Aula_04__modelos_linear_e_quadratico_ho

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APST 1 – 2012.1 – Prof.: Henrique Hippert 
Bacharelado em Estatística – 2012.1 
Disciplina: Análise e Previsão de Séries Temporais I Professor: Henrique S. Hippert 
 
Aula 4 – Modelos linear e quadrático; previsão por MM e Brown 
 
1. Modelo linear 
 
1.1. Forma do modelo e previsões 
 
tt btaZ ε++= [1] 
btaZE t +=)( 
2)( σ=tZV 
 
kTkT kTbaZ ++ +++= ε)( 
]|[ˆ | TkTTkT ZEZ Z++ = 
)(ˆˆ]|)([)(ˆ | kTbakTbaEkZ TTTkTTkT ++=+++= ++ Zε 
 
Supondo que a origem esteja no instante T (T = 0): 
kbaZ TTTkT ˆˆˆ | +=+ [2] 
 
 
1.2. Estimação dos parâmetros a e b 
 
a) MQO (regressão linear) 
 
b) Método das médias móveis duplas 
 
Se queremos usar médias móveis, precisaremos de uma segunda equação 
relacionando os parâmetros a e b com os valores da série Zt (são necessárias duas 
equações para estimar dois parâmetros). Podemos obtê-la criando o conceito de 
“média móvel dupla”: 
n
MMMM nTTTT 11
]2[ ... +−− +++
= [3] 
 
Mostra-se que (supondo-se, para simplificar, que o instante T seja a origem, i.e., T=0): 
bnaME T 2
1)( −−= [4] 
bnaME T )1()( ]2[ −−= [5] 
 
Donde, resolvendo para b, 
bnaME T 2
1)( −−= 
bnaME T )1()( ]2[ −+−=− 
 ------------------------------------ 



 −
−−=−
2
1)1()()( ]2[ nnbMEME TT 
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


 −
=−
2
1)()( ]2[ nbMEME TT → [ ])()(1
2 ]2[
TT MEME
n
b −
−
= 
 
Similarmente, inserindo b em [5]: 
[ ])()(
1
2)1()( ]2[]2[ TTT MEME
n
naME −





−
−−= 
[ ])()(2)( ]2[]2[ TTT MEMEaME −−= 
)(2)(2)( ]2[]2[ TTT MEMEMEa +−=+− 
)()(2)(2 ]2[]2[ TTT MEMEMEa −+−=− 
)()(2 ]2[TT MEMEa −= 
 
Obtemos então expressões dos parâmetros a e b em função dos valores esperados das 
médias móveis: 
)()(2 ]2[TT MEMEa −= 
)()(
1
2 ]2[
TT MEME
n
b −
−
= 
 
Estimando os valores esperados pelos valores observados das médias móveis: (5.2.15) 
]2[2ˆ TTT MMa −≈ [6] 
[ ]]2[
1
2
ˆ
TTT MM
n
b −
−
≈ [7] 
 
c) Método de amortecimento exponencial de Brown (1 parâmetro) (5.2.16) 
 
Equações: 
Baseia-se também em médias móveis simples e duplas, mas agora calculadas 
recursivamente pelas expressões: 
1)1( −−+= TTT MZM αα 
]2[
1
]2[ )1(
−
−+= TTT MMM αα 
 
estas médias são depois inseridas nas mesmas equações [6] e [7], para estimação de 
a e b. 
 
Valor da constante de amortecimento α 
 
A experiência sugere que os valores ótimos estão entre 0.1 e 0.2. O melhor é 
experimentar com diversos valores neste intervalo. 
 
Valores iniciais para as médias: 
 
Em qualquer método recursivo, precisamos de valores iniciais para começar a 
processo; no caso, precisamos de valores iniciais para TM e ]2[TM . Se a série é longa, 
podemos dividi-la em duas partes, e usar a primeira parte para encontrar estes valores 
iniciais (há vários métodos para isto). A maneira mais simples, contudo, é fazer 
simplesmente: 
1
]2[
11 ZMM == 
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2. Modelo quadrático 
 
 
2.1. Forma do modelo e previsões 
 
tt ctbtaZ ε+++=
2
 
2)( ctbtaZE t ++= 
2)( σ=tZV 
)|(ˆ | TkTTkT ZEZ Z++ = 
22
| )(ˆ)(ˆˆ)|)()((ˆ kTckTbakTckTbaEZ TTTTkTTkT ++++=+++++= ++ Zε 
 
Supondo que T seja a origem, 
22
| ˆˆˆ)|(ˆ kckbackbkaEZ TTTTkTkT ++=+++=+ Zε [8] 
 
 
2.2. Estimadores dos parâmetros a, b e c : 
 
1) MQO 
 
2) Método das médias móveis triplas 
 
São usadas agora três médias móveis, para obtermos 3 equações, necessárias para 
estimar os 3 parâmetros a, b e c do modelo. Definimos a média tripla como uma 
média das médias duplas: 
N
MMM
M NTT TT
]2[]2[
1
]2[
]3[ 1... +−+++
=
−
 
Adotando procedimentos análogos aos usados para o modelo linear, obteremos: 
),,[ˆ ]3[]2[1 TTTT MMMfa = 
),,[ˆ ]3[]2[2 TTTT MMMfb = 
),,[ˆ ]3[]2[3 TTTT MMMfc = 
 
Este método contudo não são muito usados na prática, porque o método de 
amortecimento exponencial tem em geral um desempenho superior. 
 
 
3) Método de amortecimento exponencial (Brown triplo, 1 parâmetro) 
 
Equações 
 
As três médias (simples, dupla e tripla) são calculadas recursivamente por meio das 
equações: 
1)1( −−+= TTT MZM αα 
]2[
1
]2[ )1(
−
−+= TTT MMM αα 
]3[
1
]2[]3[ )1(
−
−+= TT MMM T αα 
 
APST 1 – 2012.1 – Prof.: Henrique Hippert 
]3[]2[33ˆ TTTT MMMa +−= 
( )]3[]2[2 2
1
ˆ TTTT MMMc +−





−
=
α
α
 
[ ]]3[]2[2 )34()45(2)56()1(2ˆ TTTT MMMb αααα
α
−+−−−
−
= 
 
 
Inicialização 
 
A maneira mais simples de inicializar é aproximar os valores iniciais por: 
1
]3[
1
]2[
11 ZMMM === 
 
Contudo, várias outras sugestões são apresentadas na literatura. Por exemplo, fazendo 
diretamente estimativas preliminares, simplificadas, das constantes. Por exemplo: 
11 Za = 
3
)()()( 342312
1
ZZZZZZb −+−+−= 
2
13
1
ZZ
c
−
= 
 
De qualquer modo, se a série for razoavelmente longa, a escolha destes valores iniciais 
não deverá ter muita importância no resultado das previsões.