ListaTeorica 2 2009.2

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Departamento de Economia 
ECO 1800 - Técnicas de Pesquisa em Economia – 2009.2 
 
 
Lista Teórica 2 
 
1. Considere a seguinte versão modificada do modelo de Samuelson (Review of Economics and 
Statistics, maio de 1939) de interação entre o “multiplicador keynesiano” e o “princípio do 
acelerador”: 
( )1
1
−
−
−=
+=
++=
ttt
ttt
ttt
cci
yc
gicy
β
εα 
onde y, c, i, g e ε são, respectivamente, a renda nacional, o consumo, o investimento, os gastos 
do governo e um distúrbio i.i.d. com média zero; α e β são parâmetros positivos que 
representam o multiplicador e o acelerador, respectivamente. Note que os gastos do governo 
são constantes no tempo. 
a) Mostre que a trajetória da renda pode ser descrita por um modelo ARMA(2,1). Você deve 
definir adequadamente o erro do modelo ARMA e especificar a relação entre os coeficientes 
desse modelo e os parâmetros do modelo estrutural. 
b) Que restrições os coeficientes α e β devem satisfazer para que o processo que descreve a 
trajetória da renda seja estacionário? Desenhe a região de estacionariedade em um gráfico 
tendo α no eixo vertical e β no horizontal. 
c) Suponha α = β = 0,5 e g = 100. O processo é estacionário? Caso positivo, em torno de qual 
valor a renda deve flutuar? 
 
2. Considere o processo estocástico definido por 
11),,0NID(~, 02110 <<−++= − φσεεφφ tttt YY 
Prove que o processo {Yt; t = 1, ..., T} é estacionário de segunda ordem. 
 
3. Considere o processo estocástico definido por 
),0NID(~, 2332211 σεεεθεθεθεθµ ttqtqttttY ++++++= −−−− L 
Prove que para quaisquer valores de θ1,..., θq, o processo {Yt; t = 1, ..., T} é estacionário de 
segunda ordem. 
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4. Verifique a estacionariedade dos processos ARIMA abaixo: 
 
a) tttt uyyy +−= −− 21 1.07.0 
b) tttt uyyy +−= −− 21 5.0 
c) 11 8.05.02 −− +++= tttt uuyy 
d) tt uByBB )5.01()1.09.01( 2 −=−− 
e) ttt uyy ++= −110 
 
5. Considere o seguinte processo estocástico: 
 
Yt = 0,8 Yt-1 – 0,2 Yt-2 + ut – 1,5 ut-1 + 0,5 ut-2 ut ~ ruído branco 
 
 
Todo número complexo x = a + bi, onde 1−=i , pode ser 
representado por um vetor num plano cartesiano; sua 
coordenada horizontal é a parte real do número (a), enquanto 
que a coordenada vertical é sua parte imaginária (b). Dessa 
forma, localize no plano ao lado, em que os quadrados 
pontilhados têm lado unitário, a(s) raíz(es) do polinômio φ(B) 
do processo Yt, calculando também o módulo 
(“comprimento”) dela(s). O que a localização dessa(s) raíz(es) 
no plano indica sobre o processo Yt? 
 
 
 
 
 
6. Mostre que a soma de dois processos estocásticos estacionários independentes também é um 
processo estacionário. 
 
 
7. Considere o processo estocástico: 
 
 



>
=
=
−
1
1
1 tz
t
z
t
t
ω
 
 
onde ω é uma variável aleatória qualquer. O processo é estacionário? É ergódico (isto é, 
“assintoticamente independente”)? 
Re 
Im 
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8. Calcule a função de autocorrelação dos processos abaixo. Mostre os 5 primeiros valores da FAC num 
gráfico. 
 
(a) ttt uyy += −15.0 
(b) 21 3.02.0 −− −−= tttt uuuy 
 
 
9. Considere o seguinte processo estocástico: 
 
21 )3,0()1,0( −− −−= tttt uuuY (*) 
ut ~ N(0, 1) 
 
(a) Que formato você esperaria para a FAC e FACP de uma realização do processo? 
 
(b) O economista A observa uma realização do processo, sem saber que o verdadeiro processo gerador dos 
dados é (*). Ele deseja identificar o processo através da análise da FAC e FACP amostral. Mas o 
economista B, que conhece o processo gerador (*), afirma: “Dificilmente o economista A conseguirá 
identificar corretamente o processo, a menos que disponha de número muito grande de observações”. 
Comente essa afirmação. 
 
 
10. A FACP teórica de um processo ARIMA decai exponencialmente (em módulo), enquanto que sua FAC 
teórica tem o seguinte gráfico, onde ρ(k) = 0 para k > 2: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Escreva a equação completa do processo, com o valor teórico dos parâmetros e verifique se ele é 
estacionário. Suponha que Var(ut) = 2 e a Var(Yt) = 12. [Dica: Primeiro escreva a equação do processo em 
função de parâmetros desconhecidos; em seguida, calcule o valor desses parâmetros a partir da função de 
autocorrelação do processo e das informações acima.] 
 
 
 
 
Defasagem 1 
2 
1/3 
-1/2 
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11. Um processo da classe ARIMA apresenta os seguintes formatos para a FAC e FACP: 
 
F A C
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
D efasagem
 
F AC P
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Def asag em
 
Você observa uma realização do processo até o período T e deseja prever os valores que serão observados 
em T+1 e T+2. Além da FAC e FACP acima, você dispõe das seguintes informações: (i) a média do processo 
é 10; (ii) o valor de Y em T é 12; (iii) as inovações ut têm distribuição N(0,1). 
(a) Calcule as previsões para T+1 e T+2. 
(b) Calcule a variância do erro de previsão para as previsões acima. 
(c) O intervalo de confiança para suas previsões é maior em T+1 ou T+2? Comente. 
(d) Qual é o valor previsto para T+100? 
 
 
12. Você deseja prever a taxa de inflação a partir de um modelo ARIMA. A FAC e FACP amostrais da taxa 
de inflação mensal encontram-se retratadas abaixo: 
 
 
 
 
 
(a) Com base nos gráficos acima, que tipo de modelo ARIMA parece constituir uma boa aproximação 
para a série em questão? 
 
(b) Quais informações adicionais você gostaria de obter a fim de certificar-se de que o modelo escolhido 
no item anterior é realmente adequado? 
 
(c) Supondo que você disponha de informações até maio de 2009, explique como você obteria previsões 
para junho e julho de 2009, e para junho de 2012. 
 
(d) Um colega sugere estimar um modelo para a inflação em função da taxa de câmbio e da taxa de 
juros, pois acredita que tais variáveis possam aumentar a capacidade preditiva do modelo, 
relativamente a um modelo univariado da classe ARIMA. Como você compararia as previsões dos 
dois modelos, a fim de escolher aquele com melhor capacidade preditiva? 
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13. Considere o seguinte modelo macroeconômico: 
pipiλpi tEttt uy ++= (1) 
y
t
E
ttt uiy +−= − )( 1 piγ (2) 
1−= t
E
t pipi (3) 
)( pipiρ −+= tt ii (4) 
onde: 
0 ,01 ,10
0 média com i.i.d. choques"" ,
)(constante inflação de meta 
)(constante "equilíbrio de" nominal juros de taxa
 tperíodo no nominal juros de taxa
1)-(tanterior período o até informação em base com t,em inflação da aexpectativ 
 tperíodo no produto do hiato 
 tperíodo no inflação 
≥<<−<<
=
=
=
=
=
=
=
ργλ
pi
pi
pi
pi y
tt
t
E
t
t
t
uu
i
i
y
 
 
A equação (1) é uma “curva de Phillips” que relaciona a inflação corrente ao hiato do produto e à expectativa 
passada da inflação, além de um “choque de oferta”. A equação (2) é uma relação do tipo IS, na qual o hiato 
do produto depende da taxa de juros real no período anterior e de um “choque de demanda”. A equação (3) é 
a regra de formação de expectativas, segundo a qual a inflação esperada para o período t é simplesmente a 
inflação observada no período t-1. Finalmente, a equação (4) é a regra de política monetária do Banco 
Central, que determina a taxa de juros nominal em função do desvio entre a inflação corrente e a meta de 
inflação. 
 
(a) Mostre que a trajetória da inflação pode ser descrita por um processo ARMA(p,q). Você deve definir 
adequadamente o erro do modelo ARMA e especificar a relação entre os coeficientes desse modelo e 
os parâmetros do modelo estrutural acima. 
 
(b) Considere três possíveis valores para o coeficiente ρ na regra de política monetária do Banco 
Central: 0, 1 e 2. Em cada caso, digase a inflação segue um processo estacionário ou não-
estacionário (de segunda ordem), justificando sua resposta adequadamente. O que você pode inferir, 
a partir desses resultados, acerca da condução adequada da política monetária nessa economia? 
 
 
14. Considere os seguintes processos estocásticos: 
),0(~ e ),0(~ 
0, 0, , 10 onde (II)
 (I)
22
1
1
x
x
ty
y
t
xy
x
ttxt
y
ttyt
NuNu
uXX
uYY
σσ
µµφφµ
µ
≥≥<<++=
++=
−
−
 
 
(a) Por que se diz que o processo Y é um “processo com raiz unitária”? 
(b) Mostre de que forma os valores de Xt e Yt dependem de todos os respectivos choques aleatórios 
(u´s) ocorridos no passado. 
(c) O que os resultados do item (b) implicam em termos da persistência ou transitoriedade dos 
efeitos dos choques que afetam Y e X? E em termos das médias e das variâncias de Y e X? 
(d) Na sua opinião, qual desses processos representaria uma melhor aproximação para o 
comportamento do PIB do país? E para o comportamento da taxa de juros real? Em cada caso, 
seria mais razoável considerar 0=µ ou 0>µ ? 
 
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15. Um economista analisa uma série temporal macroeconômica com freqüência mensal, abrangendo o 
período de janeiro de 1970 a dezembro de 2004. Abaixo, o gráfico do logaritmo da série e uma tabela 
com suas FAC e FACP: 
 
 
2.2
2.4
2.6
2.8
3.0
3.2
3.4
30 40 50 60 70 80 90 00
 
Defasagem FAC FACP 
1 0.997 0.997 
2 0.994 -0.129 
3 0.990 -0.070 
4 0.986 -0.016 
5 0.981 0.017 
6 0.977 0.011 
7 0.973 -0.015 
8 0.969 0.007 
9 0.965 -0.023 
10 0.961 -0.021 
 
 
 
a) Que propriedade importante o processo gerador dessa série parece não possuir, e qual a sua relevância 
para a estimação de um modelo da classe ARMA? Justifique sua resposta através do gráfico da série e da 
tabela que o acompanha. 
 
O economista calculou a primeira diferença da série mostrada no item anterior e, para essa série de 
diferenças, obteve as seguintes FAC e FACP: 
 
Defasagem FAC FACP 
1 0.480 0.480 
2 0.209 -0.028 
3 0.077 -0.017 
4 -0.008 -0.044 
5 -0.032 -0.008 
6 -0.039 -0.015 
7 -0.042 -0.018 
8 -0.002 0.036 
9 0.000 -0.013 
10 0.013 0.016 
 
b) Lembrando que a distribuição assintótica das autocorrelações amostrais (FAC e FACP) pode ser 
aproximada por uma distribuição normal com variância 1/T, onde T é o número de observações 
amostrais, calcule o intervalo de confiança de 95% para a FAC e FACP. Até que defasagem a 
FAC é estatisticamente significativa? E a FACP? 
 
c) Com base nos itens anteriores, sugira um modelo ARIMA(p,d,q) para a série macroeconômica original, 
especificando os valores dos hiperparâmetros e, se possível, fornecendo uma estimativa do(s) 
parâmetro(s) da equação. 
 
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16. Suponha que o PIB brasileiro trimestral (com ajuste sazonal) seja representado pelo seguinte 
processo estocástico: 
)()( I
t
P
tt yyy += , (Equação 1) 
onde Pty é o componente permanente (tendência) ou “PIB potencial” e Ity é o componente irregular 
out “hiato do produto”. Suponha ainda que: 
,
,
11
)(
22
)(
110
)(
)(
tt
I
t
I
t
I
t
P
t
yyy
btay
ηηθφφφ +−++=
+=
−−−
 (Equação 2) 
onde a, b, φ0, φ1, φ2 e θ1 são parâmetros desconhecidos, ut e tη são dois ruídos-branco com média 
nula e variâncias 2uσ e 
2
ησ , respectivamente e ( ) τητ ,,0E tut ∀= . Suponha ainda que θ1 tenha 
exatamente o mesmo valor do inverso de uma das raízes do polinômio auto-regressivo Φ(L) = (1 - 
φ1L - φ2L2). Somente a série yt é observada. Você é um economista recém contratado do Banco 
Central e a sua primeira tarefa é modelar o PIB trimestral do Brasil. Suponha que você tenha uma 
amostra de 40 observações. 
 
(a) (0,5 ponto) Explique como você obteria uma estimativa do PIB potencial e do hiato do 
produto. 
 
Um estagiário seu estimou o PIB potencial e encontrou as seguintes FAC e FACP para o hiato: 
FAC 
 
FACP 
 
 
 
(b) (0,5 ponto) A FAC e a FACP estimadas pelo estagiário estão de acordo com o esperado? 
Justifique cuidadosamente. 
(c) (0,75 ponto) A partir do resultado do item (c) o seu estagiário resolveu estimar o seguinte 
modelo MA(1) para o hiato e obteve os resultados abaixo: 
 
Modelo Estimado 
 
 
Variável Coeficiente 
Erro 
padrão 
Estatística 
t p-valor 
 
 Constante 2.598385 0.140002 18.55959 0.0000 
MA(1) 0.667790 0.124203 5.376606 0.0000 
 
 R2 0.450413 
R2 ajustado 0.435950 
 
 
 
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A FAC, FACP e a estatística Q de Ljung-Box para várias defasagens dos resíduos estão 
apresentadas a seguir. 
 
FAC 
 
Estatística Q de Ljung-Box 
 
 
 
 
 
 Defasagem Q-
Stat P-valor 
 
 1 3,7683 
2 17,172 0.000 
3 20,661 0.000 
4 24,881 0.000 
5 29,067 0.000 
6 31,517 0.000 
7 32,498 0.000 
8 32,570 0.000 
9 32,572 0.000 
10 33,063 0.000 
FACP 
 
Interpretando todas as estatísticas fornecidas, você acredita que o modelo estimado pelo 
estagiário está adequado aos dados? Justifique cuidadosamente. 
 
 
17. A figura abaixo apresenta a evolução mensal do número de cheques sem fundo para cada 1.000 
compensados no Brasil, entre 1995 e 2005. 
0
4
8
12
16
20
24
95 96 97 98 99 00 01 02 03 04 05
CSF
 
Nas aulas e listas, discutimos as características de vários processos estocásticos. Escreva as equações de dois 
processos estocásticos que, na sua opinião, poderiam gerar séries temporais semelhantes à série de cheques 
sem fundo acima – e, portanto, ser utilizados como aproximações do “verdadeiro” processo gerador da série 
de interesse. Apresente todos os detalhes possíveis, explicitando possíveis valores (ou intervalos de valores) 
para os coeficientes dos processos estocásticos selecionados. Justifique adequadamente a opção por esses 
processos vis-à-vis processos alternativos, bem como a escolha dos valores atribuídos aos coeficientes de 
cada processo. 
 
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18. Nos últimos anos, economistas de vários países latino-americanos têm manifestado preocupação com 
uma possível “sobrevalorização” de suas respectivas moedas – isto é, de uma situação caracterizada 
por um valor da moeda nacional, em relação às moedas estrangeiras, acima do que os “fundamentos 
econômicos” justificariam. A fim de verificar a ocorrência desse fenômeno para El Salvador, um 
economista decide decompor o logaritmo da taxa de câmbio efetiva real (LTCER) do país em um 
componente “permanente”, associado à tendência de longo prazo da variável – e, portanto, aos 
“fundamentos econômicos” – e um componente “transitório”, ou “cíclico”. Ele decide usar dois 
métodos para calcular o componente “tendencial” de LTCER: (i) regressão em uma tendência linear; 
(ii) filtro Hodrick-Prescott. 
 
(a) Independentemente das características específicas da série temporal sob análise, você diria que, para esse 
tipo de aplicação, um dos métodos parece mais apropriado do que o outro? Justifique. 
 
A figura abaixo mostra o gráfico da série LTCER e de seu componente “tendencial” estimado pela regressão 
na tendência linear. Note que aumentos de LTCER equivalem a desvalorizações da moeda nacional, de modo 
que, de acordo com o resultado obtido, em 2005 a moeda de El Salvador estava, na verdade, fortemente 
subvalorizada (pois a taxa de câmbio efetiva real se encontrava acima de seu valor tendencial), ao contrário 
da expectativa inicial que motivou a análise. 
4.4
4.6
4.8
5.0
5.2
5.4
5.6
1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005
LTCER
COMPONENTE TENDENCIAL (REGRESSÃO EM t)
 
 
(b) Ao usar o filtro HP (com o parâmetro λ “padrão” sugerido por Hodrick e Prescott) para estimar o 
componente tendencial de LTCER, o economista também encontra umasituação de subvalorização. 
Entretanto, o grau de subvalorização (isto é, a magnitude do desvio entre LTCER e seu componente 
tendencial) é diferente. Esboce no gráfico, à mão, uma possível estimativa do componente tendencial obtido 
pelo filtro HP. Você acredita que, de acordo com essa estimativa, o grau de subvalorização deve ser maior ou 
menor do que no caso anterior? 
 
(c) Se o economista usasse, no cálculo do filtro HP, um valor mais baixo para o parâmetro λ, você acredita 
que o grau de subvalorização encontrado seria maior ou menor do que nos casos anteriores? 
 
 
19. Como você dessazonalizaria a série de produção física industrial mensal? Explique 
detalhadamente. 
Disponibilizado por Otávio Merçon e todos os colaboradores do Blog Economia a PUC-Rio