2_Dielétricos

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Prof.Dr. Rodrigo P. Lemos
Ondas
Propagação em Dielétricos Perfeitos e em Dissipativos
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Dielétricos Perfeitos
• Considere-se agora a propagação em um meio dielétrico 
perfeito, ou seja, sem perdas. 
• Um dielétrico tem permeabilidade magnética e permis-
sividade elétrica , é isotrópico e homogêneo.
• Assim, a equação de onda pode ser obtida pela simples mudança 
desses parâmetros:
que corresponde a uma onda propagando-se na direção mas 
não na velocidade da luz.
Ex = E0 cos ! t " z µ#( )$% &'
µ = µRµ0
! = "! = "!R!0
 
!az
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Dielétricos Perfeitos
• A velocidade de propagação é, então:
que é inferior à velocidade da luz:
pois 
v = 1
µ!
v = 1
µ!
=
1
µR "!R
#
1
µ0!0
=
c
µR "!R
< c
 µR ! 1 e "#R ! 1.
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Dielétricos Perfeitos
• Da mesma forma, o comprimento de onda dentro do dielétrico é 
menor do que no vácuo, pois:
Conclusão: Em um meio real, uma onda se propaga com menor 
velocidade e comprimento de onda mais curto do que teria ao 
se propagar no vácuo.
• Adicionalmente, a impedância intrínseca do dielétrico é dada por:
! = vf =
c
f µR "#R
=
!0
µR "#R
< !0
! = µ
"
=
µR
#"R
$
µ0
"0
=
µR
#"R
$!0
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Dielétricos Perfeitos
• Definindo-se a constante de fase como:
• Logo, considerando o campo elétrico na direção , tem-se o fasor: 
• e as equações dos campos ficam dadas por:
k = ! =" µ# = 2$ f 1v =
2$
%
Exs = E0e! j"z
 
!ax
Ex = E0 cos !t " #z[ ]
Hy =
E0
$
cos !t " #z[ ]
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Exemplo
• Considere-se uma onda propagando-se na frequência de 300 MHz em 
água fresca. Nesta frequência, a àgua tem parâmetros e . 
• Apesar de a àgua ser um meio dissipativo, por simplicidade, este efeito 
será desconsiderado.
• A velocidade da onda na água é, então:
• Já o comprimento de onda fica reduzido a:
• A impedância intrínseca é, nesse caso: 
• enquanto a constante de fase fica:
µR = 1 !"R = 78
v = c
µR !"R
=
3#108
78 = 0,340 #10
8m/s
 
! = vf =
0,340 "108
300 "106 = 0,113 m, enquanto no vácuo ! = 1 m.
 
! = µR
"#R
$!0 =
377
78 = 42,7 %, enquanto no vácuo ! = 377 %.
 
k = ! = 2"
#
= 55,5 rad/m, enquanto no vácuo ! = 6,28 rad/m.
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Exercício
• Uma onda plana uniforme propaga-se em polietileno ( ) na 
frequência de 9,4 GHz. Se a amplitude do campo magnético é de 7 mA/m e o 
material for considerado sem perdas, determine: 
a) a velocidade de propagação;
b) o comprimento de onda no material;
c) a constante de fase;
d) a impedância intrínseca;
e) a amplitude do campo elétrico.
µR = 1, !"R = 2,26
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• A propagação de uma onda por um dielétrico dissipativo, de condutividade !, 
produz uma corrente de condução e uma corrente de deslocamento (ou de 
polarização), responsáveis pelas perdas ôhmicas. 
• A descrição desse fenômeno pode ser desenvolvida a partir da Lei de Ampère:
• usando-se a transformada de Fourier, no domínio da frequência tem-se: 
• Assim, pode-se assumir que a permissividade elétrica é complexa para 
dielétricos disssipativos:
Dielétricos Dissipativos
 
!
! "
!
H =
!
J + #$ %
!
E
%t
 
!
! "
!
Hs =
!
Js + j# $%
!
Es
= &
!
Es + j# $%
!
Es
=
!
Js.cond +
!
Js.desloc
= & + j# $%( )
!
Es = j#%
!
Es
j!" = # + j! $"( ) % " = $" & j #
!
'
()
*
+,
= $" & j $$"( )
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• Similarmente, a partir da Lei de Faraday: 
• usando-se a transformada de Fourier, no domínio da frequência tem-se:
• Recordando-se da Lei de Ampère no domínio da frequência:
• Considerando o campo magnético na direção , e o campo elétrico na direção 
tem-se:
 e 
• Após derivar a primeira em relação a z, pode-se combiná-las, resultando em: 
Dielétricos Dissipativos
 
!
! "
!
E = #µ $
!
H
$t
 
!
! "
!
Es = # j$µ
!
Hs
 
!ay 
!ax
!Exs
!z = " j#µHys
!2Exs
!z2 = "#
2µ$Exs
 
!
! "
!
Hss = j#$
!
Es
!Hys
!z = j"#Exs
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• Logo, sua solução é dada por: 
• Portanto, para dielétricos dissipativos, a constante de fase é:
• ou seja, k é complexa, podendo ser escrita como jk = !+j", tal que:
Dielétricos Dissipativos
k =! µ"
=! µ #" $ j ##"( )
=! µ #" 1$ j ##"
#"
%
&'
(
)*
=! µ #" 1$ j +
! #"
%
&'
(
)*
Exs = E0e! j" µ#z = E0e! jkz
 
! = Re jk[ ] =" µ #$2 1+
##$
#$
%
&'
(
)*
2%
&'
(
)*
+1 e , = Im jk[ ] =" µ #$2 1+
##$
#$
%
&'
(
)*
2%
&'
(
)*
+1
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• Substituindo-se jk = !+j" na expressão do fasor campo elétrico, tem-se:
• No domínio do tempo, o campo elétrico ao longo do dielétrico dissipativo é:
• Aqui se observa o termo exponencial decrescente com a distância z, relativo à 
atenuação da amplitude do campo, ou seja, às perdas de potência à medida que a 
onda penetra no dielétrico. 
• Quanto maior o módulo de ", mais a onda se dissipa. Neste caso, " é conhecido 
por coeficiente de atenuação.
• A profundidade de penetração do campo no dielétrico é definida como:
• Há materiais usados em amplificadores de laser que ampliam o campo, ou seja, 
eles têm " negativo que, neste caso, é chamado coeficiente de ganho.
Dielétricos Dissipativos
Ex = E0e!" z cos #t ! $z( )
Exs = E0e! jkz = E0e! " + j#( )z = E0e!" ze! j#z
z = ! = 1"
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• A velocidade de fase da onda é dada por:
• O comprimento de onda por:
• Já o campo magnético, ortogonal ao campo elétrico, fica dado por:
• tal que a impedância intrínseca do dielétrico dissipativo é complexa:
• que em coordenadas polares fica:
• onde
Dielétricos Dissipativos
v = !
"
! = 2"
#
Hy =
E0
!
e"# z cos $t " %z( )
! = µ
"
=
µ
#" $ j ##"( ) =
µ
#"
1
1$ j ##"
#"
! = µ
"#
$ re j% 2
! = tan"1 ##$
#$
%
&'
(
)*
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• Definindo-se a tangente de perdas como:
• Vê-se então que, no dielétrico dissipativo, o fasor campo magnético fica defasado do 
fasor campo elétrico por um ângulo #/2, tal que:
Dielétricos Dissipativos
tan! = ""#
"#
=
$
% "#
 
!
E
 
!
H
 
!az 
!ay
 
!ax
Hy =
E0
µ
!"
# r
e$% z cos &t $ 'z $( 2( )
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• Além disso, a tangente de perdas relaciona-se com a razão entre as 
densidades de corrente de condução e de deslocamento:
• ou seja, apesar desse fasores apontarem para a mesma direção do espaço, 
estão defasados de 90o entre si.
• Se a tangente de perdas for pequena (muito menor que um), tem-se um 
bom dielétrico e os coeficientes podem ser aproximados por: 
• e a impedância intrínseca por:
Dielétricos Dissipativos
Js.cond
Js.desloc
= ! j "
# $%
= ! j tan&
 
! " #2
µ
$%
 e & " ' µ $% 1+ 18
$$%
$%
(
)*
+
,-
2(
)*
+
,-
" ' µ $%
! " µ
#$
 1+ j ##$2 #$
%
&'
(
)*
%
&'
(
)*
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Exemplo
• Considere-se uma onda propagando-se na frequência de 2,5 GHz em água 
fresca . Nesta frequência, a àgua tem , e . 
• A tangente de perdas é: 
• Logo a constante de atenuação fica:
• A impedância intrínseca é, nesse caso: 
• A profundidade de penetração é:
µR = 1 !"R = 78
tan! = "
# $%
=
"
# $%R%0
= 0,01429
! = 1
"
=
1
3,3 = 0,3027 m # 30,27 cm.
 
! = µR
"#R
$!0
1
1% j tan& =
377
78
1
1% j0,01429 = 42,68'0,41
! (.
! =" µ #$2 1+ tan%( )
2( ) &1 = 2' .2,5 (10
9
3(108 .
78
2 . 1+ 0,01429( )
2 &1 = 3,3 Np/m
! = 0,155 S/m
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Exercício
• Uma onda plana uniforme propaga-se num material dielétrico com perdas 
com na frequência de 1 MHz. 
Determine: 
a) a tangente de perdas;
b) a constante de atenuação;
c) a constante de fase;
d) a impedância intrínseca;
µR = 1, !"R = 2,5 e # = 4 $10%5 S/m
16
17
!
Obrigado!