Aula 2 - Equações Diferenciais de Segunda Ordem

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DESCRIÇÃO
Resolução de equações diferenciais de segunda ordem.
PROPÓSITO
Identificar, classificar e solucionar equações diferenciais ordinárias de segunda ordem.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Reconhecer as soluções gerais para resolução de uma EDO de segunda ordem
MÓDULO 2
Solucionar as equações lineares de segunda ordem homogêneas
MÓDULO 3
Solucionar as equações lineares de segunda ordem não homogêneas
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM
MÓDULO 1
 Reconhecer as soluções gerais para resolução de uma EDO de segunda ordem
SOLUÇÃO GERAL DA EDO DE SEGUNDA ORDEM
INTRODUÇÃO
Em nossa vida prática, iremos nos deparar com problemas que serão modelados por uma equação diferencial de segunda ordem.
Não existe um método único que resolva qualquer equação diferencial de segunda ordem. Assim, precisamos definir algumas ferramentas que
nos permitam garantir a existência e a unicidade de uma solução e, até mesmo, um caminho de como obtê-las.
Neste módulo, analisaremos alguns teoremas que nos garantirão a obtenção de soluções para uma equação diferencial linear de segunda
ordem.
TEOREMA DE SOLUÇÕES GERAIS
Neste tema, estamos tratando de equações diferenciais ordinárias lineares de segunda ordem.
Inicialmente, vamos lembrar os conceitos de equações diferenciais quanto as suas classificações.
Uma equação diferencial será ordinária se apresentar apenas uma variável independente. Em outras palavras, na equação aparecerão apenas
as derivadas da incógnita, em suas diversas ordens, em relação a uma única variável independente. Por exemplo:
2
D2Y
DX2
- X2
DY
DX = 3Y
 
Onde a incógnita y só depende da variável independente x.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A ORDEM SERÁ DADA PELA DERIVADA DE MAIS ALTA ORDEM QUE
APARECE NA EQUAÇÃO. COMO ESTAMOS TRABALHANDO COM
EQUAÇÕES DE SEGUNDA ORDEM, OBRIGATORIAMENTE TEREMOS UMA
DERIVADA DE SEGUNDA ORDEM E NENHUMA DERIVADA DE ORDEM
SUPERIOR À SEGUNDA.
A equação diferencial será linear se:
A variável dependente e suas derivadas só podem aparecer na forma simples, isto é, elevadas ao expoente um.

Os coeficientes da equação diferencial, isto é, os termos que multiplicam a incógnita ou suas derivadas, só podem apenas depender da variável
independente ou serem números reais.
Por exemplo:
A equação diferencial 2x
d2y
dx2
- x2
dy
dx = 3y é linear.
A equação 2y
d2y
dx2
- x2
dy
dx
2
= 3y não é linear por dois motivos: aparece um coeficiente, que multiplica a derivada de segunda ordem, que
depende da incógnita y, e a derivada de primeira ordem aparece elevada ao quadrado.
Desta forma, pode-se dizer que uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem terá a forma:
D2Y
DX2
+ A(X)
DY
DX + B(X)Y = C(X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde A(x), B(x) e C(x) são funções que dependem apenas da variável independente. O primeiro teorema que analisaremos para este tipo de
equação será o teorema da existência e unicidade.
TEOREMA DA EXISTÊNCIA E UNICIDADE
Seja a equação linear de segunda ordem:
D2Y
DX2
+ A(X)
DY
DX + B(X)Y = C(X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
Se as funções A(x), B(x) e C(x) forem contínuas em um intervalo xa < x < xb e x0 pertence a este intervalo, a equação diferencial terá
solução, e somente uma solução, neste intervalo que atenda às duas condições iniciais de y x0 = y0 e y' x0 = y0'.
ESTE TEOREMA É IMPORTANTE, POIS GARANTE A EXISTÊNCIA DA
SOLUÇÃO E, APÓS OBTÊ-LA, INDEPENDENTEMENTE DO MÉTODO, ELE
GARANTE QUE NÃO EXISTIRÁ OUTRA QUE ATENDA ÀS CONDIÇÕES
INICIAIS.
Em outras palavras, mesmo que consigamos obter a solução simplesmente por observação e substituição, você garante que ela será única.
EXEMPLO 1
Mostre que é possível resolver o problema de valor inicial para a equação diferencial y'' +
3
x - 2 y' + 6y = senx - 1 que atenda as condições 
y(3) = 2 e y'(3) = 2. Determine o intervalo dessa solução.
Observe que as funções de x que são os coeficientes da equação diferencial serão:
A(x) =
3
x - 2 → que é contínua para todo x com x ≠ 2.
B(x) = 6 → que é contínua para todo x.
C(x) = sen x - 1 → que é contínua para todo x.
Assim, pelo teorema da unicidade e existência, sempre teremos uma única solução no intervalo que os coeficientes forem contínuos. Desta
forma, podemos garantir a existência e a unicidade da solução para os intervalos - ∞ < x < 2 ou 2 < x < ∞.
Como x0 = 3, que é o ponto do problema de valor inicial, pertence a um deste intervalos, vai existir a solução do problema que atende às duas
condições iniciais y(3) = 2 e y'(3) = 2, e ela será única.
EXEMPLO 2
Determine a solução da equação diferencial y'' – 2xy' + 3y = 0 e que atenda ao problema de valor inicial y(3) = 0 e y'(3) = 0.
Não estudamos ainda nenhum método para resolução de equação diferencial de segunda ordem, mas já conhecemos o teorema da existência
e unicidade.
Repare que todos os coeficientes da equação diferencial são contínuos para todos os valores de x. Assim, podemos garantir que sempre
existirá uma solução única para o problema de valor inicial, sendo o caso, portanto, para x = 3, que é dado no enunciado.
Observando a equação pode se verificar que a função y = 0 é uma solução da equação. Veja que, se y = 0, y' = 0 e y'' = 0
A solução y = 0 atende às condições iniciais. Desta forma, pelo teorema da existência e unicidade, esta será a única solução possível para este
problema inicial dado no enunciado.
A solução do exemplo anterior é denominada por alguns autores como solução zero. Fica claro que se conseguimos determinar a solução por
observação, podemos usar o teorema estudado e garantir que ela é única.
O fato é que, na maioria das vezes, não é simples obter a solução apenas pela observação, faz-se necessário o estudo de outros métodos de
resolução, como veremos nos próximos módulos.
( ) ( )
 ATENÇÃO
A solução para o problema de valor inicial y x0 = y0 e y' x0 = y0', atendendo a continuidade das funções que estão nos coeficientes, existe
e é única, mas uma condição do tipo y x1 = y0 e y' x2 = y0', com x1 ≠ x2, pode não existir ou até mesmo não ser única.
Quando as duas condições iniciais envolvem y x0 = y0 e y' x0 = y0' para o mesmo ponto x0, diz-se que é um problema de valor inicial. Se
as duas condições envolverem dados de pontos diferentes, dizemos que se trata de um problema de valor de contorno.
ASSIM, O TEOREMA GARANTE A EXISTÊNCIA E UNICIDADE DE
PROBLEMAS DE VALOR INICIAL, MAS NÃO GARANTE A EXISTÊNCIA E
UNICIDADE DE PROBLEMAS DE VALOR DE CONTORNO.
 ATENÇÃO
Uma outra observação importante: como a equação diferencial de segunda ordem tem uma derivada segunda, a sua solução geral dependerá
sempre de duas constantes, necessitando, portanto, de duas condições para se obter uma solução particular.
A resolução de uma equação diferencial de segunda ordem começa, na maioria das vezes, pelo cálculo da equação diferencial homogênea, isto
é, com C(x) = 0. Portanto, vamos iniciar nossos estudos pela equação homogênea.
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
Esse teorema permite obter uma solução da equação diferencial baseada no conhecimento de pelo menos duas soluções particulares.
SE Y1(X) E Y2 X SÃO SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR
DE SEGUNDA ORDEM HOMOGÊNEA E M1 E M2 SÃO CONSTANTES
REAIS, ENTÃO A SEGUINTE EQUAÇÃO TAMBÉM SERÁ SOLUÇÃO DA
EQUAÇÃO DIFERENCIAL: 
 
Y(X) = M1Y1(X) + M2 Y2 X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos demonstrar juntos este teorema.
Suponha que conhecemos a solução y1 e y2 da equação diferencial, assim:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
Y1'' + A(X)Y1' + B(X)Y1 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Y2'' + A(X)Y2' + B(X)Y2 = 0
 Atenção! Para visualizaçãocompleta da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos agora testar se a função y = m1 y1 + m2 y2 será solução. Usando as propriedades da diferenciação, se
Y = M1Y1 + M2Y2 → Y' = M1Y1' + M2Y2' → Y'' = M1Y1'' + M2Y2''
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
Y'' + A(X)Y' + B(X)Y = M1Y1'' + M2Y2'' + A(X) M1Y1' + M2Y2' + B(X) M1Y1 + M2Y2 = 
 
= M1 Y1'' + A(X)Y1' + B X Y1 + M2 Y1'' + A(X)Y1' + B X Y1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como y1 e y2 são soluções, as equações dentro dos parênteses serão nulas. Assim:
Y'' + A(X)Y' + B(X)Y = M1. 0 + M2. 0 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, y(x) será também solução da equação diferencial dada.
O TEOREMA NOS MOSTRA SE CONHECEMOS DUAS SOLUÇÕES
PARTICULARES DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL. PODEMOS CRIAR UMA
FAMÍLIA DE SOLUÇÕES FAZENDO UMA COMBINAÇÃO LINEAR ENTRE
AS SOLUÇÕES CONHECIDAS.
EXEMPLO
Seja a equação diferencial y'' - 3y' - 4y = 0. Descubra algumas soluções para esta equação diferencial sabendo que y = e - x e e y = e4x são
soluções da equação diferencial.
Vamos inicialmente verificar se as funções dadas são realmente solução da equação diferencial.
Se
( ) ( ) ( )
( ( ) ) ( ( ) )
Y = E - X → Y' = - E - X → Y'' = E - X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim
Y'' - 3Y' - 4Y = E - X - 3( - E - X - 4E - X = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
sendo solução:
Se
Y = E4X → Y' = 4E4X → Y'' = 16E4X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim
Y'' - 3Y' - 4Y = 16E4X - 3 4E4X - 4E4X = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
sendo solução.
Pelo teorema estudado, qualquer função que é combinação linear das duas soluções também será solução da equação. Assim: 
y = m1e
- x + m2e
4x, com m1 e m2 reais.
Assim:
y3 = 2e
- x - e4x é uma possível solução.
y4 =
4 + 3e5x
ex
 também é uma possível solução, pois
Y4 =
4 + 3E5X
EX
=
4
EX
+ 3
E5X
EX
= 4E - X + 3E4X
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 SAIBA MAIS
O princípio da superposição só é válido para equações diferenciais lineares homogêneas. No caso de uma equação linear não homogênea, ou
até mesmo de uma equação diferencial não linear, o teorema pode falhar.
)
( )
TEOREMA DA SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR
HOMOGÊNEA
Agora vamos ver um teorema mais poderoso ainda. A demonstração deste teorema é bastante complexa e não será objeto deste módulo.
O TEOREMA DA SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR
HOMOGÊNEA NOS DIZ QUE A SOLUÇÃO GERAL DE UMA EQUAÇÃO
DIFERENCIAL LINEAR DE SEGUNDA ORDEM PODE SER OBTIDA
ATRAVÉS DE UMA COMBINAÇÃO LINEAR DE DUAS SOLUÇÕES
LINEARMENTE INDEPENDENTES.
Este teorema é mais poderoso, pois nos permite não obter apenas um conjunto de soluções, mas definir uma solução geral para equação
diferencial, isso é, uma solução que englobe todas as soluções possíveis.
Inicialmente, vamos definir o que são soluções linearmente independentes. Duas soluções são linearmente independentes se uma não pode
ser obtida através da outra por uma multiplicação por um número real.
Por exemplo, y1 = 3x e y2 = - 2x são linearmente dependentes, pois, a partir de uma solução, obtemos a outra multiplicando apenas por um
número real. Agora y1 = x
2 e y2 = 2x são linearmente independentes, uma vez que não existe nenhum número real que possamos multiplicar
na primeira para obter a segunda e vice-versa.
 ATENÇÃO
Uma equação diferencial linear de segunda ordem sempre terá duas funções linearmente independentes que serão solução da equação. Estas
soluções são denominadas de funções ou soluções fundamentais.
Vamos agora descrever o teorema de uma forma precisa.
SE Y1 X E Y2 X SÃO SOLUÇÕES LINEARMENTE INDEPENDENTES
DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE SEGUNDA ORDEM HOMOGÊNEA:
 
D2Y
DX2
+ A(X)
DY
DX + B(X)Y = 0
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ENTÃO, COM M1 E M2 REAIS, SERÁ A SOLUÇÃO GERAL DESTA
EQUAÇÃO DIFERENCIAL:
( ) ( )
 
Y(X) = M1Y1(X) + M2Y2 X
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Lembre-se que y1 e y2 sempre vão existir. Temos apenas que descobrir quem elas são. As funções y1 e y2 serão as funções fundamentais
desta equação e, através delas, será definida uma solução geral que contém todas as soluções da equação diferencial fornecida.
EXEMPLO
Seja a equação diferencial 3y'' = 12y. Sabendo que e2x e e - 2x são soluções da equação, determine uma solução particular que atenda 
y(0) = 2 e y'(0) = 0.
A EDO fornecida é linear e homogênea.
Repare que as soluções dadas são linearmente independentes. Assim, podemos montar a solução geral na forma:
y = ae2x + be - 2x, a e b reais
Como os coeficientes são constantes, podemos garantir pelo teorema da existência e unicidade que o problema de valor inicial sempre terá
solução única.
Substituindo as duas condições:
X = 0 → Y = AE0 + BE0 = A + B = 2
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Se y = ae2x + be - 2x → y' = 2ae2x - 2be - 2x
X = 0 → Y' = 2AE0 - 2BE0 = 2A - 2B = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim 
a + b = 2
a - b = 0 , então a = b = 1.
A solução particular será y = e2x + e - 2x.
Neste módulo, estudamos teoremas que nos garantem e nos mostram como definir soluções gerais para equação diferencial linear de segunda
ordem. No próximo módulo, vamos estudar métodos que nos permitam resolver e obter a solução de equações diferenciais de segunda ordem
homogêneas.
Agora, você está pronto para fixar o conteúdo através dos exercícios.
TEORIA NA PRÁTICA
Um determinado problema prático foi modelado através de uma equação diferencial denominada de equação de Euler de segunda ordem:
( )
{
2x2y'' - 4xy' - 8y = 0
Determine:
a) Para que intervalo podemos garantir que sempre existirá uma solução única para um problema de valor inicial para esta equação.
b) Sabendo que y =
1
x e y = x
4 são solução desta EDO, determine a solução geral da equação dada.
c) Determine uma solução particular que atenda y(1) = 2 e y'(1) = 3.
RESOLUÇÃO
SOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL SEGUNDA ORDEM
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE O INTERVALO NO QUAL PODEMOS GARANTIR QUE A EQUAÇÃO DIFERENCIAL 
XY'' + 3X2Y' + 4Y = LN X - 1 TENHA SOLUÇÃO ÚNICA PARA UM PROBLEMA DE VALOR INICIAL.
A) x < 0
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B) x > 1
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C) x ≤ 0
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D) x ≥ 1
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E) -∞ < x < ∞
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2. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA DUAS FUNÇÕES QUE SÃO LINEARMENTE INDEPENDENTES.
A) 3x² e – 9 x²
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( )
B) 3ex e 
6
e - x
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C) ln(x) e 3 ln x2
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D) cos x e √x
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E) 3tg x e 
3
cotg x
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3. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE SEGUNDA ORDEM, PARA
QUAL PODE-SE GARANTIR A EXISTÊNCIA DE UMA ÚNICA SOLUÇÃO PARA O PROBLEMA DE VALOR INICIAL
NO INTERVALO ONDE SEUS COEFICIENTES SÃO CONTÍNUOS.
A) y '' + 3xy ' - 2y = 4x
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B) y '' + xyy ' =x
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C) y '' + y' - y = 4cosx
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D) 4x2y '' + xy ' = 2y
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E) xy '' + 3xy ' = 4y2
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4. SEJA A EQUAÇÃO DIFERENCIAL DE SEGUNDA ORDEM Y'' – COS X Y' + 
4
X Y = X. CONSIDERE QUE Y1 E Y2
SÃO SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DADA. MARQUE A ALTERNATIVA VERDADEIRA.
A) Não podemos garantir que y1 - 2y2 é solução da equação diferencial.
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B) Podemos garantir que sempre existirá uma solução única para o problema de valor inicial o intervalo – 2 < x < 3
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C) Trata-se de uma equação não linear.
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D) Só podemos garantir que y1 - y2 são soluções da equação dada se forem linearmente independentes.
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E) Todas as alternativas anteriores são falsas.
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( )
5. SEJA A EQUAÇÃO DIFERENCIAL Y'' + 4Y = 0. SABE-SE QUE Y = COS(2X) E Y = SEN(2X) SÃO SOLUÇÕES
DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO
DIFERENCIAL.
A) y = cosx + 2 sen x
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B) y = x2 - x + 1
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C) y = 2cosx(cosx + 2 sen x) - 1
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D) y = 2ex - 3e - x
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E) y = lnx - x2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. SEJA A EQUAÇÃO DIFERENCIAL XY'' = Y' COM X > 0. SABE-SE QUE AS FUNÇÕES Y = X2 + 1 E Y = 4X2
SÃO SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO DADA. DETERMINE UMA SOLUÇÃO QUE ATENDA A CONDIÇÃO DE Y(0) = 2 E 
Y'(1) = 2.
A) x2 + 2
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B) 3x3 + 1
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C) x + 2
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D) 2x2 - 2
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E) x4 - 1
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GABARITO
1. Determine o intervalo no qual podemos garantir que a equação diferencial xy'' + 3x2y' + 4y = ln x - 1 tenha solução única para um
problema de valor inicial.
A alternativa "B " está correta.
Pelo teorema da existência e unicidade, o problema de valor inicial terá solução única para o intervalo no qual os coeficientes da equação sejam
contínuos.
Em sua forma padrão:
xy '' + 3x2y ' + 4y = ln(x - 1) → y '' + 3xy ' +
4
x y =
ln ( x - 1 )
x
Observando os coeficientes se verifica que:
( )
3x é contínua para todo x.
4
x será contínua para todo x diferente de zero.
ln ( x - 1 )
x será contínua para todo x onde x – 1 > 0 → x > 1.
Portanto, é possível garantir que terá solução única para x > 1.
Sendo alternativa correta a letra b.
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2. Marque a alternativa que apresenta duas funções que são linearmente independentes.
A alternativa "D " está correta.
Duas funções serão linearmente dependentes se conseguirmos sair de uma e chegar à outra apenas pela multiplicação por um número real.
Na letra a, basta multiplicarmos a primeira função por – 3 para obtermos a segunda.
Na letra b, lembre-se que 
6
e - x
= 6ex . Assim, basta multiplicar a primeira função por 3 que se obtém a segunda.
Na letra C, lembre-se que 3 ln x2 = 3. 2 ln x = 6 ln x . Basta, portanto, multiplicar a primeira por 6 que se obtém a segunda.
A letra d é a resposta, pois não existe nenhum número que conseguimos multiplicar a primeira função para obter a segunda.
Na letra e, lembre-se que 
3
cotg x = 3 tgx. Sendo, portanto, a mesma função.
Portanto as letras a, b, c e e são funções linearmente dependentes e a letra d apresenta o único conjunto linearmente independente.
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3. Marque a alternativa que apresenta uma equação diferencial de segunda ordem, para qual pode-se garantir a existência de uma
única solução para o problema de valor inicial no intervalo onde seus coeficientes são contínuos.
A alternativa "D " está correta.
Pelo teorema da existência e unicidade, pode-se garantir a existência da solução única para os problemas de valor inicial no intervalo em que
seus coeficientes são contínuos quando a equação for linear e homogênea.
As equações das letras a e c não são homogêneas.
As equações das letras b e e não são lineares.
Assim, a única alternativa que apresenta uma EDO linear e homogênea é a alternativa d que é a resposta correta.
4. Seja a equação diferencial de segunda ordem y'' – cos x y' + 
4
x y = x. Considere que y1 e y2 são soluções da equação dada.
Marque a alternativa verdadeira.
A alternativa "E " está correta.
Letra a
Trata-se de uma equação linear homogênea. Como y1 e y2 são soluções da equação, pelo teorema da superposição, qualquer combinação
linear entre estas funções também é solução da equação. Assim, podemos garantir que y1 e 2y2 é uma solução.
Letra b
Pelo teorema da existência e unicidade, garantimos uma solução única para os problemas de valor inicial no intervalo em que os coeficientes
são contínuos. Analisando os coeficientes, verifica-se que não são contínuos para x = 0. Como o intervalo – 2 < x < 3 possui o zero, não
podemos garantir que sempre existirá uma solução única para o problema.
Letra c
Todos os coeficientes independem de y. Além disso, y como suas derivadas estão com expoente unitário. Assim, é uma equação linear.
Letra d
( ) ( ) ( )
Trata-se de uma equação linear homogênea. Como y1 e y2 são soluções da equação, pelo teorema da superposição, qualquer combinação
linear entre estas funções também é solução da equação. Assim, podemos garantir que y1 e y2 é uma solução. A necessidade de y1 e y2 serem
independentes é para que a combinação linear entre as duas seja uma solução geral, que não é o caso.
Assim como as afirmativas da letra a, b, c e d são falsas, a alternativa correta é a da letra e.
5. Seja a equação diferencial y'' + 4y = 0. Sabe-se que y = cos(2x) e y = sen(2x) são soluções da equação diferencial. Marque a
alternativa que apresenta uma solução da equação diferencial.
A alternativa "C " está correta.
Pelo teorema da superposição, qualquer função que é combinação linear das duas soluções também será solução da equação. Assim: 
: y = m1cos 2x + m2sen 2x , com m1 e m2 reais.
Analisando as alternativas, apenas a alternativa da letra c pode ser colocada na forma acima.
y = 2cosx(cosx + 2 sen x) - 1 = 2cos2x + 4cosx sen x - 1
y = 2cos2x - 1 + 4cosx sen x = cos2x + 2 sen2x
Sendo alternativa correta a letra c.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Seja a equação diferencial xy'' = y' com x > 0. Sabe-se que as funções y = x2 + 1 e y = 4x2 são soluções da equação dada.
Determine uma solução que atenda a condição de y(0) = 2 e y'(1) = 2.
A alternativa "A " está correta.
Solução geral da equação diferencial segunda ordem
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE QUAIS OS INTERVALOS NO QUAL PODEMOS GARANTIR QUE A EQUAÇÃO DIFERENCIAL 
XY'' + √XY' + 4XY = LNX TENHA SOLUÇÃO ÚNICA PARA UM PROBLEMA DE VALOR INICIAL.
A) x > 0
B) x < 0
C) x ≤ 0
D) x ≥ 0
E) -∞ < x < ∞
2. SEJA A EQUAÇÃO DIFERENCIAL Y'' - 6Y' + 9Y = 0. SABE-SE QUE Y = E3X E Y = X E3XSÃO SOLUÇÕES DA
EQUAÇÃO DIFERENCIAL. MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA UMA SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO
( ) ( )
DIFERENCIAL:
A) e3x - e - 3x
B) (4 + 3x)e3x
C) cos(3x) - sen(3x)
D) ln(3x) - 3
E) x3 - 3x
GABARITO
1. Determine quais os intervalos no qual podemos garantir que a equação diferencial xy'' + √xy' + 4xy = lnx tenha solução única para
um problema de valor inicial.
A alternativa "A " está correta.
 
Você entendeu o conceito do teorema da existência e unicidade.
Pelo teorema da existência e unicidade, o problema de valor inicial terá solução única para o intervalo no qual os coeficientes da equação sejam
contínuos.
Em sua forma padrão:
xy'' + √xy' + 4xy = lnx → y'' +
√x
x y' + 4y =
ln ( x )
x
Observando os coeficientes, se verifica que:
√x
x é contínua para todo x maior que zero. Lembre-se que só existe raiz para x ≥ 0, mas como x está no denominador não pode assumir
o valor zero;
ln ( x )
x será contínua para todo x > 0.
Portanto, é possível garantir que terá solução única para x > 0.
Assim, a resposta correta é a letra A.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Seja a equação diferencial y'' - 6y' + 9y = 0. Sabe-se que y = e3x e y = x e3x são soluções da equação diferencial. Marque a
alternativa que apresenta uma solução da equação diferencial:
A alternativa "B " está correta.
 
Você entendeu o conceito do teorema da superposição.
Pelo teorema da superposição, qualquer função que é combinação linear das duas soluções também será solução da equação. Assim:
y = m1e
3x + m2xe
3x = e3x m1 + m2x , com m1 e m2 reais.
Analisando as alternativas, apenas a alternativa b pode ser colocada na forma acima.
Assim, a resposta correta é a letra b
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MÓDULO 2
( )
 Solucionar as equações lineares de segunda ordem homogêneas
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO LINEAR DE SEGUNDA ORDEM
HOMOGÊNEA
INTRODUÇÃO
No módulo anterior, apontamos alguns teoremas que garantem a existência e unicidade de uma solução para equação diferencial linear de
segunda ordem. Também obtivemos uma solução geral a partir do conhecimento de soluções particulares da equação.
Neste módulo, apresentaremos métodos de resolução da equação diferencial linear de segunda ordem homogênea.
RESOLUÇÃO DE EDO LINEARES HOMOGÊNEAS DE
COEFICIENTES CONSTANTES
O primeiro passo é a revisão dos conceitos de coeficientes constantes e de coeficientes variáveis de uma equação diferencial para
reconhecermos em que caso está a equação estudada.
Os coeficientes da equação diferencial são as funções que multiplicam a variável independente e/ou suas derivadas. Se os coeficientes são
todos números reais, a equação tem coeficientes constantes. Caso algum destes termos dependa da variável independente, a equação
diferencial será de coeficientes variáveis.
Veja os exemplos:
3y'' - 2y' + 3y = 0 é uma equação linear de coeficientes constantes.

y'' - y' + 8y = cosx é uma equação linear de coeficientes constantes.

y'' - xy' + 8x y = 4 é uma equação linear de coeficientes variáveis.

y'' - exy' + 8lnx y = x2 é uma equação linear de coeficientes variáveis.
Neste item, o método que estudaremos é aplicado em uma equação linear de coeficientes constantes homogênea. Estas equações serão do
tipo ay'' + by' + cy = 0, com a, b e c reais.
Pelo teorema da existência e unicidade, como as funções coeficientes serão constantes, sendo contínuas para todo x, as soluções da EDO
serão sempre válidas, e não é necessário definir o intervalo de sua solução.
Da mesma forma, podemos concluir que:
UMA EQUAÇÃO LINEAR DE SEGUNDA ORDEM HOMOGÊNEA DE
COEFICIENTES CONSTANTES SEMPRE TERÁ DUAS SOLUÇÕES
LINEARMENTE INDEPENDENTES Y1 E Y2, APLICÁVEIS EM QUALQUER
INTERVALO. SUA SOLUÇÃO GERAL PODERÁ SER EXPRESSA COMO 
Y = M1Y1 + M2Y2
y = m1y1 + m2y2
, COM M1 E M2 REAIS.
O problema agora se restringe a obter as soluções y1 e y2 para uma equação do tipo:
AY'' + BY' + CY = 0, COM A, B E C REAIS
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Se analisarmos os possíveis candidatos, acharemos alguns tipos de funções que atendem à equação. Repare que estamos procurando uma
função em que uma constante vezes sua segunda derivada, mais uma outra constante vezes sua primeira derivada, mais uma constante vezes
a função resulte em zero.
Uma função que atende a este caso é a função exponencial y = ekx
y  =  ekx
, k
k
real.
Veja, se
Y = EKX → Y' = KEKX → Y'' = K2EKX
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Portanto, substituindo:
AK2EKX + BKEKX + CEKX = 0 → EKX AK2 + BK + C = 0
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Assim a função y = ekx será solução se e somente se:
 
AK2 + BK + C = 0
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ESTA EQUAÇÃO É DENOMINADA DE EQUAÇÃO AUXILIAR OU EQUAÇÃO
CARACTERÍSTICA.
Será uma equação do segundo grau que pode obter três possibilidades quanto as suas raízes: duas raízes reais e diferentes, duas raízes reais
iguais ou duas raízes complexas conjugadas.
Assim, são obtidas duas raízes reais e diferentes obtidas pela equação:
K =
- B ±√B2 - 4AC
2A
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Vamos analisar cada caso. Observe que, obtendo estas duas soluções, elas serão linearmente independentes e poderão definir a solução geral
da equação diferencial.
Caso 1: raízes reais e diferentes k1 ≠ k2
Este caso é obtido quando o discriminante da equação característica for maior ou igual a zero:
∆ = B2 - 4AC > 0
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Para este caso, as duas funções fundamentais soluções da equação serão as funções ek1x e ek2x, onde k1 e k2
k1 e k2
são as raízes reais da equação característica.
( )
( )
Estas funções serão linearmente independentes. Assim, a solução geral da equação diferencial será dada por:
Y = M1EK1X + M2EK2X, COM M1 E M2
m1 e m2
REAIS
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Caso 2: raízes reais e iguais k1 = k2
Este caso é obtido quando o discriminante da equação característica for igual a zero:
∆ = B2 - 4AC = 0
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Para este caso, as duas soluções fundamentais serão ekx e xekx , onde k 
k 
é a raiz real da equação característica. As duas funções serão linearmente independentes. A solução geral da equação diferencial será dada
por:
Y = M1EKX + M2XEKX, COM M1 E M2 REAIS
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Caso 3: raízes complexas (k = α ± jβ)
Este caso é obtido quando o discriminante da equação característica for menor que zero:
∆ = B2 - 4AC < 0
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Assim, as duas raízes serão números complexos conjugados k1 = α + jβ e k2 = α - jβ.
Neste caso, as duas funções fundamentais serão eαxcos βx e eαxsen βx , onde α ± jβ são as raízes complexas da equação característica.
As duas funções serão linearmente independentes. A solução geral da equação diferencial será dada por:
y = m1e
αxcos βx e m2e
αxsen βx , com m1 e m2 reais
Para o caso particular em que as raízes são imaginários puros, isto é, α = 0, a solução geral será dada por:
y = m1 cos βx + m2sen βx , com m1 e m2 reais
Vamos ver um exemplo para cada caso:
EXEMPLO 1
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Determine a solução geral da equação diferencial 2y '' + 2y ' - 4y = 0.
Trata-se de uma EDO de segunda ordem linear de coeficientes constantes e homogênea.
Precisamos achar as raízes da equação característica.
2Y'' + 2Y' - 4Y = 0 → 2K2 + 2K - 4 = 0 → K2 + K - 2 = 0
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O discriminante da equação será
∆ = 12 – 4. 1. ( - 2) = 9 > 0
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Logo, terá duas raízes reais e distintas.
K =
- B ±√B2 - 4AC
2A =
- 1 ±√9
2 =
- 1 ± 3
2 =
1
-2
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As funções fundamentais serão ex e e - 2x.
Portanto, a solução geral será dada por:
y = m1e
x + m2e
- 2x
EXEMPLO 2
Determine a solução geral da equação diferencial y '' - 6y ' + 9y = 0.
Trata-se de uma EDO de segunda ordem linear de coeficientes constantes e homogênea.
Precisamos achar as raízes da equação característica.
Y'' - 6Y' + 9Y = 0 → K2 - 6K + 9 = 0
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O discriminante da equação será ∆ = 62 – 4. 1. 9 = 0.
Logo, terá uma raiz real dupla.
K =
- B ±√B2 - 4AC
2A =
6 ±√0
2 = 3
{
( )
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As funções fundamentais serão e3x e xe3x.
Portanto, a solução geral será dada por:
y = m1e
x + m2xe
3x
Uma observação importante: as condições iniciais ou as condições de contorno devem ser aplicadas à solução geral da EDO, isso é, à solução
homogênea mais solução particular.
EXEMPLO 3
Determine a solução da equação diferencial y '' - 2y ' + 5y = 0 que atenda às condições y(0) = 2 e y'(0) = 2 
Trata-se de uma EDO de segunda ordem linear de coeficientes constantes e homogênea.
Precisamos achar as raízes da equação característica.
Y'' - 2Y' + 5Y = 0 → K2 - 2K + 5 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O discriminante da equação será
∆ = – 2)2– 4. 1. 5 = – 16 < 0
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Logo, terá duas raízes complexas.
K =
- B ±√B2 - 4AC
2A =
2 ±√ - 16
2 =
2 ± 4J
2 = 1 ± 2J
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As funções fundamentais serão excos(2x) e exsen 2x . Veja que α = 1 e β = 2.
Portanto, a solução geral será dada por:
Y = M1EXCOS(2X) + M2EXSEN 2X
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Aplicando as condições para obter a solução particular:
(
( )
( )
X = 0 → Y = M1. 1. COS(0) + M2. 1. SEN(0) = M1 = 2
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Se
Y = M1E
XCOS(2X) + M2E
XSEN(2X)
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então:
Y' = M1EXCOS(2X) - 2M1EXSEN(2X) + M2EXSEN(2X) + 2M2EXCOS(2X)
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X = 0 → Y' = M1. 1. COS(0) - 2M1. 1. SEN(0) + M2. 1. SEN(0) + 2M2. 1. COS(0)
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Y' = M1 + 2M2 = 8
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Como m1 = 2
m1 = 2
, então
2M2 = 8 – 2 = 6 E M2 = 3
2m2 =  8 –  2  =  6 e m2  =  3
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Portanto, a solução particular será
Y = 2EXCOS(2X) + 3EXSEN 2X
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( )
PARA COEFICIENTES VARIÁVEIS NÃO EXISTE MÉTODOS SIMPLES DE
RESOLUÇÃO, A NÃO SER EM CASOS PARTICULARES.
RESOLUÇÃO DE EDO LINEARES HOMOGÊNEAS DE
COEFICIENTES VARIÁVEIS
Como já informado, não existe um método simples para obtenção de solução de uma equação linear homogênea de coeficientes variáveis.
Uma primeira forma é tentar verificar por observação duas soluções independentes da equação diferencial. Se y1 e y2 são soluções
independentes da equação diferencial, a solução geral será dada por y(x) = m1y1(x) + m2 y2 x , com m1 e m2 reais.
Neste tópico, veremos o caso de algumas equações particulares. O primeiro caso será para equação do tipo y '' + A(x)y' = 0, isto é, não existe
termo B(x)y.
Faremos uma substituição de variável para obter a solução desta equação. A substituição será v(x) = y'. Assim:
v ' + A(x)v = 0
Então:
V' = - A(X)V →
V'
V = - A(X) → ∫
1
V DV = - ∫A(X)DX + K
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LN|V| = - ∫A(X)DX + K → V = CE - ∫ A ( X ) DX, ONDE C É UM NÚMERO REAL
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Como y' = v, então:
y = C∫e - ∫ A ( u ) dudx
EXEMPLO
Determine a solução geral da equação y '' -
1
x y
' = 0, para x > 0.
Faremos uma substituição de variável para obter a solução desta equação. A substituição será v(x) = y’. Assim:
v ' -
1
x v = 0
Então:
V' =
1
X V →
V'
V =
1
X → ∫
1
V DV = ∫
1
X DX + K = LN X + K
( )
( )
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Assim ln|v| = ln(x) + k
Dessa forma:
v = Cx, onde C é um número real
Como y' = v, então:
y = C∫x dx = C x2 + K, C e K reais
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Outro método estudado será para um tipo de equação diferencial ordinária linear homogênea com constante variáveis denominada equação de
Euler.
A equação de Euler terá a forma x2y'' + bxy' + cy = 0.
Em sua forma padrão, y '' +
b
x y
' +
c
x2
= 0, para x diferente de zero.
Limitaremos o intervalo de solução da equação de Euler para x > 0 ou para x < 0. Escolheremos o intervalo x > 0.
Para resolver a esta equação, vamos usar uma mudança de variável de forma que x = et. Portanto, lnx = t
Assim:
Y' =
DY
DX =
DY
DT
DT
DX =
1
X
DY
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Y'' =
D2Y
DX2
=
D
DX
DY
DX =
D
DX
1
X
DY
DT =
1
X
D
DX
DY
DT -
1
X2
DY
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Y'' =
1
X
D
DT
DY
DT
DT
DX -
1
X2
DY
DT =
1
X
D
DT
DY
DT
1
X -
1
X2
DY
DT =
1
X2
D2Y
DT2
-
DY
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na EDO:
1
X2
D2Y
DT2
-
DY
DT +
B
X
1
X
DY
DT +
C
X2
= 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
D2Y
DT2
+ (B - 1)
DY
DT + CY = 0
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 ATENÇÃO
Repare que foi transformada em uma equação de coeficientes constantes, e pode ser resolvida pelo método estudado anteriormente.
EXEMPLO
Determine a solução da equação diferencial x2y '' + 3xy ' + y = 0 para x > 0.
Observando a equação, podemos verificar que trata-se de equação de Euler.
Colocando na forma padrão y '' +
3
x y
' +
1
x2
= 0
Fazendo a substituição de variável x = et
Y' =
1
X
DY
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Y'' =
1
X2
D2Y
DT2
-
DY
DT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na EDO:
1
X2
D2Y
DT2
-
DY
DT +
3
X
1
X
DY
DT +
1
X2
= 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D2Y
DT2
+ (3 - 1)
DY
DT + Y = 0 →
D2Y
DT2
+ 2
DY
DT + Y = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( ) ( )
Transformou-se em uma EDO linear homogênea de coeficientes constantes.
A equação característica será
X2 + 2X + 1 = 0 → X = - 1
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que é uma raiz real dupla.
Assim, y = k1e
- t + k2te
- t
Mas t = lnx
Y = K1E
- LNX + K2(LNX)E
- LNX = K1E
LNX - 1 + K2(LNX)E
LNX - 1
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y =
k1
x + k2
1
x ln x, k1 e k2 reais
TEORIA NA PRÁTICA
Considere o movimento de uma mola com um corpo de massa m preso em sua extremidade que está sujeita a uma força de atrito. Esta força
de resistência é denominada força de amortecimento.
Pode-se modelar o movimento através da equação: m
d2x
dx2
+ p
dx
dt + kx = 0
K é a constante da mola e p é a constante de amortecimento. O movimento foi modelado através da seguinte equação:
2
d2x
dx2+ 8
dx
dt + 26x = 0
Determine a equação do movimento da mola.
RESOLUÇÃO
EDO LINEAR HOMOGÊNEA DE COEFICIENTES CONSTANTES
MÃO NA MASSA
1. QUAL DAS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS A SEGUIR TERÁ COMO SOLUÇÃO GERAL UMA FUNÇÃO DO TIPO
Y = A + BX EKX, COM A, B E K REAIS. .
A) 2s '' - 4s ' + 8 = 0
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B) y '' + y ' + 4 = 0
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C) 2u '' - 16u ' + 32 = 0
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D) 2s '' - 4s ' + 8 = 0
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E) y '' + 6y ' - 12 = 0
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2. DETERMINE A SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL Y'' + 6Y = 5Y'.
A) y = ae2x + be3x, com a e b reais.
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B) y = ae - 2x + bex, com a e b reais.
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C) y = axe2x + bewx, com a e b reais.
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D) y = ae2x + bxe3x, com a e b reais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) y = ae2xcos 3x + be2xsen 3x , com a e b reais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. DETERMINE A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL Y'' + 4Y = 0.
A) y = ae2x + be3x, com a e b reais.
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B) y = ae - 2x + bex, com a e b reais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) y = acos(2x) + bsen(2x), com a e b reais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) y = ae2x + bxe2x, com a e b reais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( ) ( )
E) y = ae2xcos 2x + be2xsen 2x , com a e b reais.
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4. DETERMINE A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL 2Y'' - 8Y' + 8Y = 0 QUE ATENDA ÀS CONDIÇÕES
INICIAIS Y (0) = 2 E Y' (0) = 7.
A) y = 2e2xcos 2x - 3xe2x
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B) y = 2e2x + 3e - 2x
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C) y = 2e2xcos 3x + 3e2xsen 2x
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D) y = 2e2x + 3xe2x
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E) y = 2e3x + 2xe3x
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5. DETERMINE A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO Y'' + (TGX)Y' = 0.
A) C cos x + k , k e C reais
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B) C sen x + k , k e C reais
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C) C tg x + k , k e C reais
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D) C x2 + k , k e C reais
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E) C exp(x) + k , k e C reais
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6. DETERMINE A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL X2Y'' + 2XY' - 12Y = 0 PARA X > 0.
A) y =
k1
x3
+ k2x
4, k1 e k2 reais.
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B) y =
k1
x + k2lnxx
4, k1 e k2 reais.
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C) y =
k1
x3
+ k2lnxx
- 4, k1 e k2 reais.
( ) ( )
( )
( ) ( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) y =
k1
x3
+ k2x
3, k1 e k2 reais.
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E) y = lnx
k1
x3
+ k2x
4 reais.
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GABARITO
1. Qual das equações diferenciais a seguir terá como solução geral uma função do tipo y = a + bx ekx, com a, b e k reais. .
A alternativa "C " está correta.
As equações que se encontram nas alternativas são equações lineares homogêneas com coeficientes constantes.
A equação que apresenta uma solução geral do tipo y = a + bx ekx é aquela que apresenta uma equação caraterística com uma raiz real
dupla, isto é, com discriminante igual a zero.
A única alternativa que apresenta este tipo de equação é da letra c, as demais apresentam o discriminante positivo ou negativo.
Portanto, a alternativa correta é da letra c.
2. Determine a solução geral da equação diferencial y'' + 6y = 5y'.
A alternativa "A " está correta.
Trata-se de uma EDO de segunda ordem linear de coeficientes constantes e homogênea.
Assim, precisamos achar as raízes da equação característica.
y '' + 6y = 5y ' → y '' - 5y ' + 6y = 0 → x2 - 5x + 6 = 0
O discriminante da equação será ∆ = 52– 4. 1. 6 = 1 > 0.
Logo, terá duas raízes reais e distintas.
k =
- b ±√b2 - 4ac
2a =
5 ±√1
2 =
5 ± 1
2 =
3
2
As funções fundamentais serão e3x e e2x.
Portanto, a solução geral será dada por y = ae2x + be3x, que está na letra a.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Determine a solução da equação diferencial y'' + 4y = 0.
A alternativa "C " está correta.
Trata-se de uma EDO de segunda ordem linear de coeficientes constantes e homogênea.
Assim, precisamos achar as raízes da equação característica.
y '' + 4y = 0 → x2 + 4 = 0
O discriminante da equação será ∆ = 0)2– 4. 1. 4 = – 16 < 0.
Logo, terá duas raízes complexas.
k =
- b ±√b2 - 4ac
2a =
0 ±√ - 16
2 =
± 4j
2 = ± 2j
As funções fundamentais serão cos(2x) e sen(2x). Veja que α = 0 e β = 2.
Portanto, a solução geral será dada por:
y = m1cos(2x) + m2sen 2x
( )
( )
{
(
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Determine a solução da equação diferencial 2y'' - 8y' + 8y = 0 que atenda às condições iniciais y (0) = 2 e y' (0) = 7.
A alternativa "D " está correta.
Trata-se de uma EDO de segunda ordem linear de coeficientes constantes e homogênea.
Assim, precisamos achar as raízes da equação característica.
2y '' - 8y ' + 8y = 0 → y '' - 4y' + 4y = 0 → x2 - 4x + 4 = 0
O discriminante da equação será ∆ = – 4)2– 4. 1. 4 = 0.
Logo, terá uma raiz real dupla.
k =
- b ±√b2 - 4ac
2a =
4 ±√0
2 = 2
As funções fundamentais serão e2x e xe2x.
Portanto, a solução geral será dada por:
y = m1e
2x + m2xe
2x
Aplicando as condições para obter a solução particular:
x = 0 → y = m1. 1 + m2. 0.1 = m1 = 2
Se y = y = m1e
2x + m2xe
2x, então:
y ' = 2m1e
2x + m2e
2x + 2m2xe
2x
x = 0 → y ' = 2m1. 1 + m2. 1 + 2m2. 0.1 = 2m1 + m2 = 7
Como m1 = 2 então m2 = 7 - 2m1 = 7 - 2.2 = 3.
Então, a solução particular será y = 2e2x + 3xe2x, sendo a alternativa correta da letra d.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Determine a solução da equação y'' + (tgx)y' = 0.
A alternativa "B " está correta.
Vamos fazer uma substituição de variável para obter a solução desta equação. A substituição será v(x) = y', assim:
v'' + tg(x)v = 0
Então:
v ' = - tg(x)v →
v '
v = - tg(x) → ∫
1
v dv = - ∫ tg(x)dx + k
Resolvendo a integral ∫ tg(x)dx
Fazendo u = cos x → du = - senx dx
∫ tg(x)dx = ∫
senx
cosx dx = ∫ -
du
u = - ln|u|
Como x ∈ -
π
2 ,
π
2 então cos x = u > 0
Dessa forma:
ln|v| = - ∫ tg(x)dx + k = ln(u) + k
Assim ln | v | = ln(u) + k
Então: v = Cu = C cos x, onde C é um número real.
Como y' = v, então y = C∫cos x dx = C sen x + k, k e C reais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Determine a solução da equação diferencial x2y'' + 2xy' - 12y = 0 para x > 0.
( ( )
( )
A alternativa "A " está correta.
EDO Linear Homogênea de CoeficientesVariáveis
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE A SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL Y'' = 3Y + 2Y'.
A) y = ae2x + be3x, com a e b reais.
B) y = axe2x + bewx, com a e b reais.
C) y = ae3x + be - x, com a e b reais.
D) y = ae2x + bxe3x, com a e b reais.
E) y = ae2xcos 3x + be2xsen 3x , com a e b reais.
2. DETERMINE A SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO Y'' +
1
X Y
' = 0, PARA X > 0.
A) y = Cexp(x) + k, k e C reais.
B) y = C ln(x) + k, k e C reais.
C) y = Cx2 + k, k e C reais.
D) y = exp(x) + C, C real.
E) y = ln(x) + C, C real.
GABARITO
1. Determine a solução geral da equação diferencial y'' = 3y + 2y'.
A alternativa "C " está correta.
 
Você entendeu o conceito da resolução da EDO linear homogênea de coeficiente constante. Trata-se de uma EDO de segunda ordem linear de
coeficientes constantes e homogênea.
Precisamos achar as raízes da equação característica.
y '' = 3y + 2y ' → y '' - 2y ' - 3y = 0 → x2 - 2x - 3 = 0
O discriminante da equação será ∆ = 22– 4. 1. – 3 = 16 > 0.
( ) ( )
( )
Logo, terá duas raízes reais e distintas.
k =
- b ±√b2 - 4ac
2a =
2 ±√16
2 =
2 ± 4
2 =
3
-1
As funções fundamentais serão e3x e e - x.
Portanto, a solução geral será dada por y = ae3x + be - x.
Assim, a resposta correta é a letra c.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a solução geral da equação y'' +
1
x y
' = 0, para x > 0.
A alternativa "B " está correta.
 
Você entendeu o conceito da resolução da EDO linear homogênea de coeficiente variáveis.
Vamos fazer uma substituição de variável para obter a solução desta equação. A substituição será v(x) = y', assim:
v ' +
1
x v = 0
Então:
v ' = -
1
x v →
v '
v = -
1
x → ∫
1
v dv = ∫ -
1
x dx + k = - ln x + k
Assim: ln|v| = - ln(x) + k = lnx - 1 + k.
Então:
v = C
1
x , onde C é um número real
Como y' = v, então:
y = C∫
1
x dx = Cln x + k, k e C reais
Logo, a resposta correta é a letra b.
MÓDULO 3
 Solucionar as equações lineares de segunda ordem não homogêneas
{
( )
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO LINEAR DE SEGUNDA ORDEM NÃO
HOMOGÊNEA
INTRODUÇÃO
No módulo anterior, estudamos o método de resolução de equações lineares homogêneas.
Neste módulo, estudaremos o método para resolução de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem lineares não homogêneas.
A solução geral da equação não homogênea é definida pela soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular.
Neste módulo, também abordaremos dois métodos para obter a equação particular para uma equação diferencial não homogênea: método dos
parâmetros a serem determinados e o método das variações dos parâmetros.
RESOLUÇÃO DE EDO LINEARES NÃO HOMOGÊNEAS
O primeiro ponto importante é que a solução da equação não homogênea está diretamente relacionada à solução da equação homogênea
correspondente, que denominamos equação homogênea associada.
Para solução da equação não homogênea, o primeiro passo é resolver a equação associada y '' + A x y ' + B x y = 0. Esta solução, que pode
ser obtida pelos métodos estudados no módulo anterior, é denominada solução homogênea ou complementar.
Para complementar esta solução de forma que atenda à equação diferencial não homogênea utilizaremos o teorema da solução geral da EDO
linear não homogênea.
TEOREMA DA SOLUÇÃO GERAL DA EDO LINEAR NÃO
HOMOGÊNEA
SE YP É UMA SOLUÇÃO PARTICULAR DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
NÃO HOMOGÊNEA
Y'' + A(X)Y' + B(X)Y = C X
( ) ( )
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
COM A(X), B(X) E C(X), AS FUNÇÕES CONTÍNUAS EM UM INTERVALO 
XA < X0 < XBE YH COMPÕEM A SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO
HOMOGÊNEA ASSOCIADA, ENTÃO, A SOLUÇÃO GERAL PARA ESSA
EQUAÇÃO NÃO HOMOGÊNEA NESTE INTERVALO É:
Y = YH + YP = M1Y1 + M2Y2 + YP , M1 E M2 REAIS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ONDE Y1 E Y2 SÃO SOLUÇÕES FUNDAMENTAIS DA EQUAÇÃO
HOMOGÊNEA.
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Desta forma, basta obter uma solução particular, mesmo por inspeção e juntar à solução homogênea associada para chegar à solução geral
para equação não homogênea.
 ATENÇÃO
Um ponto importante: existem várias soluções particulares, qualquer uma pode ser usada na composição da solução geral
EXEMPLO
Determinar a solução da equação y'' – y' = 8.
Necessitamos resolver inicialmente a equação homogênea associada.
Y'' - Y' = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos a equação característica
K2 - K = 0 → K K - 1 = 0 → K = 0 OU K = 1( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Tem-se duas raízes reais e diferentes. Portanto, a solução da equação homogênea será:
YH = AE0X + BEX = A + BEX, A E B REAIS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, é necessário definir uma solução particular que atenda a EDO não homogênea.
Por inspeção, necessitamos de uma função em que a diferença da segunda e primeira derivadas resulte no número 8. Vamos tentar a função 
yP = am + nx + p, m, n e p reais.
Para tentar encontrar os valores da constante, substituiremos na EDO.
Se
YP = MX
2 + NX + P → YP' = 2MX + N → YP'' = 2M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
Y'' – Y' = 2M - (2MX + N) = - 2MX + (2M - N) = 8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na comparação termo a termo, temos:
2M = 0 → M = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2M – N = 8 → N = - 8 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim: yp = - 8x
Repare que se
YP = - 8X → YP' = - 8 → YP'' = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto: yp'' - yp' = 8, satisfazendo a EDO não homogênea.
Obtivemos a solução geral da equação não homogênea:
Y = YH + YP = A + BEX - 8X, A E B REAIS
 ATENÇÃO
Outro ponto importante é que, quando o termo não homogêneo for uma combinação de vários termos, podemos usar o princípio da
superposição, determinar uma solução particular para cada termo e usar a soma deles como a solução particular a ser utilizada.
Em outras palavras, se yp1 é a solução particular para equação diferencial:
Y'' + A(X)Y' + B(X)Y = C1 X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E se yp2 é a solução particular para equação diferencial:
Y'' + A(X)Y' + B(X)Y = C2 X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então yp = yp1 + yp2 é solução particular para equação diferencial:
Y'' + A(X)Y' + B(X)Y = C1(X) + C2 X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usaremos este teorema na resolução de um exemplo do próximo item.
A obtenção da solução particular por inspeção nem sempre é simples. Existem métodos que ajudam a obtenção de uma solução particular para
a equação não homogênea, os quais veremos a seguir.
MÉTODO DOS PARÂMETROS A SEREM DETERMINADOS
Como estudado, a solução geral de uma equação diferencial não homogênea de segunda ordem combina a solução geral da equação
homogênea associada a uma solução particular.
A solução particular pode, às vezes, ser obtida por pura inspeção, mas este procedimento nem sempre é simples. Existe um método
denominado parâmetros a serem determinados, ou parâmetros indeterminados, que permite obter a solução particular para alguns tipos de
equações não homogêneas.
O PRIMEIRO PASSO DESTE MÉTODO É FAZER UMA HIPÓTESE INICIAL
COMO SOLUÇÃO PARTICULAR. ESTA SOLUÇÃO PARTICULAR ENVOLVE
( )
( )
( )
ALGUNS PARÂMETROS NUMÉRICOS A SEREM DETERMINADOS. TAIS
PARÂMETROS SERÃO DETERMINADOS DE FORMA QUE A SOLUÇÃO
ATENDA À SOLUÇÃO NÃO HOMOGÊNEA.
Este método deve ser utilizado para uma equação do tipo y '' + A(x)y ' + B(x)y = C x quando C(x) for do tipo ou um produtofinito das seguintes
funções:
UMA CONSTANTE REAL

UM POLINÔMIO

UMA EXPONENCIAL

UMA FUNÇÃO DO TIPO COS(KX) OU SEN(KX)
Repare que é bem semelhante à forma por intuição no exemplo do item anterior.
Pode-se definir uma forma geral para o termo não homogêneo no qual podemos usar este método epxPn(x) cos kx e/ou e
pxPn(x) sen kx ,
onde Pn(x) é um polinômio de grau n, k e p números reais e n é um inteiro não negativo.
O método, portanto, consiste em substituir o termo em sua forma geral na equação diferencial e obter os valores dos parâmetros. Veja os
exemplos a seguir.
EXEMPLO
Determine a solução geral da equação y'' + 3y' + 2y = x2.
Inicialmente, necessitamos achar a solução para equação homogênea associada:
y'' + 3 y' + 2y = 0
Trata-se de uma EDO linear de coeficientes constantes. Resolvendo a equação característica:
k2 + 3k + 2 = 0
Assim:
( )
( ) ( )
K =
- B ±√B2 - 4AC
2A =
- 3 ±√32 - 4.1 . 2
2 =
- 3 ± 1
2 =
-1
-2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a solução da equação homogênea será:
yH = ae
- x + be - 2x, a e b reais
Agora necessitamos de uma solução particular para atender a equação diferencial não homogênea.
A forma geral a ser utilizada será yP = e
pxPn(x) cos kx .
Observe que no termo não homogêneo só temos um polinômio. Assim, tanto a parte exponencial como a parte do cos(x) podem ser retiradas.
Como o termo homogêneo é um polinômio, x2, vamos tentar como solução particular um polinômio também. Por hipótese tentaremos 
yP = mx
2 + nx + p, m, n e p reais
No caso, quando o termo não homogêneo é um polinômio, devemos nos preocupar em não definirmos Pn x com número insuficiente de
termo. De forma contrária, ter número excedente de termo não representa problema, pois o próprio processo matemático irá zerar os termos em
excesso, como pode ser visto no exemplo realizado no item anterior.
Para tentar encontrar os valores da constante, substituiremos na EDO.
Se
YP = MX2 + NX + P → YP' = 2MX + N → YP'' = 2M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
Y'' + 3Y' + 2Y = 2M + 3 2MX + N + 2 MX2 + NX + P =
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
= 2MX2 + X(6M + 2N) + (2M + 3N + 2P) = X2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na comparação termo a termo, temos:
2M = 1 → M =
1
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
{
( )
( )
( ) ( )
6M + 2N = 0 → 3M + N = 0 → N = - 3M = -
3
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2M + 3N + 2P = 0 → P = - M -
3
2 N = -
1
2 -
3
2 -
3
2 = -
1
2 +
9
4 =
7
4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O polinômio obtido foi yP =
1
2 x
2 -
3
2 x +
7
4 .
Teste novamente na equação diferencial e chegará ao resultado será x2.
Portanto, a solução geral da equação diferencial não homogênea será:
Y = YH + YP = AE
- X + BE - 2X +
1
2 X
2 -
3
2 X +
7
4 , A E B REAIS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quando o termo não homogêneo for uma soma de funções, devemos usar o princípio da superposição estudado no item anterior. Vide o
exemplo a seguir.
EXEMPLO
Determine a solução geral da equação y '' + 3y ' + 2y = x2 + cosx.
A equação homogênea associada é y '' + 3y ' + 2y = 0
A solução da equação homogênea foi calculada no exemplo anterior dada por:
yH = ae
- x + be - 2x, a e b reais
Agora o termo não homogêneo é composto por duas funções, x2 e cos (x).
A solução particular que atende a parte do x2 também já foi calculada no exemplo anterior.
yP1 =
1
2 x
2 -
3
2 x +
7
4
Precisamos obter a solução particular que atende ao termo não homogêneo cos (x)
Analisando o termo geral e como só se tem termo em cos (x), vamos tentar a função yP2 = mcos(x) + n sen x , m e n reais.
Se:
YP2 = MCOS(X) + N SEN(X) → YP2' = - MSEN(X) + NCOS(X) → YP2'' = - MCOS(X) - NSEN X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na EDO:
( )
( )
( )
-MCOS(X) - NSEN(X) + 3(-MSEN(X) + NCOS(X)) + 2(MCOS(X) + N SEN(X)) =
= (-M + 3N + 2M)COS(X) + (-N - 3M + 2N)SEN X = COSX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
-M + 3N + 2M = 3N + M = 1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
-N - 3M + 2N = N - 3M = 0 → N = 3M
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim
3N + M = 1 → 3(3M) + M = 10M = 1 → M = 1/10 → N = 3/10
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma
YP2 =
1
10 COS(X) +
3
10 SEN X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Teste novamente na equação diferencial e verá que o resultado será cos(x).
De acordo com o teorema da superposição:
Y = YH + YP1 + YP2 = AE
- X + BE - 2X +
1
2 X
2 -
3
2 X +
7
4 +
1
10 COS(X) +
3
10 SEN X , A E B REAIS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O método dos parâmetros a serem determinados terá uma limitação quando a função C(x) for uma solução da equação homogênea associada.
Neste caso, o método sofre uma alteração: a forma da solução particular deve ser multiplicada por x. Caso xC(x) também seja solução da
equação homogênea, devemos multiplicar por x2.
EXEMPLO
( )
( )
Determine a solução geral da equação diferencial y '' - 4y = e2x.
Agora veremos o método denominado método das variações dos parâmetros.
MÉTODO DAS VARIAÇÕES DOS PARÂMETROS
O método anterior geralmente é utilizado no caso de uma equação linear de coeficientes constantes e quando os termos não homogêneos
tiverem a forma epxPn(x) cos kx ou e
kxPn(x) sen kx .
Um outro método que pode ser empregado é o método das variações dos parâmetros. Este método também é denominado método de
Lagrange, que pode ser empregado em equações com coeficientes constantes ou variáveis.
ENTRETANTO, A SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO HOMOGÊNEA ASSOCIADA À
EDO NÃO HOMOGÊNEA ANALISADA DEVE SER CONHECIDA
PREVIAMENTE.
No caso das equações de coeficientes constantes, já conhecemos método para obter a solução da equação homogênea. Para o caso das
equações lineares com coeficientes variáveis, o conhecimento desta solução homogênea pode ser mais complexo.
Retornando à EDO linear não homogênea:
D2Y
DX2
+ A(X)
DY
DX + B(X)Y = C(X)
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Com A(x), B(x) e C(x) como funções contínuas no intervalo de interesse.
Considere a equação homogênea associada 
d2y
dx2
+ A(x)
dy
dx + B(x)y = 0, com y1 e y2 duas soluções linearmente independentes desta equação.
Assim a solução da equação homogênea será dada por:
YH = M1Y1 + M2Y2, COM M1 E M2 REAIS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução particular será do tipo:
YP = U1(X)Y1 + U2 X Y2 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde u1 e u2 são duas funções arbitrárias.
Como as funções são arbitrárias, impomos às funções duas condições:
Atender a equação diferencial.
( ) ( )
( )

Atender uma solução imposta pelo método de u1'(x)y1 + u2'(x)y2 = 0.
Assim:
Se
YP = U1(X)Y1 + U2(X)Y2 → YP' = U1'Y1 + U1Y1' + U2'Y2 + U2Y2'
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com a segunda condição, teremos yp' = u1y1' + u2y2'.
Calculando a segunda derivada, yp'' = u1'y1' + u1y1'' + u2'y2' + u2y2''.
Substituindo na equação diferencial:
U1'Y1' + U1Y1'' + U2'Y2' + U2Y2'' + A X U1Y1' + U2Y2' + B X U1Y1 + U2Y2 = C X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Reorganizando:
U1 Y1'' + A X BY1' + B X Y1 + U2 Y2'' + A X Y2' + B X Y2 + U1'Y1' + U2'Y2'= C X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas, como y1 e y2 são soluções da equação complementar, os dois primeiros parênteses são nulos. Dessa forma:
U1'Y1' + U2'Y2' = C(X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, teremos que resolver o seguinte sistema para obter as funções arbitrárias:
U1'Y1 + U2'Y2 = 0
U1'Y1' + U2'Y2' = C(X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após obter u1' e u2', basta integrar para obter u1 e u2 e, então, obter a solução particular desejada.
EXEMPLO
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ) ( ) ( )
{
Determine a solução geral para equação diferencial y '' - 2y ' + y =
ex
x2
 , com x > 0.
A solução da parte homogênea será dada pela função yh = ay1 + by2 = ae
x + bxex, a e b reais.
Você já sabe calcular esta solução da homogênea associada? Faça como exercício.
Vamos agora nos concentrar na obtenção da solução particular.
Ela será do tipo yP = u1(x)y1 + u2(x)y2.
Pelo método, necessitamos resolver o sistema a seguir para obter as funções auxiliares u1 e u2.
U1'Y1 + U2'Y2 = 0
U1'Y1' + U2'Y2' = C(X)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas
Y1 = EX → Y1' = EX E Y2 = XEX → Y2' = EX + XEX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Além disso
C(X) =
EX
X2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
U1'Y1 + U2'Y2 = 0
U1'Y1' + U2'Y2' = C(X)
→
U1'E
X + U2'XE
X = 0
U1'E
X + U2' EX + XEX =
EX
X2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
→
U1'(X) + U2'(X)X = 0
U1' + U2' 1 + X =
1
X2
{
{ { ( )
{ ( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Da primeira equação u1'(x) = - xu2'(x).
Substituindo na segunda:
U1' + U2'(1 + X) =
1
X2
→ U1' -
1
X U1'(1 + X) =
1
X2
→ -
1
X U1' =
1
X2
→ U1' = -
1
X → U2' =
1
X2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se
U1' = -
1
X → U1 = ∫-
1
X DX = - LN X E U2' =
1
X2
→ U2 = ∫
1
X2
DX = -
1
X
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a solução particular será:
YP = U1(X)Y1 + U2(X)Y2 = - LN(X) EX -
1
X XE
X = LN
1
X E
X - EX
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
Y = YH + YP = AEX + BXEX + LN
1
X E
X - EX, A E B REAIS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
A corrente elétrica em um circuito RLC da figura a seguir pode ser obtida através de uma equação diferencial de segunda ordem.
( )
( ) ( )
( )
 
Imagem: Jorge Luís Rodrigues Pedreira de Cerqueira.
O modelo utilizado é:
L
d2i
dt2
+ R
di
dt +
1
C i = v' t
Determine a função geral para corrente elétrica do circuito com os seguintes dados:
R=40Ω
C=1600 μF
L = 1 H
v(t)=100 cos(10t)
Sabendo que t = 0, temos i = 0 e t = πs se tem i = 10 A.
RESOLUÇÃO
EDO LINEAR NÃO HOMOGÊNEA
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE A SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL 
D2U
DV -
DU
DV - 2U = 4.
( )
A) u = ae - v + bve2v - 2, a e b reais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) u = ave - v + be2v - 2, a e b reais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) u = aev + be - 2v - 2, a e b reais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) u = ae - v + be2v - 2, a e b reais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) u = ae - v + be2v - 4, a e b reais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. DETERMINE A SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL Y'' + Y = 4EX.
A) y = acos(x) + bsen(x) + 2ex
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) y = aexcos(x) + bexsen(x) + 2ex
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) y = aex + bxex + 2cos x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) y = acos(x) + bx sen(x) + 2x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) y = acos(x) + bsen(x) + x2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. RESOLVA A EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR NÃO HOMOGÊNEA Y'' - 3Y' + 2Y = X2 + X.
A) y = axex + be2x + x2 + x +
5
2 , a e b reais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) y = aex + be - x + x2 - 2x + 5, a e b reais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) y = aex + bxe2x +
1
2 x
2 + 2x, a e b reais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) y = aex + be2x +
1
2 x
2 + 2x +
5
2 , a e b reais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) y = 2axex + be2x + x2 + x +
5
2 , a e b reais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
4. DETERMINE A SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL X2Y'' + 3XY' + Y = 2X2.
A) y =
k1
x + k2sen x +
2
9 x
2, k1 e k2 reais
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B) y =
k1
x + k2
ln x
x +
2
9 xe
x, k1 e k2 reais
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C) y = k1x + k2
1
x +
2
9 x
2, k1 e k2 reais
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) y =
k1
x + k2
ln x
x +
2
9 x
2, k1 e k2 reais
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) y =
k1
x2
+ k2
ln x
x2
+ x3, k1 e k2 reais
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5. DETERMINE A SOLUÇÃO PARA EQUAÇÃO DIFERENCIAL Y'' + Y = SECX, COM X PERTENCENTE AO
INTERVALO 0,
Π
2 .
A) y = axcosx + bxsenx + ln(cos(x))cosx + x sen (x), a e b reais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) y = acosx + bsenx + ln(senx)cosx + x sen (x), a e b reais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) y = acosx + bsenx + ln(cos(x))cosx + x sen (x), a e b reais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) y = axcosx + bsenx + ln(x)cosx - x sen (x), a e b reais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) y = acosx + bxsenx + ln(x)cosx + x sen (x), a e b reais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. RESOLVA A EQUAÇÃO DIFERENCIAL LINEAR NÃO HOMOGÊNEA Y'' - 2Y' + 10Y = 80 + X2EX.
A) y = axexcos(3x) + bxexsen(3x) + x2 - 1 ex, a e b reais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B) y = aexcos(3x) + bxexsen(3x) + x2 - 2 ex + 8, a e b reais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C) y = aexcos(3x) + bexsen(3x) +
1
9 x
2 -
2
81 e
x + 8, a e b reais.
( )
( )
( )
( )
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D) y = aexcos(3x) + bexsen(3x) +
1
9 x
2 ex + 6, a e b reais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E) y = aexcos(3x) + bexsen(3x) +
1
9 x -
2
81 e
x + 4, a e b reais.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
1. Determine a solução geral da equação diferencial 
d2u
dv -
du
dv - 2u = 4.
A alternativa "D " está correta.
Precisamos inicialmente calcular a solução da equação homogênea associada.
u'' - u' - 2u = 0
Resolvendo a equação característica, se obtém as raízes como sendo – 1 e 2. Assim, a solução da equação homogênea será:
yh = ae
- v + be2v, a e b reais
Necessitamos agora definir uma solução particular. Comoo termo não homogêneo vale 4 por inspeção, se fizermos u = – 2, atenderemos a
EDO não homogênea, pois:
Se u = – 2 → u' = u'' = 0 → u'' - u' - 2u = 0 - 0 + 4 = 4
Assim, a solução geral será:
y = yH + yP = ae
- v + be2v - 2, a e b reais
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2. Determine a solução geral da equação diferencial y'' + y = 4ex.
A alternativa "A " está correta.
Inicialmente, vamos resolver a equação homogênea:
y '' + y = 0 → k2 + 1 = 0 → k = ± j
Assim, as soluções homogêneas são yh = acos(x) + bsen(x), a e b reais.
Para a solução particular, analisando o termo não homogêneo, vamos tentar a função Cex. Substituindo na EDO:
Se yp = Ce
x → yp' = Ce
x → yp'' = Ce
x
Assim Cex + Cex = 4ex → C = 2
Portanto, y = yh + yP = acos(x) + bsen(x) + 2e
x, a e b reais.
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3. Resolva a equação diferencial linear não homogênea y'' - 3y' + 2y = x2 + x.
A alternativa "D " está correta.
Inicialmente, necessitamos achar a solução para equação homogênea associada:
y'' – 3y' + 2y = 0
Trata-se de uma EDO linear de coeficientes constantes. Resolvendo a equação característica:
k2 - 3k + 2 = 0
Assim:
( )
( )
k =
- b ±√b2 - 4ac
2a =
3 ±√32 - 4.1 . 2
2 =
3 ± 1
2 =
1
2
Portanto, a solução da equação homogênea será:
yH = ae
x + be2x, a e b reais
Agora necessitamos de uma solução particular para atender a equação diferencial não homogênea.
Por hipótese, tentaremos yP = mx
2 + nx + p, m, n e p reais.
Vamos substituir na EDO e tentar achar os valores da constante.
Se yP = mx
2 + nx + p → yp' = 2mx + n → yP'' = 2m
Então:
y''– 3y' + 2y = 2m - 3 2mx + n + 2 mx2 + nx + p =
= 2mx2 + x(-6m + 2n) + (2m - 3n + 2p) = x2 + x
Vamos comparar termo a termo:
2m = 1 → m =
1
2
-6m + 2n = 1 → 2n = 1 + 6m = 4 → n = 2
2m– 3n + 2p = 0 → p = - m +
3
2 n = -
1
2 +
3
2 2 =
5
2
Assim, o polinômio obtido foi yP =
1
2 x
2 + 2x +
5
2 .
Portanto, a solução geral da equação diferencial não homogênea será:
y = yH + yP = ae
x + be2x +
1
2 x
2 + 2x +
5
2 , a e b reais
Dessa forma, a alternativa correta é da letra d.
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4. Determine a solução geral da equação diferencial x2y'' + 3xy' + y = 2x2.
A alternativa "D " está correta.
Trata-se de uma equação diferencial de Euler não homogênea.
Resolvendo inicialmente a equação homogênea associada:
x2y '' + 3xy ' + 1y = 0
Para resolver a esta equação, vamos usar uma mudança de variável de forma que x = et.
Portanto, lnx = t.
Assim:
y ' =
dy
dx =
1
x
dy
dt
y '' =
1
x2
d2y
dt2
-
dy
dt
Substituindo na EDO:
y '' +
3
x y
' +
1
x2
y = 0
1
x2
d2y
dt2
-
dy
dt +
3
x
1
x
dy
dt +
1
x2
= 0
d2y
dt2
+ 2
dy
dt + y = 0
{
( ) ( )
( )
( ) ( )
Repare que foi transformada em uma equação de coeficientes constantes, podendo ser resolvida pelo método da equação característica.
k2 + 2k + 1 = 0 → k =
- b ±√b2 - 4ac
2a =
- 2 ±√22 - 4.1 . 1
2 =
- 2
2 = - 1
Portanto, a solução geral homogênea será y = k1e
- t + k2te
- t.
Mas t = lnx
y = k1e
- lnx + k2lnx e
- lnx = k1e
lnx - 1 + blnxelnx
- 1
y =
k1
x + k2
ln x
x , k1 e k2 reais
Para resolver a parte não homogênea, usaremos o método das variações dos parâmetros.
Pelo método, necessitamos resolver o sistema abaixo para obter as funções auxiliares u1 e u2 .
x2y '' + 3xy ' + y = 2x2 → y '' +
3
x y
' +
1
x2
y = 2
u1'y1 + u2'y2 = 0
u1'y1' + u2'y2' = C(x)
Mas y1 =
1
x → y1' = -
1
x2
 e y2 =
ln x
x → y2' =
1
x2
(1 - lnx). Além disso C(x) = 2.
u1'y1 + u2'y2 = 0
u1'y1' + u2'y2' = C(x)
→
u1'
1
x + u2' 
ln x
x = 0
u1' -
1
x2
+ u2'
1
x2
(1 - lnx) = 2
Pela primeira equação, u1' = - u2'lnx.
Então:
-u1' + u2'(1 - lnx) = 2x
2
u2' lnx + u2'(1 - lnx) = 2x
2 → u2' = 2x
2
Assim, u2 = ∫2x
2dx =
2
3 x
3
u1' = - u2'lnx = - 2lnxx
2 → u1 = - ∫2lnxx
2 dx
Resolvendo por integração por partes:
u1 = -
2
3 x
3lnx +
2x3
9 =
2x3
3
1
3 - lnx
Portanto, a solução particular será:
yP = u1(x)y1 + u2(x)y2 =
2x3
3
1
3 - lnx
1
x +
2
3 x
3 ln x
x =
2
9 x
2
Desta forma:
y = yH + yP = y =
k1
x + k2
ln x
x +
2
9 x
2, k1 e k2 reais
Assim, a resposta correta é a letra D.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Determine a solução para equação diferencial y'' + y = secx, com x pertencente ao intervalo 0,
π
2 .
A alternativa "C " está correta.
Resolvendo a equação homogênea:
y '' + y = 0
Com equação característica k2 + 1 = 0 com raízes iguais a ±j.
A solução da parte homogênea será dada pela função yh = ay1 + by2 = acos(x) + bsen(x), a e b reais.
{
{ { ( )
( )
( )
( )
Vamos agora nos concentrar na obtenção da solução particular.
Ela será do tipo yp = u1(x)y1 + u2(x)y2.
Pelo método, necessitamos resolver o sistema abaixo para obter as funções auxiliares u1 e u2.
u1'y1 + u2'y2 = 0
u1'y1' + u2'y2' = C(x)
Mas y1 = cosx → y1' = - sen x e y2 = senx → y2' = cosx. Além disso C(x) = secx.
u1'y1 + u2'y2 = 0
u1'y1' + u2'y2' = C(x)
→
u1'cosx + u2' sen x = 0
u1' - senx + u2'cosx = secx
Pela primeira equação, u1' = - u2' tg x.
Então, -u2' tg x(-senx) + u2' cosx = sec x =
1
cos x .
u2'sen
2x + u2'cos
2x = 1 → u2' = 1 → u2 = ∫dx = x
u1' = - u2' tg x = - tgx → u1 = - ∫ tgx dx
Resolvendo:
u1 = - ∫ tgx dx = - ∫
sen x
cos x dx
Fazendo v = cos x → dv = - senx:
u1 = ∫
dv
v = ln(v) = ln(cosx)
Portanto, a solução particular será:
yP = u1(x)y1 + u2(x)y2 = ln cos(x))cosx + x sen x
Desta forma:
y = yH + yP = acosx + bsenx + ln cos(x) cosx + x sen x , a e b reais
Assim, a resposta correta é a letra C.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Resolva a equação diferencial linear não homogênea y'' - 2y' + 10y = 80 + x2ex.
A alternativa "C " está correta.
EDO Linear Não Homogênea
GABARITO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE A SOLUÇÃO GERAL DA EQUAÇÃO DIFERENCIAL 
D2Y
DX - 3
DY
DX - 10Y = 40.
{
{ { ( )
( ( )
( ) ( )
A) y = ae - 2x + be5x - 4, a e b reais.
B) y = axe - 2x + be5x - 2, a e b reais.
C) y = aex + be - 2x - 2, a e b reais.
D) y = ae - 2x + be5x - 2, a e b reais.
E) y = ae - x + bxe2x - 4, a e b reais.
2. DETERMINE A SOLUÇÃO PARA EQUAÇÃO DIFERENCIAL Y'' - 4Y' + 4Y =
2
3 X
- 1E2X, COM X > 0.
A) y = ae2x + bxe2x -
x
2 + x lnxe
2x, a e b reais.
B) y = ae2x + bxe2x -
x2
2 e
x + x lnxex, a e b reais.
C) y = ae2x + bxe2x - xe2x + x lnxe2x, a e b reais.
D) y = ae2x + bxe2x -
x
2 e
2x +
1
2 x lnxe
2x, a e b reais.
E) y = ae2x + be2x - xe2x + x lnxe2x, a e b reais.
GABARITO
1. Determine a solução geral da equação diferencial 
d2y
dx - 3
dy
dx - 10y = 40.
A alternativa "A " está correta.
 
Você entendeu o conceito da resolução de EDO linear não homogênea.
Precisamos calcular a solução da equação homogênea associada.
y '' - 3y' - 10y = 0
Resolvendo a equação característica, se obtém as raízes como sendo – 2 e 5. Assim, a solução da equação homogênea será:
yh = ae
- 2x + be5x, a e b reais.
Necessitamos definir uma solução particular.
Como o termo não homogêneo vale 40 por inspeção, se fizermos u = – 4 atenderemos a EDO não homogênea, pois:
Se y = - 4 → y' = y'' = 0 → y'' - 3y' - 10y = 0 - 0 + 40 = 40
Assim, a solução geral será:
y = yH + yP = ae
- 2x + be5x - 4, a e b reais
Dessa forma, a resposta correta é a letra A.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a solução para equação diferencial y'' - 4y' + 4y =
2
3 x
- 1e2x, com x > 0.
A alternativa "D " está correta.
 
Você entendeu o conceito da resolução de EDO linear não homogênea.
Resolvendo a equação homogênea:
y '' - 4y ' + 4y = 0
Com equação característica k2 - 4k + 4 = 0 com raiz igual a 2.
A solução da parte homogênea será dada pela função yh = ay1 + by2 = ae
2x + bxe2x, a e b reais.
Vamos, agora, nos concentrar na obtenção da solução particular.
Ela será do tipo yP = u1(x)y1 + u2(x)y2.
Pelo método, necessitamos