AD1_2021-1_Gabarito_Física para Computação

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Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior à Distância 
Curso de Tecnologia em Sistemas de Computação 
Gabarito da 1ª Avaliação à Distância de Física para Computação – 2020.1 
 
 
Questão 1 (1,0 pontos): 
 
Uma velejadora encontra 
ventos que impelem seu 
pequeno barco a vela. Ela 
veleja a 2,50 km de oeste 
para leste, a seguir 4,50km 
para sudeste e depois, a certa 
distância em direção 
desconhecida. No final do 
trajeto ela está a 6,80km 
diretamente a leste de seu 
ponto de partida conforme 
mostra a figura. Determine o módulo e a direção do terceiro deslocamento. 
 
Solução 
Consideremos o este (+x) e o norte (+y) como as coordenadas 
positivas do pequeno barco. 
 
De acordo às informações do enunciado temos: 
A = 2,50km de oeste e 0 graus ao este 
B = 4,50km de sudeste e 45o ao sudeste 
R = 6,80km, 0o ao este 
 
Assim, aplicando soma de vetores podemos determinar os módulos das componentes do vetor 
deslocamento 𝐶: 
𝐶𝑥 = 𝑅𝑥 − 𝐴𝑥 − 𝐵𝑥 = 6,80𝑘𝑚 − (2,50𝑘𝑚) − (4,50𝑘𝑚)(𝑐𝑜𝑠45) = 1,12𝑘𝑚 
𝐶𝑦 = 𝑅𝑦 − 𝐴𝑦 − 𝐵𝑦 = 0𝑘𝑚 − 0𝑘𝑚 − (−4,50𝑘𝑚)(𝑠𝑒𝑛45) = 3,18𝑘𝑚 
Logo, aplicando o teorema de Pitágoras no terceiro trecho calculamos o módulo do vetor 𝐶: 
𝐶 = √(1,12𝑘𝑚)2 + (3,18𝑘𝑚)2 = 3,37𝑘𝑚 
 
Logo, determinamos a direção: 
𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1 [
3,18𝑘𝑚
1,12
] ≅ 70,60 no quadrante nordeste. 
 
A imagem ao lado ilustra o deslocamento da pequena embarcação. 
 
 
 
 
Questão 2 (2,0 pontos): 
 
A imagem acima representa um carro de corrida do Grande Premio na reta final. 
Suponha que a velocidade vx do carro em qualquer instante t seja expressa por: 
𝑣𝑥 = 62𝑚 𝑠⁄ + (
0,53𝑚
𝑠3
) 𝑡2 
a) (1,0 ponto) Qual será a variação da velocidade média do carro no intervalo de tempo 
entre t1=1s e t2=3s? e qual a aceleração média do carro nesse intervalo de tempo? b) (1,0 
ponto) Determine a aceleração instantânea do carro para t1=1s, considerando ∆𝑡 =
0,1𝑠, ∆𝑡 = 0,01𝑠 e ∆𝑡 = 0,001𝑠, analise os resultados obtidos. 
 
Solução 
 
a) Inicialmente achamos a velocidade em cada instante, substituindo cada valor de t na 
expressão fornecida no enunciado. 
 
Para t1=1,0s 
𝑣1𝑥 = 62𝑚 𝑠⁄ + (0,53𝑚 𝑠
3⁄ )(1,0𝑠)2 = 62,53𝑚 𝑠⁄ 
Para 𝑡2 = 3,0𝑠 
𝑣2𝑥 = 62𝑚 𝑠⁄ + (0,53𝑚 𝑠
3⁄ )(3,0𝑠)2 = 66,77𝑚 𝑠⁄ 
 
Logo, determinamos a variação da velocidade ∆𝑣𝑥 que é dada por: 
 
∆𝑣𝑥 = 𝑣2𝑥 − 𝑣1𝑥 = 66,77𝑚 𝑠⁄ − 62,53𝑚 𝑠⁄ = 4,24𝑚 𝑠⁄ 
 
O intervalo de tempo ∆𝑡 = 3.0𝑠 − 1,0𝑠 = 2.0𝑠 
 
A aceleração média durante esse intervalo de tempo ∆𝑡 é: 
 
𝑎𝑚𝑥 =
𝑣2𝑥 − 𝑣1𝑥
𝑡2 − 𝑡1
=
4,24𝑚 𝑠⁄
2,0𝑠
= 2,12𝑚 𝑠2⁄ 
 
Portanto, durante o intervalo de tempo 𝑡1 = 1,0𝑠 a 𝑡2 = 3,0𝑠, a velocidade e a aceleração 
média possuem o mesmo sinal (neste caso, positivo) e o carro acelera. 
 
 b) 
Imaginemos que o ponto P2 da figura acima se aproxima continuamente do ponto P1. Assim, a 
aceleração média pode ser calculada em intervalos de tempo cada vez menores como segue: 
 
- Quando ∆𝑡 = 0,1𝑠 
 Observe que ∆𝑡=t2-t1 ➔ 0,1s = t2-1,0s ➔ t2= 1,1s 
 Determinando a velocidade temos: 
 𝑣2𝑥 = 62𝑚 𝑠⁄ + (0,53𝑚 𝑠
3⁄ )(1,1𝑠)2 = 62,6413𝑚 𝑠⁄ 
 Logo a variação de velocidade será: 
 ∆𝑣𝑥 = 𝑣2𝑥 − 𝑣1𝑥 = 62,6413𝑚 𝑠⁄ − 62,53𝑚 𝑠⁄ = 0,1113𝑚 𝑠⁄ 
Determinando a aceleração média temos: 
 𝑎𝑚𝑥 =
∆𝑣𝑥
∆𝑡
=
0,1113𝑚 𝑠⁄
0,1
= 1,113𝑚 𝑠2⁄ 
 
- Quando ∆𝑡 = 0,01𝑠 
 Observe que ∆𝑡 = t2-t1 ➔ 0,01s = t2-1,0s ➔ t2= 1,01s 
 Determinando a velocidade temos: 
 𝑣2𝑥 = 62𝑚 𝑠⁄ + (0,53𝑚 𝑠
3⁄ )(1,01𝑠)2 = 62,54065𝑚 𝑠⁄ 
 Logo a variação de velocidade será: 
 ∆𝑣𝑥 = 𝑣2𝑥 − 𝑣1𝑥 = 62,54065𝑚 𝑠⁄ − 62,53𝑚 𝑠⁄ = 0,0106𝑚 𝑠⁄ 
 Determinando a aceleração média temos: 
 𝑎𝑚𝑥 =
∆𝑣𝑥
∆𝑡
=
0,0106𝑚 𝑠⁄
0,01
= 1,0653𝑚 𝑠2⁄ 
 
- Quando ∆𝑡 = 0,001𝑠 
Observe que ∆𝑡 = t2-t1 ➔ 0,001s = t2-1,0s ➔ t2= 1,001s 
Determinando a velocidade temos: 
 𝑣2𝑥 = 62𝑚 𝑠⁄ + (0,53𝑚 𝑠
3⁄ )(1,001𝑠)2 = 62,53106𝑚 𝑠⁄ 
 Logo a variação de velocidade será: 
 ∆𝑣𝑥 = 𝑣2𝑥 − 𝑣1𝑥 = 62,53106𝑚 𝑠⁄ − 62,53𝑚 𝑠⁄ = 0,00106𝑚 𝑠⁄ 
 Determinando a aceleração média temos: 
 𝑎𝑚𝑥 =
∆𝑣𝑥
∆𝑡
=
0,00106𝑚 𝑠⁄
0,001
= 1,0605𝑚 𝑠2⁄ 
 
Logo, determinamos a aceleração instantânea, que por definição é a taxa de variação da 
velocidade com relação ao tempo: 
𝑎𝑥 =
𝑑𝑣𝑥
𝑑𝑡
 
Derivando temos: 
𝑎𝑥 =
𝑑
𝑑𝑡
[62𝑚 𝑠⁄ + (0,53𝑚 𝑠3⁄ )𝑡2] 
𝑎𝑥 = (0,53𝑚 𝑠
3⁄ )(2𝑡) = (0,53𝑚 𝑠3⁄ )(2 × 1𝑠) = 1,06𝑚 𝑠2⁄ 
 
Observando os resultados obtidos para a aceleração média e o resultado da aceleração 
instantânea, podemos concluir que a medida em que o ∆𝑡 se torna cada vez menor a 
aceleração média fica semelhante ao valor da aceleração instantânea. Portanto, a aceleração 
instantânea será o limite da aceleração média quando o intervalo de tempo tende a zero. 
 
Questão 3 (2,0 pontos): 
Você teve que realizar uma tarefa durante suas férias, fazendo parte do projeto de um 
pneu a ser utilizado em veículos de passeio. Você testou um novo protótipo de pneu para 
verificar se seu desempenho é o predefinido pelo projeto. Em um teste de dirigibilidade, 
um BMW 530i novo foi capaz de percorrer com velocidade constante uma trajetória 
circular com raio de 45,3m em 13,2s sem derrapar. a) (1,0 ponto) Qual foi sua velocidade 
v e aceleração? b) (1,0 ponto) Admitindo que a força de arrasto do ar e atrito ao rolamento 
sejam desprezíveis, qual é o menor valor do coeficiente de atrito estático entre os pneus 
e a pista? 
 
 
 
 
 
Solução 
 
 
A figura ao lado mostra as forças atuantes sobre o carro. 
A força normal 𝐹N equilibra a força vertical para baixo 
devido à gravidade mg. 
A força horizontal é a de atrito estático, que gera 
aceleração centrípeta. Quanto mais rápido o carro se 
movimenta, maior é a aceleração centrípeta. 
A velocidade pode ser obtida a partir do perímetro de 
trajetória circular e do período T. Essa velocidade 
estabelece um limite inferior para o valor máximo do 
coeficiente de atrito estático. 
a) O diagrama de corpo livre pode ser visto na imagem 
ao lado. Observe que a orientação positiva do eixo r 
é afastando-se do centro da curvatura. 
𝑣 =
2𝜋𝑟
𝑇
=
2𝜋(45,3𝑚)
13,2𝑠
≅ 21,56𝑚 𝑠⁄ 
A partir do valor da velocidade determinamos a aceleração: 
𝑎𝑐 =
𝑣2
𝑟
=
(21,56𝑚 𝑠⁄ )2
45,3𝑚
= 10,26𝑚 𝑠2⁄ 
observando que a aceleração tangencial é nula, temos que a aceleração é de 10,26𝑚 𝑠2⁄ na 
direção centrípeta. 
b) Avaliando as forças atuantes no eixo y temos: 
∑𝐹𝑦 = 𝑚𝑎𝑦 ➔ 𝐹𝑁 −𝑚𝑔 = 0 
Com 𝐹𝑁 = 𝑚𝑔 e 𝑓𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 = 𝑢𝑒𝑚𝑔 Ou seja, como não há movimento vertical, a 
força normal (força produzida pelo piso) equilibra a força peso do carro. Ademais, a força 
de atrito tem módulo proporcional ao da normal e limitado pelo coeficiente de atrito 
máximo. 
Agora avaliando as forças atuantes em relação ao eixo x temos: ∑Fx = max e, avaliando a 
força resultante: 
∑𝐹𝑟 = 𝑚𝑎𝑟 ➔ 𝑓𝑎𝑡𝑟𝑖𝑡𝑜𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 = 𝑚(
−𝑣2
𝑟
) 
Assim, temos: 𝑢𝑒𝑚𝑔 =
𝑚𝑣2
𝑟
 
𝑢𝑒 =
𝑣2
𝑟𝑔
 
Logo 𝑢𝑒 =
(21,56𝑚 𝑠⁄ )2
(45,3𝑚)(9,81𝑚 𝑠2⁄ )
≅ 1,05 
 Portanto, o menor valor do coeficiente de atrito estático é 1,05. 
 
 
Questão 4 (2,0 pontos) 
 
Um bloco de 2200kg é levantado, com rapidez 
constante de 8,0cm/s, por um cabo de aço ligado 
por uma polia a um guincho motorizado, conforme 
mostra a figura. O raio do tambor do guincho é 
32cm. a) (0,5 ponto) Qual é a tensão no cabo? b) 
(0,5 ponto) Qual é o torque que o cabo exerce 
sobre o tambor do guincho? c) (0,5 ponto) Qual é 
a rapidez angular do tambor do guincho? d) (0,5 
ponto) Qual é a potência que o motor deve 
desenvolver para movimentar o tambor do 
guincho? 
Solução: 
Como a carga não está sendo acelerada, a tensão no cabo é igual ao peso da carga. O papel da 
polia sem massa é mudar a direção em que a força (tensão) no cabo atua. 
 
a) Porque o bloco é levantadoem velocidade constante: 
𝑇 = 𝑚𝑔 = (2200𝑘𝑔)(9,81𝑚 𝑠2⁄ ) ≅ 21,58𝑘𝑁 
 
b ) Aplicando a definição de torque do tambor do guincho: 
 
𝜏 = 𝑇𝑟 = (21,58𝑘𝑁)(0,32𝑚) ≅ 6,9𝑘𝑁.𝑚 
 
c) Relacione a velocidade angular do tambor do guincho com a taxa na qual a carga está sendo 
levantada (a velocidade tangencial do cabo no tambor): 
 
𝜔 =
𝑣
𝑟
=
0,08𝑚 𝑠⁄
0,32𝑚
= 0,25 𝑟𝑎𝑑 𝑠⁄ 
 
d) A potência desenvolvida pelo motor em questão é o produto da tensão no cabo com a 
velocidade com que a carga está sendo levantada: 
𝑃 = 𝑇𝑣 = (21,58𝑘𝑁)(0,08𝑚 𝑠⁄ ) = 1.7𝑘𝑊 
 
Questão 5 (2,0 pontos) 
Suponha que você está na Estação Espacial Internacional e seu colaborador, o cosmonauta 
Michael, atira-lhe uma banana com uma rapidez de 5m/s. Exatamente no mesmo instante, 
você̂ joga uma bola de sorvete para o Michael ao longo do mesmo caminho. A colisão 
entre a banana e o sorvete produz uma “banana split” a 7,5m de sua posição, 3,2 segundos 
após a banana e o sorvete terem sido lançados. a) (1,0 ponto) Com que rapidez você atirou 
o sorvete? b) (1,0 ponto)A que distância você estava de Michael ao atirar o sorvete? 
(despreze quaisquer efeitos gravitacionais) 
 
Solução 
A distância percorrida pela bola de sorvete antes da colisão é dada por ∆𝑥𝑠 = 𝑣𝑠∆𝑡 
e a distância percorrida pela banana é ∆𝑥𝑏 = 𝑣𝑏∆𝑡 
a) A velocidade do sorvete é dada por: 𝑣𝑠 =
∆𝑥𝑠
∆𝑡
 onde ∆𝑡 é o tempo decorrido até a 
 colisão. 
 
Substituindo pelos valores numéricos 𝑣𝑠 =
∆𝑥𝑠
∆𝑡
=
7,5𝑚
3,2𝑠
= 2,34𝑚 𝑠⁄ 
 
b) observe que a distância total entre você e seu colaborador Michael é a soma das 
 distâncias individuais, ou seja 𝑥𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∆𝑥𝑠 + ∆𝑥𝑏. 
Sabemos que ∆𝑥𝑏 = 𝑣𝑏∆𝑡, assim, substituindo tem-se 
 𝑥𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = ∆𝑥𝑠 + 𝑣𝑏∆𝑡 = 7,5𝑚 + (
5𝑚
𝑠
) (3,2𝑠) ≅ 23,5𝑚 
Portanto, a distância entre você e seu colaborador ao atirar o sorvete era de 23,5m. 
 
Questão 6 (1,0 ponto) 
Um relógio de pêndulo simples está ajustado para dar a hora certa com uma amplitude 
máxima 𝜙𝑜 =10
o. Quando a amplitude diminui para valores pequenos, o relógio adianta 
ou atrasa? Explique sua resposta. 
 
Solução: 
 
Quando a amplitude das oscilações de um pêndulo se torna grande, seu movimento continua sendo 
periódico, mas não pode mais ser considerado harmônico simples. Para uma amplitude angular 
𝜙0 pode-se obter o período do pêndulo, como 
𝑇 ≈ 𝑇0 [1 +
1
22
𝑠𝑒𝑛2
1
2
𝜙0 +
1
22
(
3
4
)
2
𝑠𝑒𝑛4
1
2
𝜙0 +⋯] 
 
Para se calcular o período quando a amplitude angular é 10°, seria necessário calcular esta série 
com infinitos termos; para se obter uma estimativa do período, pode-se considerar somente o 
primeiro termo da expressão acima, já que o ângulo é pequeno o suficiente para que potências 
superiores do seno de 10° possam ser consideradas pouco relevantes para a presente análise; 
assim, tem-se: 
 
𝑇 ≈ 𝑇0 [1 +
1
22
𝑠𝑒𝑛2
1
2
𝜙0] 
 
Esta equação nos traz informação qualitativa relevante, qual seja: caso o ângulo seja reduzido 
para, por exemplo, 5° o período de oscilação do pêndulo será menor do que aquele observado 
para o caso de 10°. Isto porque 
 
𝑠𝑒𝑛2
1
2
50 < 𝑠𝑒𝑛2
1
2
100 . 
 
Então, com a redução da amplitude do pêndulo o tempo de cada oscilação será menor; ou seja, as 
oscilações se tornam mais frequentes e o relógio move seus ponteiros mais rápido do que com 
oscilações de amplitudes maiores. 
 
Portanto, como 𝑇 diminui quando 𝜙0 diminui, o relógio vai adiantar.