prova cálculo

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Questão 1: (1,5 pt) O raio de um cone circular reto está aumentando em uma taxa de
4,6 cm/s enquanto sua altura está decrescendo em uma taxa de 6,5 cm/s. Em
qual taxa, aproximadamente, o volume do cone está variando quando o raio é
300 cm e a altura é 350 cm?
(A) V ′ = 4,0× 105 cm3/s
(B) V ′ = 1,6× 106 cm3/s
(C) V ′ = −1,0× 106 cm3/s
(D) V ′ = 1,0× 106 cm3/s
(E) V ′ = −4,0× 106 cm3/s
Questão 2: (1,5 pt) A distribuição superficial de carga de uma placa triangular de vértices
(0 , 2), (2 , 0) e (2 , 2) é dada por:
σ(x, y) = 2xy2
Qual seria a distribuição superficial uniforme de carga equivalente?
(A) σ̄(x, y) =
16
15
C/cm2
(B) σ̄(x, y) =
48
5
C/cm2
(C) σ̄(x, y) =
8
15
C/cm2
(D) σ̄(x, y) =
24
5
C/cm2
(E) σ̄(x, y) =
16
3
C/cm2
Questão 3: (2,0 pt) Um laboratório conduz uma experiência na qual uma determinada
região do espaço está sujeita a um potencial elétrico dado por
V (x, y, z) = 5x2 − 3xy + xyz
A experiência visa estudar o comportamento da variação espacial do potencial
e, para fins de aferição, as unidades são tomadas no sistema CGS onde as
dimensões são medidas em centímetros; as massas, em gramas e o tempo em
segundos.
a) (1,0 pt) Determine como o potencial varia no ponto (3 , 4 , 5) na direção do
vetor v = î+ ĵ− k̂.
b) (1,0 pt) Em qual direção e com que taxa o potencial V varia mais rapida-
mente?
Questão 4: (3,0 pt) O dono de uma distribuidora verifica que as lojas dos seus três clientes
mais importantes estão localizadas nos pontos A = (1 , 5), B = (0 , 0) e C = (8 , 0),
em que os valores são dados em quilômetros. Em qual ponto D = (x , y) deve
ser instalado um depósito para que a soma dos quadrados das distâncias do
ponto D aos pontos A, B e C seja mínima?
Questão 5: (2,0 pt) Um semi disco de raio 5 cm ocupa os dois primeiros quadrantes do
plano xy e possui densidade dada por
σ(x, y) = 2y
Determune se é mais difícil uma rotação desse semi disco ao redor do eixo x
ou do eixo y, isto é, calcule Ix e Iy e compare, adequadamente, os resultados.
DESAFIO! (1,5 pt) Mostre que ∫ ∞
−∞
e−ax
2
dx =
√
π
a