P1 Duílio

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PROF. DUILIO TADEU DA CONCEIÇÃO JR.
PROVA 1 DE CÁLCULO 2
Justifique suas respostas!
1) (3.0 ptos) Calcule a integral imprópria caso seja convergente:
a)
∫
∞
1
1
x
√
x
dx
b)
∫
∞
−∞
x
x2 + 1
dx
c)
∫ 1
−1
1
x3
dx
2) (1.0 pto) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada
pelas curvas x = y2 e x = 2y, ao redor do eixo y.
3) (1.0 pto) Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região limitada
pelas curvas y = 3
√
x e a reta x = 8 ao redor do eixo y.
4) (1.5 pto) Considere a função vetorial f (t) = (t cos(t), tet
2
, t3). Calcule:
a) o limite lim
t→0
f (t).
b) o vetor tangente a curva definida por f quando t = pi.
c) o vetor tangente a curva definida por f quando t = 0.
d) a segunda derivada de f .
5) (2.0 ptos) Considere a quádrica de equação
x2 − y2 + z2 = 1.
a) Determine e esboce a interseção com os planos x = 0, y = 0 e z = 0.
b) Determine qual a quádrica e faça um esboço da mesma.
6) (1.5 pto) Seja f (x, y) = x2 + y2 uma função de 2 variáveis. Determine e
esboce as curvas de nível 0, 1 e 4. Existe a curva de nível −1 ? Explique.
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