Integrais_ Conceitos, Propriedades e Técnicas de Integração

Prévia do material em texto

DEFINIÇÃO
Aplicação do conceito de integração de funções reais e do teorema fundamental do cálculo.
PROPÓSITO
Determinar a integração Indefinida e Definida e aplicar tais conceitos na resolução de problemas de
integração por meio de algumas técnicas de integração: substituição de variáveis, integração por partes
e frações parciais.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos papel, caneta e uma calculadora científica ou
use a calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Aplicar o conceito da integral indefinida, definida e do teorema fundamental do Cálculo
MÓDULO 2
Empregar a técnica de integração por substituição de variável na resolução de problemas envolvendo
integrais
MÓDULO 3
Aplicar a técnica de integração por partes na resolução de problemas envolvendo integrais
MÓDULO 4
Empregar a técnica de integração por frações parciais na resolução de problemas envolvendo integrais
MÓDULO 1
 Aplicar o conceito da integral indefinida, definida e do teorema fundamental do Cálculo
INTRODUÇÃO
A integração de uma função real é uma operação com diversas aplicações práticas.
Este módulo analisará a integração indefinida e a integração definida.
Integração indefinida
Também conhecida como antiderivada, é oriunda da operação inversa da derivação, e tem como
resultado uma família de funções.

Integração definida
É oriunda de um somatório, denominado de Soma de Riemann, e tem como resultado um número real.
Por fim, será apresentado o teorema fundamental do cálculo, que permitirá a relação entre os dois tipos
de integração e o cálculo das integrais definidas de uma forma mais direta.
INTEGRAÇÃO INDEFINIDA
O primeiro conceito que se deve ter para estudar a operação da integração Indefinida é o conceito da
antiderivada de uma função.
Assim, uma função F(x) é denominada de antiderivada ou primitiva de uma função f(x) em um intervalo
I se F’(x) = f(x) para todo x do intervalo I. Assim, por exemplo, F(x) = x2 é uma função primitiva, em todo
conjunto real, da função f(x) = 2x , pois F’(x) = 2x = f(x), para todo x real.
Mas repare que a função G(x) = x2 + k, k real, também será primitiva de f(x) = 2x. Isso ocorre porque a
derivada de um número real é zero, assim G’(x) = F’(x) = f(x). A conclusão é que não existe apenas uma
antiderivada de uma função, mas uma família de antiderivadas.
TEOREMA
SE F(X) FOR ANTIDERIVADA DE F(X) EM UM
INTERVALO I, ENTÃO TODA FUNÇÃO QUE
PERTENCE À FAMÍLIA DE FUNÇÕES F(X) + K, K
REAL, É UMA ANTIDERIVADA DE F(X) EM I.
A família de primitivas ou antiderivadas de uma função será denominada de Integral Indefinida da função
e usará uma notação ∫ f (x )dx.
Dessa forma, ∫ f (x )dx=F (x ) +k, k real, onde F(x) é uma primitiva de f(x), isto é, F’(x) = f(x).
O termo dentro do símbolo da integral, ou seja, f(x), é denominado de integrando. O diferencial dx
determina em função de que variável a antiderivada é obtida.
 ATENÇÃO
O resultado de uma integração indefinida é uma família de funções. Para se determinar uma função
específica, deve-se obter uma informação adicional, denominada de condição inicial, como, por exemplo, o
valor da função ou de sua derivada em um ponto do seu domínio.
EXEMPLO 1
Determine ∫ cos x dx.
Repare o integrando f(x) = cos x. Assim, deve ser obtida uma primitiva de F(x), em outras palavras, qual
a função cuja derivada é cos x.
Sabemos das tabelas de derivação que F(x) = sen x →F’(x) = cos x.
Assim:
∫ cos x dx = sen x + k , 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2
Determine a função g(x) da família de funções obtidas por ∫cos x dx, sabendo que g(0) = 1.
No exemplo anterior, já obtivemos a família de funções:
∫cos x dx=sen x+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
g(x)=sen x+k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo g(0) = 0 + k = k.
Pelo enunciado, g(0) = 1, assim k = 1. Portanto,
g(x)=sen x+1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
INTEGRAIS IMEDIATAS
Repare que no exemplo tivemos que obter a função cuja derivada era o integrando. Com isso, podemos
definir uma tabela de integrais cujos valores são conhecidos. Esta tabela é obtida diretamente pela
operação contrária a derivação.
Estas integrais serão denominadas de imediatas, pois são obtidas diretamente das fórmulas das
antiderivadas.
A tabela a seguir apresenta as integrais imediatas para as principais funções.
∫p dx=px+k, com p, k real ∫xβ dx=xβ+1β+1+k, k real e β≠1
∫ex dx=ex+k, k real ∫1x+a dx=ln|x+a|+k, k real
∫sen x dx=-cos x+k, k real ∫cos x dx=sen x+k, k real
∫sec2x dx=tg x+k, k real ∫cossec2x dx=-ctg x+k, k real
∫sec x tg x dx=sec x+k, k real ∫cossec x ctg x dx=-cossec x+k, k real
∫11+x2dx=arctg x+k, k real ∫11-x2dx=arcsen x x+k, k real
Se a integral não for uma integral imediata, terá que trabalhar com o integrando de forma a transformá-lo
até se obter uma integral imediata. Essa técnica é conhecida como método de primitivação ou técnica
de integração e será estudada nos próximos módulos.
PROPRIEDADES DAS INTEGRAIS INDEFINIDAS
Outro ponto importante é que as integrais indefinidas apresentam duas propriedades que são oriundas
da antiderivação:
a) ∫p f(x)dx=p∫ f(x)dx, (p real)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
b) ∫[fx±g(x)]dx=∫ f(x)dx±∫ g(x)dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 3
Determine ∫(3x-2cos x)dx.
Usando as propriedades:
∫(3x-2cos x)dx=3∫xdx-2∫cos x dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Analisando as integrais, verifica-se que são integrais imediatas e conhecemos o resultado.
∫xdx=x22+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(Repare que a derivada de x22 é igual ao integrando)
∫cos xdx=sen x+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
(Repare que a derivada de senx é igual ao integrando)
Assim:
∫(3x-2cos x)dx=3∫xdx-2∫cos x dx=32x2-2 sen x+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Uma forma de se verificar se a resposta está correta é derivar a resposta e comparar com o integrando,
que deve ser igual. Observe que a derivada de 32x2-2senx+k, em função de x, vale 3x-2cosx.
INTEGRAÇÃO DEFINIDA
Diferentemente do caso da integração indefinida, que tem como resultado uma família de funções, a
integral definida tem como resultado um número real. A integração definida foi criada inicialmente na
busca do cálculo de áreas.
Um método adotado desde a Grécia antiga se baseava na substituição da região analisada por
retângulos, de forma que esse conjunto de retângulos cobrisse a região e, assim, pela soma das áreas
dos retângulos, obtinha-se a área da região.
Veja as figuras a seguir.
Observe que a área entre a função f(x) e o eixo x está sendo coberta por um conjunto de retângulos.
Conforme se diminui a largura dos retângulos, o casamento da área e dos retângulos é melhor, e, dessa
forma, graças a essa metodologia, o cálculo da área fica mais preciso.
 
(Fonte: o Autor)
 SAIBA MAIS
Se trabalhássemos com retângulos com larguras tendendo a zero, otimizaríamos o casamento e o cálculo da
área ficaria preciso.
Vamos agora trabalhar este conceito por um somatório que será denominado de Soma de Riemann.
SOMA DE RIEMANN
Tomemos um intervalo [a,b].
Definimos a partição P de um intervalo [a, b] a um conjunto finito P = {u0, u1, ..., un} que divide [a,b] em
n subintervalos [ui − 1, ui], tal que a = u0 < u1 < ... < un − 1 < un = b.
A amplitude de cada subintervalo [ui − 1, ui] é dada por Δui = u1 − ui − 1.
Sejam uma função f(x), uma partição P do intervalo [a, b] e pi um ponto pertencente ao subintervalo [ui −
1, ui], escolhido arbitrariamente, denomina-se soma de Riemann de f(x) em relação àpartição P e ao
conjunto de pontos pi a expressão:
∑i=1nf(pi)∆ui=f(p1)∆u1+f(p2)∆u2+…+f(pn)∆un
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare na parcela f(pi)∆ui. Ela pode ser analisada com a área de um retângulo de base ∆ui e altura f(pi).
Se você retornar às figuras anteriores, poderá observar que a soma de Riemann pode ser analisada
como a soma das áreas dos retângulos apresentados.
Cada retângulo tem sua base e altura dadas pelo valor da função no ponto pi dentro do seu subintervalo.
 ATENÇÃO
Vale lembrar um detalhe para ficar mais preciso: se a função estiver abaixo do eixo x, o valor de f(pi) será
negativo.
Assim, a parcela f(pi)∆ui fica negativa, não podendo corresponder a uma área que é sempre positiva.
Nesse caso, ela corresponde a menos a área do retângulo.
As figuras a seguir apresentam este conceito desenhando apenas um retângulo.
 
(Fonte: o Autor)
Se cobrirmos toda a região com todos os retângulos correspondentes a cada partição, podemos dizer
que a Soma de Riemann poderia ser analisada como a soma das áreas de todos os retângulos acima do
eixo menos a soma das áreas de todos os retângulos abaixo do eixo, sendo uma boa aproximação para
o valor da área acima do eixo menos a área abaixo do eixo.
 ATENÇÃO
No caso de termos apenas área acima dos eixos, a Soma de Riemann seria uma boa aproximação para área
entre a função f(x) e o eixo x, no intervalo do domínio de a até b.
É óbvio que essa aproximação ficará cada vez melhor conforme formos diminuirmos a base do
retângulo, e isso se faz aumentando a partição do intervalo que faz com que os subintervalos fiquem
com largura menor. Se a maior amplitude do subintervalo tender para zero, todos os subintervalos terão
suas amplitudes tendendo para zero, assim teremos a melhor aproximação.
Chegamos ao momento de determinar a integração definida.
Definição: Seja f(x) uma função contínua definida no intervalo (a,b); seja a partição P = {u0, u1, ..., un},
deste intervalo, que divide [a,b] em n subintervalos [ui − 1, ui], tal que a = u0 < u1 < ... < un − 1 < un = b;
sejam Δui = u1 − ui − 1 a amplitude de cada subintervalo 
[ui − 1, ui] e {p1, p2, ... , pn}, pontos arbitrariamente escolhidos, tais que cada pi pertencente ao
subintervalo [ui − 1, ui], a integral definida de f(x) de a para p será dada por:
∫abf(x)dx=lim∆umax→0 ∑i=1nf(pi)∆ui
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare, portanto, que a integral definida é na verdade o limite da Soma de Riemann para quando as
larguras dos subintervalos tendem a zero. Se o limite existir e der um número real, a integral existe e
tem como valor o valor deste limite.
Ao invés de fazermos no limite ∆umax→0, que corresponde a ter todas as amplitudes tendendo para
zero, poderia ter sido usado n→∞, que corresponderia a ter um número infinito de subintervalos, que na
prática significa a mesma coisa.
O teorema determina a integração definida para uma função contínua em (a,b). Não iremos trabalhar
com a condição que leva uma função a ser integrável. O que precisamos saber é que, se uma função for
contínua em (a,b) ou até mesmo tiver algumas descontinuidades pontuais, a integral definida pode ser
obtida da forma apresentada.
 ATENÇÃO
A notação da integral definida para o intervalo a e b é bem similar à notação da integral indefinida, apenas se
colocando a mais os limites de integração a e b. Por isso, ressaltamos, novamente, que são operações
matemáticas bem diferentes.
A obtenção da integral definida pelo limite da Soma de Riemann não é simples. Vamos ver um exemplo
neste módulo de como se faz. De qualquer maneira, vale lembrar que existe um teorema no cálculo –
analisado no próximo item – que permitirá calcular a integral definida de forma mais direta.
EXEMPLO 4
Determine o valor de ∫01x dx.
Necessitamos inicialmente montar uma soma de Riemann para esta função f(x) = x e este intervalo [0,1].
Depois, precisamos obter o limite desta soma para quando o número de subintervalos tender ao infinito.
∫01x dx=limn→∞ ∑i=1nf(pi)∆ui, onde f(x)=x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que o resultado deve ser o mesmo, não importando a partição nem a escolha arbitrária dos
pontos pi. Assim, dividiremos os subintervalos de forma igual:
∆ui=b-an=1-0n=1n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com isso, os extremos dos subintervalos seriam:
{1n,2n,…,in,…, nn}
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E escolheremos o ponto pi como o ponto médio de cada subintervalo, de forma que:
pi=(in+(i-1)n)2=in-12n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo:
∫01x dx=limn→∞ ∑i=1nf(in-12n)1n=limn→∞ ∑i=1n(in-12n)1n 
∑i=1n(in-12n)1n=∑i=1n(in2-12n2)=∑i=1n(in2)-∑i=1n(12n2)=1n2∑i=1n(i)-12n2∑i=1n(1)
∑i=1n(i)=1+2+…+n=n+12n e ∑i=1n(1)=1+1+…+1=n 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
∑i=1n(in-12n)1n=1n2n+12n-12n2.n=n+12n-12n=n2n=12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo no limite:
∫01x dx=limn→∞ ∑i=1n(in-12n)1n =limn→∞ 12=12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PROPRIEDADES
Assim como as integrais indefinidas, a integral definida tem um conjunto de propriedades que podem ser
usadas para ajudar no seu cálculo. Todas elas são demonstradas pela definição por meio do limite da
Soma de Riemann:
• ∫aaf(x)dx=0;
• ∫abk[f(x)±g(x)]dx=k∫abf(x)dx±k∫abg(x)dx, k real;
• ∫abf(x)dx=-∫baf(x)dx;
• ∫abf(x)dx=∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx, onde c é um ponto do intervalo (a,b).
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essas propriedades serão usadas em alguns exemplos nos próximos itens.
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
Até este ponto, tem-se uma integração indefinida – relacionada à derivação, isto é, ao cálculo diferencial
– e uma integração definida – associada ao cálculo integral.
O Teorema Fundamental do Cálculo (TFC) tem sua importância, pois permitiu a conexão entre o
cálculo diferencial e o integral.
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO (TFC)
O TFC não será demonstrado neste tema, mas pode ser obtido em qualquer uma de nossas
referências.
TFC – PARTE 1
Seja a função f(x) integrável em [a,x], com a real, e seja F(x) sua primitiva neste intervalo, então:
g(x)=∫axf(x)dx=F(x)-F(a)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que:
g'(x)=F'(x)-F'(a)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas F(a) é um número, então F'(a)=0.
Assim:
g'(x)=F'(x)=f(x)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Note que a primeira parte do TFC nos mostra que, ao derivarmos a integral definida com um dos limites
variáveis, o resultado é o próprio integrando.
javascript:void(0)
EXEMPLO 5
Determine a derivada de g(x) sabendo que:
g(x)=∫1xsen(t2)1+t2dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Não será necessário resolver a integral para depois executar a derivada.
O TFC nos mostra que g’(x) é o próprio integrando, assim:
g'x=senx21+x2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a regra da cadeia e as propriedades das integrais, podemos achar variações para este TFC:
• g(x)=∫axf(x)dx→g'(x)=f(x), a real;
• g(x)=∫au(x)f(x)dx→g'(x)= f ( u ( x ) ) u ' ( x ) , a real;
• g(x)=∫v(x)u(x)f(x)dx→g'(x)=f(ux)u'(x) - f ( v ( x ) ) v ' ( x ) .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 6
Determine a derivada de g(x) sabendo que:
g(x)=∫1x2sen(t)1+t2dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Não será necessário resolver a integral para depois executar a derivada.
Ainda assim, devemostomar cuidado, pois o limite de integração não é mais a variável x, e sim uma
função de x, isto é, u(x) = x2.
Dessa forma, o TFC e a regra da cadeia nos mostram que g’(x):
g'(x)=f(ux)u'(x)= sen ( u ( x ) ) 1 + ( u ( x ) ) 2 u'(x)= sen ( x 2 ) 1 + ( x 2 ) 2 (x2)' = sen ( x ) 1 + x 4 . 2 x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A segunda parte é a mais importante para as nossas aplicações, pois nos ajudará a calcular a integral
definida por meio das integrais indefinidas. O TFC segunda parte é obtido substituindo um número real b
no lugar do limite x.
TFC – PARTE 2
Seja a função f(x) integrável em [a,b], com a e b reais, e seja F(x) sua primitiva neste intervalo, então:
∫abf(x)dx=F(b) - F ( a )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Existem diversas notações para:
F(b)-F(a)=[F(x)]ab=F(x)|ab
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 7
Determine o valor de ∫01x dx.
O integrando é a função f(x) = x, sua primitiva será F(x)= x 2 2 .
Essa primitiva foi obtida pela integral indefinida, vista no primeiro item deste módulo.
Pelo TFC:
∫01x dx=[x22]01=122-022=12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Compare esta solução com a feita anteriormente e com a determinação da integral definida. Assim, você
terá a medida da importância do TFC no cálculo integral.
EXEMPLO 8
Determine o valor de:
∫0π/2(3x-π4-cosx)dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Inicialmente vamos usar as propriedades da integral:
∫0π/23|x-π4|dx-∫0π/2cos xdx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∫0π/2cos xdx=[sen x]0π/2=sen(π2)-sen(0)=1-0=1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para esta:
∫0π/23|x-π4|dx=3∫0π/2|x-π4|dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que:
|x-π4|={π4-x, x≤π4x-π4, x≥π4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto são funções diferentes para cada intervalo.
Logo, não podemos integrar diretamente entre 0 e π2 e devemos usar as propriedades da integral
definida para determinar os intervalos em que a função tem a mesma equação em todos os pontos.
∫0π/2|x-π4|dx =∫0π/4|x-π4|dx +∫π/4π/2|x-π4|dx
∫0π/2|x-π4|dx =∫0π/4π4-x dx +∫π/4π/2x-π4 dx=[π4x-x22]0π4+[x22-π4x]π4π2
=[π4π4-12π42-0]+[12π22-π4π2-12π42-π4π4]
=12(π4)2+12(π2)2-12(π4)2-π28+π216=π2(14-18+116)=3π216
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, integral:
∫0π/23|x-π4|dx -∫0π2cos xdx =3. 3π216-1=9π216-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
A área entre a função f(x)=2ex+3x2, o eixo x, para 0 ≤ x ≤ 2 pode ser obtida pela integral definida de f(x)
entre 0 e 2. Obtenha essa área.
RESOLUÇÃO
Como o enunciado indica, a área será dada por:
∫02f(x)dx=∫022ex+3x2dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando as propriedades da integral:
A=2∫02exdx+3∫02x2dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando as integrais imediatas:
A=2[ex]02+3[x33]02=2(e2-e0)+3(233-0)=2e2+6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE A INTEGRAL:
∫(3SEC X TG X-2COS X)DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A)
A) 2cossec x+3 cos x+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) 3sec x-2 sen x+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 3sec2x+2 cos x+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) 3tg x+2 sen x+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
2. DETERMINE A FUNÇÃO G(3), SABENDO QUE G(X) FAZ PARTE DA FAMÍLIA DE
FUNÇÕES DEFINIDAS POR:
∫(1U+21+U2)DU E G(1)=Π
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) 12ln6+7π3
B) ln3+π6
C) ln3-π6
D) 12ln3+7π6
3. SEJA:
H(X)=∫3X3 LNX2+2X2DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
DETERMINE O VALOR DE H’(2).
A) 31010ln2
B) 1010 ln 2-3
C) 3+1010ln2
D) 1010ln3
4. DETERMINE O VALOR DE:
∫12(3X2-4X-1+X)DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A)
A) 9+ln2+13(22+1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) 7-3ln2+23(2+1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 7-4ln2+23(22-1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) 9+4ln2+23(1-22)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
5. DETERMINE O VALOR DE:
∫02|X2+X-2|DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) 4
B) 3
C) 2
D) 1
6. DETERMINE O INTERVALO EM QUE A FUNÇÃO:
H(X)=∫0X22X+4(1+X) DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
É ESTRITAMENTE CRESCENTE.
A) x < 0
B) x > 0
C) – 1 < x < 1
D) x < – 3
GABARITO
1. Determine a integral:
∫(3sec x tg x-2cos x)dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
Usando as propriedades da integral indefinida:
∫(3sec x tg x-2cos x)dx=3∫(sec x tg x)dx-2∫cos xdx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a tabela de integrais imediatas:
=3sec x-2 sen x+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a função g(3), sabendo que g(x) faz parte da família de funções definidas por:
∫(1u+21+u2)du e g(1)=π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
INTEGRAL INDEFINIDA
3. Seja:
h(x)=∫3x3 lnx2+2x2dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Determine o valor de h’(2).
A alternativa "A " está correta.
Usando o TFM, se:
h(x)=∫3x3 lnx2+2x2 dx→h'(x)=3lnx2+2x2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
h'(2)=3ln22+2.4=31010ln 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Determine o valor de:
∫12(3x2-4x-1+x)dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
Usando as propriedades da integral definida:
∫12(3x2-4x-1+x)dx=3∫12x2dx-4∫121xdx+∫12xdx
∫12(3x2-4x-1+x)dx=3[x33]12-4[lnx]12+[23x32]12
∫12(3x2-4x-1+x)dx=3(233-133)-4(ln2-ln1)+23(232-132)=
=7-4ln2+23(22-1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Determine o valor de:
∫02|x2+x-2|dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
INTEGRAL DEFINIDA
6. Determine o intervalo em que a função:
h(x)=∫0x22x+4(1+x) dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
É estritamente crescente.
A alternativa "B " está correta.
TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE A EXPRESSÃO DE G(X), SABENDO QUE G(0)=0 E G(X) É DA
FAMÍLIA DA INTEGRAL
∫(2EX+5 SEN X-4X+1)DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A)
A) 2ex-5cos x-4 ln|x+1|
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) ex+5sen x- ln|x-1|+2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 2ex-5cos x-4 ln|x+1|+3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontalC)
D)
D) 2ex+5cos x-4 ln|x+1|+4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
2. DETERMINE O VALOR DE:
∫14(32X3+35X2-1X+4) DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) 78-ln(85)
B) 86+ln(15)
C) 36+ln(38)
D) 66-ln(35)
GABARITO
1. Determine a expressão de g(x), sabendo que g(0)=0 e g(x) é da família da integral
∫(2ex+5 sen x-4x+1)dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
 
Usando a propriedade da integração indefinida:
∫(2ex+5 sen x-4x+1)dx=2∫exdx+5∫sen x dx-4∫1x+1dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a tabela de integrais imediatas:
g(x)=∫(2ex+5 sen x-4x+1)dx=2ex-5cos x-4 ln|x+1|+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas:
g(0)=0=2e0-5cos 0–4 ln 1+k=2–5+k=0→k=3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
g(x)=2ex-5cos x-4 ln|x+1|+3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine o valor de:
∫14(32x3+35x2-1x+4) dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
 
∫14(32x3+35x2-7x+4) dx=32∫14x-3dx+35∫14x2dx-∫141x+4dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando o TFC para se resolver as integrais definidas em função das indefinidas:
∫14x-3dx=[x-3+1-3+1]14=-12[x-2]14=-12(142-112)=1532
∫14x2dx=[x2+12+1]14=13[x3]14=13(43-13)=633=21
∫141x+4dx=[lnx+4]14=ln8-ln5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∫14(32x3+2x2-7x+4) dx=32.1532+3.21-(ln8-ln5)=78-ln(85)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 2
 Empregar a técnica de integração por substituição de variável na resolução de problemas
envolvendo integrais
INTRODUÇÃO
A resolução de integrais definidas ou indefinidas que não são integrais imediatas requer uma
transformação de seu integrando de forma a convertê-lo em uma função cuja função primitiva seja
conhecida, o que possibilita, portanto, solucionar a integral.
Essas técnicas são conhecidas como técnicas de integração ou de primitivação. Existem diversas
técnicas e, neste tema, analisaremos as três de maior abrangência.
Vamos conhecer a técnica de integração por substituição de variáveis, que usa uma filosofia de alterar a
variável do integrando de forma a transformá-la uma função de integral conhecida.
TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
A técnica de integração é um conjunto de ferramentas que permite solucionar integrais cujo integrando
não são funções com primitivas conhecidas. Em outras palavras, são técnicas que permitem transformar
a integral em uma integral imediata, de solução conhecida.
 ATENÇÃO
A mesma integral pode ser solucionada por várias técnicas diferentes, bem como, em certas oportunidades,
existe a necessidade de se usar mais de uma técnica, uma após a outra, para solucionar a integral.
Imagine a técnica de integração como uma ferramenta, assim cada uma se aplica melhor a determinada
situação. O conhecimento de que técnica deve ser utilizada se adquire com a experiência obtida na
resolução de grande número de integrais.
Na literatura que consta em nossas referências, existe uma gama de técnicas disponíveis. Este tema se
limitará às três de maior importância:
Substituição de variável

Integração por partes

Integração por frações parciais
A primeira técnica apresentada será a técnica de substituição de variável. Neste método, busca-se
alterar a variável utilizada na integral, de forma a transformar o integrando em uma função cuja primitiva
é conhecida.
Esta técnica de alterar a variável é bastante ampla, podendo apresentar várias versões, cada uma com
um conjunto de integrais que podem ser aplicadas. Existem métodos que envolvem produtos de seno e
cosseno, produtos de secante e tangente, supressão de raízes quadradas etc.
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE
VARIÁVEL
Seja uma integral ∫f(x)dx, cuja variável de integração é a variável x, mas que não se conheça a primitiva
de f(x), devendo, portanto, empregar-se um método para o cálculo da integral.
A metodologia buscada por este método visa a encontrar uma função g(u) = x ou uma variável u = g(x)
de forma a transformar a integral em uma nova integral na variável u que seja imediata.
Ao realizarmos uma substituição de variável na integral, temos que levar em conta que devemos usar a
regra da cadeia para a substituição do diferencial.
Seja a função f(x) contínua, portanto, integrável, no intervalo I; seja a função g(u) com imagem no
conjunto I, se utilizarmos a mudança de variável pela função x = g(u), logo dx = g’(u) du, teremos:
∫f(x)dx=∫f(gu)g'(u)du=∫h(u)du
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim a integral indefinida em x foi transformada em uma integral na variável u.
Para o caso da integral definida deve-se lembrar de alterar também os limites de integração.
Assim:
∫abf(x)dx=∫cdf(gu)g'(u)du=∫cdh(u)du
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde g(c) = a e g(d) = b.
EXEMPLO 1
Determine ∫4x+7dx:
Observe que não se conhece a integral imediata para este integrando.
Mas, aplicando:
u=4x+7→x=14u-74=g(u)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos:
dx=g'(u)du=14du
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
4x+7dx=u14du
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
∫4x+7dx=∫14udu=14∫udu
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esta agora é uma integral imediata, logo:
∫4x+7dx=14(u12+112+1)=16u32+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retornando para a variável inicial:
∫4x+7dx=16(4x+7)3+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2
Determine ∫134x+7 dx:
Os primeiros passos foram realizados no exemplo anterior. Necessitamos apenas obter os novos limites:
x=14u-74=g(u)→{x=1→u=4x+7=11x=3→u=4x+7=19 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∫134x+7 dx=14∫1119udu=14[23u32]1119=16(1919-1111)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Podemos usar também uma substituição do tipo u=g(x). Considere a integral ∫f(x)dx da qual não se
conhece a primitiva de f(x).
Se mudarmos a variável de forma que u=g(x), então du=g'(x)dx. Assim, deve-se tentar obter a função
g(x)=u de tal forma a se transformar a integral anterior:
∫f(x)dx=∫f(gx)g'(x)dx=∫f(u)du=F(u)+k=F(gx)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Para o caso da integral definida, usa-se o mesmo raciocínio, apenas com o passo intermediário da
transformação dos limites de integração.
EXEMPLO 3
Determine o valor da integral ∫3x2cos (x3)dx:
Observe que não se conhece a primitiva do integrando, mas fazendo:
u=x3→du=3x2dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
∫3x2cos (x3)dx=∫cos (u)du=senu+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retornando a variável inicial:
∫3x2cos (x3)dx=sen(x3)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que, para verificar se está correta a resposta, pode-se derivar a resposta e comparar com o
integrando analisado.
EXEMPLO 4
Determine o valor da integral:
∫0π233x2cos (x3)dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os passos iniciais já foram dados no passo anterior, transformando os limites de integração:
u=x3→{x=0→u=0x=π23→u=π2→∫0π233x2cos (x3)dx=∫0π2cos(u)du=[sen u]0π2=senπ2-sen0=1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como já comentado, existem métodos específicos para integrandos particulares que podem ser
encontrados no tópico referências deste tema. Para exemplificar, vamos apenas mencionar um caso.
Seja fx=Csenmxcosnx, com C real e m e n inteiros positivos. Repare que f(x) é um produto de senos e
cossenos do mesmo arco. Para o caso que se tenha pelo m ou n ímpares, podemos usar o seguinte
método:
Fazer:
u=cos(x)→du=-senx dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usar a relação fundamental e substituir:
sen2x=1-cos2x=1-u2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, transformaremos o integrando em uma função polinomial cujas primitivas conhecemos.
Fazer:
u=sen(x)→du=cosx dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usar a relação fundamental e substituir:
cos2x=1-sen2x=1-u2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, transformaremos o integrando em uma função polinomial cujas primitivas conhecemos.
Escolher um dos casos anteriores.
 ATENÇÃO
Este método só não pode ser usado quando se tem m e n pares.
EXEMPLO 5
Determine a integral:
∫sen3(2x) cos3 (2x) dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Verifique que é um produto de senos e cossenos do mesmo arco.
Como tanto o número que eleva o seno quanto o número que eleva o cosseno são ímpares, temos
liberdade de escolher u=cos2x ou u=sen2x. Se apenas um dos expoentes fosse ímpar, a variável u
deveria ser, obrigatoriamente, igual à função trigonométrica elevada ao expoente par.
Pelo método de substituição de variável para:
u=sen2x→du=2 cos2x dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos lembrar também que:
sen22x+cos2x=1→cos22x=1-sen22x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
sen3(2x)cos3(2x)dx=sen3(2x)cos2(2x)cos(2x)dx=sen3(2x)(1-sen2(2x))2cos (2x)dx
=u3(1-u2)212du
∫sen3(2x) cos3 (2x) dx=12∫u3(1-u2)2du
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que agora se tem uma função polinomial cuja primitiva conhecemos:
12∫u3(1-u2)2du=12∫(u3-2u5+u7)du=u48-u66+u816+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retornando à variável inicial:
∫sen3(2x) cos3 (2x) dx=sen4(2x)8-sen6(2x)6+sen8(2x)16+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
Um arquiteto precisava estimar a área entre uma linha de uma construção e o chão. Para isso, modelou
a linha desejada aplicando a função:
h(x)=2x4+3x2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para 0 ≤ x ≤ 1, com h(x) e x medidos em metros. Sabendo que essa área pode ser obtida pela integral
definida de h(x) entre os valores de x dados, obtenha o valor.
RESOLUÇÃO
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE A INTEGRAL:
∫34X-53DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A)
A) 98(4x-5)23+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) 981(4x-5)23+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 984x-5+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) 9414x-5+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
2. DETERMINE A INTEGRAL ∫01X2 E-X3DX:
A) 13+13e
B) 13-1e
C) 13+1e
D) 13-13e
3. DETERMINE A INTEGRAL:
∫SEN2X COS3X DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A)
A) sen3x3-sen5x5+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) coscos x 5-cos5x3+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) sen3x5+sen5x3+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) cos3x3-cos5x5+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
4. DETERMINE O VALOR DE:
∫(X3+1)COS(X4+4X)DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A)
A) 14cos(x4+4x)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) sen(x4+4x)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 14sen(x4+4x)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) cos(x4+4x)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
5. DETERMINE O VALOR DA INTEGRAL:
∫013U1+U4DU
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) 3π5
B) 3π8
C) 5π8
D) π8
6. DETERMINE A INTEGRAL:
∫6X-18X2-6X+7DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A)
A) 3ln |x|+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) ln |x2-6x+7|+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 3ln |x2-6x+7|+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) ln |x+7|+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
GABARITO
1. Determine a integral:
∫34x-53dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
Usando o método de substituição de variável:
u=4x-5→du=4dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∫34x-53dx=3∫1u314du=34∫u-13du=34(u-13+1-13+1)+k=34.32u23+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retornando para variável inicial:
∫34x-53dx=98(4x-5)23+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a integral ∫01x2 e-x3dx:
A alternativa "D " está correta.
Usando o método de substituição de variável:
u=-x3→du=-3x2dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
x2 e-x3dx=eu(-13)du
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
x=0→u=0 e x=1→u=-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo:
∫01x2 e-x3dx=∫0-1(-13)eudu=(-13)∫0-1eudu
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esta é uma integral imediata. Portanto:
∫01x2 e-x3dx=(-13)[eu]0-1=(-13)(e-1-e0)
=(-13)(1e-1) =13-13e
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Determine a integral:
∫sen2x cos3x dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
Usando o método de substituição de variável:
u=senx→du=cosx dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Devemos lembrar também que:
sen2x+cos2x=1→cos2x=1-sen2x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
 sen2x cos3x dx=sen2x cos2x cos x dx=sen2x (1-sen2x) cos x dx= u2(1-u2)du
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
∫sen2x cos3x dx=∫u2(1-u2)du=∫(u2-u4)du=13u3-15u5+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retornando à variável inicial:
∫sen2x cos3x dx=13u3-15u5+k=sen3x3-sen5x5+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Determine o valor de:
∫(x3+1)cos(x4+4x)dx
 Atenção!Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL
5. Determine o valor da integral:
∫013u1+u4du
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
Usando o método de substituição de variável:
t=u2→dt=2u du
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
3u1+u4du=312dt1+t2=3211+t2dt
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esta é uma primitiva conhecida.
Se u = 0 → t = 0 e u = 1 → t = 1
∫013u1+u4du=32∫0111+t2dt=[32arctgt]01=32π4=3π8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Determine a integral:
∫6x-18x2-6x+7dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE:
∫3X-53DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A)
A) (x-5)43+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) (3x-5)13+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 14(3x-5)43+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) 14(x+5)43+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
2. DETERMINE:
∫012U3 1+U2DU
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) (2+1)15
B) 4(2+1)15
C) 4(2-1)15
D) (2-1)1'5
GABARITO
1. Determine:
∫3x-53dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
 
Fazendo u=3x–5 , tem-se du=3dx.
∫3x-53dx=∫u313du=13∫u3 du=13(34u43)=14u43+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∫3x-53dx=14(3x-5)43+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine:
∫012u3 1+u2du
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
 
Fazendo t=1+u2 , temos dt=2u du.
Portanto:
2u3 1+u2 du=2 u21+u2 u du= t-1t dtu
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para u = 0 → t = 1 + 0 = 1 e u = 1 → t = 1 + 1 = 2
∫012u3 1+u2du=∫12(t-1)tdt=∫12ttdt-∫12tdt
=[25t52]12-[23t32]12=2522 2-2512 1-2322+23.11
=85 2-25-432+23=242-6-202+1015=42+415=4(2+1)15
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
 Aplicar a técnica de integração por partes na resolução de problemas envolvendo integrais
INTRODUÇÃO
Outra técnica de integração com bastante aplicação é a integração por partes.
Este método de primitivação tem uma correspondência com a regra do produto na diferenciação, o que
por ela é definido.
Neste módulo, analisaremos a aplicação da integração por partes.
INTEGRAÇÃO POR PARTES
A técnica de integração por partes tem uma correspondência com a regra do produto na diferenciação.
Vamos, portanto, definir a regra que pode ser aplicada na resolução de diversas integrais que não são
imediatas.
Suponha as funções f(x) e g(x) deriváveis em um intervalo I, então:
(fx.g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
f(x)g'(x)=(fx.g(x))'-f'(x)g(x)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando os dois lados da equação:
∫f(x)g'(x)dx=∫(fx.g(x))'dx-∫f'(x)g(x)dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como:
∫(fx.g(x))'dx=f(x)g(x)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Tem-se a regra de integração por partes:
∫f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)-∫f'(x)g(x)dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando uma nova simbologia de u = f(x) e v = g(x), consequentemente:
du=f'(x)dx e dv=g'(x)dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Obtém-se uma forma mais usual da regra de integração por partes:
∫u dv=uv-∫v du
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Foque na regra de integração por partes! Ela mostra que podemos calcular a integral ∫u dv, mais complexa,
pelo cálculo de outra integral, ∫v du, teoricamente mais simples.
A constante de integração real da integral indefinida pode ser colocada no fim do processo.
EXEMPLO 1
Determine a integral:
∫x sen x dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A integral ∫x sen x dx não é uma integral imediata. Assim, ela necessita de uma técnica de integração para
transformar o integrando:
O integrando x sen x dx deve ser transformado totalmente no produto u dv. Todos os termos do integrando
devem fazer parte da função u ou da função dv. Esses termos só podem aparecer uma vez. Neste
exemplo, os termos são: x, senx e dx.
Escolhe-se como u=x, assim du=dx.
O que resta do integrando deve fazer parte do dv. Dessa forma, dv=senx dx, então:
v=(-1)cos x=(–cos x)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja que v é a função cuja diferencial vale senx dx.
Usando a integração por partes:
∫x senxdx=x.(-cos x)-∫(-cos x)dx
∫x senxdx=-x cos x+∫cos x dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A integral ∫cos x dx é imediata e se sabe a solução:
∫cos x dx=senx+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
∫x senx dx=-x cosx+senx+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No caso da integral definida, a regra é semelhante. Aplicando o cálculo da integral definida estudada
anteriormente:
∫abu dv= [uv]ab-∫abv du
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO 2
Determine a integral:
∫0πx senx dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando o mesmo raciocínio do exemplo anterior, será escolhido:
u=x→du=dx e dv=senx dx→v=-cos x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
∫0πx senx dx=[-xcos x]0π-∫0π(-cosx)dx=[-xcos x]0π+∫0πcos x dx
∫0πx senx dx=[-xcos x]0π+[sen x]0π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∫0πx senx dx=[-π cosπ-0.cos (0)]+[sen(π)-sen (0)]=-π(-1)-0+0-0=π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que os limites de integração já poderiam ter sido aplicados diretamente na solução da integral
indefinida:
∫0πx senx dx=[-x cosx+senx]0π=π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Deve ser feita a escolha correta das funções u e dv. A escolha errada, ao invés de simplificar o problema, irá
complicá-lo.
Volte no Exemplo 1. Se ao invés de ter escolhido u=x e dv=senx dx, fossem escolhidos u=senx e dv=x dx.
u=senx→du=cosx dx e dv=x dx→v=12x2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∫x senx dx=12x2senx-12∫x2cos x dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Veja como a escolha errada tornou o método sem efetividade, transformando a integral em uma integral
mais complicada.
A ESCOLHA DE TERMOS É APRENDIDA COM A
PRÁTICA DOS EXERCÍCIOS. MAS, EXISTE UMA
REGRA PRÁTICA QUE É GUARDADA PELA PALAVRA
LIATE, QUE MOSTRA A PRIORIDADE DO SEGMENTO
DO INTEGRANDO QUE DEVE FAZER PARTE DO U. A
SETA APONTA DA MAIOR PARA A MENOR
PRIORIDADE DE ESCOLHA PARA PARTE DO U.
 
(Fonte: o Autor)
Assim, no Exemplo 1, havia no integrando uma parte algébrica (x) e uma parte trigonométrica (sen x),
portanto, pela regra prática, a algébrica tem prioridade sobre a trigonométrica,por isso foi escolhido u =
x, e não u = sen x.
Às vezes, para resolução da integral, é necessária a aplicação da integração por partes mais de uma
vez ou até mesmo a integração por partes combinada com outro método de integração, como, por
exemplo, a substituição de variável.
EXEMPLO 3
Determine a integral:
∫2 cos x ex dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a regra do LIATE para separar os termos do integrando, a função trigonométrica é prioridade em
relação à função exponencial, assim:
u=cosx→du=-senx dx e dv=2exdx→v=2ex
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a integração por partes:
∫2cosx exdx= 2excos x-∫2ex(-senx)dx=2excos x+∫2ex sen x dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aparentemente, fez-se a escolha errada, mas não. Precisamos aplicar novamente a integração por
partes, mas agora no termo:
∫2ex senx dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Usando a regra LIATE na nova integral:
u=senx→du=cos dx e dv=2exdx→v=2ex
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
∫2ex senx dx=2exsenx -∫2excos xdx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na equação inicial:
∫2 excosx dx= 2excos x+∫2ex senx dx=2excos x+2exsen x -∫2excos xdx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que a integral desejada aparece novamente no lado direito com sinal negativo, podendo ser
jogada para o lado esquerdo. Façamos:
I=∫2 excosx dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
I=2ex(cos x+sen x) - I→2I=2ex(cos x+sen x)→I=ex(cosx+senx)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
Uma barra de π2m de comprimento tem uma densidade linear de massa dada pela equação:
δ(x)=2x2cos x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Medida em kg/m, onde x é a distância entre o ponto da barra e a extremidade inferior da barra. Verifica-
se, portanto, que a massa da barra não é dividida uniformemente. Determine a massa da barra de π2m,
lembrando que a massa é obtida pela integral da densidade de massa.
RESOLUÇÃO
INTEGRAÇÃO POR PARTES
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE A INTEGRAL:
∫02X EXDX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) e2+1
B) e2-1
C) e2
D) 1
2. DETERMINE A INTEGRAL:
∫4XCOS (2X)DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A)
A) 2x cos(2x)-sen(2x)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) 2x sen(2x)+cos (2x)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 2x sen(2x)-cos (2x)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) 2x cos(2x)+sen (2x)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
3. DETERMINE O VALOR DE G(E), SABENDO QUE:
G(X)=∫LN XDX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
E QUE G(1)=0.
A) e-1
B) e
C) 1
D) e+1
4. DETERMINE O VALOR H(Π), SABENDO QUE:
H(X)=∫EXSEN XDX E H(0)=-12
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) 12eπ
B) 12
C) eπ
D) 1
5. SABE-SE QUE M(0)=-14 E QUE M(X) É UMA DAS FUNÇÕES OBTIDAS PELA
INTEGRAL ∫Z2E2ZDZ. DETERMINE O VALOR DE M(12).
A) 18e
B) -58e
C) -18e
D) 58e
6. DETERMINE O VALOR DE:
∫012 ARCTG X DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) ln2
B) π2
C) π2+ln2
D) π2-ln2
GABARITO
1. Determine a integral:
∫02x exdx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
Usando a integração por partes para resolver a integral:
∫02x exdx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
u=x→du=dx e dv=exdx→v=ex
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembre-se de que a função algébrica tem prioridade para ser escolhida como u em relação à
exponencial.
Assim:
∫02x exdx=[x ex]02-∫02exdx=[x ex]02-[ ex]02
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pois a integral ∫exdx é uma integral imediata. Portanto:
∫02x exdx=[2.e2-0.e0]-[e2-e0]=2e2-e2+1=e2+1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine a integral:
∫4xcos (2x)dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
Usando a integração por partes para resolver a integral:
∫4xcos (2x)dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
u=x→du=dx e dv=(2x) dx→v=2 sen(2x)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembre-se de que a função algébrica tem prioridade para ser escolhida como u em relação à
trigonométrica.
Assim:
∫4xcos (2x)dx=2 x sen(2x)-∫2sen(2x)dx=2x sen(2x)+cos (2x)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A integral ∫2 sen(2x)dx é imediata e vale (-cos 2x).
3. Determine o valor de g(e), sabendo que:
g(x)=∫ln x dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E que g(1)=0.
A alternativa "C " está correta.
Aplicando a integração por partes e usando a regra prática do LIATE:
u=ln x→du=1xdx e dv=dx→v=x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
g(x)=∫ln x dx=xln x- ∫x1xdx=xln x- ∫dx=xln x-x+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mas, g(1) = 1.ln1 – 1 + k = k – 1 = 0 (pelo enunciado), logo k = 1:
g(x)=xlnx-x+1 →g(e)=e lne-e+1=1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Determine o valor h(π), sabendo que:
h(x)=∫exsen xdx e h(0)=-12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
INTEGRAÇÃO POR PARTES
5. Sabe-se que m(0)=-14 e que m(x) é uma das funções obtidas pela integral ∫z2e2zdz. Determine
o valor de m(12).
A alternativa "B " está correta.
INTEGRAÇÃO POR PARTES
6. Determine o valor de:
∫012 arctg x dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
Aplicando a integração por partes e usando a regra prática do LIATE,
u=arctg x→du=11+x2dx e dv=2 dx→v=2x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∫012 arctg(x)=[2x arctg(x)]01-∫012x11+x2dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Repare que a integral da direita não é também imediata. Nesse caso, a forma mais simples de se
resolver é pela técnica de substituição, já estudada.
∫012x1+x2dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fazendo:
z=1+x2→dz=2xdx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para x = 1 → z = 1 + 1 = 2 e para x = 0 → z = 1 = 0 = 1. Portanto:
∫012x1+x2dx=∫121zdz
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que é uma integral imediata:
∫121zdz=[lnz]12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na equação inicial:
∫012 arctg(x)=[2x arctg(x)]01-∫012x11+x2dx=[2x arctg(x)]01-[lnz]12
=[2.1.arctg1-2.0.arctg0]-[ln2-ln1]=2.π4-0-ln2=π2-ln2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE A INTEGRAL:
∫3XCOS (3X)DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃOCOMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A)
A) xcos (3x)-13cos (3x)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) x sen(3x)-13cos (3x)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) x sen(3x)+13cos (3x)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) x sen(3x)+13sen(3x)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
2. UMA DETERMINADA ÁREA É CALCULADA PELA INTEGRAL:
∫-20(-2)X E-XDX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
MARQUE A ALTERNATIVA QUE APRESENTA O VALOR DA ÁREA.
A) 2e2+2
B) 3e2-1
C) 5-e2
D) 1+3e2
GABARITO
1. Determine a integral:
∫3xcos (3x)dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
 
u=x→du=dx e dv=3cos(3x)dx→v=sen(3x)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
∫3xcos (3x)dx=x sen(3x)-∫sen(3x)dx=x sen(3x)+13cos (3x)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Uma determinada área é calculada pela integral:
∫-20(-2)x e-xdx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Marque a alternativa que apresenta o valor da área.
A alternativa "A " está correta.
 
Usando a integração por partes para resolver a integral:
∫-20x e-xdx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
u=x→du=dx e dv=(-2)e-xdx→v=2e-x
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembre-se de que a função algébrica tem prioridade para ser escolhida como u em relação à
exponencial. Assim:
∫-20x e-xdx=[x 2e-x]-20-∫-202 e-xdx=[2x e-x]-20+[2 e-x]-20
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
∫-20(-2)x e-xdx=[2.0.e-0-2-2.e--2]+[2e-0-2e--2]=4e2+2-2e2
4e2+2-2e2=2 e2+2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 4
 Empregar a técnica de integração por frações parciais na resolução de problemas envolvendo
integrais
INTRODUÇÃO
Outra técnica de integração com aplicação no cálculo de integrais cujo integrando é uma fração racional
é a integração por frações parciais.
Neste módulo, analisaremos a aplicação da integração por frações parciais. Esse método de
primitivação transforma o integrando em uma soma de frações mais simples, denominadas frações
parciais, cuja primitiva conhecemos.
REVISÃO DE FUNÇÕES RACIONAIS
Função racional é uma função que representa o quociente entre dois polinômios, assim f(x)=P(x)Q(x),
onde P(x) e Q(x) são polinômios.
Polinômio é uma função do tipo:
anxn+an-1xn-1+…+ajxj+…a2x2+a1x+a0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com j número natural diferente de zero, sendo que aj, denominado de coeficientes, são números reais.
O número n é o grau do polinômio, com an≠0.
 ATENÇÃO
Se o grau do polinômio P(x) > grau do polinômio Q(x), então a função f(x) será imprópria. Se o grau do
polinômio P(x) ≤ grau do polinômio Q(x), então a função f(x) será própria.
Veja os exemplos abaixo:
É uma função racional própria, pois o grau do numerador vale 1 e o grau do denominador vale 2, assim
o grau do numerador é menor do que o grau do denominador.
É uma função racional própria, pois o grau do numerador vale 0 e o grau do denominador vale 3, assim
o grau do numerador é menor do que o grau do denominador.
É uma função racional imprópria, pois o grau do numerador vale 2 e o grau do denominador vale 1,
assim o grau do numerador é maior do que o grau do denominador.
O método de frações parciais serve para um integrando com uma função racional própria. Se a função
for imprópria, passa a ser necessário um passo intermediário, executando uma divisão entre os
polinômios para transformar a função racional própria em um polinômio mais uma função racional
própria.
Assim, seja T(x) uma função racional imprópria, com:
T(x)=P(x)Q(x)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dividindo P(x) por Q(x), podemos transformar:
T(x)=P(x)Q(x)=S(x)+R(x)Q(x)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde S(x) é um polinômio de grau m, correspondente à parte inteira da divisão, e R(x)Q(x) é uma
função racional própria, ou seja, grau R(x) < grau Q(x). O valor de m = grau P(x) – grau Q(x).
Veja um exemplo de passo intermediário.
EXEMPLO 1
Transforme a integral em um integrando com função racional própria:
∫2x4-x2+2x-1x2-1dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O integrando é uma função racional imprópria com numerador de grau 4 e denominador de grau 2.
Assim, deve-se dividir os dois polinômios para se obter a função racional própria mais o polinômio:
 
(Fonte: o Autor)
Logo:
2x4-x2+2x-1x2-1=(2x2+1)+2xx2-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
∫2x4-x2+2x-1x2-1dx=∫(2x2+1)dx+∫2xx2-1dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A primeira integral é de um polinômio, sendo uma integral imediata. Na segunda parcela, o integrando é
uma função racional própria, que vai ser resolvida pelo método do próximo item.
 ATENÇÃO
Lembre-se de que para integrandos polinomiais, usaremos a integral imediata:
∫xndx=xn+1n+1+k, n≠1 ≥0 e k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS
O método de frações parciais é um método utilizado quando o integrando é uma função racional. Cabe
ressaltar, porém, que há casos em que, apesar de o integrando não ser uma função racional, após a
aplicação de uma substituição de variável, ele se transforma em uma, podendo ser trabalhado por essa
técnica de integração.
 ATENÇÃO
Deve-se tomar cuidado, pois essa técnica é utilizada quando a função racional for própria, isto é, quando o
grau do numerador for menor do que o do denominador. Para funções racionais impróprias, necessitamos do
passo intermediário, visto no item anterior.
O método se inicia fatorando o polinômio do denominador, Q(x), em fatores lineares do tipo (x-p), p real,
e fatores quadráticos irredutíveis do tipo (ax2+bx+c), onde a, b e c são reais e a2-4bc<0.
Existe um teorema da álgebra que garante que sempre será possível fazer essa fatoração. Os fatores
lineares correspondem às raízes reais do polinômio Q(x) e os fatores quadráticos irredutíveis, às raízes
complexas conjugadas do polinômio Q(x). Este material considerará que você sabe obter raízes de um
polinômio.
Dividiremos o método em quatro casos:
Q(x) apenas com raízes reais sem multiplicidade
Q(x) com raízes reais com multiplicidade
Q(x) com raízes complexas sem multiplicidade
Q(x) com raízes complexas com multiplicidade
Q(X) APENAS COM RAÍZES REAIS SEM
MULTIPLICIDADE
Tomemos o polinômio Q(x) de grau n que apresenta apenas n raízes reais sem multiplicidade. Para este
caso, após a fatoração de Q(x), ele será transformado em um produto de fatores lineares diferentes
entre si:
Q(x)=k(x-α1)(x-α2)…(x-αn)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com k real e α1,α2,…,αn raízes reais.
Assim, chegamos à função:
f(x)=P(x)Q(x)=P(x)k(x-α1)(x-α2)…(x-αn)=A1(x-α1)+A2(x-α2)+…+An(x-αn)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com A1,A2, ... , An reais.
Cada raiz real αj corresponderá a uma parcela do tipo Aj(x-αj).
Dessa forma, a integral será transformada em soma de integrais do tipo:
∫Ajx-αjdx=Ajlnx-αi+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os valores de A1, A2, ..., An serão obtidos colocando o lado direito com o mesmo denominador e
igualando P(x)ao numerador que se obterá na direita. Veja o exemplo a seguir.
EXEMPLO 2
Determine a integral:
∫2x4-x2+2x-1x2-1dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o integrando é uma função racional imprópria, o primeiro passo é transformá-la em uma função
racional própria. Essa transformação já foi feita no exemplo anterior. Temos, então:
2x4-x2+2x-1x2-1=(2x2+1)+2xx2-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E, portanto:
∫2x4-x2+2x-1x2-1dx=∫(2x2+1)dx+∫2xx2-1dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos agora calcular a integral ∫2xx2-1dx aplicando o método de frações parciais.
Analisando Q(x) = x2 – 1, verifica-se que 1 e – 1 são as raízes. Dessa forma:
Q(x)=x2–1=(x–1)(x+1) e 2xx2-1=Ax-1+Bx+1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Transformando o lado direito no mesmo denominador:
Ax-1+Bx+1=A(x+1)+B(x-1)(x+1)(x-1)=(A+B)x+(A-B)x2-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos:
2xx2-1=(A+B)x+(A-B)x2-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora deve-se comparar o numerador da esquerda P(x) = 2x com o numerador da direita. Para que os
dois polinômios sejam iguais, eles devem ser iguais termo a termo, assim:
2x=(A+B)x+(A-B)→{A+B=2A-B=0→A=B → 2A=2→A=B=1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo:
∫2xx2-1dx=∫1x+1dx+∫1x-1dx e ∫2x4-x2+2x-1x2-1dx=∫(2x2+1)dx+∫1x+1dx+∫1x-1dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As integrais agora são todas imediatas.
∫2x4-x2+2x-1x2-1dx=23x3+x+ln|x+1|+ln|x-1|+k , k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Q(X) APRESENTA RAÍZES REAIS COM
MULTIPLICIDADE
Neste caso, o polinômio Q(x) de grau n terá apenas raízes reais, porém algumas sem multiplicidade e
outras com multiplicidade.
 ATENÇÃO
Lembre-se de que multiplicidade é o número de vezes que a mesma raiz aparece no polinômio.
Após a fatoração de Q(x), ele será transformado em um produto de fatores lineares elevados à sua
multiplicidade.
Q(x)=k(x-α1)r1(x-α2)r2…(x-αn)rn
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com k real, α1,α2,…,αn, reais e r1,r2,…,rn naturais diferentes de zero. O número rj corresponde à
multiplicidade da raiz αj.
O raciocínio é análogo ao caso anterior. Toda raiz real αj sem multiplicidade, ou que seria sinônimo de
multiplicidade 1 ( r = 1), será transformada em uma parcela do tipo Aj(x-αj).
Toda raiz real αi com multiplicidade (r≠1) será transformada em r termos do tipo:
B1(x-αj)+B2(x-αj)2+…+Br(x-αj)r, com B1, B2,…, Br reais
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Será usada neste caso a seguinte integral imediata:
∫Br(x-αj)rdx, (r≥2)=-Br(r-1)1(x-αj)r-1+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Após a transformação de f(x)=P(x)Q(x) na soma de parcelas que foram definidas, a solução segue os
mesmos passos do primeiro caso.
EXEMPLO 3
Determine a integral:
∫352x+5x3-3x-2 dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O integrando já é uma função racional própria, podendo, portanto, aplicar diretamente o método das
frações parciais.
Analisando as raízes de Q(x) = x3 – 3x – 2, verifica-se que são – 1 uma raiz dupla (multiplicidade 2) e 2
é uma raiz sem multiplicidade. Dessa forma:
Q(x)=x3-3x-2=(x-2)(x+1)2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O termo correspondente à raiz 2 será Ax-2.
Os termos correspondentes à raiz – 1 serão Bx+1+C(x+1)2.
Assim:
2x+5x3-3x-2=Ax-2+Bx+1+C(x+1)2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com A, B e C reais.
Transformando o lado direito no mesmo denominador:
Ax-2+Bx+1+C(x+1)2=A(x+1)2+B(x+1)(x-2)+C(x-2)(x-2)(x+1)2=
Ax2+2Ax+A+Bx2-Bx-2B+Cx-2Cx3-3x-2=(A+B)x2+(2A-B+C)x+(A-2B-2C)x3-3x-2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos:
 2x+5x3-3x-2=(A+B)x2+(2A-B+C)x+(A-2B-2C)x3-3x-2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, deve-se comparar o numerador da esquerda P(x) = 2x com o numerador da direita. Para que
dois polinômios sejam iguais, eles devem ser iguais termo a termo, assim:
2x+5=(A+B)x2+(2A-B+C)x+(A-2B-2C)
{A+B=02A-B+C=2A-2B-2C=5→A=-B→3A+C=23A-2C=5→9A=9→A=1 , B= -1 e C=-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo:
∫352x+5x3-3x-2dx=∫351(x-2)dx+∫35(-1)(x+1)dx+∫35(-1)(x+1)2dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Resolvendo as integrais imediatas, temos:
∫352x+5x3-3x-2dx=[lnx-2]35-[lnx+1]35+[1x+1]35=ln3-ln1-ln6+ln4+16-14
∫352x+5x3-3x-2dx=ln(3.46)+2-312=ln2-112
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Q(X) APRESENTA RAÍZES COMPLEXAS SEM
MULTIPLICIDADE
Neste caso, o polinômio Q(x) de grau n terá pelo menos um par de raízes complexas sem multiplicidade.
Lembre-se da álgebra, em que as raízes complexas aparecem em pares (complexos conjugados).
Assim, Q(x), após a fatoração, apresentará, para cada par de raízes complexas sem repetição, um
termo do tipo (ax2 + bx + c), com b2 – 4ac, que são fatores quadrados irredutíveis, isto é, não podem ser
transformados no produto de dois fatores lineares.
Cada par de raízes complexas terá uma parcela associada do tipo Ax+B(ax2+bx+c) com A, B, a, b e c
reais.
Então, este termo levará à integral:
∫Ax+B(ax2+bx+c) dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para cálculo dessa integral, dependendo do caso determinado pelos valores das constantes obtidas,
utilizaremos as integrais imediatas envolvendo ln(u) ou arctg(u).
 ATENÇÃO
Lembre-se de que:
∫duu2+a2=1aacrtg(xa)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
As raízes reais com ou sem multiplicidade que podem aparecer seguem o raciocínio dos itens
anteriores. Os demais passos são idênticos aos casos anteriores.
Q(X) APRESENTA RAÍZES COMPLEXAS COM
MULTIPLICIDADE
Neste caso, o polinômio Q(x) de grau n terá pares de raízes complexas repetidas, isto é, com
multiplicidade r. Assim, Q(x), após a fatoração, apresentará, para cada par de raízes complexas com
multiplicidade r, um termo quadrático irredutível elevado à sua multiplicidade. Ou seja, (ax2+bx+ c)r, com
a, b e c reais e r natural maior do que 1.
Cada par de raízes complexas com multiplicidade r estará associada a uma soma de parcelas do tipo:
Ax+B(ax2+bx+c) +Cx+D(ax2+bx+c)2 +…+Ex+F(ax2+bx+c)r 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde r é a multiplicidade do par de raízes.
A solução da integral envolvendo esses termos usa integrais imediatas relacionadas a ln(u), arctg(u) e
funções racionais.
As demais raízes reais e complexas sem multiplicidade que aparecerem seguem os termos vistos nos
casos anteriores. Os demais passos são idênticos aos apresentados.
TEORIA NA PRÁTICA
Sabemos da física que a derivada da posição com o tempo é a velocidade. Dessa forma, a variação de
posição pode ser obtida por meio da integral da função velocidade entre dois intervalos de tempo.
EXEMPLO:
Determine a variação da posição entre os instantes t = 0s e t = 10s, sabendo que a velocidade do objeto
é dada pela função:
v(t)=100t3+5t2+100t+500, em m/s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS
MÃO NA MASSA
1. DETERMINE A INTEGRAL:
∫25X-8(X-1)(X+6)DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) ln (121256)
B) 2 ln (256121)
C) 2 ln (121256)
D) ln (256121)
2. DETERMINE O VALOR DE F(8), SABENDOQUE F(X) FAZ PARTE DA FAMÍLIA
DE FUNÇÕES GERADAS PELA INTEGRAL:
∫2X(X+2)(X-3)DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
E QUE F(4) = LN 6.
A) ln 20
B) ln 30
C) ln 40
D) ln 50
3. DETERMINE A INTEGRAL INDEFINIDA:
∫X2+X+25(X+1)(X-4)2DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A)
A) ln|x+4|-9(x-4)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) ln|x+1|+ln|x-4|+1(x-4)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) ln|x+1|-9(x-4)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) 2ln|x+1|+1(x-4)+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
4. DETERMINE O VALOR DE:
∫02X3+4X+3X2+4DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A) π8-12
B) 3π5+32
C) 3π8+12
D) π8+32
5. DETERMINE O VALOR DA INTEGRAL:
∫1210X2+40X+12X(X+1)2DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A)
A) arctg (4)+2ln 3-6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) 2ln 3+4ln 2-5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 14ln 2-2ln 3+3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) 10ln 2+ln 3+6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
6. DETERMINE O VALOR DE:
∫245(X – 1) (X2+4)DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A)
A) ln(31030)+12arctg4+π8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) ln(3820)-12arctg2+π8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) ln(3820)-12arctg20+π6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) ln(3820)+18arctg2+π32
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
GABARITO
1. Determine a integral:
∫25x-8(x-1)(x+6)dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
Usando a integração por frações parciais para resolver a integral:
∫25x-8x2+5x-6dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos que o integrando é uma função racional própria, com denominador que tem raízes 1 e –6.
Q(x)=x2+5x-6=(x–1)(x+6) e x-8x2+5x-6=Ax-1+Bx+6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Transformamos o lado direito no mesmo denominador:
Ax-1+Bx+6=A(x+6)+B(x-1)(x+6)(x-1)=(A+B)x+(6A-B)x2+5x-6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
x-8x2+5x-6=(A+B)x+(6A-B)x2+5x-6
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, deve-se comparar o numerador da esquerda P(x) = x – 8 com o numerador da direita. Para que
dois polinômios sejam iguais, eles devem ser iguais termo a termo, assim:
x-8=(A+B)x+(6A-B)→{A+B=1 6A-B=-8→7A=-7→A=-1→B=2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma:
∫25x-8x2+5x-6dx=∫25-1x-1dx+∫252x+6dx=-[lnx-1]25+[2 lnx+6]25
=2ln11-2ln8-ln4+ln1=ln112-ln82-ln4=ln(12164.4)=ln (121256)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Determine o valor de f(8), sabendo que f(x) faz parte da família de funções geradas pela
integral:
∫2x(x+2)(x-3)dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E que f(4) = ln 6.
A alternativa "D " está correta.
Usando a integração por frações parciais para resolver a integral:
∫2x-1(x+2)(x-3)dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos que o integrando é uma função racional própria, com denominador que tem raízes 3 e –2.
2x(x+2)(x-3)=Ax+2+Bx-3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Transformamos o lado direito no mesmo denominador:
Ax+2+Bx-3=A(x-3)+B(x+2)(x+2)(x-3)=(A+B)x+(2B-3A)(x+2)(x-3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
2x-1(x+2)(x-3)=(A+B)x+(2B-3A)(x+2)(x-3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, deve-se comparar o numerador da esquerda P(x) = 2x com o numerador da direita. Para que
dois polinômios sejam iguais, eles devem ser iguais termo a termo, assim:
2x-1=(A+B)x+(2B-3A)→{A+B=2 2B-3A=-1→5A=5→A=1→B=1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dessa forma:
f(x)=∫2x-1(x+2)(x-3)dx=∫1x+2dx+∫1x-3dx=ln|x+2|+ ln|x-3|+k, k real
f(4)=ln6+ln1+k=ln6→k=0
f(8)=ln10+ln5=ln 50
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Determine a integral indefinida:
∫x2+x+25(x+1)(x-4)2dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS
4. Determine o valor de:
∫02x3+4x+3x2+4dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
O integrando é uma função racional imprópria, pois o grau do numerador é maior do que o grau do
denominador. Para transformá-lo em fração própria, deve-se dividir o numerado pelo denominador ou
observar que:
P(x)=x3+4x+3=x(x2+4)+3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
P(X)q(X)=x(x2+4)+3x2+4=x(x2+4)x2+4+1x2+4=x+3x2+4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
∫02x3+4x+3x2+4dx=∫023x2+4dx+∫02xdx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que as duas parcelas da direita já são integrais imediatas.
∫02x3+4x+3x2+4dx=3[12arctgx2]02+[12x2]02=32arctg(1)-32arctg(0)+1222
=32π4-32+2=3π8+12
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Determine o valor da integral:
∫1210x2+40x+12x(x+1)2dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "C " está correta.
INTEGRAÇÃO POR FRAÇÕES PARCIAIS
6. Determine o valor de:
∫245(x – 1) (x2+4)dx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
O integrando é uma função racional própria. O numerador Q(x) tem um par de raízes complexas e a raiz
real 1.
Assim:
5(x – 1) (x2+4)=Ax-1+Bx+C x2+4=A(x2+ 4)+(Bx+C)(x-1)(x-1)(x2+4)=(A+B)x2+(C-B)x+(4A-C)(x –
 1) (x2+4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se compararmos o denominador:
{A+B=0C-B=04A-C=5→A=1→B=-1 e C=-1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
∫245(x – 1) (x2+4)dx=∫241x-1dx+∫24-x-1x2+4dx=∫241x-1dx-∫24xx2+4dx-∫241x2+4dx
=[lnx-1]24-[12lnx2+4]24-[12arctgx2]24
=ln3-ln1-12ln20+12ln8-12arctg2+12arctg(1)=ln(3820)-12arctg2+π8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. DETERMINE A INTEGRAL:
∫XX2+X-2DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL
A)
A) 12ln|x+1|+23ln|x-2|+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A)
B)
B) 12ln|x+2|+23ln|x-1|+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
B)
C)
C) 13ln|x-1|+23ln|x+2|+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
C)
D)
D) 13ln|x-2|+12ln|x-12|+k, k real
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D)
2. DETERMINE O VALOR DE:
∫03X4+9X2+1X2+9DX
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A
ROLAGEM HORIZONTAL