ENG118 - NOTAS DE AULA PROF ALOISIO STHEFANO - UNIDADE II

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
Escola Politécnica 
Departamento de Construção e Estruturas 
 
 
 
 
2021.2 – V.02 
Revisado em outubro/2021 
Salvador - BA 
 
 
UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
ESCOLA POLITÉCNICA 
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO E ESTRUTURAS 
 
 
 
 
 
 
 
NOTAS DE AULA 
ENG118 – Estruturas de Concreto Armado I 
UNIDADE II 
 
 
 
 
ALOÍSIO STHÉFANO 
 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 2 
NOTAS DE AULAS - Prof. Msc. Aloísio Sthéfano 
SUMÁRIO 
5 BASES PARA O DIMENSIONAMENTO ............................................................. 3 
5.1 ESTÁDIOS DE DIMENSIONAMENTO ................................................................................................ 6 
5.2 HIPÓTESES BÁSICAS .................................................................................................................... 7 
5.3 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO ........................................................................................................ 7 
5.4 LIMITES PARA REDISTRIBUIÇÃO DE MOMENTOS E CONDIÇÕES DE DUCTILIDADE .......................... 11 
5.5 EQUAÇÕES PARA CÁLCULO DE PEÇAS EM REGIME DE RUTURA - ELU ............................................ 12 
5.6 PROBLEMAS DE ANÁLISE ........................................................................................................... 14 
5.7 PROBLEMAS DE DIMENSIONAMENTO ......................................................................................... 17 
6 VIGAS ..................................................................................................................... 19 
6.1 FLEXÃO SIMPLES ....................................................................................................................... 19 
6.1.1 Seção Simplesmente Armada ............................................................................................... 21 
6.1.2 Seção Duplamente Armada ................................................................................................. 24 
6.1.3 Seção T ............................................................................................................................... 28 
6.2 SOLICITAÇÕES TANGENCIAIS ..................................................................................................... 37 
6.2.1 Esforço Cortante ................................................................................................................. 37 
6.2.2 Momento Torçor .................................................................................................................. 48 
6.2.3 Solicitações Combinadas ..................................................................................................... 57 
6.3 QUESTIONÁRIO .................................................................................................................... 59 
 
 
 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 3 
NOTAS DE AULAS - Prof. Msc. Aloísio Sthéfano 
 
5 BASES PARA O DIMENSIONAMENTO 
 
Segundo o Fib Bulletin (1999), os projetos estruturais podem ser adequadamente 
desonvolvidos seguindo o fluxo de trabalho apresentado na Figura 1. Esse fluxo vai desde 
o pré-projeto até o detalhamento de armaduras. As etapas estão organizadas em sequência 
lógica de forma que a uma etapa é sempre dependente da outra, umas em maior e outras 
em menor grau. 
Figura 1 - Sequência para elaboração de um projeto estrutural.
 
Fonte: Adaptado, Fib Bulletin 2, 1999 
Nesta etapa do curso, será discutido sobre o dimensionamento e detalhamento de 
peças de concreto armado submetidas à flexão simples (momentos fletores e esforços 
cortantes) no Estado Limite Último (ELU). 
Para isso, é importante que o aluno esteja familiarizado com as nomenclaturas que 
estão apresentadas na Figura 2 e na Figura 3 a seguir. 
 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 4 
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Figura 2: Elemento linear submetido à flexão simples 
 
Fonte: Autor 
Figura 3: Seção transversal de um elemento de concreto armado fletido. 
 
LN = linha neutra 
CGAs = centro de gravidade da área de aço 
As = Área de aço 
bw = largura da seção 
𝜀𝑐𝑑 = deformação de cálculo do concreto 
𝜀𝑠𝑑 = deformação de cálculo do aço 
x = altura da linha neutra 
𝜎𝑐𝑑 = tensão de compressão no concreto 
𝜎𝑠𝑑 = tensão de tração no aço 
d = distância entre o centro de gravidade da 
área de aço até a face mais comprimida do 
elemento 
h = altura do elemento 
 
Fonte: Autor 
 
p = carga linear 
uniformimente distribuída 
l = vão da viga (de eixo a 
eixo dos apoios) 
Mmáx = momento máximo 
do vão 
D.M. F. = diagrama de 
momentos fletores 
D.E.C. = diagrama de 
esforços cortantes 
 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 5 
 
 
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De acordo com a NBR 6118:2014, para dimensionamento das seções, a 
distribuição de tensões no concreto pode ser feita de acordo com o diagrama parábola-
retângulo definido no item 8.2.10 da referida norma. Nesse diagrama, o valor de tensão é 
igual a zero na posição da linha neutra e tem pico de tensão com valor igual à 0,85. 𝑓𝑐𝑑 
na extremidade mais comprimida. Por simplificação de análise, esta norma permite 
também que o diagrama parábola-retângulo seja substituído por um diagrama retangular 
(simplificado) onde o valor da tensão de pico, para o caso de vigas com seção retangular, 
é igual a 𝛼𝑐𝑓𝑐𝑑 e, para seções onde a largura da seção transversal diminua da posição da 
linha neutra até a borda mais comprimida, o valor da tensão de pico é igual a 0,9. 𝛼𝑐𝑓𝑐𝑑. 
A profundidade do diagrama simplificado com relação à face mais comprimida do 
elemento é dada por 𝑦 = 𝜆. 𝑥, sendo 𝑥 a profundidade da linha neutra. A representação 
gráfica de cada um dos diagramas em um elemento de seção retangular pode ser vista na 
Figura 4 a seguir. 
Figura 4: Diagramas de tensão de uma seção transversal retangular no ELU.
Fonte: adaptada de BANDEIRA, 2015, p. 18. 
Em elementos submetidos à flexão simples, a adoção do diagrama simplificado 
apresenta resultados muito próximos daqueles obtidos quando da utilização do diagrama 
parábola-retângulo (FONSECA E SILVA, 2017). 
De acordo com a NBR 6118:2014, os valores de 𝛼𝑐 e 𝜆 dependem da classe do 
concreto e podem ser admitidos como: 
𝛼𝑐 = {
0,85 𝑝𝑎𝑟𝑎 20𝑀𝑃𝑎 ≤ 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50𝑀𝑃𝑎
0,85 [1 −
𝑓𝑐𝑘 − 50
200
] 𝑝𝑎𝑟𝑎 50𝑀𝑃𝑎 < 𝑓𝑐𝑘 ≤ 90𝑀𝑃𝑎
 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 6 
 
 
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𝜆 = {
0,80 𝑝𝑎𝑟𝑎 20𝑀𝑃𝑎 ≤ 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50𝑀𝑃𝑎
0,80 −
𝑓𝑐𝑘 − 50
400
𝑝𝑎𝑟𝑎 50𝑀𝑃𝑎 < 𝑓𝑐𝑘 ≤ 90𝑀𝑃𝑎
 
5.1 ESTÁDIOS DE DIMENSIONAMENTO 
Para o bom dimensionamento de peças de concreto armado, é importante conhecer 
um pouco o comportamento das peças na presença de fissuras. A Figura 5 apresenta o 
diagrama momento-curvatura típico de elementos de concreto armado submetidos à 
flexão, onde é classificada a evolução do nível de fissuração em função do aumento das 
solicitações. 
Figura 5: Diagrama momento-curvatura de um elemento de concreto armado fletido.
Fonte: Guarda, 2005, p.14 
Embora existam microfissuras na zona de transição entre a pasta e os agregados na 
composição do concreto, admite-se que a fissuração da peça inicia quando a resistência à 
tração na flexão é atingida. Observa-se no primeiro trecho do diagrama que a tensão 
máxima de tração é inferior à resistência do concreto à tração e, portanto, admite-se um 
comportamento elástico-linear em toda a seção, caracterizando-se o Estádio I de 
dimensionamento. Nesse Estádio, a peça não apresenta fissuras e tanto o concreto da zona 
comprimida quanto o concreto da zona tracionada colaboram para a sua rigidez final. 
Quando a tensão máxima de tração na flexão do concreto é atingida, ou seja, quando 
é atingido o momento de fissuração (𝑀𝑟), surge teoricamente a primeira fissurana região 
onde o momento fletor é máximo e, a partir daí, inicia-se o Estádio II. Nesse Estádio, a 
contribuição do concreto da zona tracionada para a rigidez à flexão é reduzida, pois a 
inércia da seção passa a ser menor. 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 7 
 
 
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O Estádio II pode ser dividido em duas partes. A primeira é caracterizada pela 
formação de fissuras, e ocorre até que 𝑀 = 𝑀𝑟𝑛 (ponto B indicado na Figura 22). A partir 
daí, no segundo trecho do Estádio II, na região de momento máximo, não existirá 
teoricamente mais a formação de novas fissura, mas sim o aumento das aberturas e 
profundidades daquelas já existentes. 
As estruturas de concreto armado trabalham predominantemente no Estádio II, pois 
caso seja atingido o Momento de Plastificação (𝑀𝑝) (início do Estádio III), os elementos 
passam a se deformar significativamente com o acréscimo de novas cargas. Dessa forma, 
a linha neutra começa a se aproximar da face comprimida, possibilitando uma ruína 
secundária por esmagamento do concreto (ao atingir o Momento último (𝑀𝑢). 
5.2 HIPÓTESES BÁSICAS 
A análise dos esforços resistentes de uma seção transversal deve considerar as 
seguintes hipóteses: 
a) as seções transversais se mantêm planas após a deformação; 
b) a deformação das armaduras deve ser a mesma do concreto em seu entorno; 
c) as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal são desprezadas; 
d) a distribuição de tensões no concreto é feita de acordo com o diagrama parábola-
retângulo, o qual pode ser substituído pelo diagrama retangular (simplificado). 
e) a tensão nas armaduras deve ser obtida a partir dos diagramas tensão-deformação 
do aço. 
f) o estado limite último é caracterizado quando a distribuição das deformações na 
seção transversal pertencer a um dos domínios da flexão. 
5.3 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO 
O dimensionamento das armaduras deve conduzir a um conjunto de esforços 
resistentes (𝑁𝑅𝑑 𝑒 𝑀𝑅𝑑) que sejam suficientemente superiores à envoltória de esforços 
solicitantes (𝑁𝑠𝑑 𝑒 𝑀𝑠𝑑) determinada na análise estrutural. Segundo Carvalho e Pinheiro 
(2009), p.262, os domínios de deformação representam as diversas possibilidades de ruína 
da seção onde cada par de deformações específicas de cálculo (𝜀𝑐 𝑒 𝜀𝑠) correspondem a 
uma combinação de esforço normal e momento fletor atuante na seção, caracterizando 
situações desde tração uniforme até compressão uniforme. 
A Figura 6 a seguir apresenta o diagrama dos domínios de deformações dos 
materiais onde, de acordo com a posição da linha neutra da peça (𝑥), pode-se classificar 
cada um desses domínios em função do tipo de ruptura apresentada, conforme descrito a 
seguir: 
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Figura 6: Domínios de deformações.
Fonte: adaptada da NBR 6118:2014, p.122 
a) Ruptura convencional por deformação plástica excessiva do aço: 
Reta a: tração uniforme; 
Domínio 1: tração não uniforme, sem compressão; 
Domínio 2: flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto. 
b) Ruptura convencional por encurtamento limite do concreto: 
Domínio 3: flexão simples (seção subarmada) ou composta com ruptura à 
compressão do concreto e com escoamento do aço; 
Domínio 4: flexão simples (seção superarmada) ou composta com ruptura à 
compressão do concreto e aço tracionado sem escoamento; 
Domínio 4a: flexão composta com armaduras comprimidas; 
Domínio 5: compressão não uniforme, sem tração; 
Reta b: compressão uniforme. 
No domínio 2, as peças são classificadas como subarmadas, pois apresentam uma 
baixa quantidade de armaduras e o encurtamento do concreto está compreendido entre 0 
e 𝜀𝑐𝑢. Nessa situação, a peça tende a romper por deformação excessiva do aço e a ruptura 
é do tipo dúctil ("com aviso"). Não é recomendado que o dimensionamento à flexão seja 
feito nesse domínio, pois, apesar da ruptura ser do tipo dúctil, o dimensionamento nesse 
domínio é economicamente inviável, já que há um uso desnecessário de concreto na seção 
transversal. 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 9 
 
 
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Figura 7: Situação genérica no Domínio 2 
 
Fonte: Autor 
No domínio 3, as peças são classificadas como normalmente armadas, pois, no 
ELU, apesar do concreto estar muito solicitado (encurtamento igual a 𝜀𝑐𝑢), as armaduras 
já entraram em escoamento (𝜀𝑦𝑑 < 𝜀𝑠𝑑 < 10‰). Nessa situação, a peça tende a romper 
devido ao esmagamento do concreto, mas a ruptura é classificada como sendo do tipo 
dúctil ("com aviso"), pois as deformações da peça já estão significativamente altas. É 
recomendado que o dimensionamento à flexão seja feito nesse domínio. 
Figura 8: Situação genérica no Domínio 3 
 
Fonte: Autor 
No domínio 4, as peças são classificadas como superarmadas, pois apresentam 
uma alta quantidade de armaduras. Nessa situação, o concreto está muito solicitado 
(encurtamento igual a 𝜀𝑐𝑢) e as armaduras ainda não entraram em escoamento 
(alongamento menos que 𝜀𝑦𝑑). Nesse domínio, a peça tende a romper devido ao 
esmagamento do concreto, mas a ruptura é do tipo frágil ("sem aviso") pois deformações 
são relativamente baixas no momento da ruptura. Não é recomendado o dimensionamento 
nesse domínio, pois uma ruptura do tipo frágil ocorre bruscamente e "sem aviso". 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 10 
 
 
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Figura 9: Situaçoes no Domínio 4 (a) alongamento do aço sem atingir a deformação do 
início do patamar de escoamento (b) deformação zero no aço (c) encurtamento do aço. 
 
Fonte: Autor 
A partir da análise das deformações sofridas por cada material (aço e concreto), 
podem-se obter as equações de compatibilidade por meio de semelhança de triângulos: 
𝑥
𝜀𝑐𝑑
=
𝑑 − 𝑥
𝜀𝑠𝑑
=
𝑑
𝜀𝑐𝑑 + 𝜀𝑠𝑑
 
Considerando 𝜉 = 𝑥/𝑑 como sendo a linha neutra adimensional da peça, tem-se: 
𝑑𝜉
𝜀𝑐𝑑
=
𝑑 − 𝑑𝜉
𝜀𝑠𝑑
=
𝑑
𝜀𝑐𝑑 + 𝜀𝑠𝑑
 
𝜉
𝜀𝑐𝑑
=
1 − 𝜉
𝜀𝑠𝑑
=
1
𝜀𝑐𝑑 + 𝜀𝑠𝑑
 
Portanto, 
(a) 
(b) 
(c) 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 11 
 
 
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𝜉 =
𝜀𝑐𝑑
𝜀𝑐𝑑 + 𝜀𝑠𝑑
=
𝜀𝑐𝑑
𝜀𝑐𝑑 +
𝑓𝑦𝑑
𝐸𝑠
=
1
1 +
𝜀𝑠𝑑
𝜀𝑐𝑑
 
 
Pode-se então definir a linha neutra adimensional limite (𝜉𝑙𝑖𝑚) para os domínios 
2a, 2b, 3 e 4 como: 
𝜉2𝑎,𝑙𝑖𝑚 =
𝜀𝑐2
𝜀𝑐2 + 0,010
 
𝜉2𝑏,𝑙𝑖𝑚 =
𝜀𝑐𝑢
𝜀𝑐𝑢 + 0,010
 
𝜉3,𝑙𝑖𝑚 =
𝜀𝑐𝑢
𝜀𝑐𝑢 +
𝑓𝑦𝑑
𝐸𝑠
 
 
𝜉4,𝑙𝑖𝑚 =
𝜀𝑐𝑢
𝜀𝑐𝑢 + 0
= 1,0 
Considerando, por exemplo, a utilização do aço CA50 e a utilização de concretos 
com resistência à compressão no intervalo de 20𝑀𝑃𝑎 ≤ 𝑓𝑐𝑘 ≤ 50𝑀𝑃𝑎, a linha neutra 
adimensional limite para cada um dos domínios citados é calculada como: 
𝜉2𝑎,𝑙𝑖𝑚 =
𝜀𝑐2
𝜀𝑐2 + 0,010
=
0,002
0,002 + 0,010
≅ 0,167 
𝜉2𝑏,𝑙𝑖𝑚 =
𝜀𝑐𝑢
𝜀𝑐𝑢 + 0,010
=
0,0035
0,0035 + 0,010
≅ 0,259 
𝜉3,𝑙𝑖𝑚 =
𝜀𝑐𝑢
𝜀𝑐𝑢 +
𝑓𝑦𝑑
𝐸𝑠
=
0,0035
0,0035 +
500
1,15⁄
210000
≅ 0,628 
 
𝜉4,𝑙𝑖𝑚 = 1,0 
 
5.4 LIMITES PARA REDISTRIBUIÇÃO DE MOMENTOS E 
CONDIÇÕES DE DUCTILIDADE 
Para garantir boas condições de ductilidade, ou seja, para evitar que a peça tenha 
uma ruptura brusca, a NBR 6118:2014 define no item no item 14.6.4.3 os limites para a 
posição da linha neutra adimensional no ELU, os quais são dados por: 
𝑥 𝑑⁄ ≤ {
0,45 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚 20𝑀𝑃𝑎 ≤ 𝑓
𝑐𝑘
≤ 50𝑀𝑃𝑎
0,35 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚 50𝑀𝑃𝑎 < 𝑓
𝑐𝑘
≤ 90𝑀𝑃𝑎
 
Esses limites podem ser alterados se forem utilizados detalhes especiais de 
armaduras, como, por exemplo, os que produzem confinamento nessas regiões. 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 12 
 
 
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Quando for efetuada uma redistribuiçãode esforços, reduzindo-se um momento 
fletor de 𝑀 para 𝛿𝑀, em uma determinada seção transversal, a profundidade da linha 
admiensional (𝑥 𝑑⁄ ) nessa seção, para o momento reduzido 𝛿𝑀 deve ser limitada por: 
𝑥 𝑑⁄ ≤ {
(𝛿 − 0,44)/1,25 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚 20𝑀𝑃𝑎 ≤ 𝑓
𝑐𝑘
≤ 50𝑀𝑃𝑎
(𝛿 − 0,56)/1,25 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚 50𝑀𝑃𝑎 < 𝑓
𝑐𝑘
≤ 90𝑀𝑃𝑎
 
O coeficiente de redistribuição deve, ainda, obedecer aos seguintes limites: 
𝛿 ≥ {
0,90 para estruturas de nós móveis
0,75 para qualquer outro caso 
 
Pode ser adotada redistribuição fora dos limites estabelecidos, desde que a estrutura 
seja calculada mediante o emprego de análise não linear ou de análise plástica, com 
verificação explícita de rotação das rótulas plásticas. 
5.5 EQUAÇÕES PARA CÁLCULO DE PEÇAS EM REGIME DE 
RUTURA - ELU 
A compatibilização entre as deformações dos materiais (concreto e aço) condiciona 
a geração do diagrama de deformações em análise elástica, onde a peça se encontra parte 
comprimida e parte tracionada. Vale ressaltar que, para fins de cálculos analíticos no 
ELU, as tensões resistentes de tração do concreto, normais à seção transversal, podem ser 
totalmente desprezadas. 
Assim, a partir do equilíbrio da seção transversal retangular esquematizada Figura 
10, é possível determinar uma formulação para o dimensionamento das armaduras e 
classificar a peça em relação ao domínio de deformações que ela está trabalhando. 
Figura 10: Seção genérica e diagrama de forças para elemento submetido à flexão no 
ELU. 
Fonte: Autor 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 13 
 
 
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O equilíbrio de esforços da seção transversal é obtido a partir das seguintes expressões: 
𝑅𝑐𝑑 . 𝑧 = 𝑀𝑑 [1] 
𝑅𝑠𝑑. 𝑧 = 𝑀𝑑 [2] 
𝑅𝑐𝑑 = 𝑅𝑠𝑑 [3] 
onde a força resultante de compressão do concreto é definida por: 
𝑅𝑐𝑑 = (𝛼𝑐. 𝑓𝑐𝑑)(𝑏. 𝜆. 𝑥) 
a força resultante de tração no aço é definida por: 
𝑅𝑠𝑑 = 𝐴𝑠 . 𝜎𝑠𝑑 
e o braço de alavanca por: 
𝑧 = 𝑑 −
𝜆. 𝑥
2
 
A partir da primeira equação de equilíbrio apresentada na Equação [1], obtém-se: 
(𝛼𝑐. 𝑓𝑐𝑑)(𝑏. 𝜆. 𝑥)𝑧 = 𝑀𝑑 
A equação acima pode ser reescrita por: 
𝛼𝑐. 𝑓𝑐𝑑. 𝑏. 𝜆. 𝑥. (𝑑 −
𝜆. 𝑥
2
) = 𝑀𝑑 
Desta forma, 
𝑥. (𝑑 −
𝜆. 𝑥
2
) =
𝑀𝑑
𝛼𝑐. 𝑓𝑐𝑑. 𝑏. 𝜆
 
Reescrevendo: 
𝑥. 𝑑 −
𝜆
2
𝑥2 =
𝑀𝑑
𝛼𝑐. 𝜆. 𝑓𝑐𝑑. 𝑏
 
ou seja: 
𝜆
2
𝑥2 − 𝑥. 𝑑 +
𝑀𝑑
𝛼𝑐. 𝜆. 𝑓𝑐𝑑. 𝑏
= 0 
As raízes da equação definem a posição da linha neutra 𝑥: 
𝑥 =
𝑑 ± √𝑑2 − 4
𝜆
2
𝑀𝑑
𝛼𝑐. 𝜆. 𝑓𝑐𝑑. 𝑏
 
𝜆
 
 
Reescrevendo: 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 14 
 
 
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𝑥 =
𝑑
𝜆
. (1 ± √1 −
2
𝛼𝑐
𝑀𝑑
𝑓𝑐𝑑. 𝑏. 𝑑2
 ) 
Agora, para a determinação da área de aço necessária, analisando a segunda equação de 
equilíbrio apresentada na Equação [2], obtém-se a seguinte expressão 
𝐴𝑠. 𝑓𝑦𝑑. (𝑑 −
𝜆. 𝑥
2
) = 𝑀𝑑 
Conhecendo-se a posição da linha neutra, escreve-se: 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑑
𝑓𝑦𝑑 (𝑑 −
𝜆𝑥
2 )
 
5.6 PROBLEMAS DE ANÁLISE 
Esses problemas consistem na verificação da capacidade resistente se uma seção já 
existente. Nos problemas de análise devem ser conhecidos os seguintes parâmetros: 
• Dimensões: vão – l, largura – 𝑏𝑤 e altura – ℎ; 
• Resistência do concreto à compressão – 𝑓𝑐𝑘; 
• Resistência do aço à tração – 𝑓𝑦𝑘; 
• Área de aço – 𝐴𝑠; 
• Posição das armaduras na seção transversal. 
Com isso, os valores possíveis de serem obtidos são: 
• Altura da linha neutra – 𝑥; 
• Momento fletor solicitante máximo que pode ser aplicado – 𝑀𝑠𝑑; 
• Tensão – 𝜎𝑠𝑑 e deformação – 𝜀𝑠𝑑 na armadura; 
• Deformação no concreto – 𝜀𝑐𝑑. 
Segundo BECKMANN, P. (1995), é sempre recomendado, e até mesmo necessário, 
independentemente da correta manutenção das edificações, que se proceda a verificação 
de uma estrutura existente quando ocorrer uma das seguintes situações: 
• Suspeitas de erros de projeto, devido ao surgimento de, por exemplo, grandes 
deformações; 
• Grande deterioração dos elementos estruturais quando há a consideração de um 
risco à estabilidade da edificação; 
• Acidentes ou danos à estrutura; 
• Reparos na estrutura para adaptação a novas utilizações; 
• Alteração de utilização da edificação; 
• Mudança de proprietário da edificação (mudança de gestão). 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 15 
 
 
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Segundo SOUZA E RIPPER (1998), “Os problemas patológicos têm suas origens 
motivadas por falhas que ocorrem durante a realização de uma ou mais das atividades 
inerentes ao processo genérico a que se denomina de construção civil, processo este que 
pode ser dividido em três etapas básicas: concepção, execução e utilização”. 
A seguir será apresentado um exemplo de problemas de análise. 
Exemplo: Três vigas com mesmo tipo de aço (𝐶𝐴50𝐴) e mesmo 𝑓𝑐𝑘 (20𝑀𝑃𝑎) 
possuem seções e áreas de aço diferentes na seção de momento máximo. Para cada 
viga, sabendo que 𝑐𝑛𝑜𝑚 = 3,5𝑐𝑚, determine: 
• a capacidade resistente da seção transversal garantindo a ductilidade da peça, 
ou seja, o maior momento fletor solicitante característico que essa viga 
consegue suportar de acordo com o recomendado pela NBR6118:2014; 
• a tensão e a deformação unitária das armaduras; 
• a deformação unitária do concreto na face mais comprimida da seção. 
 
Viga V1: 
Sabe-se que a barra de aço com 𝜙 = 16𝑚𝑚 tem 𝐴𝑠𝜙16 ≅ 2,00𝑐𝑚
2, logo, a 
área de aço tracionada pode ser calculada por: 
𝐴𝑠1 = 2 × 𝐴𝑠𝜙16 
𝐴𝑠1 = 2 × 2,00 → 𝐴𝑠1 = 4,00𝑐𝑚
2 
Sabendo que 𝑅𝑐𝑑 = 𝑅𝑠𝑑, a posição da linha neutra pode então ser calculada da 
seguinte forma: 
 
𝛼𝑐. 𝑓𝑐𝑑. 𝑏. 𝜆. 𝑥 = 𝑓𝑦𝑑. 𝐴𝑠1 
 
0,85.
2
1,4
. 20.0,8. 𝑥 =
50
1,15
. 4 → 𝑥 = 8,95𝑐𝑚 
 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 16 
 
 
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O valor de 𝑑′ da seção é dado pela distância da face mais tracionada até o 
centro de gravidade da área de aço. Com o auxílio da imagem abaixo calcula-
se o 𝑑′ da seção: 
 
𝑑′ = 𝑐𝑛𝑜𝑚 + 𝜙𝑒𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑜 + 𝜙𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎/2 
𝑑′ = 3,5 + 0,5 +
1,6
2
= 4,8𝑐𝑚 
 
A linha neutra em sua forma admensional é, portanto: 
 
𝜉 =
𝑥
𝑑
→ 𝜉 =
𝑥
ℎ − 𝑑′
→ 𝜉 =
8,95
50 − 4,8
→ 𝜉 = 0,198 
 
Recordando, para concretos de classes C20 a C50 e para aços CA50, a linha 
neutra admensional nos limites do domínio 2 com domínio 3 e do domínio 3 
com o domínio 4 valem respectivamente 𝜉2𝑏,𝑙𝑖𝑚 = 0,259 e 𝜉3,𝑙𝑖𝑚 = 0,628. 
 
Como 𝜉 < 𝜉2𝑏,𝑙𝑖𝑚, a peça se encontra no Domínio 2 e, portanto, sua 
ductilidade está garantida, mas a peça é dita subarmada. 
 
O momento máximo resistido pela peça é dado por: 
 
𝑀𝑅𝑑 = 𝑓𝑦𝑑. 𝐴𝑠1. (𝑑 −
𝜆𝑥
2
) → 𝑀𝑅𝑑 =
50
1,15
. 4. ((50 − 4,8) −
0,8.8,95
2
) 
 
𝑀𝑅𝑑 = 7238 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
 
Como 𝑀𝑅𝑑 = 𝑀𝑅𝑘 . 1,4, então: 
 
𝑀𝑅𝑘 =
7238
1,4
→ 𝑀𝑅𝑘 = 5170 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 
 
Considerando a situação mais desfavorável (𝑀𝑆𝑑 = 𝑀𝑅𝑑), sabe-se que a peça 
estará trabalhando no Domínio 2 com 𝜀𝑠𝑑 = 10‰ e, portanto, 𝜎𝑠 = 𝑓𝑦𝑑, logo: 
 
𝜎𝑠 = 𝑓𝑦𝑑 =
50
1,15
 → 𝜎𝑠 = 43,5 𝑘𝑁/𝑐𝑚
2 
 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 17 
 
 
NOTAS DE AULA - Prof. Msc. Aloísio Sthéfano 
A deformação do concreto na face mais comprimida é dada pela equação de 
compatibilidade: 
 
𝜉 =
𝜀𝑐𝑑
𝜀𝑐𝑑 + 𝜀𝑠𝑑
→ 0,198 =
𝜀𝑐𝑑
𝜀𝑐𝑑 + 10‰
→ 𝜀𝑐𝑑 = 2,47‰ 
 
 
 
As vigas V2 e V3 ficam como exercício para os alunos!!! 
5.7 PROBLEMAS DE DIMENSIONAMENTO 
Esses problemas envolvem o dimensionamento de uma peça para uma dada solicitação. 
É recomendado que se faça o dimensionamento nos domínios 2 ou 3 visando uma ruptura 
da peça do tipo dúctil. Nos problemas de dimensionamento devem ser conhecidos os 
seguintes parâmetros: 
• Dimensões da peça: vão – l, largura– 𝑏𝑤 e altura – ℎ; 
• Resistência do concreto à compressão – 𝑓𝑐𝑘; 
• Resistência do aço à tração – 𝑓𝑦𝑘; 
• Momento fletor máximo 𝑀𝑆𝑑 para a seção. 
Com isso, os valores possíveis de serem obtidos são: 
• Altura da linha neutra – 𝑥; 
• Área de aço – 𝐴𝑠; 
• Tensão – 𝜎𝑠 e deformação – 𝜀𝑠𝑑 na armadura; 
• Deformação no concreto 𝜀𝑐𝑑. 
Pode também ser necessária a obtenção de uma altura mínima da peça para suportar um 
dado momento fletor quando a posição da linha neutra for pré-definida. Nesse caso, os 
parâmetros conhecidos são: 
• Dimensões da peça: vão – l, largura – 𝑏𝑤; 
• Resistência do concreto à compressão – 𝑓𝑐𝑘; 
• Resistência do aço à tração – 𝑓𝑦𝑘; 
• Momento fletor máximo 𝑀𝑆𝑑 para a seção; 
• altura da linha neutra – 𝑥. 
Com isso, os valores possíveis de serem obtidos são: 
• Altura da viga – ℎ; 
• Área de aço – 𝐴𝑠; 
A seguir serão apresentado exemplos de problemas de dimensionamento. 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 18 
 
 
NOTAS DE AULA - Prof. Msc. Aloísio Sthéfano 
Exemplo: Determinar a 𝐴𝑠 e o domínio em que a peça se encontra. Na peça será utilizado 
Aço 𝐶𝐴 50𝐴 e concreto 𝐶25. A peça deverá resistir a um momento máximo característico 
de 60 𝑘𝑁.𝑚 e deve ser previsto um 𝑑′ = 6 𝑐𝑚. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Fazendo a linha neutra em sua forma adimensional: 
𝜉 =
𝑥
𝑑
=
6,74
60 − 6
 → 𝜉 = 0,125 
Como 𝜉 < 𝜉2𝑎,𝑙𝑖𝑚 a peça se encontra no Domínio 2 e, portanto, sua ductilidade está 
garantida. 
A área de aço necessária para resistir ao momento solicitante é dada por: 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑆𝑑
𝑓𝑦𝑑. (𝑑 −
𝜆. 𝑥
2
)
=
60 × 102. 1,4
50
1,15
. ((60 − 6) −
0,8.6,74
2
)
 → 𝐴𝑠 = 3,77 𝑐𝑚
2 
 
 A altura da linha neutra é cálculada por: 
𝑥 =
𝑑
𝜆
. (1 − √1 −
2
𝛼𝑐
.
𝑀𝑆𝑑
𝑓𝑐𝑑. 𝑏. 𝑑2
) 
𝑥 =
60 − 6
0,8
.
(
 
 
1 − √1 −
2
0,85
.
60 × 102. 1,4
25 × 10−1
1,4
. 20. (60 − 6)2
)
 
 
 
𝑥 = 6,74 𝑐𝑚 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 19 
 
 
NOTAS DE AULA - Prof. Msc. Aloísio Sthéfano 
6 VIGAS 
 
Vigas são elemento lineares em que uma de suas dimensões (vão – l) é muito maior do 
que as outras duas (base – 𝑏𝑤 e altura – ℎ), como representado na Figura 11. 
Figura 11: Dimensões de uma viga. 
 
Fonte: Autor 
A relação entre as dimensões de base e altura da viga permitem classificá-la como “viga 
usual” quando 2 ≤ ℎ/𝑏𝑤 ≤ 5 ou “viga chata” quando ℎ/𝑏𝑤 ≤ 1. 
A NBR 6118:2014 define no item 18.3.1 que as vigas biapoiadas com altura inferior a 
metade do vão teórico (ℎ ≤ 𝑙/2) e vigas contínuas com altura menor que um terço do 
vão teórico (ℎ ≤ 𝑙/3) devem ser tratadas como vigas para os detalhamentos, conforme 
item 18.3. Vigas com altura maior do que as descritas devem ser tratadas como vigas 
parede e seguir as prescrições da seção 22 da referida norma, cujas hipóteses de 
dimensionamento e comportamento estrutural diferem de vigas usuais. Nesse curso não 
serão estudadas as vigas paredes. 
Os esforços calculados nas vigas podem ser obtidos de acordo com os métodos estudados 
nas disciplinas de Isostática, Resistência dos Materiais e Hiperestática, ou através de 
análises matriciais mais complexas envolvendo o método das grelhas ou o método dos 
elementos finitos. Nesse curso, será estudado o comportamento das vigas quando 
submetidas à flexão simples (momentos fletores e esforços cortantes) e à torção 
(momentos torsores). 
6.1 FLEXÃO SIMPLES 
Nesta etapa, serão estudados os efeitos das tensões normais ao plano da seção (𝜎) geradas 
pelos momentos fletores. Como já é sabido, uma das bases para o dimensionamento das 
peças fletidas de concreto armado é prever que a sua ruptura ocorra de maneira dúctil 
(𝜉 < 𝜉𝑙𝑖𝑚) quando atingido o ELU. Existem, para tanto, formas de controlar o valor da 
relação 𝜉 = 𝑥/𝑑 para garantir a ductilidade da peça, por exemplo: 
• Aumentar a capacidade resistente da seção: 
• Usar Armadura Dupla. 
• Aumentar a Seção de Concreto: 
Aumentar a altura – ℎ 
Aumentar a base – 𝑏𝑤 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 20 
 
 
NOTAS DE AULA - Prof. Msc. Aloísio Sthéfano 
Seção T 
• Aumentar o 𝑓𝑐𝑘 da peça. 
 
• Diminuir o esforço solicitante: 
• Diminuir o vão da viga – l. 
• Diminuir o carregamento – 𝑝. 
Nesse curso serão estudados três casos de dimensionamento de seções submetidas à 
flexão simples: Seções Simplesmente Armadas, Seções Duplamente Armadas e Seções 
T. Em todos os casos, é conveniente que sejam respeitados os limites mínimos para 
armadura principal (armadura de tração). 
Segundo a NBR 6118:2014, item 17.3.5.2.1: “A armadura mínima de tração, em 
elementos estruturais armados ou protendidos deve ser determinada pelo 
dimensionamento da seção a um momento fletor mínimo dado pela expressão a seguir, 
respeitada a taxa mínima absoluta de 0,15%” 
𝑀𝑑,𝑚í𝑛 = 0,8.𝑊0. 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝 
onde: 
• 𝑊0 é o módulo de resistência da seção transversal bruta de concreto relativo á 
fibra mais tracionada, podendo ser calculado por: 𝑊0 = 𝑏. ℎ
2/6 
• 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝 é a resistência característica do concreto à tração calculada por: 𝑓𝑐𝑡𝑘,𝑠𝑢𝑝 =
1,3 × 0,3 × 𝑓𝑐𝑘
2/3
 
A relação entre a área de aço e a área de concreto é chamada de taxa de armadura da seção 
e é calculada por: 
𝜌 =
𝐴𝑠
𝐴𝑐
 
Para garantir a taxa mínima de armaduras recomendada pela NBR 6118:2014 faz-se que: 
𝜌 ≥ 𝜌𝑚í𝑛 
ou seja, a área de aço mínima à tração é, usualmente, calculada por: 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 𝜌𝑚í𝑛 × 𝐴𝑐 
Os valores de 𝜌𝑚𝑖𝑛 dependem do 𝑓𝑐𝑘 da peça e podem ser determinados pela NBR 
6118:2014 de acordo com o apresentado na Tabela 1. 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 21 
 
 
NOTAS DE AULA - Prof. Msc. Aloísio Sthéfano 
Tabela 1: Taxas mínimas de armaduras para vigas á flexão. 
 
Fonte: NBR 6118, 2014, p. 117. 
Observe na nota “a” apresentada na tabela que os valores de 𝜌𝑚í𝑛 definidos pressupõem 
o uso de aço CA-50, 𝑑 ℎ⁄ = 0,8, 𝛾𝑐 = 1,4 e 𝛾𝑠 = 1,15. Caso esses fatores sejam 
diferentes, o valor de 𝜌𝑚í𝑛 deve, a princípio, ser recalculado. 
6.1.1 Seção Simplesmente Armada 
A Figura 12 ilustra uma Seção Simplesmente Armada. 
Figura 12: Seção Simplesmente Armada. 
 
Fonte: Autor 
A seção simplesmente armada é aquela na qual a relação 𝜉 = 𝑥/𝑑 é inferior aos limites 
de ductilidade definidos pela NBR 6118:2014 ou, a critério do projetista, inferiores à 
relação 𝜉 = 𝑥/𝑑 limite entre o domínio 3 e o domínio 4. Para problemas dessa natureza 
pode ser seguido o seguinte roteiro de cálculo: 
1º Definir os dados necessários: 𝑓𝑐𝑘, tipo de aço, 𝑀𝑠𝑘, 𝑏𝑤 e ℎ. 
2º Calcular a altura da linha neutra: 𝑥 → 𝜉/𝑑. 
 
𝑥 =
𝑑
𝜆
. (1 ± √1 −
2
𝛼𝑐
.
𝑀𝑠𝑑
𝑓𝑐𝑑. 𝑏𝑤. 𝑑2
) 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 22 
 
 
NOTAS DE AULA - Prof. Msc. Aloísio Sthéfano 
 
3º Verificar a se 𝜉 ≤ 𝜉𝑙𝑖𝑚 e classificá-la entre o Domínio 2 e o Domínio 3. 
4º Calcular a área de aço tracionada e verificar se esta é superior à área de aço mínima 
necessária: 
𝐴𝑠 =
𝑀𝑠𝑑
𝑓𝑦𝑑. (𝑑 −
𝜆. 𝑥
2 )
 
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 𝜌𝑚í𝑛. 𝐴𝑐 
 
Exercício Resolvido: A viga V05 a seguir faz parte do conjunto de vigas do primeiro 
pavimento de uma edificação. Ela é carregada apenas com a carga da cobertura e seu peso 
próprio. Dimensione a armadura à flexão da peça considerando os seguintes dados de 
projeto: 
Dados do Projeto: 
Resistência Característica do Concreto - 𝑓𝑐𝑘 = 30 𝑀𝑃𝑎 
Tensão de Escoamento do Aço - 𝑓𝑦𝑘 = 500 𝑀𝑃𝑎 
Cobrimento de Viga - 𝑑′ = 3 𝑐𝑚 
Peso Específico do Concreto Armado - 𝛾𝐶𝐴 = 25 𝑘𝑁/𝑚³ 
Carga Permanente - 𝑞𝑐 = 8 𝑘𝑁/𝑚 
Utilizar Combinação Normal de Carregamento 
 
Resolução: 
O vão teórico da viga é dado por: 
𝑙𝑥 = 450 − 10 − 10 → 𝑙𝑥 = 430 𝑐𝑚 
O peso próprio do elemento equivale a uma carga distribuída de: 
𝑞𝑃𝑃 = 25 × 0,12 × 0,40 → 𝑞𝑃𝑃 = 1,2 𝑘𝑁/𝑚 
Logo, a carga permanente na viga é de: 
Estruturas de ConcretoArmado segundo a NBR 6118:2014 23 
 
 
NOTAS DE AULA - Prof. Msc. Aloísio Sthéfano 
𝑞𝑃 = 𝑞𝑃𝑃 + 𝑞𝑐 = 2 + 8 → 𝑞𝑃 = 9,2 𝑘𝑁/𝑚 
Portanto, o esquema estático da viga é: 
 
Observa-se então que: 
𝑑 = 40 − 3 = 37𝑐𝑚 
𝑓𝑐𝑘 = 30𝑀𝑃𝑎 = 3𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
𝑓𝑦𝑘 = 500𝑀𝑃𝑎 = 50𝑘𝑁/𝑐𝑚² 
A altura da linha neutra é calculada por: 
𝑥 =
37
0,80
.
(
 
 
1 − √1 −
2
0,85
.
2126 . 1,4
3
1,4 . 12 . 37
2
)
 
 
→ 𝑥 = 4,86 𝑐𝑚 
Verificando a ductilidade da peça: 
𝜉 =
4,86
37
= 0,131 < 𝜉𝑙𝑖𝑚 = 0,45 
Como 𝜉 = 0,131, a viga está no Domínio 2. 
A área de aço é dada por: 
𝐴𝑠 =
2126 . 1,4
50
1,15 . (37 −
0,80 . 4,86
2 )
→ 𝐴𝑠 = 1,953 𝑐𝑚
2 
A área de aço mínima é calculada por: 
𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 =
0,173
100
. 12 . 40 → 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛 = 0,830 𝑐𝑚
2 
𝑀𝑚á𝑥 =
9,2.4,32
8
→ 𝑀𝑚á𝑥 = 21,26 𝑘𝑁.𝑚 
 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 24 
 
 
NOTAS DE AULA - Prof. Msc. Aloísio Sthéfano 
Como 𝐴𝑠 > 𝐴𝑠,𝑚𝑖𝑛, deve ser utilizada a 𝐴𝑠 calculada. Neste caso, poderiam ser utilizadas, 
por exemplo, 2 barras de 10mm (𝐴𝑠,10 = 0,785 𝑐𝑚
2) mais 1 barra de 8 mm (𝐴𝑠,8 =
0,501 𝑐𝑚2) para atender ao esforço máximo solicitante. 
6.1.2 Seção Duplamente Armada 
Figura 13: Seção Duplamente Armada. 
 
Fonte: Autor. 
Quando a peça é muito solicitada e a relação 𝜉 = 𝑥/𝑑 é maior do que 𝜉𝑙𝑖𝑚, é 
recomendado, inicialmente, verificar a possibilidade de aumentar alguma das dimensões 
da viga (preferencialmente a altura). Não sendo possível esse aumento devido às 
limitações definidas no projeto arquitetônico, pode-se optar pelo o uso da seção 
duplamente armada. O uso da seção duplamente armada permite que a altura da linha 
neutra (x) seja controlada a partir do emprego de uma área de aço (𝐴𝑠′) para resistir aos 
esforços de compressão junto ao concreto. 
Nessas peças, a área de concreto necessária para resistir aos esforços de compressão é 
maior que a área que garante a ductilidade da peça. Sendo assim, para controlar a altura 
da linha neutra faz-se: 
𝐴𝑐 = 𝐴𝑐,𝑙𝑖𝑚 → 𝐴𝑐,𝑙𝑖𝑚 = 𝑏. 𝜆. 𝑥lim 
Colocando em função de valores usuais para limites de ductilidade: 
𝐴𝑐,𝑙𝑖𝑚 = 𝑏. 𝜆. 𝑑. 𝜉𝑙𝑖𝑚 
Lembrando que: 
• 𝜉𝑙𝑖𝑚 = {
0,45 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 20 𝑀𝑃𝑎 ≤ 𝑓𝑐𝑘 < 50 𝑀𝑃𝑎
0,35 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜𝑠 50 𝑀𝑃𝑎 ≤ 𝑓𝑐𝑘 ≤ 90𝑀𝑃𝑎
 
Sendo assim, a força resistente de compressão (𝑅𝑐𝑑) fica limitada a: 
𝑅𝑐𝑑 = 𝛼𝑐.
𝑓𝑐𝑘
1,4
. 𝑏. 𝑑. 𝜆. 𝜉𝑙𝑖𝑚 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 25 
 
 
NOTAS DE AULA - Prof. Msc. Aloísio Sthéfano 
limitou-se o momento resistido pela área de concreto limite (𝐴𝑐,𝑙𝑖𝑚) em conjunto com a: 
𝑅𝑐𝑑 = 𝛼𝑐.
𝑓𝑐𝑘
1,4
. 𝑏. 𝑑. 𝜆. 𝜉𝑙𝑖𝑚 
A área de aço (𝐴𝑠) chama-se esse momento de momento limite da seção (𝑀𝑠𝑑,𝑙𝑖𝑚), a 
reação na área de concreto (𝑅𝑐𝑑) gerada por esse momento é calculada por: 
Como 𝑅𝑐𝑑 = 𝑅𝑠𝑑 tem-se que: 
𝑅𝑐𝑑 = 𝑅𝑠𝑑 = 𝐴𝑠.
𝑓𝑦𝑘
1,15
 
Logo: 
𝐴𝑠 = 𝑅𝑐𝑑.
1,15
𝑓𝑦𝑘
 
Observa-se, então, que fica limitado o momento resistido pela área de concreto limite 
(𝐴𝑐,𝑙𝑖𝑚) em conjunto com a área de aço (𝐴𝑠) calculada. Esse momento é chamado de 
momento limite da seção (𝑀𝑅𝑑,𝑙𝑖𝑚), e pode ser calculado por: 
𝑀𝑅𝑑,𝑙𝑖𝑚 = 𝑅𝑐𝑑. 𝑧 
ou seja, 
𝑀𝑅𝑑,𝑙𝑖𝑚 = 𝑅𝑐𝑑. (𝑑 −
𝜆. 𝑥𝑙𝑖𝑚
2
) 
Dessa forma sobra uma parcela da solicitação (Δ𝑀𝑠𝑑) a qual ainda precisa ser resistida. 
Essa parcela é calculada por: 
Δ𝑀𝑠𝑑 = 𝑀𝑠𝑑 −𝑀𝑅𝑑,𝑙𝑖𝑚 
Essa parcela da solicitação deverá ser resistida por um binário gerado pelas áreas de aço 
adicionais (𝐴𝑠′) separadas pelo braço de alavanca 𝑧′ como indicado na Figura 13. Essa 
área de aço adicional é calculada por: 
𝐴𝑠
′ =
Δ𝑀𝑠𝑑
𝑓𝑦𝑑. 𝑧
′
 
Sendo 𝑑" a distância da face mais comprimida até o centro de gravidade das armaduras 
comprimidas, pode-se calcular a distância 𝑧′ como 𝑧′ = 𝑑 − 𝑑", logo: 
𝐴𝑠
′ =
Δ𝑀𝑠𝑑
𝑓𝑦𝑑. (𝑑 − 𝑑")
 
As áreas de aço da seção será, portanto: 
• 𝐴𝑠,𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑎 = 𝐴𝑠 + 𝐴𝑠
′ 
• 𝐴𝑠,𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖𝑑𝑎 = 𝐴𝑠
′ 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 26 
 
 
NOTAS DE AULA - Prof. Msc. Aloísio Sthéfano 
Há, no entanto, limites para o uso de armadura dupla, sendo eles: 
• Δ𝑀𝑠𝑑 ≤ 𝑀𝑅𝑑,𝑙𝑖𝑚 
• 𝜌 ≤ 4% 
Em resumo, peças duplamente armadas são calculadas em duas etapas: 
• 1ª Seção: Cálculo da área de aço (𝐴𝑠) que trabalhará em conjunto com a área de 
concreto máxima que pode ser solicitada para resistir ao momento limite 
(𝑀𝑅𝑑,𝑙𝑖𝑚). 
• 2ª Seção: Cálculo das áreas de aço adicionais (𝐴𝑠′) que resistirão ao momento 
solicitante excedente (Δ𝑀𝑠𝑑). 
Figura 14: Composição da seção de uma peça duplamente armada. 
 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 27 
 
 
NOTAS DE AULA - Prof. Msc. Aloísio Sthéfano 
Fonte: Autor. 
Roteiro de cálculo: 
1º Definir os dados da seção: 𝑓𝑐𝑘, tipo de aço, 𝑀𝑠𝑘, 𝑏𝑤 e ℎ. 
2º Calcular a linha neutra: 𝑥 → 𝜉/𝑑. 
𝑥 =
𝑑
𝜆
. (1 ± √1 −
2
𝛼𝑐
.
𝑀𝑠𝑑
𝑓𝑐𝑑. 𝑏𝑤. 𝑑2
) 
3º Verificar a ductilidade da ruptura da peça: como 𝜉 > 𝜉𝑙𝑖𝑚, faz-se 𝑥 = 𝜉𝑙𝑖𝑚. 𝑑 
4º Calcular a área de aço (𝐴𝑠) considerando uma seção simplesmente armada com o 
valor de 𝜉𝑙𝑖𝑚. 
5º Verifica-se o momento resistente limite (𝑀𝑅𝑑,𝑙𝑖𝑚) e calcula-se o valor do 
momento solicitante excedente (Δ𝑀𝑠𝑑) 
6º Calcula-se a área de aço (𝐴𝑠
′ ). 
 
Exercício Resolvido: Dimensione as armaduras de flexão do trecho de uma viga de 
5,70 𝑚 de vão teórico submetida a um carregamento de 8 𝑘𝑁/𝑚 engastada em uma 
extremidade e livre na outra (viga em balanço). 
Dados: Seção 12/60; 𝑑’ = 6 𝑐𝑚; 𝑑′′ = 5 𝑐𝑚; 𝑓𝑐𝑘 = 25 𝑀𝑃𝑎; 𝐴ç𝑜 𝐶𝐴50. 
Resolução: 
Momento no engaste: 
𝑀𝑚á𝑥 =
8 × 5,72
2
→ 𝑀𝑚á𝑥 = 129,96 𝑘𝑁.𝑚 
A altura da linha neutra é calculada por: 
𝑥 =
60 − 6
0,80
.
(
 
 
1 − √1 −
2
0,85
.
129,29 × 102. 1,4
25 × 10−1
1,4 . 15.
(60 − 6)2
)
 
 
→ 𝑥 = 29,41 𝑐𝑚 
Verificando a ductilidade da peça: 
𝜉 =
27,64
56
= 0,545 > 𝜉𝑙𝑖𝑚 
Para um 𝑓𝑐𝑘 = 25 𝑀𝑃𝑎 tem-se que 𝜉𝑙𝑖𝑚 = 0,45. Dessa forma, o momento limite que 
pode ser resistido pela seção de concreto é: 
𝑅𝑐𝑑 = 0,85.
25 × 10−1
1,4
. 12.54.0,80.0,45 → 𝑅𝑐𝑑 = 354,09𝑘𝑁 
Sendo assim, a área de aço 𝐴𝑠 é calculada por: 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 28 
 
 
NOTAS DE AULA - Prof. Msc. Aloísio Sthéfano 
𝐴𝑠 = 354,09.
1,15
50
→ 𝐴𝑠 = 8,144 𝑐𝑚
2 
O momento excedente (Δ𝑀𝑑) é dado por: 
Δ𝑀𝑑 = 129,29.1,4 − 354,09.0,54 (1 −
0,80.0,45
2
) → Δ𝑀𝑑 = 24,21 𝑘𝑁.𝑚 
Dessa forma: 
𝐴𝑠
′ =
24,21 × 102
56 − 4
.
1,15
50
→ 𝐴𝑠
′ = 1,136 𝑐𝑚2 
Portanto: 
𝐴𝑠,𝑝𝑟𝑖𝑛𝑐𝑖𝑝𝑎𝑙 = 8,144 + 1,136 = 9,280 𝑐𝑚
2 
𝐴𝑠,𝑠𝑒𝑐𝑢𝑛 = 1,136 𝑐𝑚
2 
 
6.1.3 Seção T 
Figura 15: Parâmetros da seção T 
 
Fonte: Autor 
Outra forma de aumentar a capacidade resistente da seção transversal é através do 
aumento da área de concreto comprimida. As seções T são utilizadas visando o aumento 
da área de concreto na região da seção onde a peça é comprimida. As seções T ocorrem, 
geralmente, em duas formas: 
• Seções T Reais: São, geralmente, elementos pré-moldados, muito utilizados na 
construção de pontes e pavimentos de garagem. 
• Seções T Virtuais: São os casos em que se pode considerar um trecho da laje como 
parte da seção resistente de concreto da viga. 
 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 29 
 
 
NOTAS DE AULA - Prof. Msc. Aloísio Sthéfano 
Figura 16: Seções T Reais: Duplo T; T Simples; T Invertido. 
 
Fonte: Autor. 
Figura 17: Vigas T Virtuais. 
 
Fonte: Autor 
A NBR 6118:2014 diz que: “Quando a estrutura for modelada sem a consideração 
automática da ação conjunta de lajes e vigas, esse efeito pode ser considerado mediante 
a adoção de uma largura colaborante da laje associada à viga, compondo uma seção 
transversal T. A consideração da seção T pode ser feita para estabelecer as distribuições 
deesforços internos, tensões, deformações e deslocamentos na estrutura, de uma forma 
mais realista”. 
Largura colaborante de vigas de seção T 
Segundo a NBR 6118:2014 “A largura colaborante bf deve ser dada pela largura da 
viga bw acrescida de no máximo 10% da distância a entre pontos de momento fletor nulo, 
para cada lado da viga que houver laje contribuinte”. 
As distâncias 𝑎 podem ser adotadas conforme definido na Figura 18 a seguir. 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 30 
 
 
NOTAS DE AULA - Prof. Msc. Aloísio Sthéfano 
Figura 18: Distâncias a. 
Fonte: Autor 
A largura colaborante é dada pela soma das dimenções 𝑏1, 𝑏𝑤 e 𝑏3 conforme mostra a 
Figura 19 a seguir, sendo 𝑏1 e 𝑏3 dados por: 
𝑏1 ≤ {
0,1 𝑎
0,5 𝑏2
 𝑏3 ≤ {
0,1 𝑎
𝑏4
 
 
Figura 19: Parametros para cálculo da largura colaborante. 
Fonte: Autor 
A determinação da linha neutra em seções T não é uma análise simples, segundo FUSCO 
(1981, p. 87): “Considerando-se o diagrama parábola retângulo de tensões, a 
determinação da resultante de tensões de compressão na mesa da seção exige a 
Viga simplesmente apoiada: 𝑎 = l 
Tramo mono-engastado: 𝑎 = 0,75 l 
Tramo bi-engastado: 𝑎 = 0,6l 
Tramo em balanço: 𝑎 = 2l 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 31 
 
 
NOTAS DE AULA - Prof. Msc. Aloísio Sthéfano 
construção de tabelas ou de ábacos especiais”. Existem, no entanto, formas de cálculo 
mais simples as quais serão estudadas nesse capítulo. Para isso deve-se, inicialmente, 
fazer a determinação da posição da linha neutra considerando a seção T analisada como 
uma seção retangular equivalente de base 𝑏𝑓 e altura ℎ. Existem dois casos que podem 
ocorrer: 
• Caso 1 (𝜆. 𝑥 ≤ ℎ𝑓): A linha neutra reduzida corta a mesa na seção, nesse caso a 
peça pode ser tratada como uma seção retangular de base 𝑏𝑓 e altura ℎ. 
• Caso 2 (𝜆. 𝑥 > ℎ𝑓): A linha neutra reduzida corta a alma da seção; esse caso exige 
uma análise mais detalhada mostrada mais à frente. 
Vale ressaltar que a linha neutra calculada pela equação deduzida nesse módulo não é 
aplicável para as seções T, uma vez que na fórmula é considerada uma seção retangular 
de dimensões 𝑏 e ℎ. A análise é feita partindo da premissa de que a altura da linha neutra 
para uma seção retangular equivalente, para valores de 𝜆. 𝑥 > ℎ𝑓, sempre será mais baixa 
que para sua seção T original 
No primeiro caso a viga pode ser tratada como uma seção retangular comum onde 𝑏 = 𝑏𝑓 
como mostrado na Figura 20. 
Figura 20: Composição de seção T para 𝜆. 𝑥 ≤ ℎ𝑓. 
 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 32 
 
 
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Fonte: Autor 
 
 
Roteiro de cálculo: 
1º Definir os dados da seção: 𝑓𝑐𝑘, tipo de aço, 𝑀𝑠𝑘, 𝑏𝑓 e ℎ. 
2º Verifica-se que 𝜆. 𝑥 ≤ ℎ𝑓 
3º Calcular a área de aço tracionada e verificar se esta é superior à área de aço 
mínima: 
𝐴𝑠 > {
𝐴𝑠 =
𝑀𝑠𝑑
𝑓𝑦𝑑. (𝑑 −
𝜆. 𝑥
2 )
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 𝜌𝑚í𝑛. 𝐴𝑐
 
 
Já no segundo caso, pode-se tratar a seção como a soma de outras duas seções conforme 
apresentado na Figura 21. 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 33 
 
 
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Figura 21: Composição de seção T para 𝜆. 𝑥 > ℎ𝑓. 
 
Fonte: Autor 
Sendo que: 
𝑅𝑐𝑑 = 𝑅𝑐𝑑1 + 𝑅𝑐𝑑2 
𝑅𝑠𝑑 = 𝑅𝑠𝑑1 + 𝑅𝑠𝑑2 
𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1 + 𝐴𝑠2 
Roteiro de cálculo: 
1º Procurar os dados da seção: 𝑓𝑐𝑘, tipo de aço, 𝑀𝑠𝑘, 𝑏𝑓 e ℎ. 
2º Verifica-se que 𝑥 > ℎ𝑓 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 34 
 
 
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3º Calcula-se o momento (𝑀𝑠1) resistido pela seção contida exclusivamente na mesa: 
𝑀𝑠1 = (𝛼𝑐. 𝑓𝑐𝑑). (2 ×
𝑏𝑓 − 𝑏𝑤
2
. ℎ𝑓) 
4º Calcula-se a área de aço (𝐴𝑠1): 
𝐴𝑠1 =
𝑀𝑠1
𝑓𝑦𝑑. (𝑑 −
ℎ𝑓
2
)
. 
5º Calcula-se o momento (𝑀𝑠2) resistido pela seção contida exclusivamente na mesa: 
𝑀𝑠2 = 𝑀𝑠𝑑 −𝑀𝑠1 
6º Calcula-se a linha neutra (𝑥) para a seção 2: 
𝑥 =
𝑑
𝜆
. (1 ± √1 −
2
𝛼𝑐
.
𝑀𝑠2
𝑓𝑐𝑑. 𝑏𝑤. 𝑑2
) 
7º Calcula-se a área de aço (𝐴𝑠2): 
𝐴𝑠2 =
𝑀𝑠2
𝑓𝑦𝑑. (𝑑 −
𝜆. 𝑥
2 )
. 
8º Calculas a área de aço tracionada e verificar se é superior à área de aço mínima: 
𝐴𝑠 > {
𝐴𝑠 = 𝐴𝑠1 + 𝐴𝑠2
𝐴𝑠,𝑚í𝑛 = 𝜌𝑚í𝑛. 𝐴𝑐
 
Exercício Resolvido: Dimensione as armaduras à flexão da viga V11 do esquema a 
seguir. Na obra foram executadas as vigas junto com as lajes e sabe-se que a linha neutra 
está a uma altura 𝑥 = 13,75 𝑐𝑚 da mesa. 
Dados do Projeto: 
𝑓𝑐𝑘 = 25 𝑀𝑃𝑎 
𝐴ç𝑜 𝐶𝐴50 − 𝐴 
𝑑′ = 8 𝑐𝑚 
 
Resolução: 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 35 
 
 
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Largura Colaborante: 
Pelo corte AA e conhecimento prévios de hiperestática faz-se o seguinte esboço do 
esquema estático: 
 
Dessa forma a largura colaborante da laje L5 será: 
𝑏1 ≤ {
0,1 (0,6 × 350) = 21 𝑐𝑚
0,5 × 350 = 175 𝑐𝑚
 
Para a laje L6: 
𝑏3 ≤ {
0,1 (2 × 100) = 20 𝑐𝑚
150 = 150 𝑐𝑚
 
Sendo assim a seção da viga V11 pode ser tratada como: 
 
Calculando a área de aço da seção 1: 
𝑅𝑐𝑑1 = 0,85.
25 × 10−1
1,4
. (20 + 30). 0,8.10 = 607,14 𝑘𝑁 
Logo: 
𝐴𝑠1 = 607,14.
1,15
50
→ 𝐴𝑠1 = 13,964 𝑐𝑚
2 
Para a seção 2: 
𝑅𝑐𝑑2 = 0,85.
25 × 10−1
1,4
. 12.0,8.13,75 = 200,35 𝑘𝑁 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 36 
 
 
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Logo: 
𝐴𝑠2 = 200,35.
1,15
50
→ 𝐴𝑠2 = 4,608 𝑐𝑚
2 
Portanto: 
𝐴𝑠 = 13,964 + 4,608 → 𝐴𝑠 = 18,572 
 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 37 
 
 
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6.2 SOLICITAÇÕES TANGENCIAIS 
Para as armaduras tangenciais o valor de 𝜎𝑠 adotado é 𝑓𝑦𝑤𝑑 com relação a esse valor a 
NBR 6118:2014 traz o seguinte: “𝑓𝑦𝑤𝑑 é a tensão na armadura transversal passiva, 
limitada ao valor fyd no caso de estribos e a 70 % desse valor no caso de barras 
dobradas, não se tomando, para ambos os casos, valores superiores a 435 Mpa [...]’. 
Dessa forma pode-se escrever: 
 
𝑓𝑦𝑤𝑑 =
𝑓𝑦𝑘
1,15
≤ 435 𝑀𝑃𝑎 
6.2.1 Esforço Cortante 
Nesse tópico serão estudados os esforços tangenciais e, para isso, o aluno deve entender 
o comportamento semelhante de treliça da peça de concreto armado, segundo FUSCO 
(2008, p.96) “Nas vigas de concreto armado submetidas a flexão simples, as armaduras 
devem obedecer simultaneamente aos requisitos decorrentes de momentos fletores e de 
forças cortantes. Existem assim, dois modelos simultâneos de comportamento da peça, o 
comportamento de viga e o comportamento de treliça”. 
O comportamento de treliça não ocorre, para peças fletidas, desde o início do 
carregamento. Inicialmente o comportamento das peças de concreto armado é igual ao de 
uma viga de material homogêneo, ou seja, o concreto é o único material solicitado nesse 
período. Com o acréscimo do carregamento e, por consequência, início da fissuração 
inicia-se a passagem do comportamento de viga para o comportamento de treliça. 
Nessa analogia as regiões de concreto delimitadas pelas fissuras podem ser interpretadas 
como as diagonais comprimidas e as armaduras transversais como as diagonais 
tracionadas. Esse comportamento é ilustrado pela Figura 22. 
Figura 22: Analogia da Treliça. 
 
Fonte: FUSCO, 2008, p.97. 
A seguir na Figura 23 estão apresentados os parâmetros que o aluno deve estar 
familiarizado para bom entendimento desse capítulo: 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 38 
 
 
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Figura 23: Parâmetros do comportamento análogo de treliça. 
Fonte: Autor 
Onde o banzo comprimido e as diagonais comprimidas são as regioes de concreto não 
fissuradas, o banzo tracionado e as diagonais tracionadas são as armaduras longitudinais 
principais e as armaduras tangenciais respectivamente, 𝜃 é o ângulo formado entre as 
diagonais comprimidase o eixo logitudinal da peça e 𝛼 é o ângulo formado entre as 
diagonais tracionadas e o eixo longitudinal da peça. 
O cálculo para armaduras de cisalhamento foi feito por meio da analogia da treliça, essa 
analogia ficou conhecida como Analogia da Treliça de Morsch ou Analogia Clássica. Ao 
se fazer uso dessa analogia para o dimensionamento de armaduras algumas hipóteses 
devem ser consideradas, são elas: 
• Hipóteses Básicas 
1. A treliça possui banzos paralelos. 
2. A bielas comprimidas de concreto fazem um ângulo 𝜃 = 45° com o eixo 
longitudinal da peça. 
3. A treliça é isostática, não há engasgamentos dos nós. 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 39 
 
 
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• Hipóteses Modificadas 
1. Utilização da treliça isostática para a concepção do problema. 
2. Decalagem do diagrama de esforços de valor 𝑎𝑙, com 𝑎𝑙 variando entre 0,5𝑑 e 𝑑. 
3. Banzos comprimido e tracionado paralelos, distantes entre si de um braço de 
alavanca 𝑧, com 𝑧 = 0,9𝑑. 
4. Consideração da contribuição do concreto na resistência à tração, através do valor 
𝑉𝑐, para levar em conta a hiperestaticidade da treliça. 
É comum, no entanto, que existam imperfeições no modelo, para o Modelo da Treliça 
Clássica foram constatadas as seguintes imperfeiçoes: 
• A inclinação das fissuras pode ser menor que a admitida por Morsch. 
• Os banzos comprimido e tracionado não são paralelos. Existe o arqueamento do 
banzo comprimido principalmente em direção aos apoios. 
• A treliça é altamente hiperestática. Existe engasgamento das diagonais de tração 
no banzo comprimido, já que estes, assim como as bielas de compressão, possuem 
rigidez bem maior que as barras tracionadas. 
O dimensionamento de armaduras tangenciais pode ser feito de duas formas e ambos 
fazem uso da analogia do comportamendo de treliça da peça, a principal diferença entre 
os modelos são os intervalos de ângulos adotados para as diagonais comprimidas (𝜃). 
Além disso, segundo a NBR 6118:2014: “Na combinação de torção com força cortante, 
o projeto deve prever ângulos de inclinação das bielas de concreto θ coincidentes para 
os dois esforços”. Logo, o dimensionamento de armaduras tangenciais, cisalhamento e 
torção, deve ser feito pelo mesmo modelo com o mesmo ângulo 𝜃. 
• Modelo de Cálculo I: Treliça Clássica ou de Ritter Morsch 
 
𝜃 = 45° e 45° ≤ 𝛼 ≤ 90° 
 
• Modelo de Cálculo II: Treliça Generalizada 
 
30° ≤ 𝜃 ≤ 45° e 45° ≤ 𝛼 ≤ 90° 
Dimensionamento 
O dimensionamento ao esforço cortante é feito segundo duas premissas gerais, são elas: 
1. 𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2 
2. 𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑3 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠𝑤 
Onde: 
𝑉𝑠𝑑 =força cortante solicitante de cálculo 
𝑉𝑅𝑑2 =força cortante resistente de cálculo, relativo à ruína da biela comprimida 
𝑉𝑅𝑑3 =força cortante resistente de cálculo, relativo à ruína por tração diagonal 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 40 
 
 
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𝑉𝑠𝑤 =parcela da força cortante absorvida pelas armaduras transversais 
𝑉𝑐 =parcela da força cortante absorvida pelo concreto 
Considere a seguinte situação genérica: 
 
1ª Premissa: 𝑽𝒔𝒅 ≤ 𝑽𝑹𝒅𝟐 
A tensão nas bielas comprimidas pode ser calculada como: 
𝜎𝑐𝑏 =
𝑅𝑐𝑏
𝐴𝑐𝑏,𝜃
 
Onde 𝑅𝑐𝑏 é o esforço nas bielas comprimidas e 𝐴𝑐𝑏,𝜃 é a área da biela perpendicular ao 
esforço. Para o esforço tem-se que: 
 
𝑅𝑐𝑏 =
𝑉
𝑠𝑒𝑛(𝜃)
 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 41 
 
 
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E para a área: 
𝐴𝑐𝑏,𝜃 = 𝑏. 𝑧. (𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃) + 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛼)). 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 
Logo: 
𝜎𝑐𝑏 =
𝑉
𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝑏. 𝑧. (𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃) + 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛼)). 𝑠𝑒𝑛(𝜃)
=
𝑉
𝑏. 𝑧. (𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃) + 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛼)). 𝑠𝑒𝑛2(𝜃) 
 
A NBR 6118:2014 não deixa claro, mas como descrito no código MC-90 do CEB (1991), 
o valor da tensão de compressão deve ser limitado por: 
𝜎𝑐𝑏,𝑚á𝑥 = 0,6. (1 −
𝑓𝑐𝑘
250
) . 𝑓𝑐𝑑 
Portanto: 
0,6. (1 −
𝑓𝑐𝑘
250
) . 𝑓𝑐𝑑 =
𝑉
𝑏. 𝑧. (𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃) + 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛼)). 𝑠𝑒𝑛2(𝜃)
 
O esforço cortante máximo resistido pelas bielas comprimidas é 𝑉𝑅𝑑2, dessa forma, 
fazendo 𝑉 = 𝑉𝑅𝑑2 podemos encontrar o valor da resistência do concreto ao cisalhamento 
por: 
0,6. (1 −
𝑓𝑐𝑘
250
) . 𝑓𝑐𝑑 =
𝑉𝑅𝑑2
𝑏. 𝑧. (𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃) + 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛼)). 𝑠𝑒𝑛2(𝜃)
 
𝑉𝑅𝑑2 = 0,60. (1 −
𝑓𝑐𝑘
250
) . 𝑓𝑐𝑑. 𝑏. 𝑧. (𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃) + 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛼)). 𝑠𝑒𝑛
2(𝜃) 
Pelas hipóteses modificadas sabe-se que 𝑧 = 0,9𝑑, logo: 
𝑉𝑅𝑑2 = 0,54. 𝛼𝑣2. 𝑓𝑐𝑑. 𝑏. 𝑑. (𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃) + 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛼)). 𝑠𝑒𝑛
2(𝜃) 
Onde 𝛼𝑣2 = (1 −
𝑓𝑐𝑘
250
) com 𝑓𝑐𝑘 em 𝑀𝑃𝑎 
Ajustando a expressão para estribos verticais (𝛼 = 90°): 
𝑉𝑅𝑑2 = 0,54. 𝛼𝑣2. 𝑓𝑐𝑑. 𝑏. 𝑑. cos(𝜃) . 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 
• Modelo de Cálculo I (𝜃 = 45°): 
 
𝑉𝑅𝑑2 = 0,27. 𝛼𝑣2. 𝑓𝑐𝑑. 𝑏. 𝑑 
 
• Modelo de Cálculo II (30° ≤ 𝜃 ≤ 45°): 
 
𝑉𝑅𝑑2 = 0,54. 𝛼𝑣2. 𝑓𝑐𝑑. 𝑏. 𝑑. cos(𝜃) . 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 
 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 42 
 
 
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2ª Premissa: 𝑽𝒔𝒅 ≤ 𝑽𝑹𝒅𝟑 = 𝑽𝒄 + 𝑽𝒔𝒘 
• Cálculo de 𝑉𝑐: 
A segunda premissa considera que é possível que o concreto contribua na resistência ao 
cisalhamento. Para calcular essa contribuição é preciso fazer algumas verificações. 
• Cálculo de 𝑉𝑐 segundo o Modelo de Cálculo I 
Para o Modelo de Cálculo I a contribuição de 𝑉𝑐 será feita de acordo com as seguintes 
condições: 
𝑉𝑐 =
{
 
 
 
 0 , 𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑡á 𝑓𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜
𝑉𝑐0. (1 +
𝑀0
𝑀𝑆𝑑,𝑚á𝑥
) ≤ 2. 𝑉𝑐0 , 𝑒𝑚 𝑝𝑒ç𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑏𝑚𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠 à 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑜 − 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 
𝑉𝑐0 , 𝑒𝑚 𝑝𝑒ç𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑏𝑚𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠 à 𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 𝑜𝑢 𝑓𝑒𝑙𝑥𝑜 − 𝑡𝑟𝑎çã𝑜 
 
Sendo 𝑉𝑐0 = 0,60. 𝑓𝑐𝑡𝑑. 𝑏. 𝑑 e 𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,21.
√𝑓𝑐𝑘
23
𝛾𝑐
 
Como nesse curso são estudados os casos de flexão simples não se discutirá a equação de 
𝑉𝑐0 para os casos de flexo-compressão. 
• Cálculo de 𝑉𝑐 segundo o Modelo de Cálculo II 
Para o Modelo de Cálculo I a contribuição de 𝑉𝑐 será feita de acordo com as seguintes 
condições: 
𝑉𝑐 =
{
 
 
 
 0 , 𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑖𝑛ℎ𝑎 𝑛𝑒𝑢𝑡𝑟𝑎 𝑒𝑠𝑡á 𝑓𝑜𝑟𝑎 𝑑𝑎 𝑠𝑒çã𝑜
𝑉𝑐1. (1 +
𝑀0
𝑀𝑆𝑑,𝑚á𝑥
) ≤ 2. 𝑉𝑐0 , 𝑒𝑚 𝑝𝑒ç𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑏𝑚𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠 à 𝑓𝑙𝑒𝑥𝑜 − 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑠𝑠ã𝑜 
𝑉𝑐1 , 𝑒𝑚 𝑝𝑒ç𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑏𝑚𝑒𝑡𝑖𝑑𝑎𝑠 à 𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑠 𝑜𝑢 𝑓𝑒𝑙𝑥𝑜 − 𝑡𝑟𝑎çã𝑜 
 
O parâmetro 𝑉𝑐1 é dado em função da solicitação tangencial 𝑉𝑆𝑑. Abaixo se encontra um 
gráfico de como 𝑉𝑐1 𝑣𝑠. 𝑉𝑆𝑑 bem como as equações de seus trechos para melhor 
compreensão do leitor: 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 43 
 
 
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Sendo 𝑉𝑐0 = 0,60. 𝑓𝑐𝑡𝑑. 𝑏. 𝑑 e 𝑓𝑐𝑡𝑑 = 0,21.
√𝑓𝑐𝑘
23
𝛾𝑐
 
• Cálculo de 𝑉𝑠𝑤: 
Como parte do esforço nas diagonais é resistido pelo concreto então a parcela a ser 
resistida pelas armaduras tangenciais será menor que 𝑉𝑆𝑑, sendo assim o esforço 
absorvido pelos estribos é: 
𝑉𝑠𝑤 = 𝑉𝑆𝑑 − 𝑉𝑐 
A tensão nas diagonais tracionadas é dada por: 
𝜎𝑠𝑤,𝛼 =
𝑅𝑠,𝛼
𝐴𝑠𝑤,𝛼. 𝑛
 
Com 𝑅𝑠,𝛼 o esforço nas diagonais tracionadas, 𝐴𝑠𝑤,𝛼 a área de aço da seção e 𝑛 o número 
de armaduras longitudinais (estribos) que integram a seção. Para o esforço tem-se que: 
 
Pela imagem acima nota-se que: 
𝑛 =
𝑧. (𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃) + 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛼))
𝑠
 
Onde 𝑠 é o espaçamento entre as diagonais tracionadas (estribos). 
𝑅𝑠,𝛼 =
𝑉
𝑠𝑒𝑛(𝛼)
 
𝑉𝑐1 = {
𝑉𝑐0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑐0 
𝑉𝑐0. (
𝑉𝑅𝑑2 − 𝑉𝑆𝑑
𝑉𝑅𝑑2 − 𝑉𝑐0
) 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑉𝑐0 < 𝑉𝑆𝑑 < 𝑉𝑅𝑑2 
0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑉𝑆𝑑 = 𝑉𝑅𝑑2 
 
Estruturas de Concreto Armado segundoa NBR 6118:2014 44 
 
 
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Sendo assim: 
𝜎𝑠𝑤,𝛼 =
𝑉
𝑠𝑒𝑛(𝛼)
𝐴𝑠𝑤,𝛼.
𝑧. (𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃) + 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛼))
𝑠
 
O esforço cortante absorvido pelos estribos é 𝑉 = 𝑉𝑠𝑤 e para que a armadura trabalhe de 
forma eficiente deve-se ter que 𝜎𝑠𝑤,𝛼 = 𝑓𝑦𝑤𝑑, além disso tem-se pela hipóteses 
modificadas que 𝑧 = 0,9. 𝑑, logo: 
𝑓𝑦𝑤𝑑 =
𝑉𝑠𝑤
𝐴𝑠𝑤,𝛼.
0,9. 𝑑. (𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃) + 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛼))
𝑠
. 𝑠𝑒𝑛(𝛼)
 
É usual, para armaduras tangenciais, deixar a unidade em 𝑐𝑚2/𝑐𝑚, área de aço por 
centímetro de viga. Sendo assim escreve-se: 
𝐴𝑠𝑤,𝛼
𝑠
=
𝑉𝑠𝑤
0,9. 𝑓𝑦𝑤𝑑. 𝑑. (𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃) + 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝛼)). 𝑠𝑒𝑛(𝛼)
 
Ajustando a expressão para estribos verticais (𝛼 = 90°): 
𝐴𝑠𝑤,𝛼
𝑠
=
𝑉𝑠𝑤
0,9. 𝑓𝑦𝑤𝑑. 𝑑. 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃)
 
• Modelo de Cálculo I (𝜃 = 45°): 
 
𝐴𝑠𝑤,𝛼
𝑠
=
𝑉𝑠𝑤
0,9. 𝑓𝑦𝑤𝑑. 𝑑
 
 
• Modelo de Cálculo II (30° ≤ 𝜃 ≤ 45°): 
 
𝐴𝑠𝑤,𝛼
𝑠
=
𝑉𝑠𝑤
0,9. 𝑓𝑦𝑤𝑑. 𝑑. 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃)
 
Em resumo, para estribos verticais, tem-se: 
• Modelo de Cálculo I (𝜽 = 𝟒𝟓°) 
• 1ª Premissa - 𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2 
 
𝑉𝑅𝑑2 = 0,27. 𝛼𝑣2. 𝑓𝑐𝑑. 𝑏. 𝑑 
 
• 2ª Premissa - 𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑3 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠𝑤 
 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 45 
 
 
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Ordem de cálculo: 
{
 
 
 
 
𝑉𝑐0 
𝑉𝑐 
𝑉𝑠𝑤 = 𝑉𝑆𝑑 − 𝑉𝑐 
𝐴𝑠𝑤,𝛼
𝑠
=
𝑉𝑠𝑤
0,9.𝑓𝑦𝑤𝑑.𝑑
 
 
 
• Modelo de Cálculo II (𝟑𝟎° ≤ 𝜽 ≤ 𝟒𝟓°) 
• 1ª Premissa - 𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2 
 
𝑉𝑅𝑑2 = 0,54. 𝛼𝑣2. 𝑓𝑐𝑑. 𝑏. 𝑑. cos(𝜃) . 𝑠𝑒𝑛(𝜃) 
 
• 2ª Premissa - 𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑3 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠𝑤 
 
Ordem de cálculo: 
{
 
 
 
 
𝑉𝑐0 
𝑉𝑐1 
 𝑉𝑐 
𝑉𝑠𝑤 = 𝑉𝑆𝑑 − 𝑉𝑐 
𝐴𝑠𝑤,𝛼
𝑠
=
𝑉𝑠𝑤
0,9.𝑓𝑦𝑤𝑑.𝑑.𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃)
 
 
É importante ressaltar que as armaduras tangenciais ao esforço cortante são calculadas 
para 1 ramo, para os estribos que possuem 2 ramos (usual) a área de aço deve ser dividida 
por 2. 
Armadura Mínima 
Segundo a NBR 6118:2014 a armadura mínima para o cisalhamento é: 
𝜌𝑠𝑤 =
𝐴𝑠𝑤
𝑏. 𝑠. 𝑠𝑒𝑛(𝛼)
≥
0,2. 𝑓𝑐𝑡,𝑚
𝑓𝑦𝑤𝑘
= 0,06.
√𝑓𝑐𝑘
23
𝑓𝑦𝑤𝑘
 
Organizando a expressão: 
𝐴𝑠𝑤,𝑚í𝑛
𝑠
= 0,06.
√𝑓𝑐𝑘
23
𝑓𝑦𝑤𝑘
. 𝑏. 𝑠𝑒𝑛(𝛼) 
Onde: 
𝐴𝑠𝑤 = área da seção transversal dos estribos 
𝑠 = espaçamento entre estribos 
𝛼 = inclinação dos estribos em relação ao eixo longitudinal 
𝑏 = largura da seção 
𝑓𝑦𝑤𝑘 =resistência ao escoamento do aço da armadura transversal 
𝑓𝑐𝑘 = resistência do concreto a compressão 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 46 
 
 
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Exercício Resolvido: Diamensione as armaduras ao esforço cortante para uma viga 
submetida à flexão simples de 25/50, com esforço 𝑉𝑠𝑘 = 210 𝑘𝑁. Usar o Modelo de 
Cálculo II. 
Dados: 
𝑓𝑐𝑘 = 25 𝑀𝑃𝑎 
𝐴ç𝑜 𝐶𝐴50 
𝑑′ = 5 𝑐𝑚 
Estirbos verticais e fechados 
Diagonais de compressão a 45° 
Resolução: 
Verificação da 1ª Premissa (𝑉𝑠𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑2) 
Cálculo de 𝑉𝑅𝑑2: 
𝑉𝑅𝑑2 = 0,54. (1 −
25
250
) .
25 × 10−1
1,4
. 25.45. cos(45°) . 𝑠𝑒𝑛(45°) 
𝑉𝑅𝑑2 = 488,17 𝑘𝑁 
Como: 
𝑉𝑅𝑑2 = 488,17 > 210.1,4 = 294 = 𝑉𝑆𝑑 
A 1ª Premissa foi satisfeita. 
Verificação da 2ª Premissa (𝑉𝑆𝑑 ≤ 𝑉𝑅𝑑3 = 𝑉𝑐 + 𝑉𝑠𝑤) 
Cálculo de 𝑉𝑐0: 
𝑉𝑐0 = 0,60.0,21.
√252
3
1,4
× 10−1. 25.45 = 86,57 𝑘𝑁 
Cálculo de 𝑉𝑐1: 
Como 𝑉𝑐0 < 𝑉𝑆𝑑 < 𝑉𝑅𝑑2 então: 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 47 
 
 
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Cálculo de 𝑉𝑐: 
Como a viga está submetida à flexão simples tem-se que 𝑉𝑐 = 𝑉𝑐1, logo: 
𝑉𝑐 = 41,86 𝑘𝑁 
Cálculo de 𝑉𝑠𝑤: 
𝑉𝑠𝑤 = 294 − 41,86 = 252,14 𝑘𝑁 
Cálculo de da área de aço 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
=
252,14
0,9.
50
1,15 . 45. 𝑐𝑜𝑡𝑔(45°)
= 0,00161 𝑐𝑚2 
A armadura mínima é dada por: 
𝐴𝑠𝑤,𝑚í𝑛
𝑠
= 0,06.
√252
3
50
1,15
× 10−1. 45. 𝑠𝑒𝑛(90°) = 0,0531 𝑐𝑚2 
Como 
𝐴𝑠𝑤,𝑚í𝑛
𝑠
>
𝐴𝑠𝑤
𝑠
 usa-se a armadura mínima. 
Lembrando que 50/1,15 = 43,4 𝑘𝑁 que é menor que o valor máximo de 𝑓𝑦𝑤𝑑 
estabelecido por norma. 
Determinação do arranjo: 
Para estribos fechados tem-se 2 ramos logo: 
𝐴𝑠𝑤
𝑠
=
0,0531
2
= 0,0266 𝑐𝑚2 
Para estribos de 𝜙 = 6,3 𝑚𝑚 tem-se: 
𝑠 =
0,312
0,0266
= 11,73 𝑐𝑚 
𝑉𝑐1 = 86,57. (
488,17 − 294
488,17 − 86,57
) = 41,86 𝑘𝑁 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 48 
 
 
NOTAS DE AULA - Prof. Msc. Aloísio Sthéfano 
Portanto um possível arranjo é: 
𝜙6,3 𝑐12 
6.2.2 Momento Torçor 
Se tratando de torção, os esforços gerados na peça podem ser de dois tipo: 
• Torção de Compatibilidade: São os momentos torçores que surgem devido às 
compatibilizações de deformações da estrutura, dessa forma tem-se duas opções, 
ou se fornece rigidez suficiente para a ligação para que esta resista ao momento 
torçor ou se leva em conta as deformações geradas pelo momento torçor devido à 
falta de rigidez da ligação. Segundo FUSCO (2008, p.310): “Quando a torção 
não for indispensável para a manutenção do equilíbrio, tem-se uma solicitação 
de torção de compatibilidade, em que a torção tende a desaparecer com a 
deformação das peças torcidas. Nesse caso, a torção poderá ser desprezada, se 
os elementos estruturais ligados às peças torcidas tiverem capacidade de 
acomodação plástica compatível com as rotações que serão sofridas pelas peças 
submetidas à torção”. Usualmente não se considera os efeitos das torções de 
compatibilização nas estruturas, para isso basta que em todo o cálculo da peça não 
seja levado em conta esse momento.Ver Figura 24. 
Figura 24: Caso de torção de compatibilidade. 
 
Fonte: Autor. 
• Torção de Equilíbrio: Elas ocorrem quando o momento torçor é necessario para o 
equilíbrio estatico da estrutura, ou seja só existe uma esqeuma estático que 
represente a situação analisada e nele existe o momento torçor. Segundo FUSCO 
(2008, p.310): “Quando a torção for indispensável para o equilíbrio estático da 
estrutura, tem-se uma solicitação de torção de equilíbrio”. São exemplos de 
torção de qeuilibrio: lajes em balanço, balanço com carga excêntrica e mudança 
de direção de viga. Ver Figura 25. 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 49 
 
 
NOTAS DE AULA - Prof. Msc. Aloísio Sthéfano 
Figura 25: Torção de equilíbrio (a) balanço com carga excêntrica (b) laje em balanço (c) 
mudança de direção de viga. 
 
 
Fonte: Autor 
 
Para os casos de torção é comum adaptar o modelo de treliça estudado durante o 
dimensionamento de aramaduras para esfoços cortante para uma treliça espacial como 
mostrado na Figura 26. Ocorre, no entanto, que esse modelo de treliça espacial é 
desenvolvido para peças de paredes delgadas (seções celulares) dessa forma a utilização 
desse método para peças de seção cheia necessitas de adaptações. 
Figura 26: Analogia da treliça espacial. 
(a) (b) 
(c) 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 50 
 
 
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Fonte: Autor 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 51 
 
 
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Figura 27: Comparação entre esforço contante e momento torsor. 
 
Fonte: Adaptada de QiSuporte 
Para o cálculo de armaduras à torção em peças de sção cheia FUSCO (2008, p.303) diz 
que: “O Modelo de treliça espacial, que é intuitivo na torção de peças com seção 
tranversal celular, também pode ser admitido em peças de seção cheia, como se 
demonstra experimentalmente, uma vez que, nas peças, a efetiva seção resistente de 
concreto é formada apenaspor uma camada periférica”. Essa aproximação é feita por 
meio da transformação da seção plena de concreto em uma seção vazada equivalente por 
meio da expressão: 
 
Onde: 
 
2𝑐1 ≤ ℎ𝑒 ≤
𝐴
𝑢
 
 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 52 
 
 
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𝐴 = área da seção cheia 
𝑢 = perímetro da seção cheia 
𝑐1 =distância da barra longitudinal de canto à face lateral do elemento estrutural 
do elemento 
A NBR 6118:2014 ressalta que: “Caso A/u resulte menor que 2c1, pode-se adotar he = 
A/u ≤ bw − 2c1 e a superfície média da seção celular equivalente Ae definida pelos eixos 
das armaduras do canto (respeitando o cobrimento exigido nos estribos)”. 
Para os cálculos de dimensionemto de armaduras se utilizará também os seguintes 
parâmetros: 
 
Dimensionamento 
O dimensionamento ao momento torçor é feito segundo três premissas gerais, são elas: 
1. 𝑇𝑠𝑑 ≤ 𝑇𝑅𝑑2 
2. 𝑇𝑠𝑑 ≤ 𝑇𝑅𝑑3 
3. 𝑇𝑠𝑑 ≤ 𝑇𝑅𝑑4 
Onde: 
𝑇𝑠𝑑 = momento torçor solicitante de cálculo 
𝑇𝑅𝑑2 = limite dado pela resistência das diagonais comprimidas de concreto 
𝑇𝑅𝑑3 = limite definido pela parcela resistida pelos estribos normais ao eixo do elemento 
estrutural 
𝑉𝑠𝑤 = limite definido pela parcela resistida pelas barras longitudinais, paralelas ao eixo 
do elemento estrutural. 
 
𝐴𝑒 = (ℎ − ℎ𝑒). (𝑏 − ℎ𝑒) 
 
𝑢𝑒 = 2. [(ℎ − ℎ𝑒) + (𝑏 − ℎ𝑒)] 
 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 53 
 
 
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1ª Premissa: 𝑻𝒔𝒅 ≤ 𝑻𝑹𝒅𝟐 
A resistência proveniente das diagonais comprimidas de concreto deve ser obtida fazendo 
com que a tensão de compressão na diagonal de concreto fique limitada ao valor máximo 
dado por 0,5. 𝛼𝑣2. 𝑓𝑐𝑑. Assim, o máximo momento de torção que uma seção pode resistir, 
sem que ocorra o esmagamento das diagonais comprimidas é igual a: 
𝑇𝑅𝑑2 = 0,5. 𝛼𝑣2. 𝑓𝑐𝑑. 𝐴𝑒 . ℎ𝑒 . 𝑠𝑒𝑛(2𝜃) 
Onde: 
𝛼𝑣2 = 1 − (
𝑓𝑐𝑘
250
), com 𝑓𝑐𝑘 em 𝑀𝑃𝑎. 
𝜃 = ângulo entre o eixo longitudinal da peça e a diagonal comprimida. 
𝐴𝑒 = área limitada pela linha média da parede da seção vazada, real ou equivalente, 
incluindo a parte vazada. 
ℎ𝑒 = espessura equivalente da parede da seção vazada, real ou equivalente, no ponto 
considerado. 
2ª Premissa: 𝑻𝒔𝒅 ≤ 𝑻𝑹𝒅𝟑 
As armaduras verticais (estribos) são dimensionadas pela segunda premissa por meio da 
expressão: 
𝑇𝑅𝑑3 =
𝐴𝑠,90
𝑠
. 𝑓𝑦𝑤𝑑. 2. 𝐴𝑒. 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃) 
Onde: 
𝐴𝑠,90 = área de aço da armadura transversal (estribos) 
𝑓𝑦𝑤𝑑 = resistência de cálculo de início de escoamento do aço da armadura passiva, 
limitada a 435 MPa; 
𝐴𝑒 = área limitada pela linha média da parede da seção vazada, real ou equivalente, 
incluindo a parte vazada. 
𝑠 = espaçamento entre armaduras. 
𝜃 = ângulo entre o eixo longitudinal da peça e a diagonal comprimida. 
Pode-se dimensionar as armaduras ao momento solicitante fazendo 𝑇𝑅𝑑3 = 𝑇𝑆𝑑, logo: 
𝐴𝑠,90
𝑠
=
𝑇𝑆𝑑
2. 𝐴𝑒 . 𝑓𝑦𝑤𝑑
. 𝑡𝑔(𝜃) 
3ª Premissa: 𝑻𝒔𝒅 ≤ 𝑻𝑹𝒅𝟒 
As armaduras longitudinais são dimensionadas pela terceira premissa por meio da 
expressão: 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 54 
 
 
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𝑇𝑅𝑑4 =
𝐴𝑠𝑙
𝑢𝑒
. 𝑓𝑦𝑤𝑑. 2. 𝐴𝑒 . 𝑡𝑔(𝜃) 
Onde: 
𝐴𝑠𝑙 = soma das áreas das barras longitudinais ao longo do perímetro. 
𝑓𝑦𝑤𝑑 = resistência de cálculo de início de escoamento do aço da armadura passiva, 
limitada a 435 MPa; 
𝐴𝑒 = área limitada pela linha média da parede da seção vazada, real ou equivalente, 
incluindo a parte vazada. 
𝑢𝑒 = perímetro da área 𝐴𝑒. 
𝜃 = ângulo entre o eixo longitudinal da peça e a diagonal comprimida. 
Pode-se dimensionar as armaduras ao momento solicitante fazendo 𝑇𝑅𝑑4 = 𝑇𝑆𝑑, logo: 
𝐴𝑠𝑙
𝑢𝑒
=
𝑇𝑆𝑑
2. 𝐴𝑒. 𝑓𝑦𝑤𝑑
. 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝜃) 
Para o caso em que 𝜃 = 45°, tem-se 
• 1ª Premissa: 
𝑇𝑅𝑑2 = 0,5. 𝛼𝑣2. 𝑓𝑐𝑑. 𝐴𝑒. ℎ𝑒 
 
• 2ª Premissa: 
𝐴𝑠,90
𝑠
=
𝑇𝑆𝑑
2. 𝐴𝑒 . 𝑓𝑦𝑤𝑑
 
 
• 3ª Premissa: 
𝐴𝑠𝑙
𝑢𝑒
=
𝑇𝑆𝑑
2. 𝐴𝑒 . 𝑓𝑦𝑤𝑑
 
Armadura Mínima e Armadura de Pele 
Segundo a NBR 6118:2014 tem-se: 
0,2.
𝑓𝑐𝑡,𝑚
𝑓𝑦𝑤𝑘
≤
{
 
 𝜌𝑠𝑙 =
𝐴𝑠𝑙
ℎ𝑒 . 𝑢𝑒
𝜌𝑠𝑤 =
𝐴𝑠𝑤
𝑏𝑤 . 𝑠
 , 𝑐𝑜𝑚 𝑓𝑦𝑤𝑘 ≤ 500 𝑀𝑃𝑎 
Organizando as expressões acima: 
• Para a armadura vertical: 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 55 
 
 
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𝐴𝑠,90,𝑚í𝑛
𝑠
=
0,2. 𝑓𝑐𝑡,𝑚
𝑓𝑦𝑤𝑘
. 𝑏 
• Para a armadura longitudinal: 
𝐴𝑠𝑙,𝑚í𝑛
𝑢𝑒
=
0,2. 𝑓𝑐𝑡,𝑚
𝑓𝑦𝑤𝑘
. ℎ𝑒 
Para peças com ℎ ≥ 60 𝑐𝑚 a NBR 6118:2014 diz que: “A mínima armadura lateral deve 
ser 0,10 % Ac,alma em cada face da alma da viga e composta por barras de CA-50 ou 
CA-60, com espaçamento não maior que 20 cm e devidamente ancorada nos apoios, 
respeitado o disposto em 17.3.3.2, não sendo necessária uma armadura superior a 5 
cm2/m por face. Em vigas com altura igual ou inferior a 60 cm, pode ser dispensada a 
utilização da armadura de pele. As armaduras principais de tração e de compressão não 
podem ser computadas no cálculo da armadura de pele”. Logo: 
𝐴𝑠,𝑝𝑒𝑙𝑒 =
0,10
100
. 𝑏. ℎ 
Exercício Resolvido: Diamensione as armaduras à torção para uma viga submetida à 
torção de 25/50, com esforço 𝑇𝑅𝑑 = 20 𝑘𝑁.𝑚. Usar o Modelo de Cálculo II. 
Dados: 
𝑓𝑐𝑘 = 25 𝑀𝑃𝑎 
𝐴ç𝑜 𝐶𝐴50 
𝑑′ = 5 𝑐𝑚 
𝑐1 = 4 𝑐𝑚 
Estribos verticais e fechados 
Diagonais de compressão a 45° 
Resolução: 
Verificação da 1ª Premissa (𝑇𝑠𝑑 ≤ 𝑇𝑅𝑑2) 
Cálculu de ℎ𝑒: 
2.4 ≤ ℎ𝑒 ≤
25.50
2. (25 + 50)
→ 8 ≤ ℎ𝑒 ≤ 8,33 
ℎ𝑒 = 8 𝑐𝑚 
Cálculo de 𝐴𝑒: 
𝐴𝑒 = (25 − 8). (50 − 8) = 714 𝑐𝑚
2 
Cálculo de 𝑇𝑅𝑑2: 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 56 
 
 
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𝑇𝑅𝑑2 = 0,5. (1 −
25
250
) .
25 × 10−1
1,4
. 714.8 = 4590 𝑘𝑁. 𝑐𝑚 = 45,9 𝑘𝑁.𝑚 
Como: 
𝑇𝑅𝑑2 = 45,9 > 20.1,4 = 28 = 𝑇𝑆𝑑 
A 1ª Premissa foi satisfeita. 
Verificação da 2ª Premissa (𝑇𝑆𝑑 ≤ 𝑇𝑅𝑑3) 
Cálculo de da área de aço dos estribos: 
𝐴𝑠,90
𝑠
=
20.1,4
2.714.
50
1,15
. 𝑡𝑔(45°) = 0,000451 𝑐𝑚2 
A armadura mínima é dada por: 
𝐴𝑠90,𝑚í𝑛
𝑠
=
0,20
50
1,15
.
√252
3
1,4
× 10−1. 25 = 0,0702 𝑐𝑚2 
Como 
𝐴𝑠𝑤,𝑚í𝑛
𝑠
>
𝐴𝑠𝑤
𝑠
 usa-se a armadura mínima. 
Verificação da 3ª Premissa (𝑇𝑆𝑑 ≤ 𝑇𝑅𝑑4) 
Cálculo de da área de aço dos estribos: 
𝐴𝑠𝑙
𝑢𝑒
=
20.1,4
2.714.
50
1,15
. 𝑡𝑔(45°) = 0,000451 𝑐𝑚2 
A armadura mínima é dada por: 
𝐴𝑠𝑙,𝑚í𝑛
𝑢𝑒
=
0,20
50
1,15
.
√252
3
1,4
× 10−1. 8 = 0,0225 𝑐𝑚2 
Como 
𝐴𝑠𝑤,𝑚í𝑛
𝑢𝐸
>
𝐴𝑠𝑤
𝑢𝑒
 usa-se a armadura mínima. 
Lembrando que 50/1,15 = 43,4 𝑘𝑁 que é menor que o valor máximo de 𝑓𝑦𝑤𝑑 
estabelecido por norma. 
Determinação do arranjo: 
Para armaduras verticais: 
Para estribos de 𝜙 = 8 𝑚𝑚 tem-se: 
𝑠 =
0,503
0,0702
= 7,17 𝑐𝑚 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 57 
 
 
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Portanto um possível arranjo é: 
𝜙8 𝑐8 
 
Para armaduras longitudinais: 
A armadura longitudinal a ser distribuída pelo perímetro é: 
𝐴𝑠𝑙 = 0,0225.2. [(50 − 8). (25 − 8)] = 2,655 𝑐𝑚
2 
As armaduras longitudinais devem ser distribuídas proporcionalmente pelo perímetro 𝑢𝑒, 
logo: 
𝐴𝑠𝑙,𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 2,655.×
(50 − 8)
2. [(50 − 8) + (25 − 8)]
= 0,945 𝑐𝑚2 
𝐴𝑠𝑙𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟/𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 = 2,655 ×
(25 − 8)
2. [(50 − 8) + (25 − 8)]
= 0,383 𝑐𝑚2 
Para as laterais pode-se usar duas barras de 𝜙 = 5𝑚𝑚 espaçadas de 14 𝑐𝑚. 
Como ℎ < 60 𝑐𝑚 não há necessidade de armadura de pele segundo a norma. 
Para a parte superior e inferior deve-se somar as armaduras à torção as armaduras à 
flexão. 
6.2.3 Solicitações Combinadas 
Segundo a NBR 6118 (2014, p.144) a resistência à compressão da diagonal de concreto 
deve ser satisfeita atendendo a seguinte expressão: 
𝑉𝑆𝑑
𝑉𝑅𝑑2
+
𝑇𝑆𝑑
𝑇𝑅𝑑2
≤ 1 
Ou seja,a diagonal comprimida deve suportar as solicitações tangenciais agindo de forma 
simultânea. 
E, além disso, a NBR 6118:2014 traz também que: “A armadura transversal pode ser 
calculada pela soma das armaduras calculadas separadamente para VSd e TSd”. 
É importante salientar que a área de armadura transversal calculada para o esforço 
cortante refere-se à área total, contando todos os ramos verticais do estribo. Já no caso da 
torção a área de armadura transversal calculada é apenas a de um ramo vertical do estribo. 
Portanto, para cálculo da armadura transversal total deve-se tomar o cuidado de admitir 
apenas a área de um ramo vertical do estribo para ambos os esforços (força cortante e 
momento de torção). 
Sendo assim: 
𝐴𝑠𝑤,𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 =
𝐴𝑠𝑤
2
+ 𝐴𝑠90 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 58 
 
 
NOTAS DE AULA - Prof. Msc. Aloísio Sthéfano 
Exercício Resolvido: Verifique as solicitações combinadas de uma viga de 25/50, com 
esforços 𝑇𝑅𝑘 = 20 𝑘𝑁.𝑚 e 𝑉𝑅𝑘 = 210 𝑘𝑁. 
Resolução: 
Pelos exercícios resolvidos anteriormente sabe-se que VRd2 = 488,17 kN e TRd2 =
45,90 kN.m, logo: 
210.1,4
488,17
+
20.1,4
45,90
= 1,21 > 1 
Portanto a peça não atende as exigencias da norma. 
 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 59 
 
 
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6.3 QUESTIONÁRIO 
1. As figuras a seguir apresentam a perspectiva de uma estrutura, a planta de fôrmas 
e o esquema estático da viga V1 quando F=50KN. Para a viga V1, pede-se: 
 
a) Determinar os esforços solicitantes máximos (flexão, cisalhamento e torção). 
b) Dimensionar as armaduras de flexão e armaduras de pele (se necessário). 
c) Dimensionar as armaduras para o cisalhamento. Utilizar o Modelo de Cálculo II 
definido pela NBR6118:2014 para bielas comprimidas a 45 graus e estribos a 90 
graus. 
d) Dimensionar as armaduras para a torção. Considerar 𝑐1 = 5𝑐𝑚. 
e) Verificar se a biela comprimida atende às solicitações combinadas. 
f) Definir um arranjo para todas as armaduras longitudinais e para as armaduras 
transversais utilizando bitolas comerciais. Caso a área de aço definida no arranjo 
seja superior à área de aço calculada em mais de 10%, explicar a razão dessa 
decisão. 
g) Detalhar a seção transversal A-A, indicando todas as armaduras (inclusive 
armaduras de pele, se necessário) e cotando as distâncias entre todas as armaduras 
longitudinais. 
 
 
 
Dados: 𝑓𝑐𝑘 = 35𝑀𝑃𝑎, aço CA-50, 𝑐𝑜𝑏𝑛𝑜𝑚 = 2,5𝑐𝑚, 𝑑’ = 6,0𝑐𝑚, 𝑑𝑐
′ = 4,0𝑐𝑚 
 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 60 
 
 
NOTAS DE AULA - Prof. Msc. Aloísio Sthéfano 
2. Verifique se as armaduras detalhadas na seção transversal a seguir atendem ao 
ELU para uma combinação normal de carregamento quando os seguintes esforços 
característicos solicitantes forem: 
 
 
 
𝑀𝑆𝑘 = 225 𝐾𝑁.𝑚 
𝑉𝑆𝑘 = 190 𝐾𝑁.𝑚 
𝑇𝑆𝑘 = 9 𝐾𝑁.𝑚 
 
 
 
Admitir: 
𝑐𝑜𝑏𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 3𝑐𝑚 
𝑓𝑐𝑘 = 55𝑀𝑃𝑎 
𝑎ç𝑜 𝐶𝐴50 
𝜉 ≤ 𝜉𝑙𝑖𝑚 
𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝐶á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝐼𝐼 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑖𝑑𝑒𝑟𝑎𝑛𝑑𝑜 𝛼 = 90° 𝑒 𝜃 = 45° 
 
3. Dada a planta de formas a seguir, para as vigas V102=V103, pede-se: 
 
a) Determinar os esforços solicitantes máximos considerando que a viga V101 como 
biapoiada e as vigas V102 e V103 como engastadas nos pilares. Todas as vigas 
estão sujeitas à um carregamento proveniente do seu peso próprio (a ser calculado) e 
da reação da laje (indicada em planta). 
b) Dimensionar as armaduras de flexão e as armaduras de pele (se necessário). 
Considerar, se for o caso, a contribuição das lajes maciças no dimensionamento das 
vigas. 
c) Dimensionar as armaduras para o cisalhamento. Utilizar o Modelo de Cálculo II 
definido pela NBR6118:2014 para bielas comprimidas a 45 graus e estribos a 90 
graus. 
d) Supondo que estas vigas estão submetidas à um momento torsor de 5 𝐾𝑁.𝑚, 
calcule as armaduras necessárias para resistir à esse esforço. Verifique as 
solicitações combinadas. 
e) Definir, para a seção de esforço máximo, um arranjo para todas as armaduras 
longitudinais e para as armaduras transversais, utilizando bitolas comerciais. 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 61 
 
 
NOTAS DE AULA - Prof. Msc. Aloísio Sthéfano 
Considerar: 
C30, 
CA-50, 
d’=d’c=3,5c
m 
c1=3cm 
 
f) Detalhar a seção de esforços máximos, indicando todas as armaduras calculadas. 
 
 
 
4. As figuras a seguir apresentam a perspectiva de uma estrutura, a planta de fôrmas 
e o esquema estático das vigas V1 e V2. Sabe-se que F=80KN e considera-se que 
o peso específico do concreto armado é de 25KN/m³. Desta forma, para a viga 
V1, pede-se: 
 
a) Determinar os esforços solicitantes máximos (flexão, cisalhamento e torção) 
considerando a atuação da força F e o peso próprio de cada uma das vigas. 
b) Dimensionar as armaduras de flexão e as armaduras de pele (se necessário). 
c) Dimensionar as armaduras para o cisalhamento. Utilizar o Modelo de Cálculo I 
definido pela NBR6118:2014 para bielas comprimidas a 45 graus e estribos a 90 
graus. 
d) Dimensionar as armaduras para a torção. Considerar 𝑐1 = 5𝑐𝑚. 
e) Definir um arranjo para todas as armaduras longitudinais e para as armaduras 
transversais utilizando bitolas comerciais. Caso a área de aço definida no arranjo seja 
superior à área de aço calculada em mais de 10%, explicar a razão dessa decisão. 
f) Detalhar a seção transversal A-A, indicando todas as armaduras calculadas e 
cotando as distâncias entre eixos de todas as armaduras longitudinais. 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 62 
 
 
NOTAS DE AULA - Prof. Msc. Aloísio Sthéfano 
g) Verificar se a biela comprimida atende às solicitações combinadas. Caso não 
atenda, descrever possíveis soluções. 
 
Dimensões em centímetros, exceto indicação contrária. 
 
Dados: 𝑓𝑐𝑘 = 35𝑀𝑃𝑎, aço CA-50, 𝑐𝑜𝑏𝑛𝑜𝑚 = 2,5𝑐𝑚, 𝑑’ = 6,0𝑐𝑚, 𝑑𝑐
′ = 4,0𝑐𝑚 
 
5. Verifique se as armaduras detalhadas na seção transversal a seguir atendem ao 
ELU para uma combinação normal de carregamento quando os seguintes esforços 
característicos solicitantes forem: 
 
 
𝑀𝑆𝑘 = 235 𝐾𝑁.𝑚 
𝑉𝑆𝑘 = 200 𝐾𝑁.𝑚 
𝑇𝑆𝑘 = 10 𝐾𝑁.𝑚 
 
 
 
A
 
A
 
Estruturas de Concreto Armado segundo a NBR 6118:2014 63 
 
 
NOTAS DE AULA - Prof. Msc. Aloísio Sthéfano 
Admitir: 
𝑐𝑜𝑏𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 3𝑐𝑚 
𝑓𝑐𝑘 = 60𝑀𝑃𝑎 
𝑎ç𝑜 𝐶𝐴50 
𝜉 ≤ 𝜉𝑙𝑖𝑚 
𝑀𝑜𝑑𝑒𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝐶á𝑙𝑐𝑢𝑙𝑜 𝐼