AOL - QUESTIONÁRIO 3- NOTA 10,0

Prévia do material em texto

Módulo C - 63336 . 7 - Cálculo Integral - D.20212.C
Avaliação On-Line 3 (AOL 3) – Questionário – NOTA – 10,00
Conteúdo do teste
 Pergunta 1
 1 ponto
 O estudo acerca das funções exponenciais é extremamente relevante para o estudante de exatas, ainda mais aquele que busca aplicações no dia a dia. Compreender algumas operações, tais como derivada e integral, passa a ser essencial para o desenvolvimento desse aluno.
 Com base nos seus conhecimentos acerca das integrais exponenciais, associe os itens a seguir com os significados descritos:
 1) Integral exponencial geral.
 2) Integral exponencial.
 3) Integral com número de Euler na base.
 4) Função exponencial.
 ( ) integral space a to the power of x space d x space equals space fraction numerator a to the power of x over denominator ln open vertical bar a close vertical bar end fraction plus space C
 ( )integral space a to the power of x space d x space equals space fraction numerator a to the power of d x end exponent over denominator d ln open vertical bar a close vertical bar end fraction plus space C , em que d é uma constante.
 ( ) f left parenthesis x right parenthesis space equals space a to the power of x space end exponent comma space o n d e space to the power of a space element of space straight real numbers end exponent 
 ( ) integral space e to the power of d x end exponent d x space equals space e to the power of d x end exponent over d space plus space C
 Agora assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
 3, 4, 2, 1.
 1, 2, 4, 3.
 C- 2, 1, 4, 3. CORRETA
 2, 1, 3, 4.
 1, 2, 3, 4.
 
 Pergunta 2
 1 ponto
 Calcular a integral de uma função significa calcular a área entre sua curva e o eixo x, de forma a atribuir valores positivos onde a função é positiva e negativos caso contrário. Entretanto, não podemos tomar toda função como integrável em um intervalo [a,b], pois, antes de calcular a integral definida, precisamos analisar a continuidade da função. 
 Considerando essas informações, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
 I. É possível realizar o cálculo da integral da função f(x) = (x²-9)/(x+3), cujo conjunto domínio é D = [-6,0].
 Porque:
 II. A função pode ser simplificada se realizado o produto notável f(x) = (x-3)(x+3)/(x+3), de forma que f(x) = x-3, sendo então uma função definida em todo o intervalo [-6,0] e, integrando, temos a primitiva F(x) = x²/2 – 3x + C e, calculando a integral definida, temos F(0) – F(-6) = 0 – 0 + C – (18 + 18 + C) = -36.
 A seguir, assinale a alternativa correta.
 A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira. 
 As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é é uma justificativa correta da I. 
C- A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa. CORRETA
 As asserções I e II são proposições falsas.
 As asserções I e II são proposições verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I. 
 Pergunta 3
 1 ponto
 As integrais de funções têm inúmeros significados dentro da física, sendo que nosso primeiro contato com esses conceitos nessa área do conhecimento ocorre no estudo de movimento de corpos, trabalho de forças, volumes, pressões etc. 
 De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida e com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 I. ( ) A integral definida de uma função no intervalo [a,b] pode ser calculada dividindo a figura formada pela curva e o eixo x no maior número possível de retângulos de mesmo comprimento e somando as áreas dos mesmos.
 II. ( ) A integral de e(x) = x² definida no intervalo [0,9] é igual a 243.
 III. ( ) A integral definida de f(x) no intervalo [a,b] é dada por A1 – A2, onde A1 é a área entre a curva e o eixo x nas regiões onde f(x) > 0 e A2 é área das regiões onde f(x) < 0.
 IV. ( ) A integral de g(x) = |x| no intervalo [-10,10] é igual a 0, pois essa é uma função par.
 Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
 V, F, F, V.
 B- V, V, V, F. CORRETA
 F, V, F, V.
 V, V, F, F.
 F, F, V, F.
 
 Pergunta 4
 1 ponto
 As funções logarítmicas, principalmente na base ‘e’, logaritmo denominado logaritmo natural, são muito recorrentes em aplicações da matemática no dia a dia. Portanto, entender a dinâmica dessa função, qual sua derivada e integral auxilia nos processos de manipulação das funções. Sabe-se que a relação do logaritmo natural com uma integral é dada pela integral indefinida:
 integral 1 over x d x space equals space ln space open vertical bar x close vertical bar space plus space C
 Com base nos seus conhecimentos de integrais logarítmicas e as informações do texto, analise as afirmativas a seguir:
 I. Essa relação resolve um problema de derivação/integração da função polinomial x^(-1).
 II. Calcula-se integral 2 over x d x aplicando essa relação, e obtém-se 2 space i n space open vertical bar x close vertical bar space plus space C .
 III.Essa função é definida para quando x = 0.
 IV. Calcula-se integral fraction numerator x squared plus x plus 2 over denominator x end fraction d x aplicando essa relação, e obtém-se x squared over 2 space plus space x space plus space 2 left parenthesis ln open vertical bar x close vertical bar right parenthesis space plus space C .
 Está correto apenas o que se afirma em:
 II e III.
 B I, II e IV. CORRETA
 II e IV.
 I e III.
 I e II.
 
 Pergunta 5
 1 ponto
 As integrais de funções possuem inúmeros significados dentro da física, sendo que nosso primeiro contato com esses conceitos nessa área do conhecimento ocorre no estudo de movimento de corpos, trabalho de forças, volumes, pressões etc. 
 De acordo com as definições e propriedades do cálculo da integral indefinida e definida e com seus conhecimentos sobre funções trigonométricas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 I. ( ) A primitiva de f(x) = sen(x) é F(x) = cos(x) + C.
 II. ( ) A integral de uma função sempre é calculável em um intervalo, pois, diferentemente da derivada, é possível calcular uma área que seja um número real para qualquer função, mesmo que seja descontínua no ponto.
 III. ( ) A primitiva de g(x) = cos(x) é G(x) = sen(x).
 IV. ( ) A integral definida no intervalo [-pi,pi] de h(x) = 2cos(x) é igual a 0.
 Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
A- V, F, F, V. CORRETA
 F, F, V, F.
 F, V, F, V.
 V, F, F, V.
 V, V, F, F.
 
 Pergunta 6
 1 ponto
 O estudo acerca das integrais é fundamental para alunos que estudam Cálculo. Por meio delas, tem-se uma medida analítica de algumas áreas, volumes e comprimentos, portanto, reconhecê-las e utilizá-las é essencial.
 De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integração indefinida, analise as afirmativas a seguir:
 I. Uma Integral indefinida é delimitada na forma integral f left parenthesis x right parenthesis space asterisk times space d x space equals space F left parenthesis x right parenthesis space plus space C .
 II. As integrais indefinidas dão somente uma resposta específica, ou seja, só há uma resposta possível.
 III. Com a integração indefinida, é possível calcular o valor da integral em um determinado ponto.
 IV. A constante adicionada ao final da integração indica que há uma família de respostas possível para o cálculo.
 Está correto apenas o que se afirma em:
 I, II e IV.
 II e IV.
 II, III.
 I, II, III.
 E- I e IV. CORRETA
 
 Pergunta 7
 1 ponto
 Funções exponenciais e logarítmicastêm comportamentos peculiares quando comparadas, já que a potência e o logaritmo são operações inversas, de forma que, quando aplicamos um expoente a uma base, calculamos o resultado por meio de uma multiplicação, enquanto, quando aplicamos o logaritmo de uma determinada base a um logaritmando, o resultado é o expoente a que se eleva essa base para chegarmos ao logaritmando.
 Dessa forma, considerando as funções f(x) = e^x e g(x) = ln(x) e também seus conhecimentos sobre as derivadas e integrais desses tipos de funções, é correto afirmar que:
 A- No intervalo 0 < x < 1, a integral de f(x) é positiva e a de g(x) é negativa. CORRETA
 Para x < 0, a taxa de variação de ambas as funções é negativa.
 Ambas as funções possuem como domínio o conjunto dos números reais.
 No intervalo 0 < x < 1, a integral definida de ambas as funções é positiva.
 Ambas as funções não possuem taxa de variação em x = 0.
 Pergunta 8
 1 ponto
 O Teorema Fundamental do Cálculo permite o cálculo de integrais definidas dado um intervalo de integração. Não somente por isso, esse Teorema é muito importante por um outro fator.
 Considerando essas informações, pode-se afirmar que Teorema Fundamental do Cálculo é relevante para o Cálculo, também porque:
 ele é o único teorema que envolve integrais.
 ele refuta a integral de Riemann.
C- ele realiza a conexão do Cálculo Integral com o Cálculo diferencial. CORRETA
 ele permite o cálculo de integrais definidas.
 ele torna dispensável a utilização das derivadas.
 
 Pergunta 9
 1 ponto
 Existem inúmeros meios de se tentar mensurar uma área sob uma curva. Uma aproximação válida é dada pela igualdade a seguir, que faz essa mensuração por meio de retângulos.
 De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca dessa representação, analise as afirmativas a seguir:
 I. ∆x refere-se a largura de cada retângulo.
 II. O n tendendo ao infinito indica um crescente número de retângulos.
 III. A multiplicação f(Xk)* ∆x equivale a área de um retângulo.
 IV. Esse método mensura com exatidão a área sob a curva.
 Está correto apenas o que se afirma em:
 I e II.
 III e IV.
C- I, II e III. CORRETA
 I, II e IV.
 II e IV.
 Pergunta 10
 1 ponto
 As integrais são um dos principais objetos matemáticos utilizados pelo Cálculo. É por meio delas que se tem uma mensuração mais precisa de áreas, volumes e comprimentos. Identificar as propriedades das integrais definidas é essencial para a sua manipulação.
 De acordo com seu conhecimento acerca das propriedades das integrais definidas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
 I. ( ) integral subscript a superscript b c f left parenthesis x right parenthesis d x space equals space c space integral subscript a superscript b f left parenthesis x right parenthesis d x
 II. ( ) integral subscript b superscript a left square bracket f left parenthesis x right parenthesis space plus space g left parenthesis x right parenthesis right square bracket d x space equals space integral subscript b superscript a f left parenthesis x right parenthesis d x space plus space integral subscript b superscript a g left parenthesis x right parenthesis d x
 III. ( ) integral subscript b superscript a f left parenthesis x right parenthesis d x space equals space integral subscript a superscript c f left parenthesis x right parenthesis d x space plus space integral subscript c superscript b f left parenthesis x right parenthesis d x
 IV. ( ) integral subscript a superscript a f left parenthesis x right parenthesis d x space equals space 1
 Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
 V, F, V, V.
B - V, V, V, F. CORRETA
 V, V, F, V.
 F, F, V, F.
 V, V, F, F.