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Análise e previsão de séries temporais I – Prof.: Henrique Hippert 
 
Bacharelado em Estatística – 2011.2 
Disciplina: Análise e Previsão de Séries Temporais I 
Professor: Henrique S. Hippert 
 
Aula 15 – Processos MA 
 
1. Introdução 
 
Nestes modelos, o valor presente da série é descrito como uma combinação linear de um 
número finito q de choques aleatórios passados: 
qtqtttt aaaaz −−− −−−−+= θθθµ ...2211 (1) 
 
Ou, escrevendo em termos dos valores centrados: 
qtqtttt aaaaz −−− −−−−= θθθ ...2211 (2) 
t
q
qt aBBBz )...1( 221 θθθ −−−−= 
tt aBz )(Θ= 
 
 A relação entre um valor zt e o valor anterior da série zt-1 não é tão obvia como nos modelos 
AR na seção anterior; veremos a seguir, contudo, que um modelo MA pode ser escrito na forma 
invertida, o que o torna equivalente a um AR. 
 
 
2. Propriedades estatísticas de um processo MA 
 
2.1. Média 
 
Tomando os valores esperados de ambos os termos do modelo em (1), obtemos: 
)...()()( 2211 qtqtttt aaaaEEzE −−− −−−−+= θθθµ 
µ=)( tzE 
 
Se o modelo é escrito em termos dos valores centrados como em (2), obtemos 
)(...)()()()( 2211 qtqtttt aEaEaEaEzE −−− −−−−= θθθ 
0)( =tzE 
 
Portanto, adicionar uma constante µ no lado direito da equação, como em (1), tem o efeito de dar ao 
processo uma média igual a esta constante. 
 
 
2.2. Variância 
 
Calculando as variâncias de ambos os membros de (1), obtemos 
)var(...)var()var()var()var()var( 2222121 qtqtttt aaaaz −−− +++++= θθθµ 
 
já que as variáveis at-k são descorrelacionadas. Como 
2)var()var( aktt aa σ== − , ∀k 
 
Isto leva a 
222
2
2
1
2 )...1( aqz σθθθσ ++++= (3) 
Análise e previsão de séries temporais I – Prof.: Henrique Hippert 
 
 
Podemos concluir daí que qualquer processo MA(q) é estacionário de segunda ordem, já que sua 
média e variância são constantes, independentes do instante t. 
 
 
2.3. Função de autocorrelação 
 
Para o processo MA(q) em (2), a função de autocovariância será definida como 
)]...)(...[( 1111 qktqktktqtqttk aaaaaaE −−−−−−− −−−−−−= θθθθγ (4) 
 
o que resulta em 
 





>
=++++−
=
−++
qk
qkaqkqkkk
k
0
,...,2,1)...( 22211 σθθθθθθθ
γ (5) 
 
Dividindo as autocovariâncias em (5) pela variância em (3) obtemos a função de autocorrelação: 








>
=
+++
+++−
=
−+
qk
qk
q
qkqkk
k
0
,...,2,1
...1
...
22
1
11
θθ
θθθθθ
ρ (6) 
 
Pode-se notar que a FAC de um processo MA(q) só tem valores para os primeiros q 
defasamentos, anulando-se em seguida - por exemplo, a Fig. 1a mostra a FAC de um MA(2). Como 
vimos anteriormente, a FAC de processo AR decresce continuamente – a Fig. 1b mostra a FAC de 
um AR(p). 
 
 
 
FAC de um modelo MA(2) FAC de um modelo AR(p) 
 
Esta diferença entre o comportamento das FACs é o que nos permitirá distinguir modelos AR de 
MA, quando quisermos identificar modelos para uma série dada. 
 
 
Análise e previsão de séries temporais I – Prof.: Henrique Hippert 
 
2.4. Função de autocorrelação parcial (FACP) 
 
Usando as equações de Yule-Walker, podemos calcular a sequência da FACP: 
111 φρ = 
 
122211 ρφφρ += 
221212 φρφρ += 
 
2
1
2
12
1
1
21
1
22 1
1
1
1
ρ
ρρ
ρ
ρ
ρρ
ρ
φ
−
−
=












= 
 
233132311 ρφρφφρ ++= 
133321312 ρφφρφρ ++= 
331322313 φρφρφρ ++= 
 




















=
1
1
1
1
1
12
21
21
312
11
11
33
ρρ
ρρ
ρρ
ρρρ
ρρ
ρρ
φ 
 
2
2
2
21
2
1
3
1
2
213
2
1213
33 221
2
ρρρρ
ρρρρρρρρφ
−+−
++−−
= 
 
 
 
3. Condições de estacionariedade e invertibilidade 
 
Um processo MA é um caso particular do filtro linear geral, com um número limitado de 
parcelas. Como um filtro linear é estável quando sua sequência de coeficientes for finita, os 
processos MA serão sempre estacionários. Isto foi confirmado acima em 2(i) e 2(iii), quando vimos 
que média e variância de um processo MA são finitas e constantes, não sendo necessário impor 
restrições aos coeficientes θi. 
No entanto, estes modelos apresentam outro problema: sua FAC não é única, isto é, dois 
modelos diferentes podem ter a mesma FAC. Por exemplo, suponhamos os dois modelos abaixo: 
(a) 1−−= ttt kaaz 
(b) 1
1
−
−= ttt ak
az 
 
Substituindo os coeficientes k=1θ e k
1
1 =θ em (6), é fácil ver que FAC de ambos os modelos é 
igual à : 
Análise e previsão de séries temporais I – Prof.: Henrique Hippert 
 
21 1 k
k
+
−
=ρ 
0=iρ para i>1 
 
Na metodologia desenvolvida por Box & Jenkins, dada uma série temporal, calculamos sua 
FAC empírica, e procuramos encontrar um modelo cuja FAC teórica seja semelhante. É necessário, 
portanto, que cada FAC corresponda a apenas um modelo. Para garantir que isto aconteça, Box & 
Jenkins sugeriram que fosse imposta uma restrição aos modelos : somente serão considerados os 
modelos MA que sejam invertíveis, isto é, que possam ser escritos como filtros estacionários da 
forma: 
tt azB =Π )( 
 
Tomando o modelo MA(1) como exemplo, é fácil mostrar por meio de substituições 
sucessivas que ele pode ser escrito na forma invertida: [usaremos θ ao invés de θ1, para simplificar 
a notação] 
1−−= ttt aaz θ (7) 
 
Escrevendo o choque at-1 em função de 1−tz , 
211 −−− −= ttt aaz θ 
211 −−− += ttt aza θ 
 
e substituindo no modelo em (7): 
][ 21 −− +−= tttt azaz θθ 
2
2
1 −− −−= tttt azaz θθ (8) 
 
Escrevendo o choque at-2 em função de 2−tz , e substituindo em (8), obtemos 
322 −−− −= ttt aaz θ 
322 −−− += ttt aza θ 
 
e substituindo este valor at-2 em (8), 
 
)][ 3221 −−− +−−= ttttt azzaz θθθ 
3
3
2
2
1 −−− −−−= ttttt azzaz θθθ 
 
Substituindo sucessivamente, obtemos o filtro AR que corresponde ao MA(1), 
...3
3
2
2
1 −−−−= −−− ttttt zzzaz θθθ 
ttttt azzzz =++++ −−− ...3
3
2
2
1 θθθ 
tt azBBB =++++ ...)1( 3322 θθθ (9) 
 
Isto mostra que o modelo MA(1) pode ser escrito como um AR; não mostra, contudo que este AR 
seja estacionário. 
Comparando o modelo em (9) com a forma usual do filtro invertido, 
tt azBBB =−−−− ...)1( 33221 pipipi 
tt azB =Π )( 
 
Análise e previsão de séries temporais I – Prof.: Henrique Hippert 
 
vemos que os coeficientes pi são dados por potências sucessivas de θ, isto é: 
)( jj θpi −= 
 
Vimos (Aula 11b) que um modelo invertido só será estacionário se 
∞<∑
∞
=0j jpi 
 
Para que isso ocorra, é preciso que |θ|<1; neste caso, θj → 0, e o somatório dos coeficientes θj 
tenderá para um valor definido: 
∞<
−
=++++==−= ∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
= θ
θθθθθpi
1
1
...1 32
000 j
j
j
j
j j 
 
Portanto, embora o modelo escrito na forma MA(1) original seja estacionário para qualquer valor de 
θ, na forma inversa ele só será estacionário se |θ|<1. 
 No caso geral, Box & Jenkins (1994) demonstram que a condição para que um modelo 
MA(q) 
t
q
qt aBBBz )...1( 221 θθθ −−−−= 
 
seja invertível é a que as raízes de sua equação característica (onde B é visto como uma variável 
complexa) 
0...1 221 =−−−−
q
q BBB θθθ 
 
estejam fora do círculo unitário (i.e., |B| > 1). Esta é a mesma condição de estacionariedade dos 
modelos AR. Podemos resumir estas condições de estacionariedade e invertibilidade dos modelos 
no quadro abaixo: 
 
 Modelo 
condições: AR MA 
estacionariedade |B| > 1 sempre estacionário 
invertibilidade sempre invertível |B| > 1