Cauculo Vetorial Aol4 2021 2 B

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Avaliação On-Line 4 (AOL 4) - Questionário
Paulo Renato Castro da Gama
Pergunta 1 -- /1
O teorema da divergência 
double integral subscript s space F times d S space equals space integral integral integral subscript v 
nabla times F d V
 substitui a avaliação da integral de uma superfície com a integral sobre o volume englobado pela 
superfície fechada. É necessário fazer a operação com cautela para não ter um resultado que não 
represente a soma desejada.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema da divergência, ordene as etapas 
a seguir de acordo com a sequência em que devem ser efetuados os passos para a utilização do teorema:
( ) Aplicar o operador divergente ao campo vetorial F.
( ) Definir o elemento de volume no sistema de coordenadas apropriados.
( ) Integrar sobre o volume V.
( ) Avaliar se a superfície S e o campo vetorial F satisfazem os requisitos do teorema.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
Resposta correta2, 3, 4, 1.
2, 1, 3, 4.
10/10
Nota final
Enviado: 25/11/21 01:17 (BRT)
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4, 1, 3, 2.
4, 3, 1, 2.
3, 4, 1, 2.
Pergunta 2 -- /1
Em um contexto com variáveis reais definidas em domínios e imagens de pontos, o cálculo integrativo se 
dá com objetos matemáticos conhecidos como integrais. Já em um contexto vetorial, o cálculo integrativo 
se dá com objetos matemáticos conhecidos como integrais de linha.
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre Cálculo Vetorial, pode-se afirmar que as 
integrais referentes ao teorema fundamental do cálculo e as integrais de linhas, apesar de distintas, se 
relacionam porque:
ambas conseguem tratar do mesmo objeto matemático sem que haja perda de informações.
as integrais triplas conseguem definir qualquer tipo de objeto matemático.
Resposta correta
as integrais do contexto vetorial podem ser escritas como integrais duplas e 
triplas, referentes ao outro contexto integrativo.
ambas são definidas no mesmo contexto, em um cenário onde domínio e contradomínio 
representam conjuntos de pontos.
as integrais de linha possuem integrandos que não são vetores.
Pergunta 3 -- /1
Os teoremas de Green, Gauss e Stokes podem ser considerados facilitadores algébricos, uma vez que 
transformam integrais complexas, tais como superfícies e linha, em integrais de regiões, sólidos e afins. A 
manipulação dessas integrais é muito menos complexa do que as outras. Porém, é necessário conhecer 
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cada um dos elementos desses teoremas, pois eles são definidos em espaços geométricos e contextos 
vetoriais diferentes. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre os teoremas de Green, Gauss e Stokes, 
analise as afirmativas a seguir
I. O teorema de Green pode ser escrito de uma forma que envolve o rotacional
II O teorema de Green pode ser escrito de uma forma que envolve o divergente
III. O Teorema de Gauss trabalha com superfícies não orientadas.
IV. A regra da mão direita é uma regra auxiliadora do Teorema de Stokes
Está correto apenas o que se afirma em:
I e IV.
I e II.
II e IV.
Resposta corretaI, II e IV.
I e III.
Pergunta 4 -- /1
O teorema de Green, em sua forma vetorial, é utilizado para simplificar a resolução de integrais de linha em 
caminhos fechado. O teorema relaciona a borda do caminho com a área formado pelo caminho fechado, 
que deve ter orientação anti-horária. O teorema de Green possui mais de uma forma de ser escrito. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Green, analise as afirmativas a 
seguir.
I. 
ϕ subscript c space F times d r space equals space double integral subscript D open parentheses nabla 
cross times F close parentheses times k d A
 é uma forma do teorema de Green.
II. 
ϕ subscript c open parentheses M d x plus N d y close parentheses space equals space double integral 
subscript D open parentheses fraction numerator partial differential N over denominator partial differential x 
end fraction minus fraction numerator partial differential M over denominator partial differential y end fraction 
close parentheses d A
 é uma forma do teorema de Green, sendo 
F open parentheses x comma y close parentheses space equals space M i space plus space N j.
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III. 
double integral subscript s space F times d S equals integral integral integral subscript v space nabla 
cross times F d V
 é uma forma do teorema de Green. 
IV. ϕ subscript c space F times n d s equals double integral subscript D nabla times F d A é uma forma 
do teorema de Green.
Está correto apenas o que se afirma em:
I e IV.
I e II.
Resposta corretaI, II e IV.
I, II e III.
II e IV.
Pergunta 5 -- /1
O teorema de Stokes pode ser dito que é uma versão de uma dimensão maior que o de Green. Lembrando 
que ambos relacionam uma integral de caminho com uma integral sobre uma superfície. Porém, eles não o 
fazem da mesma maneira.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Stokes, pode-se dizer que o 
teorema de Green e de Stokes são diferentes porque:
o integrando da integral sobre a mesma superfície é diferente em cada um dos teoremas.
Resposta correta
a superfície do teorema de Stokes é uma superfície cuja projeção no plano do 
caminho é a superfície do teorema de Green.
o teorema de Stokes é usado para campos escalares e o de Green campos vetoriais.
o teorema de Green usa o operador rotacional e de Stokes o operador divergente.
as superfícies de integração possuem orientações diferentes.
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Pergunta 6 -- /1
O conjunto de teoremas da divergência, de Green e de Stokes é um conjunto de ferramentas para nos 
auxiliam a resolver integrais em campos vetoriais que são difíceis ou impossível de resolver. Todos os 
teoremas fazem uma mudança de integral de um tipo para outro.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema da divergência, de Green e 
Stokes, analise as afirmativas a seguir.
I. O teorema da divergência transforma uma integral sobre uma área para uma integral sobre um volume.
II. O teorema de Green transforma uma integral sobre um caminho para uma integral sobre uma área.
III. O teorema de Stokes transforma uma integral sobre um caminho para uma integral sobre um volume.
IV. Os teoremas podem fazer a transformação em um sentido ou outro.
Está correto apenas o que se afirma em:
Resposta corretaI, II e IV.
II e IV.
I e II.
I e III.
I e IV.
Pergunta 7 -- /1
Um dos requisitos do teorema de Green é que o caminho de integração seja fechado. Isto é, o ponto do 
começo da integração e do fim são o mesmo. Lembrando que o que está sendo somado são os vetores do 
campo, portanto o fato de ser fechado não torna a integral nula.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Green, pode-se dizer que o 
caminho deve ser fechado porque:
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o caminho fechada permite definir um volume.
a integral de caminho em um campo vetorial é definida em caminho fechado.
o caminho fechado faz a orientação ser anti-horário.
Resposta corretasó é possível definir uma área de integração com uma superfície fechada.
o caminho aberto poder ter singularidades.
Pergunta 8 -- /1
Uma das integrais de linhas mais importantes no Cálculo Vetorial é a integral de linha do trabalho (W) de 
uma partícula que se desloca ao longo de um campo vetorial (F). Essa integral é definida da seguinte 
forma:
W space equals space integral subscript c F times d r equals integral subscript a superscript b F open 
parentheses x open parentheses t close parentheses comma y open parentheses t close parentheses 
space left enclose space right enclose space end enclose comma space z open parentheses t close 
parentheses close parentheses times r to the power of l open parentheses t close parentheses d t
.
Existem, porém, inúmeras outras formas de se escrever essaintegral, que podem variar conforma o 
contexto algébrico em que forem calculadas as integrais. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre a integral de linha do trabalho, analise as 
afirmativas a seguir.
I. W space equals integral subscript c M d x plus N d y é uma possível forma de se escrever essa 
igualdade.
II. W space equals space integral subscript c F times d t é uma possível forma de se escrever essa 
igualdade.
III. W space equals space integral subscript c F times d A é uma possível forma de se escrever essa 
igualdade.
IV. W space equals space integral subscript c M d x plus N d y plus P d z é uma possível forma de se 
escrever essa igualdade.
Está correto apenas o que se afirma em:
I e III.
I e II.
I, II e IV.
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Resposta corretaI e IV.
II e IV.
Pergunta 9 -- /1
Um campo conservativo (F) é definido com base na existência de uma função escalar f que pode ter seu 
gradiente calculado. Em outras palavras, define-se um campo conservativo F da seguinte forma:
F open parentheses x comma y close parentheses space equals space nabla f open parentheses x 
comma y close parentheses
Portanto, pode-se dizer que uma função f(x,y)=xy pode gerar um campo conservativo F, porque:
é possível calcular o campo gradiente dessa função, e seu resultado é (x,y)
é possível calcular o campo divergente dessa função, e seu resultado é (y,x)
é possível calcular o campo divergente dessa função, e seu resultado é (x,y)
é possível calcular o campo rotacional dessa função, e seu resultado é (y,x)
Resposta corretaé possível calcular o campo gradiente dessa função, e seu resultado é (y,x)
Pergunta 10 -- /1
O teorema da divergência é bastante útil, pois consegue relacionar a integral de um campo vetorial sobre 
uma superfície com a integral de volume do divergente do campo vetorial. A princípio, pode não ser clara 
sua utilidade, porém, há diversos casos em que o problema é simplificado. Mas para utilizá-lo, há certos 
requisitos a serem atendidos. A definição é: 
double integral subscript s F times d S space equals space integral integral integral subscript v nabla 
times F d V
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema da divergência, analise as 
afirmativas a seguir.
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I. A superfície S deve ser fechada.
II. A superfície S deve ser orientada para dentro.
III. O campo vetorial F deve possuir derivadas parciais contínuas.
IV. O volume V deve ser maior que o definido pela superfície S.
Está correto apenas o que se afirma em:
I e II.
II e IV.
Resposta corretaI e III.
I e IV.
I, II e IV.