizeram a coleta seletiva no sambódromo e no terreirão do samba nos cinco dias de festividades carnavalescas, coletando cerca de 400 000 latinhas de alumínio. As empresas de reciclagem, este ano, pagaram, em média, r$ 2,50 por quilograma de lata de alumínio.
Se a massa de cada lata de alumínio é de 14,5 gramas, pode-se afirmar que cada catador recebeu, em reais, aproximadamente,
a) 18,12. 
b) 86,20. 
c) 181,25. 
d) 862,07. 
e) 1 812,50.
DÍZIMAS PERIÓDICAS
Números Decimais:
EXATOS: 
DÍZIMAS PERIÓDICAS: 0,333...= 
Obs: Números Racionais 
IRRACIONAIS= (não pode ser escritos na forma de fração). 
Ex1: (
Ex2: 
CLASSIFICAÇÃO:
1- Simples: 1,424242...= 
2- Composta: 1,34242...
FRAÇÃO GERATRIZ:Ex2: x=0,484848... 
100x=48+0,4848...
100x=48+x
100x-x=48
99x=48
 0,1787878... 
= 0,178 
Ex1: 0,222...=0,2
x=0,222......*(10)=
10x=2,222...=
10x=2+0,222...
10x=2+x(0,222...)
10x-x=2
9x=2
X=
UNIDADE IV: GRANDEZAS E MEDIDAS:
CAPITULO 8: EXPLORANDO A IDEIA DE MEDIDAS:
2- GRANDEZAS, UNIDADES DE MEDIDA E INSTRUMENTOS DE MEDIDA:
3- A IDEIA DE MEDIDA E AS VÁRIAS GRANDEZAS:
Grandeza comprimento: m 
Grandeza superfícies: m² 
Grandeza volume: m³ 
Grandeza Capacidade: l
Grandeza massa: g
4- MEDIDA DE TEMPO: h, min e seg.
	
	HORA
	MINUTO
	SEGUNDO
	HORA
	
	60
	3600
	MINUTO
	60
	
	60
	SEGUNDO
	3600
	60
	
5- UNIDADES PADRONIZADAS DE MEDIDAS 
	k
1000
	h
100
	da
10
	UP
1
	d
0,1
	c
0,01
	m
0,001
	km
	hm
	dam
	m
	dm
	cm
	mm
	kg
	hg
	dag
	g
	dg
	cg
	mg
	kl
	hl
	dal
	l
	dl
	cl
	ml
	km²
	hm²
	dam²
	m²
	dm²
	cm²
	mm²
	km³
	hm³
	dam³
	m³
	dm³
	cm³
	mm³
CAPITULO 9: PERÍMETROS, ÁREAS E VOLUMES.
2- PERÍMETRO: 
É a soma das medidas do comprimento dos seus lados.
	 REGIÃO RETANGULAR
	
	ÁREA DE UMA REGIÃO QUADRADA
	
	PARALELOGRAMO
	
	TRIÂNGULO
	
	TRAPÉZIO
	
	LOSANGO
	
APOSTILA
 
 
DE
 
 
 
MATEMaTICA
 
 
4ª ETAPA
 
6º
ano
 
 
 
 
 
 
CPAMCO
 
G3ΠI
v
ΔI
 
LUIS ROBERTO DANTE
 
COLEÇÃO PROJETO TELARES
 
2016
 
APOSTILA 
 
DE 
 
 
MATEMaTICA 
 
4ª ETAPA 
6ºano 
 
 
 
 
 
CPAMCO 
G3ΠIvΔI 
LUIS ROBERTO DANTE 
COLEÇÃO PROJETO TELARES 
2016