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1 Departamento de Economia ECO 1800 - Técnicas de Pesquisa em Economia Lista Teórica 1 1. Em um modelo com efeito individual não observado (ai), itiitit uaxy +++= ba (1) redefina o erro como vit = ai + uit, onde: (i) ai é não-correlacionado com uit e tem variância constante e igual a sa 2 ; (ii) uit tem variância constante e igual a su 2; (iii) uit é não- correlacionado com x, além de serialmente não-correlacionado. a) Explique por que, sob as hipóteses acima, o estimador de MQO da equação (1) é consistente mas ineficiente. Defina, agora, a equação transformada: ( ) ( ) ( )iitiitiit vvxxyy llblal -+-+-=- )1( (2) onde l=1-[ su 2/( su 2 + T sa 2)]1/2. O estimador de efeitos aleatórios é obtido pela aplicação de MQO nessa equação transformada. b) Defina ( )iitit vve l-= . Mostre que, para t¹s, cov(eit,eis??)=0?. Você deve primeiro mostrar que E(eit) = 0; depois, que Var(eit) = su 2, t=1,....T; e, enfim, provar o resultado desejado. c) Qual a implicação do resultado do item anterior para as propriedades do estimador de MQO na equação transformada (2) - isto é, para as propriedades do estimador de efeitos aleatórios? d) Compare a equação (2) com a equação transformada associada ao estimador de efeitos fixos: ( ) ( ) ( )iitiitiit uuxxyy -+-=- b (3) Disponibilizado por Otávio Merçon e todos os colaboradores do Blog Economia a PUC-Rio 2 Sob que condições as duas equações (e, portanto, também os dois estimadores – efeitos fixos e aleatórios) são idênticas? Isso faz sentido? e) Agora compare a equação do estimador de efeitos aleatórios, (2), com a equação original (1). Sob que condições as duas equações (e, portanto, também os dois estimadores - efeitos aleatórios em (2) e MQO em (1)) são idênticas? Isso faz sentido? 2. Deseja-se estimar, para um painel com dois períodos e 500 indivíduos, a equação ln (Rendit) = b0 + dT2 + ai + b1 Informal it + uit Onde: T2 é uma dummy para o segundo período. Rend=rendimento Informal=dummy igual para trabalhadores informais e zero caso contrário ai é um efeito individual não observado uit é um erro não-correlacionado com as variáveis explicativas (i) Qual é o possível problema em estimar esse modelo por MQO (“pooled”)? (ii) Reescreva o modelo acima em primeira diferença e mostre como isso resolve o problema acima. (iii) Cite um outro método através do qual o problema citado poderia ser solucionado. (iv) Por que não podemos incluir uma variável dummy para gênero nas regressões dos itens (ii) e (iii)? 3. A tabela abaixo apresenta os resultados de regressões que usam dados de 27 Unidades da Federação (UFs) brasileiras em diferentes períodos, que vão de 1992 a 2002. Nessas regressões, a variável dependente é a porcentagem de domicílios, em cada UF, cuja renda per capita está abaixo da “linha de pobreza extrema”. Na primeira coluna é estimada uma regressão por Mínimos Quadrados Ordinários com os dados “empilhados” (“pooled”). A segunda coluna apresenta o resultado da regressão com efeitos fixos e na terceira coluna são mostrados os resultados com efeitos aleatórios. As variáveis explicativas que aparecem nas regressões são as seguintes: · Desig = Desigualdade de renda em cada UF medida pelo índice de Gini. · Educ = média dos anos de educação em cada UF · “Dummies” de tempo, representadas por: D1992, D1993,.....D2001. Disponibilizado por Otávio Merçon e todos os colaboradores do Blog Economia a PUC-Rio 3 Variável dependente: Proporção de domicílios na pobreza extrema Coeficiente Estatística-t Coeficiente Estatística-t Coeficiente Estatística-t desig 0.668 5.79 0.315 3.51 0.368 4.06 educ -0.060 -15.74 -0.016 -2.01 -0.039 -6.15 D1992 - - - - - - D1993 -0.005 -0.33 -0.005 -0.71 -0.005 -0.68 D1995 -0.051 -3.36 -0.056 -7.73 -0.052 -6.94 D1996 -0.040 -2.61 -0.050 -6.44 -0.043 -5.44 D1997 -0.029 -1.87 -0.043 -5.25 -0.033 -4.10 D1998 -0.032 -2.08 -0.052 -6.01 -0.040 -4.71 D1999 -0.014 -0.90 -0.043 -4.60 -0.027 -3.02 D2001 -0.010 -0.61 -0.044 -4.39 -0.025 -2.70 Constante 0.107 1.42 0.099 1.50 0.175 2.75 Obs. Teste de Hausman c2(9) (1) (2) (3) MQO Efeitos fixos Efeitos aleatórios 19.41 216 216 216 a) Sob que condições cada um dos estimadores acima é consistente? b) Comparando os coeficientes estimados para as variáveis desig e educ nas colunas (1) e (2) da tabela acima, notamos que os coeficientes estimados por MQO são maiores em módulo do que os estimados usando efeitos fixos. O que pode explicar essas diferenças entre os coeficientes nas duas regressões? Exemplifique sua argumentação adequadamente. c) Na regressão com efeitos fixos: (i) Podemos incluir uma “dummy” para a região geográfica (Norte, Nordeste etc.) da UF? Em caso negativo, por que não? Em caso positivo, como isso seria feito?. (ii) Podemos reespecificar o modelo de modo a estimar de que forma o efeito da educação varia entre regiões geográficas? Em caso negativo, por que não? Em caso positivo, como isso seria feito? d) O valor-p do teste de Hausman apresentado na tabela acima é menor que 0,025. Qual a conclusão que podemos tirar desse teste? Explique. e) Em geral, sob que condições o estimador de efeitos aleatórios seria superior ao estimador de efeitos fixos? f) Qual é a interpretação dos coeficientes associados às “dummies” de tempo? Como a inclusão dessas “dummies” na regressão se diferencia da inclusão de uma tendência temporal linear? Disponibilizado por Otávio Merçon e todos os colaboradores do Blog Economia a PUC-Rio 4 4. Suponha que você esteja interessado em saber qual é o efeito do preço da gasolina sobre a demanda por esse produto. Você tem à sua disposição os resultados estimados para 18 países com dados anuais de 1960 a 1978 da seguinte equação: Ln (gasolina/carros)it = a + b1 (Y/N) it + b 2 (PG) it + b 3 (carros/N) it + u it Onde: (gasolina/carros)it = consumo de gasolina por automóvel no país i no ano t. (Y/N) it = renda real per capita no país i no ano t. (PG) it = preço real da gasolina no país i no ano t. (carros/N) it = número de carros per capita no país i no ano t. A tabela abaixo apresenta os resultados estimados usando Mínimos Quadrados Ordinários (MQO) e Efeitos Fixos. Coeficientes estimados MQO Efeitos Fixos 1bˆ 0,89 (0,04) 0,66 (0,07) 2bˆ -0,89 (0,03) -0,32 (0,04) 3bˆ -0,76 (0,02) -0,64 (0,03) a) Após observar esses resultados, uma economista afirma: “O efeito do preço da gasolina sobre o consumo está estimado de forma viesada ao usarmos MQO, mas não ao usarmos o estimador de efeitos fixos. Logo, a estimação por efeitos fixos é mais confiável”. Explique (sucintamente) cada passo da argumentação da economista, exemplificando adequadamente. b) Um segundo economista sugere estimar a equação de demanda por gasolina usando efeitos aleatórios. Quais as condições para que isso seja apropriado? Você concorda com a sugestão desse economista? Explique. c) Um terceiro economista sugere estimar a equação de demanda por gasolina reespecificando o modelo em primeiras diferenças. Sob que condições (se houver) esse procedimento é preferível à estimação por MQO? Sob que condições (se houver) esse procedimento não é preferível à estimação por MQO? Disponibilizado por Otávio Merçon e todos os colaboradores do Blog Economia a PUC-Rio 5 5. Você trabalha no Ministério da Justiça do Brasil, onde há grande preocupação com os elevados índices de criminalidade nos municípios brasileiros. O Ministro da Justiça lhe solicita a realização de um estudo econométrico para comprovar a hipótese de que um aumento do número de policiais per capita do município poderia reduzir os índices de criminalidade . Para uma amostra aleatória dos municípios da Federação, você dispõe de dados anuais entre 2000 e 2004, inclusive: Crime: Número de crimes (em unidades) PIB: PIB (em R$ milhões) Pop: População(em 1.000 habitantes) SalPol: Salário médio dos policiais do município (em R$) Esc: Escolaridade média da população (em anos) EduPol: Educação média dos policiais do município (em anos) Rural: Variável binária (dummy) indicando se o município é rural ExpPol: Experiência média dos policiais do município (em anos de serviço) Ind: Variável binária (dummy) indicando se o município é industrial IdPol: Idade média da população (em anos) Des: Índice de desigualdade social NumPol: Número de policiais per capita do município U: Taxa de desemprego (em %) Cond: Percentual dos crimes que foram resolvidos e o(s) criminosos foram efetivamente condenados Apo: Número de aposentados do município NumEsc: Número de escolas per capita do município Além disso, você dispõe dos seguintes dados para o Brasil como um todo: PIBBrasil: PIB do Brasil (em R$ bilhões) TxJuros: Taxa de juros (em %) UBrasil: Taxa de desemprego (em %) IdPopBrasil: Idade média da população (em anos) Salmin: Salário mínimo Inf: Taxa de inflação (a) Proponha um modelo econométrico a ser estimado usando parte, ou a totalidade, das variáveis acima que permita testar a hipótese de interesse e ao mesmo tempo possa explicar as principais causas dos elevados índices de criminalidade. Caso a hipótese não seja rejeitada, determine o aumento percentual do número de policiais per capita requerido para reduzir os índices de criminalidade em 15%. Seja preciso no que se refere aos seguintes pontos, justificando-os adequadamente: - Defina claramente a forma funcional da equação a ser estimada; - Defina claramente a variável dependente da equação. - Defina claramente as variáveis explicativas incluídas na equação. - Defina claramente possíveis variáveis que não estão listadas acima e que deveriam ser incluídas no modelo. - Defina claramente os índices de cada variável, ou seja, indique precisamente quais variáveis variam somente ao longo do tempo, quais variam unicamente entre municípios e quais variam em ambas as dimensões; - Defina claramente, em termos dos parâmetros do seu modelo, a hipótese a ser testada. - Defina os possíveis fatores não observados, fixos ao longo do tempo, que poderiam afetar os índices de criminalidade. Como você incluiria esses fatores no seu modelo? (b) Como você estimaria o modelo definido no item anterior? Justifique cuidadosamente. (c) Suponha que os níveis de escolaridade de todos os municípios da amostra tenham se mantido constantes ao longo do tempo. O método de estimação proposto por você permite estimar a elasticidade entre escolaridade e índices de criminalidade? (d) Explique como você testaria a hipótese de interesse. Seja preciso no que se refere ao nível de significância, valor crítico e regra de rejeição do teste. Disponibilizado por Otávio Merçon e todos os colaboradores do Blog Economia a PUC-Rio 6 6. A fim de analisar a relação entre comparecimento às aulas e desempenho escolar, um economista australiano observou os alunos do Curso de Estatística da Universidade de Wollongong durante um semestre (J.R.Rodgers, “A Panel-Data Study of the Effect of Student Attendance on University Performance, Australian Journal of Education, 45(3), 2001”). O semestre era dividido em 4 períodos, e ao final de cada período o aprendizado da matéria era avaliado a partir da realização de uma prova. Com base nas informações sobre a freqüência dos alunos às aulas e seu desempenho nas provas de cada período do semestre, o economista inicialmente estimou a seguinte equação por MQO (usando apenas as observações referentes aos 167 alunos que fizeram todas as provas): (NOTA)it = a + b1 (FREQUENCIA)it + b 2 (DUM1)t + b 3 (DUM2)t + b 4 (DUM3)t + u it Onde: (NOTA)it = nota do aluno i na prova do período t. (FREQUENCIA) it = freqüência de comparecimento do aluno i às aulas do período t. (DUM1)t = variável dummy para o período 1. (DUM2)t = variável dummy para o período 2. (DUM3)t = variável dummy para o período 3. uit = termo de erro. A estimativa obtida para o parâmetro 1bˆ foi de 0,20, com erro-padrão 0,01. a) Qual é a implicação desse resultado para a relação esperada entre comparecimento às aulas e desempenho escolar? Por que é provável que essa estimativa esteja viesada? b) Qual é a relevância de se incluir na regressão as dummies DUM1, DUM2 e DUM3? Em seguida, o economista reestimou a equação acima através de dois métodos distintos, obtendo os seguintes resultados: - Efeitos fixos: 1bˆ = 0,05, erro-padrão = 0,024 - Efeitos aleatórios: 1bˆ = 0,10, erro-padrão = 0,01 c) Esses resultados fazem sentido, à luz de sua resposta ao item (a)? d) A estatística do teste de Hausman para testar efeitos fixos contra efeitos aleatórios foi 17,73 (p-valor 0,0014). O que isso significa? Por fim, o economista estimou novamente a equação acima, adicionando, porém, outras variáveis explicativas, dentre as quais: (i) nota média do aluno i nas outras matérias cursadas no semestre sob investigação; (ii) dummy de sexo; (iii) dummy para aluno em tempo integral. A nova estimativa para 1bˆ foi de 0,06, com erro-padrão 0,02. e) Compare essa nova estimativa com as obtidas anteriormente, discutindo as razões para eventuais semelhanças ou diferenças. Disponibilizado por Otávio Merçon e todos os colaboradores do Blog Economia a PUC-Rio
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