ListaTeorica 2 2009.1 GABARITO

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1 
 
 
Departamento de Economia 
ECO 1800 - Técnicas de Pesquisa em Economia – 2009.1 
Profs.: Marcelo C. Medeiros e Marco Antônio F.H. Cavalcanti 
 
 
Lista Teórica 2 – GABARITO 
 
1. Considere a seguinte versão modificada do modelo de Samuelson (Review of Economics and 
Statistics, maio de 1939) de interação entre o “multiplicador keynesiano” e o “princípio do 
acelerador”: 
( )1
1
-
-
-=
+=
++=
ttt
ttt
ttt
cci
yc
gicy
b
ea 
onde y, c, i, g e e são, respectivamente, a renda nacional, o consumo, o investimento, os gastos 
do governo e um distúrbio i.i.d. com média zero; a e b são parâmetros positivos que 
representam o multiplicador e o acelerador, respectivamente. Note que os gastos do governo 
são constantes no tempo. 
a) Mostre que a trajetória da renda pode ser descrita por um modelo ARMA(2,1). Você deve 
definir adequadamente o erro do modelo ARMA e especificar a relação entre os coeficientes 
desse modelo e os parâmetros do modelo estrutural. 
b) Que restrições os coeficientes a e b devem satisfazer para que o processo que descreve a 
trajetória da renda seja estacionário? Desenhe a região de estacionariedade em um gráfico 
tendo a no eixo vertical e b no horizontal. 
c) Suponha a = b = 0,5 e g = 100. O processo é estacionário? Caso positivo, em torno de qual 
valor a renda deve flutuar? 
RESPOSTA: 
 
(a) Primeiro, escreva o investimento em função da renda, inserindo a segunda equação na terceira 
[no lugar de ct e c(t-1)]. Você deve obter uma equação onde o investimento depende da renda 
defasada de 1 e 2 períodos, e do distúrbio contemporâneo e defasado de 1 período. Segundo, insira 
essa expressão obtida para o investimento na primeira equação, no lugar de it. Terceiro, insira a 
segunda equação na primeira, no lugar de ct. Coletando termos, você deverá obter um ARMA(2,1): 
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 2 
)1(
)1(
)1(
:
2
1
12111
b
b
q
eb
abf
baf
qff
+
-=
+=
-=
+=
++++= ---
tt
ttttt
u
onde
uuyygy
 
 
(b) Sabemos que para um ARMA(p,q), a estacionariedade é garantida pela condição de que todas as 
raízes da equação característica do processo sejam maiores do que 1 em módulo – veja a resposta á 
questão 4 para maiores detalhes. Quando o processo possui apenas os primeiros 2 termos 
autoregressivos – como em um AR(2) ou no ARMA(2,1) obtido acima -, pode-se mostrar que essa 
condição é equivalente às seguintes restrições sobre os coeficientes dos termos autoregressivos: 
 
1
1
1
2
12
21
->
<-
<+
f
ff
ff
 
 
Aplicando essas restrições ao nosso caso, vemos que os parâmetros alfa e beta devem satisfazer: 
 
1
1
<
<
ab
a
 
 
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
beta
al
fa
alfa=1
(alfa)(beta)=1
REGIÃO DE 
ESTACIONARIEDADE
 
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 3 
 
(c) Sim, o processo é estacionário, pois as condições acima são satisfeitas. O processo ARMA(2,1) 
é, nesse caso: 
200
5,0
100
*
:y* para resolvendo
***25,0*75,0100*
:statesteady em
25,075,0100 121
==
++-+=
-
++-+= ---
y
uuyyy
uuyyy ttttt
q
q
 
 
2. Considere o processo estocástico definido por 
11),,0NID(~, 0
2
110 <<-++= - fseeff tttt YY 
Prove que o processo {Yt; t = 1, ..., T} é estacionário de segunda ordem. 
 
RESPOSTA: 
 
Um processo é fracamente estacionário, ou estacionário de segunda ordem, se sua média, variância e 
autocovariâncias não dependem do tempo (isto é, não variam com o índice t). Logo, devemos ter, para todo t 
e s: 
 
[ ]
[ ] sstt
Yt
t
YYE
YE
YE
gmm
sm
m
=--
=-
=
- ))((
)(
)(
22 
onde sY gsm ,,
2 são constantes. 
 
O processo AR(1) pode ser escrito como: 
 
åå
-
=
-
-
=
---
--
-
++=
++++++=
++++=
++=
1
0
101
1
0
10
112310
2
110
121010
110
 
: 
)()1( 
)( 
t
s
st
st
t
s
s
tttt
ttt
ttt
uY
uuuY
uuY
uYY
ffff
ffffff
ffff
ff
 
 
Logo: 
¥®+
-
®+= å
-
=
tYYE t
t
s
s
t quando 01
)(
1
0
01
1
0
10 f
f
fff 
 
)1(
)()( 2
1
21
0
2
1
2
1
0
2
10
f
s
fsfg
-
®=== åå
-
=
-
=
-
t
s
s
t
s
st
s
t uVarYVar 
 
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 4 
( ) ( )
( )[ ]
( ) ( )
( )
01
11
11
11
11
ˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆ
ˆˆ,
gfg
gf
f
f
f
g
k
k
k
ktt
kttktt
kttt
kttkttk
YYE
YuEYYE
YuYE
YYEYYCov
=\
=
=
+=
+=
==
-
--
---
--
--
 
 
Logo, como nenhum dos momentos acima depende de t, o processo é estacionário. 
 
3. Considere o processo estocástico definido por 
),0NID(~, 2332211 seeeqeqeqeqm ttqtqttttY ++++++= ---- L 
Prove que para quaisquer valores de q1,..., qq, o processo {Yt; t = 1, ..., T} é estacionário de 
segunda ordem. 
 
RESPOSTA: 
 
Temos que mostrar que a média, variância e autocovariâncias do processo não dependem de t. Isso foi feito 
em sala de aula para processos MA(1) e MA(2), lembram?? Abaixo mostro apenas os principais passos para 
o caso geral de um MA(q), pois o método é o mesmo que vimos em aula: 
î
í
ì
>
£++++
=
++++++=
--=
+++=
+++=
=
+++=
++++=
-++
-------
--
--
--
qh
qh
E
YYEYYCov
VarVarVarYVar
EEEYE
hqqhhh
htqhtqhttqtqt
htthtt
q
tqtqtt
tqtqtt
0
)...(
 
)])([( 
)])([(),(
)1( 
)()()()(
 
0...0 
)()()()(
2
2211
1111
222
1
2
1
2
1
11
sqqqqqqq
eeqeqeeqeq
mm
sqq
eeqeq
m
m
eeqeqm
LL
L
L
L
 
Logo, como nenhum dos momentos acima depende de t, o processo é estacionário. 
 
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4. Verifique a estacionariedade dos processos ARIMA abaixo: 
 
a) tttt uyyy +-= -- 21 1.07.0 
b) tttt uyyy +-= -- 21 5.0 
c) 11 8.05.02 -- +++= tttt uuyy 
d) tt uByBB )5.01()1.09.01(
2 -=-- 
e) ttt uyy ++= -110 
 
RESPOSTA: 
 
Podemos escrever um modelo ARMA(p,q) na forma: 
tt uBYB )()( qf = 
onde B é o operador de defasagem (que também costumamos denotar por L) e 
 
q
q
p
p
BBBBB
BBBBB
qqqqq
fffff
-----=
-----=
...1)(
...1)(
3
3
2
21
3
3
2
21
 
A equação característica de um processo ARMA(p,q) é definida por 
0...1)( 33
2
21 =-----=
p
p BBBBB fffff 
Essa equação tem necessariamente p raízes, possivelmente complexas. O processo é estacionário 
se todas as raízes têm módulo maior que um. Note que o polinômio associado à parte “média 
móvel” do processo não é relevante no que tange a estacionariedade. Aplicando esse resultado aos 
casos acima: 
(a) A equação característica é: 01.07.01 2 =+- BB , cujas raízes são 5 e 2, ambas > 1 
=> estacionário. 
(b) raízes (complexas) = 1+i, 1- i, onde i denota a parte imaginária. Essas raízes têm 
módulo maior do que 1, indicando um processo estacionário (veja também a 
questão 5). 
(c) Processo estacionário, pois a raiz da equação característica é maior que 1 – visto 
de outra forma, o coeficiente do termo autoregressivo é menor do que 1. 
(d) raízes = -10 e 1. Como uma raiz é unitária, o processo não é estacionário. 
(e) Processo não-estacionário, pois a raiz da equação característica é 1 (“processo 
com raiz unitária”) – visto de outra forma, o coeficiente do termo autoregressivo 
é 1. 
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5. Considere o seguinte processo estocástico: 
 
Yt = 0,8 Yt-1 – 0,2 Yt-2 + ut – 1,5 ut-1 + 0,5 ut-2 ut ~ ruído branco 
 
 
Todo número complexo x = a + bi, onde 1-=i , pode ser 
representado por um vetor num plano cartesiano; sua 
coordenada horizontal é a parte real do número (a), enquanto 
que a coordenada vertical é sua parte imaginária (b). Dessa 
forma, localize no plano ao lado, em que os quadrados 
pontilhados têm lado unitário, a(s) raíz(es) do polinômio f(B) 
do processo Yt, calculando também o módulo 
(“comprimento”) dela(s). O que a localização dessa(s) raíz(es) 
no plano indica sobre o processo Yt? 
 
 
 
 
RESPOSTA: 
 
As raízes da equação característica são: 2+i e 2-i,que no gráfico estariam ambas fora do círculo 
unitário desenhado. Isso indica que o processo é estacionário. 
 
6. Mostre que a soma de dois processos estocásticos estacionários independentes também é um 
processo estacionário. 
 
RESPOSTA: 
 
Trivial! Mas não se preocupem com a prova do resultado, e sim com o resultado em si. 
 
7. Considere o processo estocástico: 
 
 
î
í
ì
>
=
=
- 1
1
1 tz
t
z
t
t
w
 
 
onde w é uma variável aleatória qualquer. O processo é estacionário? É ergódico (isto é, 
“assintoticamente independente”)? 
 
RESPOSTA: 
 
Suponha que w possua média e variância finitas dadas por m e s, respectivamente. Logo, O 
processo é estacionário, pois, para qualquer t e s, E(zt) = m, Var (zt) = s, Cov(zt,zs) = s. Entretanto, 
o processo não é “assintoticamente independente”, pois independentemente da distência entre t e s, 
Cov(zt,zs) = s (ou seja, não tende para zero). 
Re 
Im 
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 7 
 
8. Resolva os seguintes problemas do Wooldridge: 10.2, 11.5, 11.7. 
 
RESPOSTA: 
 
EX.10.2 
 
Um choque em ut afeta gGDP em t, o que afeta int(t+1) através da função de reação do Fed. Logo, há 
correlação entre ut e int(t+1). Isso viola a hipótese de exogeneidade estrita, necessária para a ausência de 
viés do estimador de MQO. Logo, nessa equação MQO é viesado. 
 
EX.11.5 
 
(i) O maior efeito ocorre na nona defasagem; o menor, na terceira. 
 
(ii) Os valores entre parênteses são os erros padrão estimados; logo, dividindo os coeficientes estimados 
por tais erros padrão, vemos que a estatística-t é menor que 2 para as defasagens 2, 3, 12. 
 
(iii) Somando os coeficientes, LRP = 1,172, que parece indicar que o aumento de um ponto percentual na 
taxa de crescimento dos salários causa, no longo prazo, um aumento de 1,17 pontos percentuais na taxa de 
inflação. 
 
(iv): para calcular o desvio padrão do multiplicador de longo prazo (LRP no texto), primeiro defina LRP = teta 
= somatório de todos os coeficientes de gwage (contemporaneo e defasado); podemos reescrever o modelo 
em função de teta e reestimar o modelo, obtendo assim diretamente uma estimativa do LRP e seu desvio 
padrão. Veja abaixo como reescrever o modelo (veja tb o exemplo 10.4 do livro) 
( )
( ) ( )tttttt
tttt
tttt
gwagegwagegwagegwagegwagegprice
doreescreven
gwagegwagegwagegprice
dosubstituin
LRP
defina
gwagegwagegwagegprice
Modelo
-++-++=
+++---+=
---=Þ
+++==
++++=
--
--
--
121211
121211121
1210
1210
1212110
...
:
......
:
...
...
:
...
:
bbqa
bbbbqa
bbqb
bbbq
bbba
 
(v): estimamos o modelo com e sem as 6 defasagens adicionais e realizamos um teste-F padrão (modelo 
restrito/irrestrito). Devemos apenas notar que o período de estimação deve ser o mesmo no modelo restrito 
e irrestrito; logo, ao incluirmos 6 novas defasagens perdem-se 6 observações adicionais no início da 
amostra. P.ex., se temos dados de janeiro/1980 a setembro/2003, podemos estimar um modelo com 12 
defasagens (como o que aparece no exercício 11.5) a partir de jan/1981, com um total de 273 observações. 
Mas um modelo com 18 defasagens só pode ser estimado a partir de julho/1981. Assim, ambos os modelos 
restrito e irrestrito deveriam ser estimados a partir de julho/1981 (n=267). 
 
EX.11.7 
 
(i) A equação final é: 
)()()1()( 110 ttttt aexyy +++-+= - llgllg 
Logo, )(),(),1(),( 12100 ttt aeu +==-== llgblblgb . 
 
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 8 
(ii): no item (i) vc deve ter mostrado que u(t) depende de e(t) e a(t). Logo, as hipóteses do item (ii) implicam 
que os regressores são contemporaneamente exógenos e portanto que podemos estimar o modelo por 
MQO - que será consistente. 
 
(iii): no item (i) vc deve ter mostrado a relação entre os betas e os gamas e lambda, certo? Logo, é só 
calcular as estimativas a partir de: 
1-lambda=beta1 => acha lambda 
lambda*gama1=beta2 => acha gama1 (usando o lambda acima) 
 
9. De acordo com a “hipótese de eficiência dos mercados” (HEM), nenhuma informação 
disponível antes do período t deveria ajudar a prever o retorno de um ativo no período t. 
Definindo o retorno do índice do Ibovespa como y, a HEM implica que: 
( ) ( )tttt yEyyyE =-- ,...,| 21 
Supondo que a HEM seja válida, qual deve ser o valor do coeficiente associado a yt-1 na 
regressão de yt em uma constante e em yt-1? Você espera que o estimador de MQO seja 
consistente nessa regressão? Não-viesado? 
[Dica: veja os Exemplos 11.3 e 11.4 do Wooldridge] 
 
RESPOSTA: 
O valor do coeficiente de y(t-1) deveria ser 0 na regressão de yt em y(t-1) e uma constante. 
MQO será viesado nessa regressão, pois a hipótese de exogeneidade estrita é violada, mas é 
provável que seja consistente, pois espera-se que os choques que afetam o retorno em t não 
estejam sistematicamente relacionados aos choques que determinam o retorno em t-1. Veja a 
resposta da próxima questão para maiores detalhes sobre as condições para 
consistência/ausência de viés. 
 
10. Para cada um dos casos abaixo, quais você espera que sejam as propriedades do estimador de 
MQO (em termos de ausência de viés e consistência)? 
 
Variável dependente Regressores (além da constante) 
Taxa de crescimento das 
exportações brasileiras (em t) 
Taxa de câmbio real (em t) 
Taxa de crescimento das 
exportações brasileiras (em t) 
Taxa de câmbio real (em t-1) 
Taxa de crescimento das 
exportações brasileiras (em t) 
Taxa de câmbio real (em t-1) 
Taxa de crescimento das exportações brasileiras (em t-1) 
Taxa de crescimento das 
exportações brasileiras (em t) 
Taxa de câmbio real (em t-1) 
Taxa de crescimento das exportações brasileiras (em t-1 e t-2) 
 
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 9 
RESPOSTA: 
A condição básica para ausência de viés do estimador de MQO é a exogeneidade estrita dos regressores: 
E(ut|X)=0 (isto é, independência entre ut e os x observados em qualquer ponto do tempo). Para o 
estimador ser consistente, é necessária a exogeneidade contemporânea dos regressores: E(ut|xt)=0 (na 
verdade é suficiente que cov(ut,xt)=0), além de dados fracamente dependentes/estacionários. Assim, a 
resposta à questão depende do tipo de relação que acreditemos existir entre a taxa de câmbio real e os 
outros determinantes das exportações que se encontram “escondidos” no erro da regressão (u). 
Na minha opinião, o estimador de MQO será viesado em todos os casos citados. No caso 1, isso decorre 
da idéia de que o câmbio depende das exportações – ou seja, existe na economia uma equação na qual a 
variável dependente é o câmbio e, entre as variáveis explicativas, encontram-se as exportações – de modo 
que há “viés de simultaneidade” (que vocês aprenderam em Econometria): correlação entre ut e o câmbio 
em t. No caso 2, haverá viés caso algum choque que afete as exportações em t acabe afetando também o 
câmbio em t+1 ou t+2 etc., o que também parece bastante provável – por exemplo, o aumento 
contemporâneo das exportações pode aumentar a “solvência” do país, permitindo que nos períodos 
seguintes o país absorva mais capital externo, o que deve afetar o câmbio observado. Nos casos 3 e 4 
temos entre os regressores a variável dependente defasada, de modo que a condição de exogeneidade 
estrita é necessariamente violada (ut afeta yt, que é o valor do regressor yt-1 no período seguinte; logo, há 
correlação entre ut e o regressor no período seguinte) – e, portanto, MQO é viesado. Notem a diferença no 
que acabo de dizer: nos casos 1 e 2 MQO provavelmente é viesado, enquanto nos demais casos MQO é 
necessariamente viesado. 
No que se refere à consistência do estimador, sabemos que, no caso 1, o estimador será consistente se 
cov(ut,câmbio em t)=0. Isso é razoável? Provavelmente não, pela mesma razão apontada acima 
(correlação entre ut e o câmbio em t associada à endogeneidade contemporânea do câmbio em relação às 
exportações). Nocaso 2, tudo que precisamos para consistência de MQO é que os choques ut não 
dependam do que ocorreu com o câmbio no período anterior (t-1), o que parece mais provável do que a 
condição do caso 1 – afinal, mesmo que o câmbio em t dependa das exportações em t, isso não afetaria a 
consistência do estimador. Os casos 3 e 4 são semelhantes ao caso 2, pois incluem o câmbio defasado e 
não contemporâneo. Entretanto, há uma complicação adicional: caso a equação não capte adequadamente 
a dinâmica das exportações, é possível que tenhamos erros autocorrelacionados, o que implica, como 
visto em sala de aula, correlação entre ut e o valor defasado da variável dependente, e portanto 
inconsistência do estimador de MQO. Nesse sentido, tendo em vista que o caso 4 inclui uma defasagem a 
mais da variável dependente, permitindo captar uma dinâmica mais rica, nesse caso é mais provável que o 
erro não seja autocorrelacionado, e portanto que MQO não seja inconsistente. 
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 10 
 
11. Um economista deseja analisar a relação entre as taxas de crescimento do salário real e do nível de 
emprego na indústria brasileira, representadas por sal e emp, respectivamente. Os gráficos dessas séries 
no período 2000.1-2005.8 são apresentados abaixo: 
 
-.03
-.02
-.01
.00
.01
.02
.03
2000 2001 2002 2003 2004 2005
SAL
-.008
-.004
.000
.004
.008
.012
2000 2001 2002 2003 2004 2005
EMP
 
Inicialmente, o economista estima por MQO, para o período acima, os seguintes processos auto-regressivos 
para sal e emp (estatísticas-t entre parênteses): 
 
 
ttt usalsal 11
)07,2()76,1(
ˆ247,0003,0 ++= - (1) 
obs = 67; R2 = 0,07; Durbin-Watson = 2,06 
 
 
ttt uempemp 21
)42,6()72,1(
ˆ63,0001,0 ++= - (2) 
obs = 67; R2 = 0,39; Durbin-Watson = 2,21 
 
 
a) A partir dos gráficos e das estimações acima, você diria que as séries em questão parecem 
realizações de processos estocásticos estacionários? Justifique. 
 
b) “Os valores da estatística de Durbin-Watson nas regressões acima permitem concluir que os erros 
não são auto-correlacionados”. Comente. 
 
c) Os estimadores de MQO das equações acima são não-viesados? 
 
Em seguida, o economista estima por MQO as seguintes equações, tendo como variáveis dependentes os 
resíduos das equações (1) e (2): 
 
tttt usalu 31121101 ˆˆ eddd +++= -- (3) 
tttt uempu 41221102 ˆˆ eggg +++= -- (4) 
 
Com base nos resultados da estimação de (3) e (4), o economista conclui que: 
 
(I) sal parece bem representado por um modelo AR(1), mas para emp possivelmente um modelo AR(2) seria 
mais adequado; 
 
(II) o estimador de MQO do coeficiente auto-regressivo na equação (2) é inconsistente. 
 
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 11 
d) Qual pode ter sido o objetivo da estimação das equações (3) e (4)? Que tipo de resultado teria levado 
o economista às conclusões (I) e (II) acima? 
 
Finalmente, o economista estima (sempre por MQO) duas regressões relacionando as taxas de crescimento 
do salário real e do nível de emprego (estatísticas-t entre parênteses): 
 
ttt uempsal 5
)52,2()01,1(
ˆ919,0001,0 ++= (5) 
obs = 67; R2 = 0,089; Durbin-Watson = 1,64 
 
ttt uempsal 61
)42,2()96,0(
ˆ899,0001,0 ++= - (6) 
obs = 67; R2 = 0,083; Durbin-Watson = 1,66 
 
e) Você espera que os estimadores de MQO das equações (5) e (6) sejam não-viesados? Consistentes? 
 
RESPOSTA: 
(a) Sim. De acordo com os gráficos, as séries aparentam flutuar em torno de uma média 
aproximadamente constante, com variância também aproximadamente constante. Além disso, as 
estimações (1) e (2) apresentam coeficientes autoregressivos com valor absoluto significativamente 
menor do que 1, o que também aponta na direção da estacionariedade. 
 
(b) A afirmativa é falsa. O teste de DW só é válido na presença de regressores estritamente exógenos – 
condição claramente violada nas equações acima, que incluem a variável dependente defasada. 
 
(c) Não. O estimador de MQO só pode ser não-viesado na presença de regressores estritamente exógenos – 
condição violada nas equações acima, como dito no item anterior. 
 
(d) O economista desejava testar a hipótese nula de ausência de correlação serial nos erros das equações (1) e 
(2). No caso da equação (1), essa hipótese equivale a d2=0; provavelmente essa hipótese não foi rejeitada, 
levando à conclusão de que o modelo AR(1) da equação (1) captou adequadamente a autocorrelação presente 
na série de salário [primeira parte da conclusão I]. No caso da equação (2), a hipótese de ausência de 
correlação serial nos erros equivale a g2=0; provavelmente essa hipótese não rejeitada, levando à conclusão 
de que o modelo AR(1) da equação (1) não captou adequadamente a autocorrelação presente na série de 
emprego, sendo necessária a inclusão de pelo menos mais um termo autoregressivo na equação [segunda 
parte da conclusão I]. Dado que, na presença de erros autocorrelacionados, MQO será inconsistente em 
modelos que incluem a variável dependente defasada como regressor, conclui-se que MQO é inconsistente 
na equação (2) acima [conclusão II]. 
 
(e) A condição básica para ausência de viés do estimador de MQO é a exogeneidade estrita dos regressores: 
E(ut|X)=0. Para o estimador ser consistente, é necessária a exogeneidade contemporânea dos regressores: 
E(ut|xt)=0, além de dados fracamente dependentes/estacionários. Possivelmente ambas as condições são 
violadas na equação (5), caso salário e emprego sejam determinados simultaneamente – havendo, assim, 
correlação entre u5t e o regressor empt. Na equação (6), a exogeneidade estrita continuaria sendo violada, 
pois u6t seria correlacionado com empt (que o valor do regressor empt-1 no período t+1); mas é razoável que 
não haja correlação entre u6t e empt-1, de modo que o estimador poderia ser consistente. 
 
 
 
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 12 
 
 
12. A figura abaixo apresenta a evolução mensal do número de cheques sem fundo para cada 1.000 
compensados no Brasil, entre 1995 e 2005. 
 
 
0
4
8
12
16
20
24
95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05
CSF
 
 
 
Nas aulas e listas, discutimos as características de vários processos estocásticos. Escreva as equações de dois 
processos estocásticos que, na sua opinião, poderiam gerar séries temporais semelhantes à série de cheques 
sem fundo acima – e, portanto, ser utilizados como aproximações do “verdadeiro” processo gerador da série 
de interesse. Apresente todos os detalhes possíveis, explicitando possíveis valores (ou intervalos de valores) 
para os coeficientes dos processos estocásticos selecionados. Justifique adequadamente a opção por esses 
processos vis-à-vis processos alternativos, bem como a escolha dos valores atribuídos aos coeficientes de 
cada processo. 
 
 
RESPOSTA: 
O processo apresenta marcada tendência de crescimento. Logo, poderia tratar-se de um processo 
com tendência determinística do tipo: 
tt xbtaY ++= , b > 0 
onde 10,~,1 <<+= - ff iiduuxx tttt 
 
Note que os desvios de Y em relação à tendência determinística apresentam alguma persistência, de 
modo que talvez pudessem ser aproximados por um AR(1) (ou outro processo ARMA) estacionário, 
conforme a equação acima. 
Outra possibilidade seria um passeio aleatório “com deslocamento” (“drift”): 
 
 0~,1 >++= - aiiduuYaY tttt . 
 
no qual o valor de a fosse “grande” relativamente à variância de u – de modo que o componente 
determinístico do processo “dominaria” o componente estocástico, gerando uma série difícil de ser 
diferenciada de um processo com tendência determinística “a olho nu”. 
 
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 13 
13. Considere o seguinte modelo macroeconômico: 
 
pplp t
E
ttt uy ++= (1) 
y
t
E
ttt uiy +-= - )( 1 pg (2) 
1-= t
E
t pp (3) 
)( ppr -+= tt ii (4) 
onde: 
0 ,01 ,10
0 médiacom i.i.d. choques"" ,
)(constante inflação de meta 
)(constante "equilíbrio de" nominal juros de taxa
 tperíodo no nominal juros de taxa
1)-(tanterior período o até informação em base com t,em inflação da aexpectativ 
 tperíodo no produto do hiato 
 tperíodo no inflação 
³<<-<<
=
=
=
=
=
=
=
rgl
p
p
p
p y
tt
t
E
t
t
t
uu
i
i
y
 
 
A equação (1) é uma “curva de Phillips” que relaciona a inflação corrente ao hiato do produto e à expectativa 
passada da inflação, além de um “choque de oferta”. A equação (2) é uma relação do tipo IS, na qual o hiato 
do produto depende da taxa de juros real no período anterior e de um “choque de demanda”. A equação (3) é 
a regra de formação de expectativas, segundo a qual a inflação esperada para o período t é simplesmente a 
inflação observada no período t-1. Finalmente, a equação (4) é a regra de política monetária do Banco 
Central, que determina a taxa de juros nominal em função do desvio entre a inflação corrente e a meta de 
inflação. 
 
(a) Mostre que a trajetória da inflação pode ser descrita por um processo ARMA(p,q). Você deve definir 
adequadamente o erro do modelo ARMA e especificar a relação entre os coeficientes desse modelo e 
os parâmetros do modelo estrutural acima. 
 
(b) Considere três possíveis valores para o coeficiente r na regra de política monetária do Banco 
Central: 0, 1 e 2. Em cada caso, diga se a inflação segue um processo estacionário ou não-
estacionário (de segunda ordem), justificando sua resposta adequadamente. O que você pode inferir, 
a partir desses resultados, acerca da condução adequada da política monetária nessa economia? 
 
(c) Um economista (que não conhece o “verdadeiro” modelo da economia apresentado acima) deseja 
estimar a relação entre inflação e hiato do produto, por MQO, a partir da seguinte regressão: 
 
ttt ey ++= 10 bbp 
 
Na sua opinião, MQO será viesado nessa regressão? Consistente? Justifique suas respostas. 
 
(d) Um segundo economista (que também não conhece o “verdadeiro” modelo da economia) decide 
estimar por MQO a seguinte equação: 
 
tttt ey +++= -1210 pbbbp 
 
Na sua opinião, MQO será viesado nessa regressão? Consistente? Justifique suas respostas. 
 
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 14 
RESPOSTA: 
(a) Você deve usar as equações (2), (3) e (4) para reescrever a equação (1) em função de 
defasagens da inflação, dos choques u e de termos constantes (como a meta de inflação etc.), 
chegando a um AR(1): 
( )
( )
pl
rlgf
prlgf
pffp
t
y
tt
ttt
uue
i
onde
e
+=
-+=
-=
++= -
11
:
1
0
110
 
(b) A condição de estacionariedade da inflação é: 11 <f . Pelas hipóteses do enunciado, 
sabemos que 01 <<- lg . Logo, o único valor de r que garante a estacionariedade da 
inflação é 2. Se r =1, a inflação segue um passeio aleatório (com deslocamento) e, se r =0, 
o processo é explosivo. A conclusão é que a política monetária deve reagir fortemente aos 
desvios da inflação em relação à meta, a fim de garantir uma inflação “bem comportada”. 
(c) Viesado e inconsistente: a expectativa de inflação, que afeta diretamente o hiato, foi omitida 
da equação. Logo, há correlação entre o erro da regressão e o regressor (hiato). 
(d) Viesado, pois a regressão inclui a variável dependente defasada e, portanto, viola a hipótese 
de exogeneidade estrita. Mas consistente, pois a especificação da regressão corresponde 
exatamente à equação (1), na qual o erro não tem correlação com as variáveis explicativas. 
 
 
 
14. Um economista decide estimar o multiplicador de longo prazo do crescimento do nível de emprego na 
economia brasileira em relação ao crescimento do salário médio na indústria, através da seguinte 
equação, estimada em base mensal por MQO: 
 
 
tttt usalsalemp ˆ124.0172.0142.0 1
)50.3()84.4()02.4(
+++-= -
-
 
 
R2 = 0.30 DW=0.60 n=125 
 
 
onde emp é a taxa de crescimento do emprego e sal é a taxa de crescimento salarial (ambas definidas em 
porcentagens – por exemplo, o valor 1 denota um aumento de 1%, e assim por diante). Os valores entre 
parênteses são as estatísticas-t, n é o número de observações e DW é a estatística de Durbin-Watson. 
 
(a) A partir da equação acima, qual deve ser, no longo prazo, o efeito sobre o crescimento do emprego 
de um aumento permanente de 1 ponto percentual na taxa de crescimento salarial? 
 
(b) É possível, a partir da equação acima, testar a hipótese nula de que o multiplicador de longo prazo é 
igual a 1? Caso positivo, realize o teste. Caso negativo, descreva em detalhe como você realizaria o 
teste. 
 
 
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 15 
Um segundo economista também deseja estimar o efeito de longo prazo do crescimento do salário sobre o 
crescimento do emprego, mas opta por fazê-lo a partir da estimação (por MQO) da equação a seguir: 
 
 
tttt uempsalemp ˆ78.0048.003.0 1
)0.14()97.1()46.1(
+++-= -
-
 
 
R2 = 0.71 DW=2.28 n=125 
 
 
(c) Qual é a diferença fundamental entre a dinâmica da resposta de emp a um aumento permanente em 
sal segundo cada um dos modelos acima? 
 
(d) Calcule o multiplicador de longo prazo do crescimento do emprego em relação ao crescimento do 
salário estimado a partir dessa nova equação. 
 
(e) “O uso da estatística de Durbin-Watson é certamente inválido em uma das equações acima, e 
provavelmente inválido na outra”. Comente cuidadosamente. 
 
(f) Quais seriam as consequências da presença de autocorrelação nos distúrbios das equações acima 
para as propriedades do estimador de MQO? Descreva em detalhe o procedimento que você adotaria 
para verificar a existência (ou não) de autocorrelação nos distúrbios dessas equações. 
 
RESPOSTA: 
(a) 0,172+0,124 = 0,296 
(b) Já temos uma estimativa pontual do multiplicador de LP (ver item (a)), mas falta o erro-
padrão dessa estimativa para podermos realizar o teste de hipótese de interesse. Podemos 
reescrever o modelo de modo que o multiplicador de LP seja estimado diretamente pela 
regressão, e então realizar um teste-t convencional (pois a regressão já nos fornecerá o erro-
padrão do multiplicador de LP). O modelo poderia ser reescrito da seguinte forma (ver 
também item iv da questão 10 acima): 
( )
( ) ttttt
tttt
tttt
usalsalsalemp
doreescreven
usalsalemp
dosubstituin
LRP
defina
usalsalemp
+-++=
++-+=
-=Þ
+==
+++=
-
-
-
11
111
10
10
110
:
:
:
bqa
bbqa
bqb
bbq
bba
 
 
Ou seja, se estimarmos uma equação de emp(t) em função de sal(t) e da primeira diferença de 
sal [sal(t)-sal(t-1)], a hipótese de interesse pode ser testada através de um teste-t no coeficiente 
associado a sal(t). 
 
(c) No primeiro modelo, emp atinge seu novo nível de equilíbrio após dois períodos; no 
segundo modelo, emp vai se aproximando gradualmente de seu novo nível de equilíbrio. 
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 16 
(d) 0,048/(1-0,78) = 0,048/0,22=0,218 
(e) Afirmação correta. No segundo modelo, que inclui a variável dependente defasada, a 
hipótese de exogeneidade estrita é violada, de modo que a estatística DW não é válida. No 
primeiro modelo, tal hipótese também é provavelmente violada, pois deve haver algum tipo 
de feedback de emp para sal (afinal, o crescimento do nível de emprego pode impactar no 
crescimento dos salários, contemporaneamente ou após algum tempo), de modo que o uso 
da est-DW também não seria válido. 
(f) Na primeira equação, a presença de autocorrelação geraria ineficiência de MQO e impediria 
o uso das estatísticas-t e F padrão, enquanto que, na segunda equação, a autocorrelação 
implicaria a inconsistência (e viés) de MQO, dada a presença da variável dependente 
defasada entre os regressores. Para testar autocorrelação, deveríamos usar o teste de 
Breusch-Godfrey: primeiro, estima-se uma regressão dos resíduos da regressão original em 
função dos resíduos defasados até a ordem p e dos regressoresda regressão original; 
segundo, testa-se a hipótese nula de que os coeficientes dos resíduos defasados são 
conjuntamente nulos (usando a estatística-F ou a estatística-LM). 
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 17 
 
15. Considere os seguintes processos estocásticos: 
 
),0(~ e ),0(~ 
0, 0, , 10 onde (II)
 (I)
22
1
1
x
x
ty
y
t
xy
x
ttxt
y
ttyt
NuNu
uXX
uYY
ss
mmffm
m
³³<<++=
++=
-
-
 
 
(a) Por que se diz que o processo Y é um “processo com raiz unitária”? 
 
(b) Mostre de que forma os valores de Xt e Yt dependem de todos os respectivos choques aleatórios 
(u´s) ocorridos no passado. 
 
(c) O que os resultados do item (b) implicam em termos da persistência ou transitoriedade dos 
efeitos dos choques que afetam Y e X? E em termos das médias e das variâncias de Y e X? 
 
(d) Na sua opinião, qual desses processos representaria uma melhor aproximação para o 
comportamento do PIB do país? E para o comportamento da taxa de juros real? Em cada caso, 
seria mais razoável considerar 0=m ou 0>m ? 
 
RESPOSTA: 
(a) Porque a raiz da equação característica do processo é 1. 
(b) Para Y, temos: 
å
-
=
-
---
--
-
++=
+++++=
++++=
++=
1
0
0
123
12
1
 
: 
)(2 
)( 
t
s
sty
ttttyy
tttyy
ttyt
utY
uuuY
uuY
uYY
m
mm
mm
m
 
Para X, temos: 
å
-
=
-
---
--
-
+
-
+=
++++++=
++++=
++=
1
0
0
123
2
12
1
1
 
: 
)()1( 
)( 
t
s
st
sxt
ttttxx
tttxx
ttxt
uX
uuuX
uuX
uXX
f
f
m
f
ffmfmf
fmfm
fm
 
(c) O item anterior mostra que, no caso de Y, os choques têm efeitos permanentes (note que o efeito 
sobre Y de um choque ocorrido no “passado remoto” nunca morre), ao passo que, no caso de X, os 
choques têm efeitos transitórios (choques ocorridos muitos períodos atrás têm efeito pequeno sobre o 
valor corrente de X, pois seu “peso” no somatório decresce no tempo – dado que 1<f , 0®tf 
quando ¥®t ). 
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 18 
O fato dos choques terem efeitos permanentes sobre Y indica a presença de uma tendência 
estocástica (= raiz unitária). É fácil ver que, para processos com essa característica, a variância tende a 
infinito quando t vai para infinito – pois, para cada unidade de tempo que passa, o processo “ganha” um 
choque adicional que contribui para aumentar (de forma permanente) a variância do processo. Mais 
formalmente: 
¥®¥®=== åå
-
=
-
=
- ttuVarYVar
t
s
t
s
stt quando )()(
2
1
0
2
1
0
ss 
Além disso, Y apresenta uma tendência determinística de crescimento – ou seja, seu valor esperado 
cresce no tempo (conforme pode-se notar pela presença do termo ytm ). 
Por sua vez, X possui média e variância constantes, dadas por )1( fm -x e )1(
22 fs - , 
respectivamente. Trata-se de um processo estacionário. 
(d) O PIB é uma variável claramente não estacionária e, portanto, deve ser mais bem 
aproximado por Y. Além disso, devemos ter 0>m - pois o PIB apresenta marcada 
tendência de crescimento no tempo. 
Quanto à taxa de juros real, em termos teóricos parece mais razoável aproximá-la por um 
processo estacionário – logo, X parece mais adequado. Uma vez mais, parece mais adequado 
termos 0>m , pois a taxa de juros real média é maior do que zero. 
 
 
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