Aula_08__Decomposicao_classica_ho

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APST 1 – 2012.1 – Prof.: Henrique Hippert 
 
Bacharelado em Estatística – 2012.1 
Disciplina: Análise e Previsão de Séries Temporais I 
Professor: Henrique S. Hippert 
 
Aula 09 - Métodos de Decomposição Clássica 
 
 
1. Introdução 
 
Os métodos de decomposição pretendem decompor uma série dada em seus 
componentes básicos, na forma: 
 
série = padrão + erro aleatório 
 
O “padrão”, por sua vez, pode ser decomposto em tendência/ciclo (trend/cycle - Tt) e 
sazonalidade (seasonality - St). O termos restante é o erro aleatório (Et). Há portanto três 
componentes, que podem estar relacionados entre si por meio de um modelo aditivo: 
tttt ESTZ ++= 
 
ou por um modelo multiplicativo: 
tttt ESTZ ××= 
 
Os métodos “clássicos” para fazer a decomposição são baseados em médias móveis ou 
em razões. Originaram-se nos anos 1920, e ainda são muito usados. Em anos mais recentes, 
com a divulgação dos computadores, métodos mais complexos têm sido criados; contudo, na 
base da maioria deles ainda está a decomposição clássica. 
 
 
2. Decomposição seguindo modelo aditivo 
 
2.1. Médias móveis 
 
- Média móvel de ordem k: (moving average) 
∑
−=
+=
m
mj
jtt Zk
T 1
 
 
Exemplo: média móvel de ordem 3: 
)(
3
1
11 +− ++= tttt ZZZT 
 
- Médias móveis centradas - ordem k = 2m 






+= ∑∑
+−=
+
−
−=
+
m
mj
jt
m
mj
jtt Zk
Z
k
T
1
1 11
2
1
 
 
Exemplo: média centrada de ordem 4 (2x4 MA) 





 +++
+
+++
=
442
1 54324321
3
ZZZZZZZZT 
 
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2.2. Decomposição usando médias móveis 
 
O processo clássico de decomposição consiste de retirar primeiro a tendência/ciclo, 
usando amortecimento por médias móveis; a seguir, a sazonalidade, novamente por meio de 
médias; por fim, o que sobra é o erro aleatório. Mais especificamente, para dados mensais, de 
período anual, o procedimento é: 
(i) amortecer a série usando uma média móvel dupla 2x12 MA. A série amortecida será 
uma estimativa da tendência/ciclo. 
(ii) calcular a série detrended (sem tendência) tZ ' , subtraindo da série original a 
tendência/ciclo estimada em (i): 
ttttt ESTZZ +=−=' 
 
A série remanescente será portanto constituída da componentes sazonal e do erro. 
(iii) estimar o componente sazonal, constituído de uma sequência de 12 índices sazonais 
(um para cada mês). 
- Para estimar estes índices, o procedimento mais simples é o de tomar a 
média dos valores detrended para cada mês: o índice sazonal do mês de 
janeiro, por exemplo, será calculado pela média das observações detrended 
feitas nos meses de janeiro; o índice de fevereiro, pela média das 
observações detrended feitas nos meses de fevereiro, e assim por diante. 
(iv) estimar o componente aleatório, subtraindo da série detrended o componente sazonal 
estimado em (iii). 
 
 
 
Fig. 1 - Decomposition plot para uma série de cargas 
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Estes passos podem ser ilustrados graficamente por um gráfico de decomposição 
(decomposition plot, Figura 1), que mostra, em quatro painéis sucessivos, a série original, e 
seus três componentes: a tendência/ciclo, o componente sazonal e o erro aleatório. 
 
 
3. Decomposição seguindo modelo multiplicativo 
 
Esta forma de decomposição é similar à anterior, mas os componentes são removidos 
da série original por meio de divisões, ao invés de subtrações. O modelo multiplicativo é mais 
comumente usado quando o componente sazonal não é constante em todos os momento, mas 
aumenta com o crescimento do nível da série. Isto pode ser observado, por exemplo, na série 
da Figura 2, que mostra o número mensal de passageiros (em milhares) em viagens aéreas 
internacionais de 1949 a 1956 (esta série é um exemplo clássico, provavelmente a série mais 
citada na literatura de previsão). 
 
 
Fig. 2 - Série airline: número de passageiros em viagens aéreas internacionais 
 
É em evidente que a variação sazonal aumenta quando o nível aumenta; a decomposição por 
modelo aditivo não seria portanto adequada. Há duas maneiras de decompor esta série. A 
primeira, seria a de tentar transformá-la, de modo a estabilizar a variância; se isto for 
conseguido, o modelo aditivo poderá ser usado. Se calcularmos os logaritmos da série 
original, obtemos a série na Figura 3. 
 
 
Fig. 3 - Logaritmos da série airline 
 
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A variação sazonal parece agora bastante regular, e um modelo aditivo pode ser tentado. 
 A segunda opção, que adotaremos a seguir, é a de fazer a decomposição segundo um 
modelo multiplicativo. O procedimento a ser seguido é : 
(v) amortecer a série usando uma média móvel dupla 2x12MA. A série amortecida é uma 
estimativa da tendência/ciclo. 
(vi) calcular a série detrended pela razão entre a série original a tendência/ciclo estimada 
em (i): 
tt
t
ttt
t
t
t EST
EST
T
ZZ ===' 
 
(vii) estimar o componente sazonal, tomar a média dos valores detrended para cada mês, 
como feito no modelo aditivo. 
(viii) estimar o componente aleatório, dividindo a série original pelo produto da tendência 
pelo componente sazonal estimado em (iii): 
tt
ttt
tt
t
t ST
EST
ST
ZE == 
 
 
4. A dessazonalização de séries 
 
Uma das vantagens do método de decomposição é permitir separar o efeito da 
sazonalidade numa série, do efeito dos outros componentes (tendência/ciclo e erro aleatório). 
A série da qual foi extraído o componente é chamada de série dessazonalizada. É comum que 
dados econômicos sejam publicados de uma forma dessazonalizada, para facilitar 
comparações de período a período. Comparações na série original nem sempre são possíveis. 
Se observamos um aumento na demanda ou nas vendas de novembro para dezembro, por 
exemplo, não podemos concluir daí que a economia sofreu um aquecimento, ou tirar outra 
conclusão do gênero - o aumento pode ter sido apenas efeito da proximidade do fim do ano e 
do Natal. Uma conclusão segura só pode ser tomada se eliminarmos este efeito, isto é, se 
dessazonalizamos a série. 
 
 
5. Problemas dos métodos de decomposição 
 
Do ponto de vista estatístico, o método clássico de decomposição tem vários defeitos 
teóricos; entre eles o fato de que o ruído remanescente depois da extração da tendência e 
sazonalidade é em geral correlatado. Para um estatístico, isto significa que há informação 
contida nos dados, que não foi aproveitada (a idéia de filtrar a série até que o ruído 
remanescente seja descorrelatado está na base dos modelos ARIMA; isto será visto nas aulas 
seguintes). O método, no entanto, continua a ser largamente empregado, em vista de sua 
simplicidade e da facilidade de interpretação de seus resultados.