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Análise e previsão de séries temporais I – Prof.: Henrique Hippert 
Bacharelado em Estatística – 2012.1 
Disciplina: Análise e Previsão de Séries Temporais I - Professor: Henrique S. Hippert 
 
Aula 17 – Processos mistos ARMA 
 
1. Introdução 
 
Uma das idéias fundamentais da metodologia desenvolvida por Box & Jenkins é a da 
parcimônia: dada uma série, o pesquisador deve tentar representá-la usando o modelo mais 
simples possível, isto é, o que tenha o menor número possível de parâmetros. Como foi visto 
antes (Aula 11), uma série autocorrelatada pode ser representada por um filtro linear, isto é, 
como uma combinação linear infinita de choques aleatórios independentes: 
...332211 ++++= −−− ttttt aaaaz ψψψ (1) 
 
Contudo, um modelo destes não tem grande utilidade na prática; não é possível implementá-
lo, pois ele tem infinitos parâmetros. Para contornar este problema, Box & Jenkins notam que 
uma combinação linear infinita pode ser representada pela razão entre dois polinômios finitos: 
tt aB
B
z )(
)(
Φ
Θ
= (2) 
Onde: 
....1
...1
...1 3
3
2
212
21
2
21 ++++=
−−−−
−−−−
BBB
BBB
BBB
p
p
q
q ψψψφφφ
θθθ
 
 
Um modelo utilizando esta razão pode ser re-escrito como: 
tt aBzB )()( Θ=Φ (3) 
ou seja 
t
q
qt
p
p aBBzBB )...1()...1( 11 θθφφ −−−=−−− (4) 
qtqttptptt aaazzz −−−− −−−=−−− θθφφ ...... 1111 
qtqttptptt aaazzz −−−− −−−+++= θθφφ ...... 1111 (5) 
 
Vemos portanto que zt é escrito como função não apenas de termos auto-regressivos zt-k, mas 
também de choques aleatórios passados at-k. Isto mostra que ele nada mais é do que a 
combinação, num mesmo modelo, de um polinômio AR(p), aplicado a zt, com um polinômio 
MA(q), aplicado a at. Um modelo combinado destes é denotado por ARMA(p,q). 
O modelo podem também conter uma constante, na forma: 
qtqttptptt aaazzz −−−− −−−++++= θθφφδ ...... 1111 (6) 
 
O mais comum, contudo, é usar o modelo expresso em termos dos valores centrados, como 
em (4). 
 Os modelos AR(p) e MA(q) estudados anteriormente, como é fácil de se ver, não são 
mais do que casos particulares do ARMA(p,q): 
AR(p)=ARMA(p,0) : tt aBz )(
1
Φ
= → tt azB =Φ )( 
 
MA(q)=ARMA(0,q): tt a
B
z
1
)(Θ
= → tt aBz )(Θ= 
Análise e previsão de séries temporais I – Prof.: Henrique Hippert 
2. Estacionariedade e invertibilidade: 
 
Na equação (3), é fácil de ver que o que irá determinar a estacionariedade do processo 
serão os termos do componente AR, uma vez que o componente MA é sempre estacionário. 
Por outro lado, o que irá determinar a invertibilidade do modelo serão os termos do 
componente MA, uma vez que o componente AR é sempre invertível. Portanto, um processo 
ARMA(p,q) será estacionário se as raízes de φ(B)=0 estiverem fora do círculo unitário; será 
invertível se as raízes de θ(B)=0 estiverem fora do círculo unitário. 
 
 
3. Propriedades estatísticas 
 
3.1. Média 
 
Calculando os valores esperados dos membros de (5), 
 
)(...)()()(...)()()( 1111 qtqttptptt aEaEaEzEzEEzE −−−− −−−++++= θθφφδ 
0...00...1 −−−++++= µφµφδµ p 
δµφφ =−−− )...1( 1 p 
pφφ
δµ
−−−
=
...1 1
 (7) 
 
3.2. Função de autocorrelação 
 
 O procedimento para cálculo da FAC de um ARMA é o mesmo já adotado para um 
AR ou um MA: escrever a expressão de zt, multiplicar ambos os termos por zt-k, e calcular os 
valores esperados. 
Re-escrevendo o modelo em (4), inserindo alguns dos termos intermediários: 
qtqktktkttptpttt aaaaazzzz −−−−−−−− −−−−−++++= θθθθφφφ ......... 11112211 (8) 
 
Multiplicando ambos os membros por zt-k, 
qtktqktktktkttkttkt
ktptpkttkttktt
azazazazaz
zzzzzzzz
−−−−−−−−−−
−−−−−−−
−−−−−−+
++++=
θθθθ
φφφ
......
......
11111
2211
 
 
Calculando os valores esperados, 
)(...)()(
...)(...)()(
...)(...)()()(
11
1111
2211
qtktqktktkktktk
ktktktkttkt
ktptpkttkttktt
azEazEazE
azEazEazE
zzEzzEzzEzzE
−−−−−−−−
+−−+−−−
−−−−−−−
−−−−
−−−−+
++++=
θθθ
θθ
φφφ
 (9) 
 
Os valores esperados dos produtos na primeira linha de (9) são as autocovariâncias de zt: 
1)1(11111 )()()()( −−−+−+−+−−− ==== kkttkttkttktt zzEzzEzzEzzE γ 
22 )( −−− = kktt zzE γ 
pkktpt zzE −−− = γ)( (10) 
 
Análise e previsão de séries temporais I – Prof.: Henrique Hippert 
Os valores na segunda linha e na terceira linhas de (9) serão iguais às covariâncias 
entre a série zt e os ruídos at-i, definidas por 
)()( kttkza azE −=γ 
 
Os valores E(zt-kat) a E(zt-kat-k+1) na segunda linha são todos nulos, uma vez que zt-k 
depende apenas dos choques que ocorreram até o instante t-k. 
Os valores E(zt-kat-k) a E(zt-kat-q) na terceira linha podem ser calculados se 
representarmos zt em função dos choques at-j, isto é, na forma de um filtro linear: 
∑
∞
=
−
=Ψ=
0
)(
j
jtjtt aaBz ψ 
...... 121110 +++++= −−−− ktktttt aaaaz ψψψψ 
 
Multiplicando por at-k e calculando os valores esperados: 
...... 121110 +++++= −−−−−−−−− ktktktktkttkttktt aaaaaaaaaz ψψψψ 
...)()(...)()()( 11110 +++++= −−−−−−−−−− ktktkktktkkttkttktt aaEaaEaaEaaEazE ψψψψ
 
Uma vez que os choques são descorrelatados, a única parcela não nula será a que contém o 
produto (zt-kat-k). Portanto, que as covariâncias serão dadas por 
)()( ktktkktt aaEazE −−− =ψ 
2)( akkttazE σψ=− (11) 
 
Da mesma forma, 
2
0)( aktkt azE σψ=−− 
2
11)( aktkt azE σψ=−−− 
2
)( )()()( akqkqktktkkqtktqtkt azEazEazE σψ −−−−−−+−−−− === 
 
Usando os resultados em (10) e (11), podemos reescrever (9) como 
22
11
2
0
2211
...
...0...00
......)(
akqqakak
pkpkkktt EzzE
σψθσψθσψθ
γφγφγφ
−+
−−−−
−−−−
−−−−+
++++=
 
22
11
2
02211 ...... akqqakakpkpkkk σψθσψθσψθγφγφγφγ −+−−− −−−++++= 
2
1102211 )...(... akqqkkpkpkkk σψθψθψθγφγφγφγ −+−−− −−−++++= (12) 
 
Fazendo k=0, obtemos a variância de zt: (fazendo θ0=1) 
2
110022110 )...(... aqqpp σψθψθψθγφγφγφγ −−−++++= −−− 
2
11022110 )...(... aqqpp σψθψθψγφγφγφγ −−−++++= (13) 
 
para k=1 
2
11201112011 )...(... aqqpp σψθψθψθγφγφγφγ −−− −−−++++= 
2
11201112011 )...(... aqqpp σψθψθψθγφγφγφγ −− −−−++++= 
 
 
 
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para k=q-1, 
2
101132211 )(... aqqpqpqqq σψθψθγφγφγφγ −++++= −−−−−− 
 
para k=q, 
2
02211 ... aqpqpqqq σψθγφγφγφγ ++++= −−− 
 
Note que as q+1 autocovariâncias determinadas até aqui (γ0 a γq) dependem tanto dos termos 
em φ da parte AR do modelo, quanto dos termos em θ da parte MA. Contudo, quando k≥ q+1, 
as covariâncias passam a seguir um padrão puramente auto-regressivo com coeficientes φ, 
como acontece em modelos AR: 
pkpkkk −−− +++= γφγφγφγ ...2211 (14) 
 
Dividindo pela variância, obtemos a FAC, para valores de k>q: 
pkpkkk −−− +++= ρφρφρφρ ...2211 (15) 
 
Para k=q+1, 
11211 ... +−−+ +++= pqpqqq ρφρφρφρ 
 
Isto faz sentido, uma vez que a parte MA(q) do modelo não tem autocorrelações para k>q; as 
que estão presentes no modelo ARMA, para k>q, se devem portanto somente à parte AR(p) 
do modelo. 
 
 
3.3. Função de autocorrelação parcial 
 
O processo 
tt aBzB )()( Θ=Φ 
 
pode ser escrito 
tt aBBz )()(1 ΘΦ= − 
 
Como o polinômio Φ-1(B) é uma série infinita em B (pois um polinômio finito, ao ser 
invertido, gera um polinômio infinito), a FACP de um ARMA terá extensão infinita, 
comportando-se, para defasamentos grandes, como a FACP de um modelo puramente MA.