ANBIMA Gestão do Risco de Mercado - VAR de instrumentos não lineares

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Gestão do Risco de Mercado 
VAR de Instrumentos não 
Lineares 
Educação Continuada ANBIMA 
 Data: 24/01/2019 
 
 
 
 
 
 
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Sumário 
VAR DE INSTRUMENTOS NÃO LINEARES ............................................................................... 3 
4.1. INTRODUÇÃO ................................................................................................................ 3 
4.2. OPÇÕES ........................................................................................................................ 3 
4.3. APREÇAMENTO (PRICING) DE OPÇÕES - O MODELO DE BLACK & SCHOLES ...................... 5 
4.4. MEDIDAS DE SENSIBILIDADE DAS OPÇÕES - AS LETRAS GREGAS ..................................... 7 
4.5. O MÉTODO DELTA-NORMAL .......................................................................................... 8 
4.6. O MÉTODO DELTA-GAMA-NORMAL ............................................................................. 12 
4.7. SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO ................................................................................... 13 
4.8. COMPARAÇÃO ENTRE AS METODOLOGIAS .................................................................. 15 
4.9. REFERÊNCIAS .............................................................................................................. 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
 
VAR DE INSTRUMENTOS NÃO LINEARES 
4.1. INTRODUÇÃO 
Até o momento, supusemos que a sensibilidade da carteira, ou mesmo de um simples 
ativo em relação a um fator de risco, fosse igual a 1, ou seja, admitimos que, dada uma 
variação no fator de risco, a carteira respondia percentualmente de forma idêntica. 
Essa situação é particularmente verdadeira quando tratamos de ações no mercado à 
vista. Porém, no caso de opções e ativos atrelados à taxa de juros, essa hipótese não é 
verdadeira. 
Uma solução consiste em fazer uma aproximação de primeira ordem de modo que a 
carteira se comporte, dentro de certa margem de erro, como uma função linear dos 
fatores de risco. Dessa forma, podemos ainda fazer uso dos modelos paramétricos. 
Essa abordagem é conhecida como método Delta-Normal. Outra solução consiste em 
usar a técnica de simulação de Monte Carlo. Antes de estudarmos o método Delta-
Normal e a simulação de Monte Carlo, façamos um rápido estudo dos contratos de 
opções. 
 
4.2. OPÇÕES 
Um derivativo é, em termos gerais, um contrato bilateral ou um acordo de troca de 
pagamentos cujo valor deriva, como seu nome indica, do valor de um ativo-objeto 
referenciado em uma taxa ou em um índice. Nos dias de hoje, uma transação com 
derivativos cobre vasta gama de ativos-objetos: taxa de juros, câmbio, valor de 
mercadorias e outros índices. 
Os derivativos podem ser vistos como uma maneira de controlar o risco de taxa de 
juros, moedas, ações, commodities, risco de crédito e inflação. A ideia chave por trás 
de um derivativo é que você pode comprar ou vender o risco de um ativo-objeto sem 
ter que, necessariamente, negociá-lo. 
Os principais produtos derivativos são os contratos futuros, contratos a termo, swaps e 
opções. Os três primeiros representam uma compra ou venda incondicional do risco. 
As opções são diferentes, pois permitem uma negociação condicional. 
Mais precisamente, uma opção é direito negociável de compra ou venda de um ativo, 
denominado de ativo-objeto, a um preço futuro determinado. Dependendo do tipo de 
direito, existem dois tipos básicos de opções: 
- Opções de compra (call) 
- Opções de venda (put) 
Outras formas mais complexas podem ser tratadas como combinações desses tipos 
básicos. 
 
 
 
 
 
4 
 
Uma opção de compra é o direito de comprar uma certa quantidade de um ativo-
objeto, pagando um preço de exercício especificado em, ou antes de, uma certa data. 
Uma opção de venda é o direito de vender uma certa quantidade de um ativo-objeto 
por um preço de exercício especificado em, ou antes de, uma certa data. 
O comprador de uma opção, também conhecido como titular, possui o direito – não a 
obrigação – de fazer a transação. Por exemplo, o dono de uma opção de compra tem o 
poder de escolher se compra ou não o ativo-objeto. Sendo do seu interesse, ele pode 
exercer a opção, comprando o ativo-objeto pelo preço de exercício. Mas veja: ele não 
tem obrigação de comprar o ativo; se desejar, pode não comprá-lo, sem qualquer 
penalidade. É esse elemento da escolha que define a característica de uma opção. Já o 
vendedor da opção, também chamado de lançador, tem obrigação de realizar a 
transação, caso seja essa a escolha do comprador. Em compensação, o lançador 
recebe um pagamento na abertura do contrato, conhecido como prêmio, para 
conceder ao titular tal direito. 
Note que o termo “exercer” tem um significado muito importante nesse contexto. O 
detentor de uma opção exerce-a, informando ao vendedor que quer fazer a transação 
previamente pactuada. O vendedor deve, então, cumprir a obrigação acordada no 
contrato de opção. 
O preço pelo qual o ativo-objeto será negociado, se houver exercício, é fixado nos 
termos do contrato, sendo conhecido como preço de exercício ou strike price. A 
maioria das opções especifica um único preço de exercício, embora arranjos mais 
complexos não sejam incomuns. Em alguns contratos, o strike muda com o tempo, de 
acordo com certas condições. O importante é que as regras para determinar o preço 
de exercício e todos os outros termos da transação estejam fixados no contrato de 
opção. 
Por fim, como nós vimos, o acordo da opção determina uma data de vencimento que 
fixa o período de tempo durante o qual o titular pode escolher entre fazer ou não a 
negociação. Há dois tipos básicos de opções, que diferem pelas condições de exercício 
por parte do comprador. Uma opção americana é aquela que, contratualmente, pode 
ser exercida em qualquer data até o vencimento; já uma opção europeia só permite o 
exercício na data de vencimento. 
Um exemplo de contrato de opção bastante comum no Brasil é o de opção de compra 
de ações, negociado no segmento Ibovespa da B3. Uma série constitui-se de opções do 
mesmo tipo (compra ou venda) lançadas sobre o mesmo ativo-objeto, tendo a mesma 
data de vencimento e o mesmo preço de exercício. Por exemplo, tomemos uma série 
de opções de uma determinada ação com vencimento em 15/01/18 e preço de 
exercício de R$ 28,00. No fechamento do dia 04/12/17, o prêmio estava cotado a 
R$ 1,47. Isso nos diz que, para um investidor adquirir o direito de comprar em 
04/12/17 uma ação no mercado à vista por R$ 28,00 no dia 15/01/18, ele teria que 
apregoar nos sistemas eletrônicos de negociação da B3, por intermédio de uma 
corretora, R$ 1,47. Suponha que, no vencimento (15/01/18), o preço da ação à vista 
seja de R$ 32,00. Então o investidor exercerá seu direito, comprando a ação do 
vendedor por R$ 28,00 e, caso não deseje mantê-la em sua carteira, irá a mercado 
 
 
 
 
 
5 
 
vendê-la por R$ 32,00, perfazendo um lucro total de 32,00 – 28,00 – 1,47 = R$ 2,53. 
Porém, se a cotação da ação à vista for de R$ 26,00, ao investidor não interessará fazer 
uso de seu direito, uma vez que será mais interessante ir diretamente no mercado à 
vista e adquirir a ação. 
 
4.3. APREÇAMENTO (PRICING) DE OPÇÕES - O MODELO DE BLACK & SCHOLES 
Os modelos de apreçamento de opções foram originalmente desenvolvidos usando-se 
métodos matemáticos avançados que dificultavam seu entendimento. Esses modelos, 
de resposta rápida, fornecem o preço das opções como função do preço do ativo-
objeto, preço de exercício da opção, taxa de juros livre de risco, prazo de vencimento 
da opção e volatilidade do ativo-objeto. Alguns desses parâmetros são facilmente 
observados no mercado, possibilitando a ampla utilização dos modelos. Os principais 
modelos de apreçamento de opções são o de Black & Scholes e o Binomial. 
Apresentaremos aqui somente o primeiro, por ser o método mais popular e utilizadopara opções europeias. 
O modelo de Black & Scholes foi o precursor das teorias de valoração para determinar 
o prêmio de opções de compra e venda europeias sobre ações sem dividendos. Hoje já 
há derivações desse mesmo modelo para opções americanas e para ações que pagam 
dividendos. Vamos fazer apenas uma breve descrição do modelo, pois o que mais 
interessa para o nosso trabalho é dar uma ideia de sua utilização, e não a discussão 
teórica. Para a demonstração da equação, é necessário o conhecimento do cálculo 
estocástico. 
 
Se S1, S2, S3, ..., Sn são os preços do ativo observados em n dias, então podemos 
estimar  pela seguinte expressão: 
 
.
ln
,
1
1
1
1
1
2
n
u
u
S
S
u
uu
n
n
i
i
i
i
i
n
i
i


















e
onde
 
:

 
 
A expressão acima nos fornece o valor da volatilidade ao dia; para obtermos o valor da 
volatilidade ao ano, basta multiplicar o resultado obtido pela raiz quadrada do número 
de dias úteis no ano (252). O número ui é conhecido como retorno geométrico do 
ativo. 
 
 
 
 
 
6 
 
Além disso, o modelo assume que os preços dos ativos se movimentam de maneira 
contínua sendo, portanto, necessário transformar a taxa Rf em sua forma contínua. 
Essa transformação é feita por: 
 
 )](1ln[)( discretaRcontínuaR ff  . 
 Equação (4.1) 
 
A taxa de juros composta continuamente é usada em modelos teóricos de finanças; já 
a taxa composta discretamente é aquela usada no dia a dia. 
Por exemplo, se o Copom (Comitê de Política Monetária) anuncia que a Taxa Selic 
Meta é 6,75%, então a taxa de juros livre de risco composta continuamente é 
ln=(1+6,75%)=6,53%. Para derivar a Equação 4.2 abaixo, os autores assumiram que: 
- A distribuição probabilística do preço do ativo-objeto em uma data futura é 
log-normal 
- A taxa de juros é constante ao longo de toda a vida da opção 
- O ativo-objeto não paga dividendos 
- A volatilidade é constante 
Evidentemente que na maioria dos casos essas hipóteses só são válidas de forma 
aproximada, porém o modelo demonstrou resultados eficientes em muitas situações. 
As fórmulas para cálculo dos valores de opções de compra (C) e venda (P) do tipo 
europeu sobre um ativo que não paga rendimentos apresentadas por Black & Scholes 
são: 
𝐶 = 𝑆 .(𝑑1 ) − 𝐾𝑒
−𝑅𝑓.𝑇 .(𝑑2 ) e 𝑃 = 𝐾𝑒
−𝑅𝑓.𝑇 .(−𝑑2 ) − S.(−𝑑1 ) 
 
 
 Equação (4.2) 
Nessa expressão: 
 é a função de distribuição normal padrão acumulada 
 é a volatilidade do logaritmo dos retornos do ativo-objeto (retorno 
geométrico) 
S é o preço do ativo-objeto no mercado à vista 
T é o prazo da opção 
Rf é a taxa de juros livre de risco capitalizada continuamente 
 
 
 
 
 
7 
 
4.3.1. Volatilidade implícita 
Um conceito muito importante derivado de um modelo de apreçamento de opções é a 
volatilidade implícita. Por definição, volatilidade implícita é aquela que, quando 
imputada em uma equação de apreçamento de opções, faz com que o prêmio teórico 
seja igual ao prêmio negociado no mercado. Infelizmente, não existe uma fórmula 
analítica para cálculo da volatilidade implícita, sendo necessário usar métodos 
numéricos para conhecer seu valor. 
 
4.4. MEDIDAS DE SENSIBILIDADE DAS OPÇÕES - AS LETRAS GREGAS 
O preço das opções se comporta de forma não linear com a variação dos fatores 
determinantes de seu prêmio. Ao efeito da variação de cada um desses fatores no 
valor da opção, é dado o nome de medida de sensibilidade (comumente chamado de 
letras gregas). 
Com a ajuda da fórmula de Black & Scholes, podemos derivar essas medidas. Devemos 
atentar para o fato de que as medidas não são constantes e as fórmulas calculam as 
sensibilidades para determinado ponto com os demais fatores mantidos constantes 
(derivada parcial). 
A Tabela 1 apresenta as letras gregas para opções de compra e de venda. Na tabela, ’ 
é a derivada de . 
Medida Definição Opção de compra Opção de venda 
Delta () 
Taxa de variação do 
prêmio relativo a 
variações no ativo-
objeto 
 )( 1dC  )( 1dP  
Gama () 
Taxa de variação do 
delta relativo a 
variações no ativo-
objeto 
TS
d
C 
)( 1
'
 
TS
d
P 
)( 1
'
 
Teta () 
Taxa de variação do 
prêmio relativo a 
variações no tempo 
2
)(
22
C
CfC
S
SCR



 
2
)(
22
C
CfC
S
SCR



 
Vega () 
Taxa de variação do 
prêmio relativo a 
variações na 
volatilidade do ativo-
objeto 
)( 1
' dTSC  )( 1
' dTSP  
Rhô () 
Taxa de variação do 
prêmio relativo a 
variações na taxa de 
juros 
)( 2dKTe
TR
C
f 

 )( 2dKTe
TR
P
f 

 
Tabela 1 - Letras gregas 
 
 
 
 
 
8 
 
 
4.4.1. Delta 
Indubitavelmente, a letra grega mais importante é o delta. O delta indica a 
sensibilidade do prêmio da opção a variações no preço do ativo-objeto. De modo 
aproximado, podemos dizer que, para pequenas variações no preço do ativo-objeto, a 
variação no prêmio será de aproximadamente delta vezes o valor da variação no preço 
do ativo-objeto. Por exemplo, suponha que: 
- Uma ação esteja cotada a R$ 100,00 
- O prêmio de uma opção de compra sobre essa ação seja de R$ 5,00 
- O delta da opção seja ½ 
Se o preço da ação variar para R$ 102,00, então o prêmio varia aproximadamente 
R$ 1,00 (metade da variação do preço do ativo); logo, o novo prêmio é 
aproximadamente igual a R$ 6,00. Opções com delta próximo de 1 são muito sensíveis 
a variações no preço do ativo-objeto. Já opções com delta próximo de zero sofrem 
pouca influência de flutuações no preço do ativo-objeto. 
 
4.4.2. Gama 
O gama é a variação do delta, dada uma pequena variação no preço do ativo-objeto. 
Ele é útil quando trabalhamos com aproximações de segunda ordem. No Capítulo 3, já 
havíamos usado esse conceito. A duration fornecia uma aproximação de primeira 
ordem para a variação percentual no preço de um título de renda fixa, dada uma 
pequena variação na taxa de juros. A aproximação de segunda ordem (de melhor 
qualidade) foi feita com o uso da convexidade. 
A história aqui se repete: quando queremos aproximar a variação no prêmio de uma 
opção utilizando apenas o delta, estamos fazendo uma aproximação de primeira 
ordem, que apresenta uma boa qualidade somente quando a variação no preço do 
ativo-objeto é pequena. Já quando incluímos nos cálculos o termo de segunda ordem 
(gama), a qualidade da aproximação melhora substancialmente. 
Duas observações são necessárias em relação às medidas de sensibilidade: 
- As fórmulas apresentadas na Tabela 1 são válidas desde que o prêmio da 
opção obedeça à Equação 4.1, isto é, que os pressupostos do modelo de Black 
& Scholes sejam válidos 
- Apesar de termos definido as medidas de sensibilidade para opções, essas 
medidas podem ser generalizadas para qualquer portfolio ou ativo 
 
4.5. O MÉTODO DELTA-NORMAL 
A sensibilidade de uma carteira a um dado fator de risco é a variação no valor da 
carteira, dada uma variação muito pequena no fator de risco (por exemplo, de 1%). A 
sensibilidade de uma carteira formada por uma única opção em relação ao ativo-
 
 
 
 
 
9 
 
objeto é o delta da opção. No Capítulo 3, vimos que a sensibilidade de uma carteira 
formada exclusivamente por um título de renda fixa é a duration do título. 
Com essas ideias em mente, podemos aproximar o VaR de uma posição em opções 
pelo VaR de uma posição composta pelo ativo-objeto em valor igual a  vezes a 
posição em opções. Portanto, supondo que as condições de derivação da Equação 2.4 
são válidas, temos: 
 10 zXVaRopção . 
Equação (4.3) 
 
Na equação anterior, X0 é o número de contratos de opções, multiplicado pela cotação 
da ação, e  é a volatilidade do retorno do ativo-objeto. 
Para o VaR de uma posição comprada em um título de renda fixa, temos: 
 


 10
)1(
zX
i
DMac
VaRjuros . 
Equação (4.4) 
 
Supondo pagamento único no vencimento (isto é, um título que não paga cupons), 
temos DMac = T, em que T é o prazo do título. Logo: 
 


 10
)1(
zX
i
T
VaRjurosEquação (4.5) 
 
Nas Equações 4.4 e 4.5: 
 é a volatilidade da taxa de juros para o prazo do título, expressa na unidade 
de tempo da duration ou do prazo do título conforme o caso (em geral, 
anualizada) 
X0 é o valor marcado a mercado do título 
i é a yield do papel, expressa em unidade de tempo consistente com T e  (em 
geral, a taxa é reportada em termos anuais) 
Se estivéssemos trabalhando com capitalização contínua, a Equação 4.5 se resumiria a: 
 
 10 zTXVaRjuros , 
Equação (4.6) 
 
 
 
 
 
10 
 
 
Na equação anterior,  é a volatilidade da taxa de juros, capitalizada continuamente, 
para o prazo do título. 
Se o título possuísse pagamentos intermediários, deveríamos tratá-los como fontes de 
risco diferentes. Calcularíamos o VaR desse título como se fosse uma carteira formada 
por diversos títulos sem pagamentos intermediários, cada um deles de valor e prazo 
igual ao dos respectivos cupons. Observe que seria necessário incluir o efeito da 
correlação entre as taxas de juros de prazos diferentes. 
A seguir, apresentaremos dois exemplos numéricos do cálculo do VaR pelo modelo 
Delta-Normal. O primeiro calcula o VaR para uma LTN (Letra do Tesouro Nacional) e o 
segundo calcula o VaR para uma carteira com opções. 
 
4.5.1. VaR de uma LTN pelo método Delta-Normal 
Considere uma carteira formada por um lote de mil LTNs emitidas em 10/04/17 e com 
vencimento em 01/10/18. Calculemos o VaR dessa LTN com um nível de confiança de 
95% ao final do dia 10/07/18. O prazo para o vencimento da LTN é de 60 dias úteis. 
Como a LTN não paga cupons, podemos usar a Equação 4.5. 
A partir da série histórica de yields para o prazo de 60 dias, empregamos a função 
DESVPAD do MS Excel para estimar a volatilidade utilizando uma janela de 50 dias. A 
yield da LTN também pode ser obtida nessa série: ela corresponde ao valor da taxa de 
juros para 60 dias úteis na data-base (10/07/18). Os dados do problema são: 
 
 
.238,0
252
60
%465,0
58,380.949
100/38,241
1000
1000
..%38,24
65,1%5
252/600
1






 
T
X
aai
z

 
 
 
Portanto, 
37,394.1$%465,065,158,380.949
%38,241
238,0
RVaR 

 
 . 
4.5.2. VaR de uma carteira de opções pelo método Delta-Normal 
Vejamos, agora, um exemplo de cálculo do VaR em uma carteira com opção. Nesse 
exemplo, admitiremos que o risco da opção devido a mudanças na taxa de juros e na 
 
 
 
 
 
11 
 
volatilidade do ativo objeto é desprezível. Considere uma carteira composta em 
04/12/2017 pelos seguintes ativos: 
 
- Ação A: 10.000 ações adquiridas no mercado à vista 
- Ação B: 20.000 opções de compra, com preço de exercício de R$ 28,00, data 
de exercício 20/01/2018 e 31 dias úteis até o vencimento 
 
Nesse dia, o mercado fechou com os seguintes preços: 
 
Mercado à vista 
- Ação A: R$ 45,00 
- Ação B: R$ 27,35 
Mercado de opções 
- Ação B: prêmio = R$ 1,47 
 Taxa de juros à vista para o prazo de 31 dias 
 - 23,83% a.a. 
Utilizando o modelo EWMA de estimação de volatilidade, podemos calcular as 
volatilidades e a correlação entre os preços da ação A e da ação B: 
Volatilidade ação B: 2,22% 
Volatilidade ação A: 2,23% 
Correlação ação A e ação B: 77,53% 
O primeiro passo consiste em calcular o delta para a opção da ação B, já que, para a 
ação A, sabemos que a sensibilidade é 1. Para determinar o valor do delta dessa opção, 
precisamos dos valores de Rf (taxa de juros livre de risco na forma de capitalização 
contínua) e de  da ação B (volatilidade implícita). 
O valor de Rf é facilmente obtido, transformando-se a taxa discreta em taxa de 
capitalização contínua: 
 
Rf = ln(1 + taxa_discreta) = ln(1 + 23,83%) = 21,37% 
 
O valor da volatilidade implícita é aquele que, aplicado à função de cálculo do prêmio 
da opção por Black & Scholes, retorna o valor do prêmio praticado no mercado. Por 
um processo iterativo, podemos encontrar o valor dessa volatilidade. Utilizando a 
ferramenta Atingir Meta do MS Excel, para atingir o valor de mercado da opção (R$ 
1,47), chegamos à volatilidade implícita dessa opção: 
 
 = 2,36%. 
 
 
 
 
 
12 
 
 
Portanto, o delta da opção é: = (d1) = 53,47% 
 
Dados os parâmetros anteriores, podemos agora calcular o VaR de cada um dos 
papéis. Para a opção da ação B, temos: 
 
X0 = 20.000.000  27,35 / 1.000 = 547.000 
 
Utilizando a Equação 4.3 e considerando um intervalo de confiança de 95%: 
 
VaR = 547.000  53,47%  1,65  2,22% = 10.712 
 
Para a ação A, temos: 
 
X0 = 10.000  45,00 = 450.000 
VaR = 450.000  1,65  2,23% = 16.558 
 
Utilizando a Equação 2.8, obtemos o VaR da carteira: 
 
.767.52 575.16700.107753,02575.16700.10 $R22 CVaR 
 
4.6. O MÉTODO DELTA-GAMA-NORMAL 
O método Delta-Normal consiste em aproximar a variação no preço de um ativo até o 
termo de primeira ordem (delta, no caso de opções, e duration, para títulos de renda 
fixa). Seguindo essa linha de raciocínio, é intuitivo estender tal aproximação a termos 
de ordem superiores. A aproximação de segunda ordem é conhecida como 
aproximação Delta-Gama-Normal. 
Considere uma opção de compra europeia sobre uma ação. Admitindo que as 
condições de derivação da Equação 2.4 são válidas e acrescentando a hipótese 
adicional de que o quadrado da variação do preço do ativo no dia seguinte seja 
também distribuído normalmente, pode-se mostrar que o VaR fornecido pela 
aproximação Delta-Gama-Normal é: 
 
42222 )2/1(  SnSVaR  
 
 
 
 
 
13 
 
Equação (4.7) 
Onde: 
n = o número de contratos de opção 
 = o delta da opção 
 = gama da opção e S é o preço de fechamento da ação 
 
O método Delta-Gama-Normal apresenta um sério problema teórico: se a variação no 
preço do ativo é normalmente distribuída, então o seu quadrado tem distribuição chi-
quadrado com um grau de liberdade e não normal. Essa deficiência lógica pode levar a 
sérios problemas na estimação do VaR. 
 
4.7. SIMULAÇÃO DE MONTE CARLO 
O método Delta-Normal (e também o Delta-Gama-Normal) é uma tentativa de adaptar 
o modelo paramétrico a carteiras que possuam ativos que são funções não lineares 
dos fatores de risco. Porém, em carteiras com muitas opções ou quando a instituição 
adota elevados níveis de confiança, essa abordagem pode não ser satisfatória. 
Uma solução para esse problema consiste em empregar a técnica de simulação 
histórica, que reproduz o comportamento da carteira segundo uma série de cenários 
passados. No entanto, em muitas situações, a distribuição passada não é boa para 
antecipar a distribuição futura dos retornos do ativo ou da carteira. Nesse caso, a 
solução é simular uma distribuição. O método de simulação de cenários mais 
empregado é a simulação estruturada de Monte Carlo. 
A primeira etapa da simulação de Monte Carlo consiste em gerar cenários aleatórios 
para o preço futuro dos ativos da carteira, levando em conta a volatilidade e a 
correlação dos fatores de risco que afetam o preço da carteira. Vamos, por hipótese, 
admitir que as variações nos fatores de risco seguem uma distribuição normal. Essa 
etapa pode ser subdivida nos seguintes passos: 
1. Gerar números aleatórios com distribuição uniforme no intervalo [0, 1] 
2. Transformar os números aleatórios z gerados com distribuição uniforme na 
distribuição desejada (no caso, a normal). Isso pode ser feito utilizando a 
inversa da função de distribuição normal. Ou seja, devemos calcular y tal que 
   )(1 zy , onde 1 representa a inversa da função de distribuição 
acumulada da normal padrão,  e  são, respectivamente, estimativas do 
retorno médio e da volatilidade do fator de risco que estamos simulando 
3. Incorporar as volatilidade e correlações entre os fatores de risco. Esse passo 
requer uma operação matemática conhecida como transformação de Cholesky. 
 
 
 
 
 
14 
 
Para detalhes sobre a decomposição de Cholesky1, veja a referência citada. 
 
Obtidos esses valores, reavaliamos a carteira para cada um dos casos e definimos a 
distribuição do retorno da carteira,como fizemos para a simulação histórica. No caso 
de opções sobre ações, é comum empregar a fórmula de Black & Scholes para reavaliar 
o valor da carteira em cada um dos cenários gerados. Normalmente, simula-se um 
grande número de cenários, na casa dos milhares. 
Por fim, calcula-se o percentil correspondente ao nível de confiança adotado para a 
série de dados obtida pela reavaliação da carteira em cada um dos cenários gerados. 
Modelar e implementar essa técnica é uma tarefa complicada e possui um grande risco 
de modelagem. A principal diferença entre a simulação de Monte Carlo e a histórica é 
a determinação dos cenários a serem empregados para se definir as variações dos 
fatores determinantes dos preços dos ativos da carteira. 
Vejamos um exemplo simples. No Módulo 2, calculamos o VaR de um dia para uma 
posição comprada de 10 mil ações. As estimativas do retorno esperado e da 
volatilidade obtidas naquela ocasião foram:  = 0,015% e  = 3,027% 
Usando esses dados, podemos simular diversos cenários para o preço de fechamento 
no dia seguinte. A Tabela 2 apresenta uma possível simulação. A segunda coluna da 
tabela apresenta o número aleatório gerado entre [0, 1]. A terceira coluna contém o 
retorno simulado para a ação. A quarta coluna apresenta o preço simulado para a ação 
em função do retorno simulado na coluna 3. A quinta coluna contém a variação 
simulada na carteira. O VaR para um nível de confiança de 95% é obtido tomando-se o 
5% percentil da última coluna da Tabela 2. Isto é, VaR = R$ 20.725. 
 
Cenário z y 
Preço da 
ação 
Variação da 
carteira 
1 0,33933 -1,24% 44,44 -5.575,85 
2 0,7558 2,11% 45,95 9.505,32 
3 0,94547 4,87% 47,19 21.895,49 
4 0,70625 1,66% 45,75 7.456,73 
5 0,31251 -1,46% 44,34 -6.589,79 
6 0,42058 -0,59% 44,73 -2.662,36 
7 0,73388 1,91% 45,86 8.575,15 
... ... ... ... ... 
2000 0,79459 2,50% 46,13 11.270,46 
Tabela 2 – Simulação de Monte Carlo para a ação 
 
 
1 Referências: https://craftmind.wordpress.com/2015/03/11/decomposicao-cholesky/ ou 
http://prorum.com/?qa=2874/o-que-e-a-decomposicao-de-cholesky 
https://craftmind.wordpress.com/2015/03/11/decomposicao-cholesky/
http://prorum.com/?qa=2874/o-que-e-a-decomposicao-de-cholesky
 
 
 
 
 
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Esse exemplo, apesar de bem simples, serve para demonstrar a filosofia do método. 
No caso geral de uma carteira formada por diversos ativos, deveríamos incluir o efeito 
da correlação entre os fatores de risco na simulação. Esse passo (o terceiro da primeira 
etapa) é um pouco complicado do ponto de vista matemático. 
 
4.8. COMPARAÇÃO ENTRE AS METODOLOGIAS 
Cada uma das metodologias abordadas nos Módulos 2 e 4 para o cálculo do VaR possui 
vantagens e desvantagens que precisam ser levadas em consideração, principalmente 
pelos profissionais que, de alguma forma, fazem uso dos relatórios de risco. Afinal, é 
importante conhecer as potencialidades e limitações de cada metodologia. A Tabela 3 
apresenta um resumo dessas vantagens e desvantagens das metodologias de 
estimação do VaR. 
 
Itens Paramétrica 
Simulação 
histórica 
Simulação de 
Monte Carlo 
Facilidade de implementação Média Média Difícil 
Facilidade de assimilação Média Média Difícil 
Complexidade computacional Média Média Muita 
Tempo de execução Médio Médio Alto 
Hipóteses simplificadoras (1) Muitas Poucas Algumas 
Carteiras não lineares (2) Péssimo Ótimo Ótimo 
Stress testing Péssimo Ótimo Ótimo 
Análise de sensibilidade Péssimo Regular Ótimo 
Modularização e portabilidade Pouca Média Pouca 
(1) Do ponto de vista matemático 
(2) Como carteiras com opções 
Tabela 3– Análise comparativa das metodologias para estimação do VaR 
 
 
 
 
 
 
 
 
16 
 
4.9. REFERÊNCIAS 
DOWD, Kevin. Beyond Value at Risk – The New Science of Risk Management. John 
Wiley & Sons, 1998. 
JORION, Philippe. Value at Risk: The New Benchmark for Controlling Market Risk. 2a 
ed., New York: McGraw-Hill, 2001. 
LEMGRUBER, Eduardo F. Avaliação de Contratos de Opções. 2a ed., São Paulo: Bolsa 
de Mercadorias & Futuros, 1995. 
SECURATO, José R. e outros. Cálculo Financeiro das Tesourarias - Bancos e Empresas. 
1a ed., São Paulo: Editora Saint Paul, 1999. 
SOUZA FILHO, Gonzaga. Manual do Agente Autônomo de Investimento. Rio de 
Janeiro: G10 Consultoria & Treinamento, 2016. 
 
 
 
 
 
 
 
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EXPEDIENTE 
 
Texto 
José Valentim Machado Vicente 
Andréa Sá de Oliveira 
 
Revisão 
Gonzaga de Souza Filho 
Eduardo Alonso Marza dos Santos 
 
Apoio Técnico 
Patrícia Guedes 
 
Gerência de Certificação e Educação Continuada 
Daniel Pfannemuller 
 
Superintendência de Educação e Informações Técnicas 
Ana Claudia Leoni 
 
Superintendência Geral 
José Carlos Doherty 
 
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http://www.anbima.com.br/pt_br/educar/educar.htm 
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