Lista 4 Alg Linear II

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ExerciciosALII
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Álgebra Linear II
Lista de exercícios - Parte IV
Bruno Costa
Produto Interno
1) Verifique as afirmativas abaixo onde u e v são raios de uma esfera
de raio R.
 I) u+v e u-v são ortogonais
II) ||u+v|| = ||u-v||
2) Sejam u e v ortogonais em R3 tal que o eixo z não pertence a H=
<u,v>. 
Seja w a projeção ortogonal de e3 em H.
 I) w-e3 é ortogonal a H
II) {u,v,w-e3} é uma base ortogonal de R3
3) Seja S um sistema de equações lineares:
 I) Se S possui equações incompatíveis, então pode se aplicar a
técnica dos mínimos quadrados a S
II) Se S tem menos equações que incógnitas, então S não pode ser
resolvido por mínimos quadrados
4) Considere o produto interno em P2 definido por
<p,q>=p(-1)q(-1)+p(0)q(0)+p(1)q(1):
 I ) x é ortogonal a 1
 II) é ortogonal a x
III) 1 é ortogonal a 
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5) Considere o produto interno em P2 definido por
 I) x é ortogonal a 1
 II) é ortogonal a x
III) 1 é ortogonal a 
6) Sejam u e v elementos de V, um espaço vetorial com um produto
interno tal que <u,v> = 0:
 I) u e v são ortogonais em qualquer outro produto interno definido
em V
II) qualquer que seja a norma definida em V
7) Calcule uma base ortogonal para os espaços gerados abaixo:
A) <(1,2),(3,2)>
B) <(1,2),(2,3),(3,4)>
C) <(1,-1,0),(1,0,-1),(1,1,1)>
D) <(1,2,1),(1,1,2),(1,0,1),(1,-1,0)>
Coordenadas de vetores e matrizes de
transformações lineares
1) Calcule as coordenadas do vetor na base indicada:
A) v = (1,1) e 
B) u = (1,2,3) e 
C) e 
D) e 
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2) Calcule o vetor através de suas coordenadas nas bases do
exercício anterior:
A)
B)
C)
D)
3) Considere no plano cartesiano as bases ,
 e . Calcule a matriz de mudança de base
indicada:
A) B) C) D)
4) Considere a transformação linear T(x,y) = (2x+y,x+3y) e seja v um
vetor do plano cujas coordenadas na base são dadas pelo
vetor-coluna . Assinale as coordenadas do vetor Tv na base
canonica:
A) B) C) D)
5) Considere a transformação linear T(x,y) = (2x,3y) e seja v um vetor
do plano cujas coordenadas na base são dadas pelo
vetor-coluna . Assinale as coordenadas do vetor Tv na base :
A) B) C) D)
6) Utilize matrizes de mudanças de base e calcule a matriz na base
canônica da projeção sobre a reta y=2x
7) Calcule a matriz na base canônica da reflexão pela reta 3y=x
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8) Calcule a matriz que a partir das coordenadas de um vetor v na
base gera as coordenadas na mesma base do vetor w
resultante da rotação de 90 graus de v no sentido anti-horário.
9) Verifique as afirmativas abaixo:
 I) Uma transformação linear é uma matriz mxn
 II) Uma matriz mxn é uma transformação linear
10) Seja V um espaço de dimensão n e v um elemento de V:
 I) v é uma matriz nx1
II) As coordenadas de v, em qualquer base de V, são um vetor de
Rn
11) Assinale abaixo a matriz na base canonica da reflexão pela reta y
= x, seguida pela projeção ortogonal na reta y = -x:
A) B) C) D)
12) Assinale abaixo a matriz na base canonica da reflexão pelo plano
x+y+z=0 seguida da projeção ortogonal na reta t(1,1,1):
A) B) C) D)
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Determinantes
1) Calcule o determinante das matrizes abaixo:
A) B) 
C) D)
2) Classifique em Verdadeira ou Falsa:
A) É possível calcular o determinante de qualquer matriz A mxn
B) Se Det(A) = 0, então A é a matriz nula
C) Seja B a matriz obtida multiplicando uma coluna de A por um
número k, então det(B) = kdet(A)
D)
E) Det(AB) = Det(A) + Det(B)
F) 
3) Seja A uma matriz 4x4 tal que Det(A)=2 e B=2A. Assinale o valor
de Det(B):
A) 4 B) 8 C) 16 D) 32
4) Seja A uma matriz quadrada. Classifique em Verdadeira ou
Falsa:
 I) Se o sistema Ax=b é indeterminado, então Det(A)=0
II) Se Det(A)=0, então o sistema Ax=b pode não ter solução
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5) Seja A a matriz de reflexão por um plano de . Assinale o valor
de Det(A):
A)1 B)-1 C)0 D)2
6) Classifique em Verdadeira ou Falsa as afirmativas abaixo:
 A) Se A e B são injetivas, então A+B é injetiva.
 B) Se A e B são sobrejetivas, então A+B é sobrejetiva.
 C) Se Aé injetiva, então é sobrejetiva.
 D) Se A é sobrejetiva, então é injetiva.
7) Seja A uma matriz quadrada. Classifique em Verdadeira ou
Falsa:
 I) Se A é uma matriz de rotação, então Det(A)=1
 II) Se A é uma matriz de projeção, então Det(A)=0
III) Se A é uma matriz de reflexão, então Det(A)=-1
 IV) Se A é uma matriz de cisalhamento, então Det(A)=0
8) A imagem do círculo unitário pela transformação
T(x,y)=(2x-2y,3x+2y) é uma elipse. Calcule a área dessa elipse.
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Autovetores e Diagonalização
1) Escreva uma matriz não-diagonal tal que a sua inversa seja igual a
sua transposta:
A) No caso 2x2
B) No caso 3x3
C) No caso 4x4
2) Escreva uma matriz não-diagonal A cujos autovetores sejam
ortogonais e tal que:
A) A seja 2x2 e seus autovalores sejam 1 e -2
B) A seja 3x3 e seus autovalores sejam 1,2 e -1
C) A seja 3x3 e seus autovalores sejam 1 e -1
D) A seja 3x3 e não possua uma base de autovetores
3) Classifique em Verdadeira ou Falsa:
 I) Se A é diagonalizável com todos os autovalores iguais a 1, então
A é a matriz identidade
II) Se A é diagonalizável com todos os autovalores iguais, então A é
uma matriz diagonal
4) Classifique em Verdadeira ou Falsa:
 I) Se A possui uma base ortogonal de autovetores, então A é uma
matriz simétrica
II) Se A é uma matriz simétrica, então A possui uma base ortogonal
de autovetores 
III) Se A e B possuem uma mesma base de autovetores, então AB =
BA
IV) Se A e B são simétricas, então AB = BA
5) Escreva uma matriz A 2x2, sem nenhum elemento nulo, onde:
 A) A tenha autovalores iguais
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 B) A tenha apenas um autoespaço de dimensão 1
 C) A não possua autovetores e o determinante de A seja diferente
de 1
 D) 
6) Sejam a e b números positivos. Mostre que se são
autovalores de , então são autovetores de A.
7) Uma matriz de Markov é aquela em que todos os elementos são
não-negativos e a soma dos elementos de qualquer coluna é igual a 1.
Seja A uma matriz de Markov 2x2, assinale as respostas corretas:
A) 1 é sempre autovalor de A
B) O vetor (1,1) é sempre autovetor de A
C) O vetor (1,-1) é sempre autovetor de A
D) Det(A) é sempre maior que 1
E) Traço(A) é sempre maior que 1
F) Se a soma dos elementos do vetor v é igual a 1, então o mesmo
ocorre para Av.
8) Suponha que numa hipotética eleição, o candidato A perde
diariamente 40% de seus votos para o candidato B; e o candidato B perde
diariamente 50% de seus votos para o candidato A. No primeiro dia, o
candidato A possui 43% do total dos votos e o candidato B possui 57%.
Como ficará a distribuição de votos no décimo dia? E no centésimo?
9) Suponha que na cidade do Rio de Janeiro apenas chove, ou faz
sol. Suponha também que se faz sol em um dia, há 80% de chances de
fazer sol no dia seguinte. Por outro lado, dias chuvosos se sucedem com
a probabilidade de 30%. Qual é a probabilidade aproximada do dia 14 de
Maio de 2027 ser ensolarado?
A)7/9 B)8/9 C)2/3 D)5/9
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10) As funções de em na forma são
denominadas de formas quadráticas. Escreva uma forma quadrática onde
os coeficientes são todos não-nulos e que se anule sobre duas retas
distintas do plano.
11) Decida se as seguintes equações possuem uma, várias, ou
nenhuma solução:
A)
B)
C)
D)