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Sistemas de Controle 2010-1
Prof. Dr. Marcos Antônio de Sousa
Entrada
Sinal 
atuante
Função de
Transferência
do canal direto
Função de
Transferência
da retroação
Saída
- O lugar das raízes, uma apresentação gráfica dos pólos a malha fechada em 
função da variação de um parâmetro de sistema, é um poderoso método de 
análise e projeto visando à estabilidade e à resposta transistória.
- Embora o lugar das raízes possa ser usado para resolver sistemas de 1a e 2a 
Ordem, sua força real reside na capacidade de fornecer soluções para sistemas de 
ordem maior que dois.
- Os zeros de T(s) consistem no zeros de G(s) e nos pólos de H(s). 
- Os pólos de T(s) não são conhecidos imediatamente e, de fato, podem mudar 
com o valor de K.
Lugar das Raizes (Capítulo 8, NISE)
( ) ( )( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )sNsKNsDsD
sDsKN
sD
sN
sD
sNK
sD
sNK
sT
sD
sNsH
sD
sNsG
HGHG
HG
H
H
G
G
G
G
H
H
G
G
+
=
+
=
==
1
;
Figura 01
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Entrada
Sinal 
atuante
Função de
Transferência
do canal direto
Função de
Transferência
da retroação
Saída
- Exemplo: Calcule os pólos e zeros para a FTMF, quando G(s) e H(s) são dadas 
por:
Os Zeros valem: -1 e -4
Os pólos serão dados pelas raízes do polinômio abaixo que
dependem de K.
Lugar das Raizes 
( ) ( )( ) ( )
( )
( )4
3;
2
1
+
+
=
+
+
=
s
ssH
ss
ssG
( ) ( ) KsKsKs 386 23 +++++
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Representação Vetorial de Números Complexos:
Lugar das Raizes
Plano s
Plano s
Plano s
Plano s
- Qualquer número complexo, 
descrito em coordenadas 
cartesianas pode ser representado 
graficamente por um vetor;
- O número complexo pode 
também ser descrito em forma 
polar com magnitude M e ângulo θ, 
como M∠θ;
Εxemplo:
a) s = σ + jω;
b) (s + a);
c) representação alternativa de
(s + a);
d) (s + 7)|s→5 + j2
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 Representação Vetorial de Números Complexos → Função Complexa F(s)
Lugar das Raizes
- Cada fator do numerador e cada fator do denominador é um número complexo que pode 
ser representado por um vetor;
- A função define a aritmética complexa a ser executada para calcular F(s) em qualquer 
ponto s;
- Como F(s) é um número complexo ele pode ser representado através da forma polar ou 
seja, por um MÓDULO e uma FASE :
( )
( )
( ) adordenodocomplexosfatoresdosproduto
numeradordocomplexosfatoresdosproduto
ps
zs
sF n
j
j
m
i
i
min
1
1
=
+
+
=
∏
∏
=
=
θM
( )
( )
=
−=
+
+
==
∑ ∑
∏
∏
∏
∏
=
=
θ
θ pólosdosangulozerosdosangulos
ps
zs
pólosaosentescorrespondvetoresdosocompriment
zerosaosentescorrespondvetoresdosocompriment
M n
j
i
m
i
i
1
1
∑
=
m
i 1
( )izs + - ∑
=
n
j 1
( )jps +
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 Representação Vetorial de Números Complexos → Função Complexa F(s) 
 --- Exemplo:
Lugar das Raizes
( ) ( ) 432
1
jsss
ssF
+−=
+
+
=
06,116201 ==⇒− faseemóduloemzero
09,1265 ==⇒ faseemódulozeroempólo
00,104172 ==⇒− faseemóduloempólo
03,114;217,0 −== FaseMódulo
Plano s
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Definindo o Lugar das Raízes – Exemplo:
Lugar das Raizes
a) Sistema que rastreia automaticamente objetos; 
b) Diagrama de blocos;
c) Função de transferência a malha fechada
- Uma diferença entre as saídas dos dois sensores 
que recebem energia do transmissor faz com que o 
sistema gire a câmara para eliminar a diferença e 
seguir a fonte de energia;
- A técnica do lugar das raízes pode ser usada para 
analisar e projetar o efeito do ganho de malha 
sobre a resposta transitória e sobre a estabilidade 
do sistema.
- Observar que os pólos a malha fechada do 
sistema mudam de localização á medida que o 
ganho, K, é modificado.
Cortesia de ParkerVision.
Posição
do objeto Sensores Amplificador
Motor e
câmara
Posição
da câmara
ondeonde
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 Definindo o Lugar das Raízes – Exemplo:
Lugar das Raizes
Localização dos pólos como função 
do ganho K do sistema mostrado anteriormente
Kss ++ 102
Pólo 1 Pólo 2
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Plano s
Plano s
 Definindo o Lugar das Raízes – Exemplo:
Lugar das Raizes
Kss ++ 102
a. Diagrama de pólos com base na 
tabela anterior;
b. Lugar das raízes
- O lugar das raízes mostra a mudança na resposta transitória 
resultante da variação de K;
- Para K < 25, os pólos são reais e distintos → Sistema 
superamortecido;
- Para K = 25, os pólos são reais e iguais → Criticamente 
amortecido;
- Para K > 25, o Sistema é subamortecido.
Sistema Subamortecido:
- Independente de K, as partes reais dos pólos complexos são 
sempre as mesmas. Uma vez que o Tempo de assentamento é 
inversamente proporcional à parte real → tempo de 
assentamento permanece o mesmo.
- Com o aumeto de K, a relação de amortecimento diminui e a 
ultrapassagem percentual aumenta. 
- A frequência de oscilação, que é igual à parte imaginária, 
também aumenta.
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Construção do Lugar das Raízes (RL)
• A função de transferência FT(s) do sistema da Figura 01 é dada por
 , desta forma é a equação 
 característica do sistema e suas raízes são os pólos do sistema em 
 malha fechada (MF)
 • A equação característica resultará em 
 • Condição para o módulo • Condição para fase
• A construção do LR completo está baseada no conhecimento dos 
 pólos do ganho de Malha Aberta (MA), ou seja, no conhecimento 
 de G(s)H(s).
Exemplo: observar o pólo em -9,47 para k=5 na tabela anterior, onde:
KG(s)H(s) = K / s(s+10)
(Observar outros pólos...)
)()(1
)()(
sHskG
skGsFT
+
= 0)()(1 =+ sHskG
k
sHsG 1)()( −=
k
sHsG 1)()( = 0/180).12()()( ≥+=∠ kpisHsG o p/ i ≥ 0
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Construção do Lugar das Raízes
• Outro exemplo: Verifique se os pontos “s” abaixo são pólos do sistema 
de malha fechada indicado.
Plano s
2
2232 jsejs ±−=+−=
a) Sistema de Exemplo;
b) diagrama de pólos e zeros de G(s)
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Construção do Lugar das Raízes
• Outro exemplo: Verifique se os pontos “s” abaixo são pólos do sistema 
de malha fechada
Plano s
o
o
o
o
43,108
90
57,71
31,56
4
3
2
1
=
=
=
=
θ
θ
θ
θ
o55,704321 −=−−+ θθθθ
NÃO PERTENCE AO LUGAR DAS RAÍZES
2
2232 jsejs ±−=+−=
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Construção do Lugar das Raízes
• Outro exemplo: Verifique se os pontos “s” abaixo são pólos do sistema 
de malha fechada
o
o
o
o
736,144
90
264,35
471,19
4
3
2
=
=
=
=
θ
θ
θ
θ
o00,1804321 −=−−+ θθθθ
33,0;22,1;
2
2;22,1;12,2
21
43
4321 ====== LL
LLKLLLL
PERTENCE AO LUGAR DAS RAÍZES
2
2j
Plano s2
22 js ±−=
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Regras para o Esboço do Lugar das Raízes
 R1 – Número de Ramos
O número de ramos do lugar das raízes é igual ao número de pólos do sistema;
 R2 – Simetria
 O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real;
 R3 – Segmentos sobre o Eixo Real
 O eixo real que está a esquerda de um número ímpar de pólos e/ou zeros finitos de 
malha aberta faz parte do lugar das raízes;
Exemplo:
( ) ( ) ( )( ) ( )21
43
++
++
=
ss
ssKsF
Plano s
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Plano s
Regras para o Esboço do Lugar das Raízes
 R4 – Pontos de Entrada e de Saída
O lugar das raízes se inicia nos pólos finitos e infinitos de G(s)H(s) (FTMA) e 
termina nos zeros finitos e infinitos de G(s)H(s).
( ) ( ) ( )( ) ( )21
43
++
++
=
ss
ssKsF
Plano s
- Os pólos saem de -1 e -2 e se movem ao 
longo do techo do eixo real entre os dois pólos;
- Eles se encontram em algum lugar entre os 
dois pólos e saem para o plano complexo,movendo-se como conjugados complexos;
- Os pólos retornam ao eixo real em algum lugar 
entre os zeros em -3 e -4, onde o percurso 
completa à medida que se afastam um do outro 
e terminam respectivamente nos dois zeros do 
sistema a malha aberta em -3 e -4.
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Regras para o Esboço do Lugar das Raízes
 R5 – Comportamento no Infinito
Os ramos do lugar das raízes que vão para infinito tendem a retas assintóticas. 
Além disso, a equação das assíntotas é dada pelo ponto de intersecção sobre o eixo 
real, σ
a
 , e o ângulo, θ
a
 , conforme equações: 
( ) ( )
( ) ,.....2,1,0
..
12
..
±±=
−
+
=
−
−
=
∑ ∑
konde
finitoszerosNumfinitospólosNúm
k
finitoszerosNumfinitospólosNúm
finitoszerosfinitospólos
a
a
piθ
σ
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Assíntota
Plano s
Assíntota
Assíntota
Regras para o Esboço do Lugar das Raízes
 Exemplo: Esboce o lugar das raízes para o sistema mostrado abaixo.
- O ponto de intersecção sobre o eixo real é dado 
por:
σ
a
 =[(-1-2-4) -(-3)] / (4-1) = -4/3
- Os ângulos das retas que se cruzam em -4/3, 
são dados por:
θ
a
 = (2k+1)pi / (#pólos finitos - #zeros finitos)
= pi/3 para k=0
= pi para k=1
=5pi/3 para k=2
A figura mostra o lugar das raízes completo bem como as assíntotas
Relembrando as regras...
R1 – Número de ramos = número de pólos = 4;
R2 – O lugar das raízes é simétrico em relação ao eixo real; 
R3 – Os segmentos de eixo real posicionam-se à esquerda de um número ímpar de pólos e/ou zeros;
R4 – O lugar das raízes começa nos pólos a malha aberta e termina nos zeros a malha aberta;
R5 – Neste exemplo, há somente um zero finito a malha aberta e três zeros no infinito → Por conseguinte, 
a Regra R5 diz que os três zeros no infinito estão nas extremidades das assíntotas. 
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