Aula_07__series_sazonais_cont_ho_b

Prévia do material em texto

APST 1 – 2012.1 – Prof.: Henrique Hippert 
Bacharelado em Estatística – 2012.1 
Disciplina: Análise e Previsão de Séries Temporais I 
Professor: Henrique S. Hippert 
 
Aula 7 – Modelos Holt Winters : Inicialização 
 
 
Modelo linear multiplicativo (Método de Holt-Winters) 
 
a) Modelo 
 t
tm
ttZ ερµ += )( 
 onde tt δµµ += 0 
 
 
b) Previsão (supondo T=0) 
)(
| ˆ)ˆˆ(ˆ kTmTTTTkT kZ ++ += ρδµ 
 
c) Processo de atualização 
 
No instante t=T-1, temos as estimativas: 
1ˆ −Tµ 
1
ˆ
−Tδ 
)(
1ˆ
Tm
T −ρ 
 
Com base nelas, fazemos as previsões para os parâmetros no instante seguinte, t=T: 
111| ˆˆˆ −−− += TTTT δµµ 
11| ˆˆ −− = TTT δδ 
)(
1
)(
1| ˆˆ
Tm
T
Tm
TT −− = ρρ 
 
Depois de observado o valor ZT, obtemos novas estimativas dos parâmetros, com base 
neste valor observado e nas estimativas dos outros parâmetros: 
)(
1
|
ˆ
ˆ
Tm
T
T
TT
Z
−
=
ρ
µ 
1| ˆˆˆ −−= TTTT µµδ 
T
TTm
TT
Z
µ
ρ
ˆ
ˆ
)(
| = 
 
Por fim, as duas estimativas de cada parâmetros são combinadas, por meio de uma média: 
1|| ˆ)1(ˆˆ −−+= TTTTT µαµαµ → )ˆˆ)(1(
ˆ
ˆ 11)(
1
−−
−
+−+





= TTTm
T
T
T
Z δµα
ρ
αµ 
1|| ˆ)1(ˆˆ −−+= TTTTT δβδβδ → 11 ˆ)1()ˆˆ(ˆ −− −+−= TTTT δβµµβδ 
)(
1|
)(
|
)(
ˆ)1(ˆˆ TmTTTmTTTmT −−+= ργργρ → )(1)( ˆ)1(
ˆ
ˆ
Tm
T
T
TTm
T
Z
−
−+





= ργ
µ
γρ 
APST 1 – 2012.1 – Prof.: Henrique Hippert 
d) Normalização 
 
Os fatores devem ser normalizados a cada instante, de forma que: 
S
S
i
im
T =∑
=1
)(ρˆ 
 
onde S é o período sazonal. Isto é feito da seguinte forma: 
∑
=
×= S
i
im
T
jm
T
jm
T
S
1
*)(
*)()(
ˆ
ˆˆ
ρ
ρρ para j=1,2,...,S 
 onde *)(ˆ jmTρ indica os fatores sazonais antes da normalização. 
 
 
 
e) Inicialização 
 
1) Tendência inicial (δ0) 
 
- Método 1 (sugerido por Makridakis, Barros, etc.) 



 −
++
−
+
−
=
+++
S
ZZ
S
ZZ
S
ZZ
S
sssss )(
...
)()(1
ˆ 2211
0δ 
 
- Método 2 (sugerido por Winters, in Souza) 
Usamos os J primeiros anos de dados, e calculamos as médias anuais jZ , j=1,...,J. A 
estimativa da tendência inicial é dada por: 
SJ
ZZ J
)1(
ˆ 1
0
−
−
=δ 
 
Fazendo J=2, obtemos um valor equivalente ao método de Makridakis mostrado 
acima: 
S
ZZ 12
0
ˆ
−
=δ 
 
 
2) Nível inicial (µ0) 
 
a) Método 1 (sugerido por Makridakis, Barros, etc.) 
)...(1ˆ 10 sZZS ++=µ 
 
b) Método 2 (sugerido por Winters, in Souza) 
010
ˆ
2
)1(
ˆ δµ +−= SZ 
 
no caso de sazonalidade anual, 
010
ˆ
2
)112(
ˆ δµ +−= Z 
APST 1 – 2012.1 – Prof.: Henrique Hippert 
 
3) Fatores sazonais iniciais (ρ0) 
 
a) Método 1 (Makridakis, Barros): 
1
)(
0ˆ Z
Z ttm
=ρ onde t = 1, 2, ..., S 
 
b) Método 2 (Winters, in Souza) 
Usamos os J primeiros anos de dados, e calculamos as médias anuais jZ , j=1,...,J. A 
estimativa inicial dos valores sazonais será dada por: 
0
)(
0
ˆ
2
1
ˆ
δ
ρ






−
+
−
=
m
SZ
Z
j
ttm
 
A média jZ deverá ser média do ano em que se encontra o instante t. 
 
 
 
 
Referências: 
 
Makridakris, SG; Wheelwright, SC; Hyndman, RJ. Forecasting - Methods and Applications. 
3 ed. John Wiley & Sons, 1998. 
Souza, Reinaldo C. Métodos automáticos de amortecimento exponencial para previsão de 
séries temporais. Monografia GSM-10/83. PUC-Rio, 1983. 
Barros, Mônica. Processos estocásticos. Disponível online em 
http://www.mbarros.com/sitebuildercontent/sitebuilderfiles/Livro_Processos_Cap_5_parte.pdf