Aula_02_Fundamentos_Matematicos

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Fundamentos
Matemáticos
Prof. Eduardo Gastal
eslgastal@inf.ufrgs.br
INF01047 – 2017/1
2
Problemas
3
Problemas
Problemas
Conceitos Essenciais
 Vetores (geométricos, Euclidianos)
 Pontos, Linhas, e Planos
 Matrizes (transformações)
Vetores (em CG)
 Vetores são entidades geométricas com 
 comprimento (ou magnitude, ou norma); e
 sentido (ou direction, ou orientação)
 Graficamente representados por setas 
orientadas
Vetores (em CG)
 Vetores são entidades geométricas com 
 comprimento (ou magnitude, ou norma); e
 sentido (ou direction, ou orientação)
 Graficamente representados por setas 
orientadas
Vetores (em CG)
 Vetores são entidades geométricas com 
 comprimento (ou magnitude, ou norma); e
 sentido (ou direction, ou orientação)
 Graficamente representados por setas 
orientadas
=
Aplicações em CG
9
 Representação de direção
 Movement of a character in a game
 Illumination direction of a light source
 Velocidade de um objeto
 Vetor normal de um plano
 … e de outras superfícies
Aplicações em CG
10
 Addition:
𝑢 + 𝑣
Operações com Vetores
𝑢
 Addition:
𝑢 + 𝑣
Operações com Vetores
𝑢 𝑣
 Addition:
𝑢 + 𝑣
Operações com Vetores
𝑢
 𝑣
 Addition:
𝑢 + 𝑣
Operações com Vetores
𝑢
 𝑣
 Addition:
𝑢 + 𝑣
Operações com Vetores
𝑢
 𝑣
Operações com Vetores
𝑢
 𝑣
 Addition:
𝑢 + 𝑣
 Subtraction:
𝑢 − 𝑣
= 𝑢 + − 𝑣
Operações com Vetores
𝑢
 𝑣
 Addition:
𝑢 + 𝑣
 Subtraction:
𝑢 − 𝑣
= 𝑢 + − 𝑣
Operações com Vetores
𝑢
 𝑣− 𝑣
 Addition:
𝑢 + 𝑣
 Subtraction:
𝑢 − 𝑣
= 𝑢 + − 𝑣
Operações com Vetores
𝑢
 𝑣− 𝑣
 Addition:
𝑢 + 𝑣
 Subtraction:
𝑢 − 𝑣
= 𝑢 + − 𝑣
Operações com Vetores
𝑢
 𝑣− 𝑣
 Addition:
𝑢 + 𝑣
 Subtraction:
𝑢 − 𝑣
= 𝑢 + − 𝑣
Operações com Vetores
𝑢
 𝑣− 𝑣
Propriedades: Soma Vetorial
22
(comutatividade)
Propriedades: Soma Vetorial
 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢
 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑣 + 𝑢 + 𝑤
 Existe 0 tal que 𝑣 + 0 = 𝑣 para todo 𝑣
 Para todo 𝑣 existe − 𝑣 tal que 𝑣 + − 𝑣 = 0
23
(comutatividade)
(associatividade)
Propriedades: Soma Vetorial
 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢
 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑣 + 𝑢 + 𝑤
 Existe 0 tal que 𝑣 + 0 = 𝑣 para todo 𝑣
 Para todo 𝑣 existe − 𝑣 tal que 𝑣 + − 𝑣 = 0
24
(comutatividade)
(associatividade)
(elemento identidade)
Propriedades: Soma Vetorial
 𝑢 + 𝑣 = 𝑣 + 𝑢
 𝑢 + 𝑣 + 𝑤 = 𝑣 + 𝑢 + 𝑤
 Existe 0 tal que 𝑣 + 0 = 𝑣 para todo 𝑣
 Para todo 𝑣 existe − 𝑣 tal que 𝑣 + − 𝑣 = 0
25
(comutatividade)
(associatividade)
(elemento identidade)
(elemento inverso)
Multiplicação por Escalar
26
 𝑣
Multiplicação por Escalar
27
 𝑣
2 𝑣
Multiplicação por Escalar
28
 𝑣
2 𝑣
−
1
2
 𝑣
Propriedades: Mult. Escalar
29
(“associatividade”)
Propriedades: Mult. Escalar
 (𝑎𝑏) 𝑣 = 𝑎(𝑏 𝑣)
 𝑎 + 𝑏 𝑣 = 𝑎 𝑣 + 𝑏 𝑣
 𝑎 𝑢 + 𝑣 = 𝑎𝑢 + 𝑎 𝑣
 1 𝑣 = 𝑣
30
(“associatividade”)
(distributividade)
Propriedades: Mult. Escalar
 (𝑎𝑏) 𝑣 = 𝑎(𝑏 𝑣)
 𝑎 + 𝑏 𝑣 = 𝑎 𝑣 + 𝑏 𝑣
 𝑎 𝑢 + 𝑣 = 𝑎𝑢 + 𝑎 𝑣
 1 𝑣 = 𝑣
31
(“associatividade”)
(distributividade)
(distributividade)
Propriedades: Mult. Escalar
 (𝑎𝑏) 𝑣 = 𝑎(𝑏 𝑣)
 𝑎 + 𝑏 𝑣 = 𝑎 𝑣 + 𝑏 𝑣
 𝑎 𝑢 + 𝑣 = 𝑎𝑢 + 𝑎 𝑣
 1 𝑣 = 𝑣
32
(“associatividade”)
(distributividade)
(identidade multiplicativa)
(distributividade)
Combinação Linear
33
(números reais)
Combinação Linear
 Dados 𝑁 vetores 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑁 e
𝑁 escalares 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑁,
criamos um novo vetor
𝑤 = 𝑎1 𝑣1 + 𝑎2 𝑣2 +⋯+ 𝑎𝑁 𝑣𝑁
 𝑤 é uma combinação linear de 𝑣1, 𝑣2, …
 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑁 são os coeficientes
34
(números reais)
Combinação Linear
 Dados 𝑁 vetores 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑁 e
𝑁 escalares 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑁,
criamos um novo vetor
𝑤 = 𝑎1 𝑣1 + 𝑎2 𝑣2 +⋯+ 𝑎𝑁 𝑣𝑁
 𝑤 é uma combinação linear de 𝑣1, 𝑣2, …
 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑁 são os coeficientes
35
(números reais)
Combinação Linear
 Dados 𝑁 vetores 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑁 e
𝑁 escalares 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑁,
criamos um novo vetor
𝑤 = 𝑎1 𝑣1 + 𝑎2 𝑣2 +⋯+ 𝑎𝑁 𝑣𝑁
 𝑤 é uma combinação linear de 𝑣1, 𝑣2, …
 𝑎1, 𝑎2, … , 𝑎𝑁 são os coeficientes
36
(números reais)
Representação Computacional
 Como representar vetores em um 
computador?
37
 𝑣
Representação Computacional
 Como representar vetores em um 
computador?
38
 𝑒1
 𝑒2
 𝑣
Representação Computacional
 Como representar vetores em um 
computador?
39
 𝑒1
 𝑒2
 𝑣 = 1 𝑒1 + 2 𝑒2
Representação Computacional
 Como representar vetores em um 
computador?
40
 𝑒1
 𝑒2
 𝑣 = 1 𝑒1 + 2 𝑒2 ≡
1
2
Representação Computacional
 Como representar vetores em um 
computador?
41
 𝑒1
 𝑒2
 𝑣 = 1 𝑒1 + 2 𝑒2 ≡
1
2
Tupla ordenada de coeficientes
(ou componentes)
Sistema de Referência
Representação Computacional
 Como representar vetores em um 
computador?
42
 𝑒1
 𝑒2
 𝑣 = 1 𝑒1 + 2 𝑒2 ≡
1
2
Tupla ordenada de coeficientes
(ou componentes)
Sistema de Referência
struct...
Representação Computacional
 Como representar vetores em um 
computador?
43
 𝑒1
 𝑒2
 𝑣 = 1 𝑒1 + 2 𝑒2 ≡
1
2
Tupla ordenada de coeficientes
(ou componentes)
Sistema de Referência
struct...
Representação Computacional
 Como representar vetores em um 
computador?
44
 𝑒1
 𝑒2
 𝑣 = 1.5 𝑒1 + 1 𝑒2 ≡
1.5
1
Tupla ordenada de coeficientes
(ou componentes)
Sistema de Referência
struct...
Representação Computacional
 Como representar vetores em um 
computador?
45
 𝑒1
 𝑒2
 𝑣 = 1.5 𝑒1 + 1 𝑒2 ≡
1.5
1
≡
?
?
Tupla ordenada de coeficientes
(ou componentes)
Sistema de Referência
struct...
Representação Computacional
 Como representar vetores em um 
computador?
46
 𝑒1
 𝑒2
 𝑣 = 1.5 𝑒1 + 1 𝑒2 ≡
1.5
1
≡
?
?
Tupla ordenada de coeficientes
(ou componentes)
Sistema de Referência
✘
struct...
Operações Computacionais
47
𝑢 = 1.5 𝑒1 + 1 𝑒2
 𝑣 = 1 𝑒1 + 2 𝑒2
Operações Computacionais
48
𝑢 = 1.5 𝑒1 + 1 𝑒2
 𝑣 = 1 𝑒1 + 2 𝑒2
𝑢 + 𝑣 = 1.5 𝑒1 + 1 𝑒2 + (1 𝑒1 + 2 𝑒2)
Operações Computacionais
49
𝑢 = 1.5 𝑒1 + 1 𝑒2
 𝑣 = 1 𝑒1 + 2 𝑒2
𝑢 + 𝑣 = 1.5 𝑒1 + 1 𝑒2 + (1 𝑒1 + 2 𝑒2)
= 2.5 𝑒1 + 3 𝑒2
Operações Computacionais
50
𝑢 = 1.5 𝑒1 + 1 𝑒2
 𝑣 = 1 𝑒1 + 2 𝑒2
𝑢 + 𝑣 = 1.5 𝑒1 + 1 𝑒2 + (1 𝑒1 + 2 𝑒2)
= 2.5 𝑒1 + 3 𝑒2
1.5
1
+
1
2
=
2.5
3
𝑢 𝑣 𝑢 + 𝑣
Operações Computacionais
51
𝑢 = 1.5 𝑒1 + 1 𝑒2
Operações Computacionais
52
𝑢 = 1.5 𝑒1 + 1 𝑒2
3𝑢 =
Operações Computacionais
53
𝑢 = 1.5 𝑒1 + 1 𝑒2
3𝑢 = 3 1.5 𝑒1 + 1 𝑒2
Operações Computacionais
54
𝑢 = 1.5 𝑒1 + 1 𝑒2
3𝑢 = 3 1.5 𝑒1 + 1 𝑒2 = 4.5 𝑒1 + 3 𝑒2
Operações Computacionais
55
𝑢 = 1.5 𝑒1 + 1 𝑒2
3𝑢 = 3 1.5 𝑒1 + 1 𝑒2 = 4.5 𝑒1 + 3 𝑒2
3
1.5
1
=
4.5
3
Operações Computacionais
56
𝑢 = 1.5 𝑒1 + 1 𝑒2
3𝑢 = 3 1.5 𝑒1 + 1 𝑒2 = 4.5 𝑒1 + 3 𝑒2
3
1.5
1
=
4.5
3
𝑎
𝑥
𝑦 =
𝑎𝑥
𝑎𝑦
Perguntas?
57
Problema
58
 𝑒1
 𝑒2
Problema
 Todo vetor no plano deste slide pode ser 
representado como combinação linear 
de 𝑒1 e 𝑒2 ?
59
 𝑒1
 𝑒2
Problema
 Todo vetor no plano deste slide pode ser 
representado como combinação linear 
de 𝑒1 e 𝑒2 ?
60
 𝑒1
 𝑒2
Sim!
Problema
 Todo vetor no plano deste slide pode ser 
representado como combinação linear 
de 𝑒1 e 𝑒2 ?
61
 𝑒2
Sim!
 E removendo 𝑒1?
 E removendo 𝑒2?
Problema
 Todo vetor no plano deste slide pode ser 
representado como combinação linear 
de 𝑒1 e 𝑒2 ?
62
 𝑒2
Sim!
 E removendo 𝑒1?
 E removendo 𝑒2?
Não!
Problema
 Todo vetor no plano deste slide pode ser 
representado como combinação linear 
de 𝑒1 e 𝑒2 ?
63
 𝑒1
Sim!
 E removendo 𝑒1?
 E removendo 𝑒2?
Não!
Problema
 Todo vetor no plano deste slidepode ser 
representado como combinação linear 
de 𝑒1 e 𝑒2 ?
64
 𝑒1
Sim!
 E removendo 𝑒1?
 E removendo 𝑒2?
Não!
Não!
Problema
 Todo vetor no plano deste slide pode ser 
representado como combinação linear 
de 𝑒1 e 𝑒2 ?
65
 𝑒1
 𝑒2
Sim!
 E removendo 𝑒1?
 E removendo 𝑒2?
Não!
Não!
Logo 𝑒1 e 𝑒2 formam uma 
base para o plano. 
Problema
 Todo vetor no plano deste slide pode ser 
representado como combinação linear 
de 𝑒1, 𝑒2 e 𝑒3?
66
 𝑒1
 𝑒2
 𝑒3
Problema
 Todo vetor no plano deste slide pode ser 
representado como combinação linear 
de 𝑒1, 𝑒2 e 𝑒3?
67
 𝑒1
 𝑒2
Sim!
 𝑒3
Problema
 Todo vetor no plano deste slide pode ser 
representado como combinação linear 
de 𝑒1, 𝑒2 e 𝑒3?
68
 𝑒2
Sim!
 E removendo 𝑒1?
 E removendo 𝑒2?
 E removendo 𝑒3?
 𝑒3
Problema
 Todo vetor no plano deste slide pode ser 
representado como combinação linear 
de 𝑒1, 𝑒2 e 𝑒3?
69
 𝑒2
Sim!
 E removendo 𝑒1?
 E removendo 𝑒2?
 E removendo 𝑒3?
Sim!
 𝑒3
Problema
 Todo vetor no plano deste slide pode ser 
representado como combinação linear 
de 𝑒1, 𝑒2 e 𝑒3?
70
 𝑒1
Sim!
 E removendo 𝑒1?
 E removendo 𝑒2?
 E removendo 𝑒3?
Sim!
 𝑒3
Problema
 Todo vetor no plano deste slide pode ser 
representado como combinação linear 
de 𝑒1, 𝑒2 e 𝑒3?
71
 𝑒1
Sim!
 E removendo 𝑒1?
 E removendo 𝑒2?
 E removendo 𝑒3?
Sim!
 𝑒3
Sim!
Problema
 Todo vetor no plano deste slide pode ser 
representado como combinação linear 
de 𝑒1, 𝑒2 e 𝑒3?
72
 𝑒1
 𝑒2
Sim!
 E removendo 𝑒1?
 E removendo 𝑒2?
 E removendo 𝑒3?
Sim!
Sim!
Problema
 Todo vetor no plano deste slide pode ser 
representado como combinação linear 
de 𝑒1, 𝑒2 e 𝑒3?
73
 𝑒1
 𝑒2
Sim!
 E removendo 𝑒1?
 E removendo 𝑒2?
 E removendo 𝑒3?
Sim!
Sim!
Sim!
Problema
 Todo vetor no plano deste slide pode ser 
representado como combinação linear 
de 𝑒1, 𝑒2 e 𝑒3?
74
 𝑒1
 𝑒2
Sim!
 E removendo 𝑒1?
 E removendo 𝑒2?
 E removendo 𝑒3?
Sim!
 𝑒3
Sim!
Sim!
Logo 𝑒1, 𝑒2 e 𝑒3 ≠ base
 𝑒3 é combinação linear de 𝑒1 e 𝑒2:
 Portanto, dizemos que o conjunto 
{ 𝑒1, 𝑒2, 𝑒3} é linearmente dependente
Problema
75
 𝑒1
 𝑒2
 𝑒3
 𝑒3 é combinação linear de 𝑒1 e 𝑒2:
 Portanto, dizemos que o conjunto 
{ 𝑒1, 𝑒2, 𝑒3} é linearmente dependente
Problema
76
 𝑒1
 𝑒2
 𝑒3
 𝑒3 = 0.25 𝑒1 − 0.3 𝑒2
 𝑒3 é combinação linear de 𝑒1 e 𝑒2:
 Portanto, dizemos que o conjunto 
{ 𝑒1, 𝑒2, 𝑒3} é linearmente dependente
Problema
77
 𝑒1
 𝑒2
 𝑒3
 𝑒3 = 0.25 𝑒1 − 0.3 𝑒2
 𝑒3 é combinação linear de 𝑒1 e 𝑒2:
 Portanto, dizemos que o conjunto 
{ 𝑒1, 𝑒2, 𝑒3} é linearmente dependente
Problema
78
 𝑒1
 𝑒2
 𝑒3 Logo 𝑒1, 𝑒2 e 𝑒3 ≠ base
 𝑒3 = 0.25 𝑒1 − 0.3 𝑒2
Definição: Independência Linear
79
Definição: Independência Linear
 O conjunto de vetores 𝑉 = 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑁 é 
linearmente dependente se e somente 
se existe 𝑣𝑖 ∈ 𝑉 e {𝑎𝑗} ∈ ℝ tal que
 𝑣𝑖 = 
𝑣𝑗∈𝑉
𝑣𝑗≠𝑣𝑖
𝑎𝑗 𝑣𝑗
 Senão, 𝑉 é linearmente independente
80
(combinação linear)
Definição: Independência Linear
 O conjunto de vetores 𝑉 = 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑁 é 
linearmente dependente se e somente 
se existe 𝑣𝑖 ∈ 𝑉 e {𝑎𝑗} ∈ ℝ tal que
 𝑣𝑖 = 
𝑣𝑗∈𝑉
𝑣𝑗≠𝑣𝑖
𝑎𝑗 𝑣𝑗
 Senão, 𝑉 é linearmente independente
81
(combinação linear)
Definição: Base Vetorial
82
Definição: Base Vetorial
 Uma base é um conjunto de vetores 
linearmente independentes cuja 
combinação linear pode gerar todos 
vetores do espaço vetorial 𝓥 em questão
 Cada 𝓥 possui inúmeras bases, mas 
todas terão o mesmo número de vetores
 Este número é a dimensão de 𝓥
83
Definição: Base Vetorial
 Uma base é um conjunto de vetores 
linearmente independentes cuja 
combinação linear pode gerar todos 
vetores do espaço vetorial 𝓥 em questão
 Cada 𝓥 possui inúmeras bases, mas 
todas terão o mesmo número de vetores
 Este número é a dimensão de 𝓥
84
Definição: Base Vetorial
 Uma base é um conjunto de vetores 
linearmente independentes cuja 
combinação linear pode gerar todos 
vetores do espaço vetorial 𝓥 em questão
 Cada 𝓥 possui inúmeras bases, mas 
todas terão o mesmo número de vetores
 Este número é a dimensão de 𝓥
85
(Plano?)
Definição: Base Vetorial
 Uma base é um conjunto de vetores 
linearmente independentes cuja 
combinação linear pode gerar todos 
vetores do espaço vetorial 𝓥 em questão
 Cada 𝓥 possui inúmeras bases, mas 
todas terão o mesmo número de vetores
 Este número é a dimensão de 𝓥
86
(Plano?)
Definição: Base Vetorial
 Uma base é um conjunto de vetores 
linearmente independentes cuja 
combinação linear pode gerar todos 
vetores do espaço vetorial 𝓥 em questão
 Cada 𝓥 possui inúmeras bases, mas 
todas terão o mesmo número de vetores
 Este número é a dimensão de 𝓥
87
(Plano?)
Definição: Base Vetorial
 Uma base é um conjunto de vetores 
linearmente independentes cuja 
combinação linear pode gerar todos 
vetores do espaço vetorial 𝓥 em questão
 Cada 𝓥 possui inúmeras bases, mas 
todas terão o mesmo número de vetores
 Este número é a dimensão de 𝓥
88
✘
(Plano?)
Definição: Base Vetorial
 Uma base é um conjunto de vetores 
linearmente independentes cuja 
combinação linear pode gerar todos 
vetores do espaço vetorial 𝓥 em questão
 Cada 𝓥 possui inúmeras bases, mas 
todas terão o mesmo número de vetores
 Este número é a dimensão de 𝓥
89
✘
(Plano?)
Definição: Base Vetorial
 Uma base é um conjunto de vetores 
linearmente independentes cuja 
combinação linear pode gerar todos 
vetores do espaço vetorial 𝓥 em questão
 Cada 𝓥 possui inúmeras bases, mas 
todas terão o mesmo número de vetores
 Este número é a dimensão de 𝓥
90
✘
(Plano?)
Definição: Base Vetorial
 Uma base é um conjunto de vetores 
linearmente independentes cuja 
combinação linear pode gerar todos 
vetores do espaço vetorial 𝓥 em questão
 Cada 𝓥 possui inúmeras bases, mas 
todas terão o mesmo número de vetores
 Este número é a dimensão de 𝓥
91
✘✘
(Plano?)
Projeções em Bases
92
Projeções em Bases
 Dado um vetor 𝒗 representado em uma 
base 𝑩, como representamos 𝒗 em 
outra base 𝑩′?
 Discutiremos isso na aula de 
Transformações Geométricas
 Mas, revisem mudanças de bases!
 Bases ortogonais
93
Projeções em Bases
 Dado um vetor 𝒗 representado em uma 
base 𝑩, como representamos 𝒗 em 
outra base 𝑩′?
 Discutiremos isso na aula de 
Transformações Geométricas
 Mas, revisem mudanças de bases!
 Bases ortogonais
94
90°
Perguntas?
95
Norma (geométrica)
96
 𝑣
Norma (geométrica)
97
 𝑣
 𝑣
Norma (geométrica)
 Magnitude, norma, comprimento
 Magnitude, norm, length
 Função que mapeia um vetor
em um número real
98
 𝑣
 𝑣
Norma (geométrica)
 Magnitude, norma, comprimento
 Magnitude, norm, length
 Função que mapeia um vetor
em um número real
99
 𝑣
 𝑣
 𝑣 ≥ 0
Norma (geométrica)
 Magnitude, norma, comprimento
 Magnitude, norm, length
 Função que mapeia um vetor
em um número real
100
 𝑣
 𝑣
 𝑣 ≥ 0 𝑣 = 0 ⟺ 𝑣 = 0
Norma (geométrica)
 Magnitude, norma, comprimento
 Magnitude, norm, length
 Função que mapeia um vetor
em um número real
101
 𝑣
 𝑣
 𝑣 ≥ 0 𝑣 = 0 ⟺ 𝑣 = 0
Norma (geométrica)
 Magnitude, norma, comprimento
 Magnitude, norm, length
 Função que mapeia um vetor
em um número real
102
 𝑣
 𝑣
 𝑣 ≥ 0 𝑣 = 0 ⟺ 𝑣 = 0
𝑎 𝑣 = 𝑎 𝑣
Norma (geométrica)
 Magnitude, norma, comprimento
 Magnitude, norm, length
 Função que mapeia um vetor
em um número real
103
 𝑣
 𝑣
 𝑣 ≥ 0 𝑣 = 0 ⟺ 𝑣 = 0
𝑎 𝑣 = 𝑎 𝑣
𝑢 + 𝑣 ≤ 𝑢 + 𝑣
Norma (geométrica)
 Magnitude, norma, comprimento
 Magnitude, norm, length
 Função que mapeiaum vetor
em um número real
104
 𝑣
 𝑣
 𝑣 ≥ 0 𝑣 = 0 ⟺ 𝑣 = 0
𝑎 𝑣 = 𝑎 𝑣
𝑢 + 𝑣 ≤ 𝑢 + 𝑣 (desigualdade triangular)
𝑢
 𝑣
Norma (geométrica)
 Magnitude, norma, comprimento
 Magnitude, norm, length
 Função que mapeia um vetor
em um número real
105
 𝑣
 𝑣
 𝑣 ≥ 0 𝑣 = 0 ⟺ 𝑣 = 0
𝑎 𝑣 = 𝑎 𝑣
𝑢 + 𝑣 ≤ 𝑢 + 𝑣 (desigualdade triangular)
𝑢
 𝑣
Normalização
106
 𝑣 = 1
Normalização
 Força comprimento unitário
 Operação muito importante em CG!
 Seja 𝑢 vetor qualquer (não zero)
107
 𝑣 = 1
𝑢
Normalização
 Força comprimento unitário
 Operação muito importante em CG!
 Seja 𝑢 vetor qualquer (não zero)
108
 𝑣 = 1
𝑢
 𝑣
Normalização
 Força comprimento unitário
 Operação muito importante em CG!
 Seja 𝑢 vetor qualquer (não zero)
109
 𝑣 = 1
𝑢
 𝑣
1
Normalização
 Força comprimento unitário
 Operação muito importante em CG!
 Seja 𝑢 vetor qualquer (não zero)
110
 𝑣 = 1
=
𝑢
𝑢
𝑢
 𝑣
1
Normalização
 Força comprimento unitário
 Operação muito importante em CG!
 Seja 𝑢 vetor qualquer (não zero)
111
 𝑣 = 1
=
𝑢
𝑢
𝑢
 𝑣
1
Normalização
 Força comprimento unitário
 Operação muito importante em CG!
 Seja 𝑢 vetor qualquer (não zero)
112
 𝑣 = 1
=
𝑢
𝑢
𝑢
 𝑣
1
Normalização
 Força comprimento unitário
 Operação muito importante em CG!
 Seja 𝑢 vetor qualquer (não zero)
113
 𝑣 = 1
=
𝑢
𝑢
𝑢
 𝑣
1
Normalização
 Força comprimento unitário
 Operação muito importante em CG!
 Seja 𝑢 vetor qualquer (não zero)
114
 𝑣 = 1
=
𝑢
𝑢
𝑢
 𝑣
1
círculo unitário
Normalização
 Força comprimento unitário
 Operação muito importante em CG!
 Seja 𝑢 vetor qualquer (não zero)
115
 𝑣 = 1
=
𝑢
𝑢
𝑢
 𝑣
1
círculo unitário
Orthonormal
116
Base (2D)
Orthonormal
117
Base (2D)
90°
Base (2D)
Ortogonal
Orthonormal
118
Base (2D)
90°
Base (2D)
Ortogonal
90°
Base (2D)
Ortonormal
Queremos esta
para CG !
Orthonormal
119
Base (2D)
90°
Base (2D)
Ortogonal
90°
Base (2D)
Ortonormal
Calculando a Norma
120
𝑢 =
𝟏
𝟏
Calculando a Norma
 Procedimento depende do sistema de 
referência!
 Veremos os cálculos em breve...
121
𝑢 =
𝟏
𝟏
Calculando a Norma
 Procedimento depende do sistema de 
referência!
 Veremos os cálculos em breve...
122
𝑢 =
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
≡ 1 𝑒1 + 1 𝑒2
Calculando a Norma
 Procedimento depende do sistema de 
referência!
 Veremos os cálculos em breve...
123
𝑢 =
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
≡ 1 𝑒1 + 1 𝑒2
 𝑒1
 𝑒2
Calculando a Norma
 Procedimento depende do sistema de 
referência!
 Veremos os cálculos em breve...
124
𝑢 =
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
≡ 1 𝑒1 + 1 𝑒2
 𝑒1
 𝑒2
Calculando a Norma
 Procedimento depende do sistema de 
referência!
 Veremos os cálculos em breve...
125
𝑢 =
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
≡ 1 𝑒1 + 1 𝑒2
 𝑒1
 𝑒2
 𝑒1
 𝑒2
Calculando a Norma
 Procedimento depende do sistema de 
referência!
 Veremos os cálculos em breve...
126
𝑢 =
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
≡ 1 𝑒1 + 1 𝑒2
 𝑒1
 𝑒2
 𝑒1
 𝑒2
Calculando a Norma
 Procedimento depende do sistema de 
referência!
 Veremos os cálculos em breve...
127
𝑢 =
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
≡ 1 𝑒1 + 1 𝑒2
 𝑒1
 𝑒2
 𝑒1
 𝑒2
Revisando... Trigonometria
128
Revisando... Trigonometria
129
Círculo unitário (raio = 1)
𝟎
Revisando... Trigonometria
130
Círculo unitário (raio = 1)
𝟎
0
Revisando... Trigonometria
131
Círculo unitário (raio = 1)
𝟎
0
90
Revisando... Trigonometria
132
Círculo unitário (raio = 1)
𝟎
0
90
180
Revisando... Trigonometria
133
Círculo unitário (raio = 1)
𝟎
0
90
180
270
Revisando... Trigonometria
134
Círculo unitário (raio = 1)
𝟎
0
90
180
270
360
Revisando... Trigonometria
135
Círculo unitário (raio = 1)
𝟎
0
90
180
270
360
2𝜋
Revisando... Trigonometria
136
Círculo unitário (raio = 1)
𝟎
0
90
180
270
360
𝜋/2
𝜋
3𝜋/2
2𝜋
Revisando... Trigonometria
137
Círculo unitário (raio = 1)
0
90
180
270
360
𝜋/2
𝜋
3𝜋/2
2𝜋
𝟎
Revisando... Trigonometria
138
Círculo unitário (raio = 1)
0
90
180
270
360
𝜋/2
𝜋
3𝜋/2
2𝜋
𝜽
𝟎
Revisando... Trigonometria
139
Círculo unitário (raio = 1)
0
90
180
270
360
𝜋/2
𝜋
3𝜋/2
2𝜋
𝜽
cos 𝜃𝟎
Revisando... Trigonometria
140
Círculo unitário (raio = 1)
0
90
180
270
360
𝜋/2
𝜋
3𝜋/2
2𝜋
𝜽
cos 𝜃
sin 𝜃
𝟎
Revisando... Trigonometria
141
Círculo unitário (raio = 1)
0
90
180
270
360
𝜋/2
𝜋
3𝜋/2
2𝜋
𝜽
cos 𝜃
sin 𝜃 cos 0 = 1
𝟎
Revisando... Trigonometria
142
Círculo unitário (raio = 1)
0
90
180
270
360
𝜋/2
𝜋
3𝜋/2
2𝜋
𝜽
cos 𝜃
sin 𝜃 cos 0 = 1
cos 90 = 0
𝟎
Revisando... Trigonometria
143
Círculo unitário (raio = 1)
0
90
180
270
360
𝜋/2
𝜋
3𝜋/2
2𝜋
𝜽
cos 𝜃
sin 𝜃 cos 0 = 1
cos 90 = 0
cos 180 = −1
𝟎
Revisando... Trigonometria
144
Círculo unitário (raio = 1)
0
90
180
270
360
𝜋/2
𝜋
3𝜋/2
2𝜋
𝜽
cos 𝜃
sin 𝜃 cos 0 = 1
cos 90 = 0
cos 180 = −1
𝟎
cos 270 = 0
Revisando... Trigonometria
145
Círculo unitário (raio = 1)
0
90
180
270
360
𝜋/2
𝜋
3𝜋/2
2𝜋
𝜽
cos 𝜃
sin 𝜃 cos 0 = 1
cos 90 = 0
cos 180 = −1
𝟎
cos 270 = 0
cos 360 = 1
Produto Interno / Escalar (em ℝ)
146
Produto Interno / Escalar (em ℝ)
 Inner, scalar, dot product
 Função que mapeia dois vetores em um 
número real
147
𝑢 ⋅ 𝑣
Produto Interno / Escalar (em ℝ)
 Inner, scalar, dot product
 Função que mapeia dois vetores em um 
número real
148
𝑢 ⋅ 𝑣 𝑢, 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢, 𝑣
Produto Interno / Escalar (em ℝ)
 Inner, scalar, dot product
 Função que mapeia dois vetores em um 
número real
149
𝑢 ⋅ 𝑣 𝑢, 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢, 𝑣
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑣 ⋅ 𝑢 (simetria)
Produto Interno / Escalar (em ℝ)
 Inner, scalar, dot product
 Função que mapeia dois vetores em um 
número real
150
𝑢 ⋅ 𝑣 𝑢, 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢, 𝑣
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑣 ⋅ 𝑢 (simetria)
𝑢 + 𝑣 ⋅ 𝑤 = 𝑢 ⋅ 𝑤 + 𝑣 ⋅ 𝑤 (distributividade)
Produto Interno / Escalar (em ℝ)
 Inner, scalar, dot product
 Função que mapeia dois vetores em um 
número real
151
𝑢 ⋅ 𝑣 𝑢, 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢, 𝑣
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑣 ⋅ 𝑢 (simetria)
𝑢 + 𝑣 ⋅ 𝑤 = 𝑢 ⋅ 𝑤 + 𝑣 ⋅ 𝑤 (distributividade)
𝑎𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑎(𝑢 ⋅ 𝑣) (“associatividade”)
Produto Interno / Escalar (em ℝ)
 Inner, scalar, dot product
 Função que mapeia dois vetores em um 
número real
152
𝑢 ⋅ 𝑣 𝑢, 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢, 𝑣
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑣 ⋅ 𝑢 (simetria)
𝑢 + 𝑣 ⋅ 𝑤 = 𝑢 ⋅ 𝑤 + 𝑣 ⋅ 𝑤 (distributividade)
𝑎𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑎(𝑢 ⋅ 𝑣) (“associatividade”)
 𝑣 ⋅ 𝑣 ≥ 0 (positividade)
Produto Interno / Escalar (em ℝ)
 Inner, scalar, dot product
 Função que mapeia dois vetores em um 
número real
153
𝑢 ⋅ 𝑣 𝑢, 𝑣 𝑢 𝑣 𝑢, 𝑣
 𝑣 ⋅ 𝑣 = 0 ⟺ 𝑣 = 0
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑣 ⋅ 𝑢 (simetria)
𝑢 + 𝑣 ⋅ 𝑤 = 𝑢 ⋅ 𝑤 + 𝑣 ⋅ 𝑤 (distributividade)
𝑎𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑎(𝑢 ⋅ 𝑣) (“associatividade”)
 𝑣 ⋅ 𝑣 ≥ 0 (positividade)
Produto Interno / Escalar (em ℝ)
154
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 𝑣 cos 𝜃
𝑢
 𝑣
𝜃
Produto Interno / Escalar (em ℝ)
 Definição:
 Em qualquer dimensão!
 Propriedades:
155
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 𝑣 cos 𝜃
𝑢
 𝑣
𝜃
Produto Interno / Escalar (em ℝ)
 Definição:
 Em qualquer dimensão!
 Propriedades:
156
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 𝑣 cos 𝜃
𝑢
 𝑣
𝜃
Produto Interno / Escalar (em ℝ)
 Definição:
 Em qualquer dimensão!
 Propriedades:
157
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 𝑣 cos 𝜃
𝑢
 𝑣
𝜃
Produto Interno / Escalar (em ℝ)
 Definição:
 Em qualquer dimensão!
 Propriedades:
158
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 𝑣 cos 𝜃
𝑢
 𝑣
𝜃
90° 𝑢 ⋅ 𝑣 =
Produto Interno / Escalar (em ℝ)
 Definição:
 Em qualquer dimensão!
 Propriedades:
159
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 𝑣 cos 𝜃
𝑢
 𝑣
𝜃
90° 𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝟎 (vetores ortogonais)
Produto Interno / Escalar (em ℝ)
 Definição:
 Em qualquer dimensão!
 Propriedades:
160
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 𝑣 cos 𝜃
𝑢
 𝑣
𝜃
90° 𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝟎 (vetores ortogonais)
𝑢 ⋅ 𝑣< 90°
Produto Interno / Escalar (em ℝ)
 Definição:
Em qualquer dimensão!
 Propriedades:
161
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 𝑣 cos 𝜃
𝑢
 𝑣
𝜃
90° 𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝟎 (vetores ortogonais)
𝑢 ⋅ 𝑣 > 𝟎< 90°
Produto Interno / Escalar (em ℝ)
 Definição:
 Em qualquer dimensão!
 Propriedades:
162
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 𝑣 cos 𝜃
𝑢
 𝑣
𝜃
90° 𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝟎 (vetores ortogonais)
𝑢 ⋅ 𝑣 > 𝟎< 90° 𝑢 ⋅ 𝑣
> 90°
Produto Interno / Escalar (em ℝ)
 Definição:
 Em qualquer dimensão!
 Propriedades:
163
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 𝑣 cos 𝜃
𝑢
 𝑣
𝜃
90° 𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝟎 (vetores ortogonais)
𝑢 ⋅ 𝑣 > 𝟎< 90° 𝑢 ⋅ 𝑣 < 𝟎
> 90°
Calculando
 Seja { 𝑒1, 𝑒2} base orthonormal:
164
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒖 𝒗 𝐜𝐨𝐬𝜽
Calculando
 Seja { 𝑒1, 𝑒2} base orthonormal:
165
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒖 𝒗 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝑢 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2
 𝑣 = 𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2
Calculando
 Seja { 𝑒1, 𝑒2} base orthonormal:
166
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒖 𝒗 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝑢 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2
 𝑣 = 𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2
≡
𝑢1
𝑢2
≡
𝑣1
𝑣2
Calculando
 Seja { 𝑒1, 𝑒2} base orthonormal:
167
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒖 𝒗 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝑢 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2
 𝑣 = 𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2
𝑢 ⋅ 𝑣 =
≡
𝑢1
𝑢2
≡
𝑣1
𝑣2
Calculando
 Seja { 𝑒1, 𝑒2} base orthonormal:
168
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒖 𝒗 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝑢 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2
 𝑣 = 𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2 ⋅ (𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2)
≡
𝑢1
𝑢2
≡
𝑣1
𝑣2
Calculando
 Seja { 𝑒1, 𝑒2} base orthonormal:
169
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒖 𝒗 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝑢 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2
 𝑣 = 𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2 ⋅ (𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2)
= 𝑢1𝑣1( 𝑒1 ⋅ 𝑒1)
≡
𝑢1
𝑢2
≡
𝑣1
𝑣2
Calculando
 Seja { 𝑒1, 𝑒2} base orthonormal:
170
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒖 𝒗 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝑢 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2
 𝑣 = 𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2 ⋅ (𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2)
= 𝑢1𝑣1( 𝑒1 ⋅ 𝑒1) + 𝑢1𝑣2( 𝑒1 ⋅ 𝑒2)
≡
𝑢1
𝑢2
≡
𝑣1
𝑣2
Calculando
 Seja { 𝑒1, 𝑒2} base orthonormal:
171
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒖 𝒗 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝑢 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2
 𝑣 = 𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2 ⋅ (𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2)
= 𝑢1𝑣1( 𝑒1 ⋅ 𝑒1) + 𝑢1𝑣2( 𝑒1 ⋅ 𝑒2)
+ 𝑢2𝑣1( 𝑒2 ⋅ 𝑒1)
≡
𝑢1
𝑢2
≡
𝑣1
𝑣2
Calculando
 Seja { 𝑒1, 𝑒2} base orthonormal:
172
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒖 𝒗 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝑢 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2
 𝑣 = 𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2 ⋅ (𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2)
= 𝑢1𝑣1( 𝑒1 ⋅ 𝑒1) + 𝑢1𝑣2( 𝑒1 ⋅ 𝑒2)
+ 𝑢2𝑣1( 𝑒2 ⋅ 𝑒1) + 𝑢2𝑣2( 𝑒2 ⋅ 𝑒2)
≡
𝑢1
𝑢2
≡
𝑣1
𝑣2
Calculando
 Seja { 𝑒1, 𝑒2} base orthonormal:
173
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒖 𝒗 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝑢 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2
 𝑣 = 𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2 ⋅ (𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2)
= 𝑢1𝑣1( 𝑒1 ⋅ 𝑒1) + 𝑢1𝑣2( 𝑒1 ⋅ 𝑒2)
+ 𝑢2𝑣1( 𝑒2 ⋅ 𝑒1) + 𝑢2𝑣2( 𝑒2 ⋅ 𝑒2)
≡
𝑢1
𝑢2
≡
𝑣1
𝑣2
Calculando
 Seja { 𝑒1, 𝑒2} base orthonormal:
174
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒖 𝒗 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝑢 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2
 𝑣 = 𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2 ⋅ (𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2)
= 𝑢1𝑣1( 𝑒1 ⋅ 𝑒1) + 𝑢1𝑣2( 𝑒1 ⋅ 𝑒2)
+ 𝑢2𝑣1( 𝑒2 ⋅ 𝑒1) + 𝑢2𝑣2( 𝑒2 ⋅ 𝑒2)
= 𝑢1𝑣1 𝑒1
2
≡
𝑢1
𝑢2
≡
𝑣1
𝑣2
Calculando
 Seja { 𝑒1, 𝑒2} base orthonormal:
175
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒖 𝒗 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝑢 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2
 𝑣 = 𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2 ⋅ (𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2)
= 𝑢1𝑣1( 𝑒1 ⋅ 𝑒1) + 𝑢1𝑣2( 𝑒1 ⋅ 𝑒2)
+ 𝑢2𝑣1( 𝑒2 ⋅ 𝑒1) + 𝑢2𝑣2( 𝑒2 ⋅ 𝑒2)
= 𝑢1𝑣1 𝑒1
2
≡
𝑢1
𝑢2
≡
𝑣1
𝑣2
90°
Calculando
 Seja { 𝑒1, 𝑒2} base orthonormal:
176
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒖 𝒗 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝑢 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2
 𝑣 = 𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2 ⋅ (𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2)
= 𝑢1𝑣1( 𝑒1 ⋅ 𝑒1) + 𝑢1𝑣2( 𝑒1 ⋅ 𝑒2)
+ 𝑢2𝑣1( 𝑒2 ⋅ 𝑒1) + 𝑢2𝑣2( 𝑒2 ⋅ 𝑒2)
= 𝑢1𝑣1 𝑒1
2
≡
𝑢1
𝑢2
≡
𝑣1
𝑣2
0
90°
Calculando
 Seja { 𝑒1, 𝑒2} base orthonormal:
177
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒖 𝒗 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝑢 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2
 𝑣 = 𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2 ⋅ (𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2)
= 𝑢1𝑣1( 𝑒1 ⋅ 𝑒1) + 𝑢1𝑣2( 𝑒1 ⋅ 𝑒2)
+ 𝑢2𝑣1( 𝑒2 ⋅ 𝑒1) + 𝑢2𝑣2( 𝑒2 ⋅ 𝑒2)
= 𝑢1𝑣1 𝑒1
2
≡
𝑢1
𝑢2
≡
𝑣1
𝑣2
0
0
90°
Calculando
 Seja { 𝑒1, 𝑒2} base orthonormal:
178
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒖 𝒗 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝑢 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2
 𝑣 = 𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2 ⋅ (𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2)
= 𝑢1𝑣1( 𝑒1 ⋅ 𝑒1) + 𝑢1𝑣2( 𝑒1 ⋅ 𝑒2)
+ 𝑢2𝑣1( 𝑒2 ⋅ 𝑒1) + 𝑢2𝑣2( 𝑒2 ⋅ 𝑒2)
= 𝑢1𝑣1 𝑒1
2 + 𝑢2𝑣2 𝑒2
2
≡
𝑢1
𝑢2
≡
𝑣1
𝑣2
0
0
90°
Calculando
 Seja { 𝑒1, 𝑒2} base orthonormal:
179
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒖 𝒗 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝑢 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2
 𝑣 = 𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2 ⋅ (𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2)
= 𝑢1𝑣1( 𝑒1 ⋅ 𝑒1) + 𝑢1𝑣2( 𝑒1 ⋅ 𝑒2)
+ 𝑢2𝑣1( 𝑒2 ⋅ 𝑒1) + 𝑢2𝑣2( 𝑒2 ⋅ 𝑒2)
= 𝑢1𝑣1 𝑒1
2 + 𝑢2𝑣2 𝑒2
2
≡
𝑢1
𝑢2
≡
𝑣1
𝑣2
= 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2
0
0
90°
Calculando
 Seja { 𝑒1, 𝑒2} base orthonormal:
180
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒖 𝒗 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝑢 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2
 𝑣 = 𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2 ⋅ (𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2)
= 𝑢1𝑣1( 𝑒1 ⋅ 𝑒1) + 𝑢1𝑣2( 𝑒1 ⋅ 𝑒2)
+ 𝑢2𝑣1( 𝑒2 ⋅ 𝑒1) + 𝑢2𝑣2( 𝑒2 ⋅ 𝑒2)
= 𝑢1𝑣1 𝑒1
2 + 𝑢2𝑣2 𝑒2
2
≡
𝑢1
𝑢2
≡
𝑣1
𝑣2
= 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2
0
0
90°
Calculando
 Seja { 𝑒1, 𝑒2} base orthonormal:
181
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒖 𝒗 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝑢 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2
 𝑣 = 𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2 ⋅ (𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2)
= 𝑢1𝑣1( 𝑒1 ⋅ 𝑒1) + 𝑢1𝑣2( 𝑒1 ⋅ 𝑒2)
+ 𝑢2𝑣1( 𝑒2 ⋅ 𝑒1) + 𝑢2𝑣2( 𝑒2 ⋅ 𝑒2)
= 𝑢1𝑣1 𝑒1
2 + 𝑢2𝑣2 𝑒2
2
≡
𝑢1
𝑢2
≡
𝑣1
𝑣2
= 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2
0
0
90°
Calculando
 Seja { 𝑒1, 𝑒2} base orthonormal:
182
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒖 𝒗 𝐜𝐨𝐬𝜽
𝑢 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2
 𝑣 = 𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2 ⋅ (𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2)
= 𝑢1𝑣1( 𝑒1 ⋅ 𝑒1) + 𝑢1𝑣2( 𝑒1 ⋅ 𝑒2)
+ 𝑢2𝑣1( 𝑒2 ⋅ 𝑒1) + 𝑢2𝑣2( 𝑒2 ⋅ 𝑒2)
≡
𝑢1
𝑢2
≡
𝑣1
𝑣2
Calculando
183
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒖 𝒗 𝐜𝐨𝐬𝜽
 Genericamente, para qualquer base
orthonormal { 𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑁}:
Calculando
184
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒖 𝒗 𝐜𝐨𝐬𝜽
 Genericamente, para qualquer base
orthonormal { 𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑁}:
𝑢 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2 +⋯+ 𝑢𝑁 𝑒𝑁
Calculando
185
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒖 𝒗 𝐜𝐨𝐬𝜽
 Genericamente, para qualquer base
orthonormal { 𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑁}:
𝑢 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2 +⋯+ 𝑢𝑁 𝑒𝑁
𝑢1
⋮
𝑢𝑁
Calculando
186
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒖 𝒗 𝐜𝐨𝐬𝜽
 Genericamente, para qualquer base
orthonormal { 𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑁}:
𝑢 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2 +⋯+ 𝑢𝑁 𝑒𝑁
 𝑣 = 𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2 +⋯+ 𝑣𝑁 𝑒𝑁
𝑢1
⋮
𝑢𝑁
Calculando
187
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒖 𝒗 𝐜𝐨𝐬𝜽
 Genericamente, para qualquer base
orthonormal { 𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑁}:
𝑢 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2 +⋯+ 𝑢𝑁 𝑒𝑁
 𝑣 = 𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2 +⋯+ 𝑣𝑁 𝑒𝑁
𝑢1
⋮
𝑢𝑁
𝑣1
⋮
𝑣𝑁
Calculando
188
𝒖 ⋅ 𝒗 = 𝒖 𝒗 𝐜𝐨𝐬𝜽
 Genericamente, para qualquer base
orthonormal { 𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑁}:
𝑢 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2 +⋯+ 𝑢𝑁 𝑒𝑁
 𝑣 = 𝑣1 𝑒1 + 𝑣2 𝑒2 +⋯+ 𝑣𝑁 𝑒𝑁
𝑢1
⋮
𝑢𝑁
𝑣1
⋮
𝑣𝑁𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢1𝑣1 + 𝑢2𝑣2 +⋯+ 𝑢𝑁𝑣𝑁
Perguntas?
189
Calculando a Norma (finalmente!)
190
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 𝑣 cos 𝜃
Calculando a Norma (finalmente!)
191
𝑢 ⋅ 𝑢 =
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 𝑣 cos 𝜃
Calculando a Norma (finalmente!)
192
𝑢 ⋅ 𝑢 =
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 𝑣 cos 𝜃
𝑢
Calculando a Norma (finalmente!)
193
𝑢 ⋅ 𝑢 =
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 𝑣 cos 𝜃
𝑢 𝑢
Calculando a Norma (finalmente!)
194
𝑢 ⋅ 𝑢 =
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 𝑣 cos 𝜃
𝑢 cos 0𝑢
Calculando a Norma (finalmente!)
195
𝑢 ⋅ 𝑢 =
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 𝑣 cos 𝜃
𝑢 cos 0 = 𝑢 2𝑢
Calculando a Norma (finalmente!)
196
𝑢 ⋅ 𝑢 =
⟺ 𝑢 = 𝑢 ⋅ 𝑢
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 𝑣 cos 𝜃
𝑢 cos 0 = 𝑢 2𝑢
 Seja 
Calculando a Norma (finalmente!)
197
𝑢 ⋅ 𝑢 =
⟺ 𝑢 = 𝑢 ⋅ 𝑢
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 𝑣 cos 𝜃
𝑢 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2 +⋯+ 𝑢𝑁 𝑒𝑁
𝑢 cos 0 = 𝑢 2𝑢
 Seja 
Calculando a Norma (finalmente!)
198
𝑢 ⋅ 𝑢 =
⟺ 𝑢 = 𝑢 ⋅ 𝑢
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 𝑣 cos 𝜃
𝑢 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2 +⋯+ 𝑢𝑁 𝑒𝑁 ≡
𝑢1
⋮
𝑢𝑁
𝑢 cos 0 = 𝑢 2𝑢
 Seja 
Calculando a Norma (finalmente!)199
𝑢 ⋅ 𝑢 =
⟺ 𝑢 = 𝑢 ⋅ 𝑢
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 𝑣 cos 𝜃
𝑢 = 𝑢1
2 + 𝑢2
2 +⋯+ 𝑢𝑁
2
𝑢 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2 +⋯+ 𝑢𝑁 𝑒𝑁 ≡
𝑢1
⋮
𝑢𝑁
𝑢 cos 0 = 𝑢 2𝑢
 Seja 
Calculando a Norma (finalmente!)
200
𝑢 ⋅ 𝑢 =
⟺ 𝑢 = 𝑢 ⋅ 𝑢
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 𝑣 cos 𝜃
𝑢 = 𝑢1
2 + 𝑢2
2 +⋯+ 𝑢𝑁
2
𝑢 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2 +⋯+ 𝑢𝑁 𝑒𝑁 ≡
𝑢1
⋮
𝑢𝑁
Norma Euclidiana
𝑢 cos 0 = 𝑢 2𝑢
 Seja 
Calculando a Norma (finalmente!)
201
𝑢 ⋅ 𝑢 =
⟺ 𝑢 = 𝑢 ⋅ 𝑢
𝑢 ⋅ 𝑣 = 𝑢 𝑣 cos 𝜃
𝑢 = 𝑢1
2 + 𝑢2
2 +⋯+ 𝑢𝑁
2
𝑢 = 𝑢1 𝑒1 + 𝑢2 𝑒2 +⋯+ 𝑢𝑁 𝑒𝑁 ≡
𝑢1
⋮
𝑢𝑁
Norma Euclidiana
𝑢 cos 0 = 𝑢 2𝑢
Base 𝑒1, 𝑒2, … , 𝑒𝑁 ortonormal!
 Projetando 𝑢 em 𝑣:
Projeção Ortogonal de Vetores
202
𝑢
 𝑣𝜃
 Projetando 𝑢 em 𝑣:
Projeção Ortogonal de Vetores
203
𝑢
 𝑣
 𝑝
𝜃
 Projetando 𝑢 em 𝑣:
Projeção Ortogonal de Vetores
204
𝑢
 𝑣
 𝑝
𝜃
cos 𝜃 =
C. A.
Hyp.
 Projetando 𝑢 em 𝑣:
Projeção Ortogonal de Vetores
205
𝑢
 𝑣
 𝑝
𝜃
cos 𝜃 =
C. A.
Hyp.
=
 𝑝
𝑢
 Projetando 𝑢 em 𝑣:
Projeção Ortogonal de Vetores
206
𝑢
 𝑣
 𝑝
𝜃
cos 𝜃 =
𝑢 ⋅ 𝑣
𝑢 𝑣
cos 𝜃 =
C. A.
Hyp.
=
 𝑝
𝑢
 Projetando 𝑢 em 𝑣:
Projeção Ortogonal de Vetores
207
𝑢
 𝑣
 𝑝
𝜃
cos 𝜃 =
𝑢 ⋅ 𝑣
𝑢 𝑣
cos 𝜃 =
C. A.
Hyp.
⟹ 𝑝 =
𝑢 ⋅ 𝑣
 𝑣
=
 𝑝
𝑢
 Projetando 𝑢 em 𝑣:
Projeção Ortogonal de Vetores
208
𝑢
 𝑣
 𝑝
𝜃
cos 𝜃 =
𝑢 ⋅ 𝑣
𝑢 𝑣
cos 𝜃 =
C. A.
Hyp.
⟹ 𝑝 =
𝑢 ⋅ 𝑣
 𝑣
⟹ 𝑝 =
=
 𝑝
𝑢
 Projetando 𝑢 em 𝑣:
Projeção Ortogonal de Vetores
209
𝑢
 𝑣
 𝑝
𝜃
cos 𝜃 =
𝑢 ⋅ 𝑣
𝑢 𝑣
cos 𝜃 =
C. A.
Hyp.
⟹ 𝑝 =
𝑢 ⋅ 𝑣
 𝑣
⟹ 𝑝 =
=
 𝑝
𝑢
 𝑝
 𝑣
 𝑣
 Projetando 𝑢 em 𝑣:
Projeção Ortogonal de Vetores
210
𝑢
 𝑣
 𝑝
𝜃
cos 𝜃 =
𝑢 ⋅ 𝑣
𝑢 𝑣
cos 𝜃 =
C. A.
Hyp.
⟹ 𝑝 =
𝑢 ⋅ 𝑣
 𝑣
⟹ 𝑝 =
=
 𝑝
𝑢
 𝑝
 𝑣
 𝑣
 Projetando 𝑢 em 𝑣:
Projeção Ortogonal de Vetores
211
𝑢
 𝑣
 𝑝
𝜃
cos 𝜃 =
𝑢 ⋅ 𝑣
𝑢 𝑣
cos 𝜃 =
C. A.
Hyp.
⟹ 𝑝 =
𝑢 ⋅ 𝑣
 𝑣
⟹ 𝑝 =
=
 𝑝
𝑢
 𝑝
 𝑣
 𝑣
=
𝑢 ⋅ 𝑣
 𝑣
 𝑣
 𝑣
 Projetando 𝑢 em 𝑣:
Projeção Ortogonal de Vetores
212
𝑢
 𝑣
 𝑝
𝜃
cos 𝜃 =
𝑢 ⋅ 𝑣
𝑢 𝑣
cos 𝜃 =
C. A.
Hyp.
⟹ 𝑝 =
𝑢 ⋅ 𝑣
 𝑣
⟹ 𝑝 =
 𝑟
=
 𝑝
𝑢
 𝑝
 𝑣
 𝑣
=
𝑢 ⋅ 𝑣
 𝑣
 𝑣
 𝑣
 Projetando 𝑢 em 𝑣:
Projeção Ortogonal de Vetores
213
𝑢
 𝑣
 𝑝
𝜃
cos 𝜃 =
𝑢 ⋅ 𝑣
𝑢 𝑣
cos 𝜃 =
C. A.
Hyp.
⟹ 𝑝 =
𝑢 ⋅ 𝑣
 𝑣
⟹ 𝑝 =
 𝑟
𝑢 = 𝑝 + 𝑟
=
 𝑝
𝑢
 𝑝
 𝑣
 𝑣
=
𝑢 ⋅ 𝑣
 𝑣
 𝑣
 𝑣
 Projetando 𝑢 em 𝑣:
Projeção Ortogonal de Vetores
214
𝑢
 𝑣
 𝑝
𝜃
cos 𝜃 =
𝑢 ⋅ 𝑣
𝑢 𝑣
cos 𝜃 =
C. A.
Hyp.
⟹ 𝑝 =
𝑢 ⋅ 𝑣
 𝑣
⟹ 𝑝 =
 𝑟
 𝑟 = 𝑢 − 𝑝𝑢 = 𝑝 + 𝑟 ⟹
=
 𝑝
𝑢
 𝑝
 𝑣
 𝑣
=
𝑢 ⋅ 𝑣
 𝑣
 𝑣
 𝑣
 Projetando 𝑢 em 𝑣:
Projeção Ortogonal de Vetores
215
𝑢
 𝑣
 𝑝
𝜃
cos 𝜃 =
𝑢 ⋅ 𝑣
𝑢 𝑣
cos 𝜃 =
C. A.
Hyp.
⟹ 𝑝 =
𝑢 ⋅ 𝑣
 𝑣
⟹ 𝑝 =
 𝑟
 𝑟 = 𝑢 − 𝑝𝑢 = 𝑝 + 𝑟 ⟹
=
 𝑝
𝑢
 𝑝
 𝑣
 𝑣
=
𝑢 ⋅ 𝑣
 𝑣
 𝑣
 𝑣
 Projetando 𝑢 em 𝑣:
Projeção Ortogonal de Vetores
216
𝑢
 𝑣
 𝑝
𝜃
cos 𝜃 =
𝑢 ⋅ 𝑣
𝑢 𝑣
cos 𝜃 =
C. A.
Hyp.
⟹ 𝑝 =
𝑢 ⋅ 𝑣
 𝑣
⟹ 𝑝 =
 𝑟
 𝑟 = 𝑢 − 𝑝𝑢 = 𝑝 + 𝑟 ⟹
=
 𝑝
𝑢
 𝑝
 𝑣
 𝑣
=
𝑢 ⋅ 𝑣
 𝑣
 𝑣
 𝑣
E se 𝑣 for tal que 𝑣 = 1?
Cross or Vector Product
217
(𝒖 × 𝒗)
Cross or Vector Product
 Função que mapeia dois vetores em um 
novo vetor ortogonal aos mesmos
 Definido somente para vetores em três 
dimensões!
218
(𝒖 × 𝒗)
Cross or Vector Product
 Função que mapeia dois vetores em um 
novo vetor ortogonal aos mesmos
 Definido somente para vetores em três 
dimensões!
219
 𝑥 𝑦
(𝒖 × 𝒗)
Cross or Vector Product
 Função que mapeia dois vetores em um 
novo vetor ortogonal aos mesmos
 Definido somente para vetores em três 
dimensões!
220
 𝑧
 𝑥 𝑦
(𝒖 × 𝒗)
Cross or Vector Product
 Função que mapeia dois vetores em um 
novo vetor ortogonal aos mesmos
 Definido somente para vetores em três 
dimensões!
221
 𝑧
 𝑥 𝑦
 𝑥 𝑦
 𝑧
(𝒖 × 𝒗)
Cross or Vector Product
 Função que mapeia dois vetores em um 
novo vetor ortogonal aos mesmos
 Definido somente para vetores em três 
dimensões!
222
 𝑧
 𝑥 𝑦
 𝑥 𝑦
 𝑧
Left-hand system Right-hand system
(𝒖 × 𝒗)
Cross or Vector Product
 Função que mapeia dois vetores em um 
novo vetor ortogonal aos mesmos
 Definido somente para vetores em três 
dimensões!
223
 𝑧
 𝑥 𝑦
 𝑥 𝑦
 𝑧
Left-hand system Right-hand system
Mais comumente utilizado.
(𝒖 × 𝒗)
Cross or Vector Product
 Função que mapeia dois vetores em um 
novo vetor ortogonal aos mesmos
 Definido somente para vetores em três 
dimensões!
224
 𝑧
 𝑥 𝑦
 𝑥 𝑦
 𝑧
Left-hand system Right-hand system
Mais comumente utilizado.
(𝒖 × 𝒗)
Cross or Vector Product
 Função que mapeia dois vetores em um 
novo vetor ortogonal aos mesmos
225
𝑢 × 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 × 𝑣 + 𝑢 × 𝑤
(𝒖 × 𝒗)
(distributividade)
Cross or Vector Product
 Função que mapeia dois vetores em um 
novo vetor ortogonal aos mesmos
226
𝑢 × 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 × 𝑣 + 𝑢 × 𝑤
(𝒖 × 𝒗)
𝑎 𝑢 × 𝑣 = (𝑎𝑢) × 𝑣 = 𝑢 × (𝑎 𝑣) (“associatividade”)
(distributividade)
Cross or Vector Product
 Função que mapeia dois vetores em um 
novo vetor ortogonal aos mesmos
227
𝑢 × 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 × 𝑣 + 𝑢 × 𝑤
(𝒖 × 𝒗)
𝑢 × 𝑢 = 0
𝑎 𝑢 × 𝑣 = (𝑎𝑢) × 𝑣 = 𝑢 × (𝑎 𝑣) (“associatividade”)
(distributividade)
Cross or Vector Product
 Função que mapeia dois vetores em um 
novo vetor ortogonal aos mesmos
228
𝑢 × 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 × 𝑣 + 𝑢 × 𝑤
(𝒖 × 𝒗)
𝑢 × 𝑢 = 0
𝑎 𝑢 × 𝑣 = (𝑎𝑢) × 𝑣 = 𝑢 × (𝑎 𝑣) (“associatividade”)
(distributividade)
Cross or Vector Product
 Função que mapeia dois vetores em um 
novo vetor ortogonal aos mesmos
229
𝑢 × 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 × 𝑣 + 𝑢 × 𝑤
(𝒖 × 𝒗)
𝑢 × 𝑢 = 0
𝑎 𝑢 × 𝑣 = (𝑎𝑢) × 𝑣 = 𝑢 × (𝑎 𝑣) (“associatividade”)
(distributividade)
0 = 𝑢 + 𝑣 × 𝑢 + 𝑣
Cross or Vector Product
 Função que mapeia dois vetores em um 
novo vetor ortogonal aos mesmos
230
𝑢 × 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 × 𝑣 + 𝑢 × 𝑤
(𝒖 × 𝒗)
𝑢 × 𝑢 = 0
𝑎 𝑢 × 𝑣 = (𝑎𝑢) × 𝑣 = 𝑢 × (𝑎 𝑣) (“associatividade”)
(distributividade)
0 = 𝑢 + 𝑣 × 𝑢 + 𝑣
= 𝑢 × 𝑢 + 𝑢 × 𝑣 + 𝑣 × 𝑢 + 𝑣 × 𝑣
Cross or Vector Product
 Função que mapeia dois vetores em um 
novo vetor ortogonal aos mesmos
231
𝑢 × 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 × 𝑣 + 𝑢 × 𝑤
(𝒖 × 𝒗)
𝑢 × 𝑢 = 0
𝑎 𝑢 × 𝑣 = (𝑎𝑢) × 𝑣 = 𝑢 × (𝑎 𝑣) (“associatividade”)
(distributividade)
0 = 𝑢 + 𝑣 × 𝑢 + 𝑣
= 𝑢 × 𝑢 + 𝑢 × 𝑣 + 𝑣 × 𝑢 + 𝑣 × 𝑣
= 𝑢 × 𝑣 + 𝑣 × 𝑢
Cross or Vector Product
 Função que mapeia dois vetores em um 
novo vetor ortogonal aos mesmos
232
𝑢 × 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 × 𝑣 + 𝑢 × 𝑤
(𝒖 × 𝒗)
𝑢 × 𝑢 = 0
𝑎 𝑢 × 𝑣 = (𝑎𝑢) × 𝑣 = 𝑢 × (𝑎 𝑣) (“associatividade”)
(distributividade)
0 = 𝑢 + 𝑣 × 𝑢 + 𝑣
= 𝑢 × 𝑢 + 𝑢 × 𝑣 + 𝑣 × 𝑢 + 𝑣 × 𝑣
= 𝑢 × 𝑣 + 𝑣 × 𝑢
𝑢 × 𝑣 = − 𝑣 × 𝑢
(anticomutativo!)
Cross or Vector Product
 Função que mapeia dois vetores em um 
novo vetor ortogonal aos mesmos
233
𝑢 × 𝑣 + 𝑤 = 𝑢 × 𝑣 + 𝑢 × 𝑤
(𝒖 × 𝒗)
𝑢 × 𝑢 = 0
𝑎 𝑢 × 𝑣 = (𝑎𝑢) × 𝑣 = 𝑢 × (𝑎 𝑣) (“associatividade”)
(distributividade)
0 = 𝑢 + 𝑣 × 𝑢 + 𝑣
= 𝑢 × 𝑢 + 𝑢 × 𝑣 + 𝑣 × 𝑢 + 𝑣 × 𝑣
= 𝑢 × 𝑣 + 𝑣 × 𝑢
𝑢 × 𝑣 = − 𝑣 × 𝑢
(anticomutativo!)
Computing Cross Product (𝒖 × 𝒗)
 𝑥 𝑦
 𝑧
Computing Cross Product
 Defina:
(𝒖 × 𝒗)
 𝑥 𝑦
 𝑧
Computing Cross Product
 Defina:
(𝒖 × 𝒗)
 𝑥 × 𝑦 = 𝑧
 𝑥 𝑦
 𝑧
Computing Cross Product
 Defina:
(𝒖 × 𝒗)
 𝑥 × 𝑦 = 𝑧 𝑦 × 𝑧 = 𝑥
 𝑥 𝑦
 𝑧
Computing Cross Product
 Defina:
(𝒖 × 𝒗)
 𝑥 × 𝑦 = 𝑧 𝑦 × 𝑧 = 𝑥 𝑧 × 𝑥 = 𝑦
 𝑥 𝑦
 𝑧
Computing Cross Product
 Defina:
(𝒖 × 𝒗)
 𝑥 × 𝑦 = 𝑧 𝑦 × 𝑧 = 𝑥 𝑧 × 𝑥 = 𝑦
 𝑥 𝑦
 𝑧
𝑢 = 𝑢1 𝑥 + 𝑢2 𝑦 + 𝑢3 𝑧
 𝑣 = 𝑣1 𝑥 + 𝑣2 𝑦 + 𝑣3 𝑧Computing Cross Product
 Defina:
(𝒖 × 𝒗)
 𝑥 × 𝑦 = 𝑧 𝑦 × 𝑧 = 𝑥 𝑧 × 𝑥 = 𝑦
 𝑥 𝑦
 𝑧
𝑢 = 𝑢1 𝑥 + 𝑢2 𝑦 + 𝑢3 𝑧
 𝑣 = 𝑣1 𝑥 + 𝑣2 𝑦 + 𝑣3 𝑧
𝑢 × 𝑣 =
Computing Cross Product
 Defina:
(𝒖 × 𝒗)
 𝑥 × 𝑦 = 𝑧 𝑦 × 𝑧 = 𝑥 𝑧 × 𝑥 = 𝑦
 𝑥 𝑦
 𝑧
𝑢 = 𝑢1 𝑥 + 𝑢2 𝑦 + 𝑢3 𝑧
 𝑣 = 𝑣1 𝑥 + 𝑣2 𝑦 + 𝑣3 𝑧
𝑢 × 𝑣 = 𝑢1 𝑥 + 𝑢2 𝑦 + 𝑢3 𝑧 × (𝑣1 𝑥 + 𝑣2 𝑦 + 𝑣3 𝑧)
Computing Cross Product
 Defina:
(𝒖 × 𝒗)
 𝑥 × 𝑦 = 𝑧 𝑦 × 𝑧 = 𝑥 𝑧 × 𝑥 = 𝑦
 𝑥 𝑦
 𝑧
𝑢 = 𝑢1 𝑥 + 𝑢2 𝑦 + 𝑢3 𝑧
 𝑣 = 𝑣1 𝑥 + 𝑣2 𝑦 + 𝑣3 𝑧
𝑢 × 𝑣 =
= 𝑢1𝑣1 𝑥 × 𝑥 + 𝑢1𝑣2 𝑥 × 𝑦 + 𝑢1𝑣3 𝑥 × 𝑧
+ 𝑢2𝑣1 𝑦 × 𝑥 + 𝑢2𝑣2 𝑦 × 𝑦 + 𝑢2𝑣3 𝑦 × 𝑧
+ 𝑢3𝑣1 𝑧 × 𝑥 + 𝑢3𝑣2 𝑧 × 𝑦 + 𝑢3𝑣3 𝑧 × 𝑧
𝑢1 𝑥 + 𝑢2 𝑦 + 𝑢3 𝑧 × (𝑣1 𝑥 + 𝑣2 𝑦 + 𝑣3 𝑧)
Computing Cross Product
 Defina:
(𝒖 × 𝒗)
 𝑥 × 𝑦 = 𝑧 𝑦 × 𝑧 = 𝑥 𝑧 × 𝑥 = 𝑦
 𝑥 𝑦
 𝑧
𝑢 = 𝑢1 𝑥 + 𝑢2 𝑦 + 𝑢3 𝑧
 𝑣 = 𝑣1 𝑥 + 𝑣2 𝑦 + 𝑣3 𝑧
𝑢 × 𝑣 =
= 𝑢1𝑣1 𝑥 × 𝑥 + 𝑢1𝑣2 𝑥 × 𝑦 + 𝑢1𝑣3 𝑥 × 𝑧
+ 𝑢2𝑣1 𝑦 × 𝑥 + 𝑢2𝑣2 𝑦 × 𝑦 + 𝑢2𝑣3 𝑦 × 𝑧
+ 𝑢3𝑣1 𝑧 × 𝑥 + 𝑢3𝑣2 𝑧 × 𝑦 + 𝑢3𝑣3 𝑧 × 𝑧
𝑢1 𝑥 + 𝑢2 𝑦 + 𝑢3 𝑧 × (𝑣1 𝑥 + 𝑣2 𝑦 + 𝑣3 𝑧)
Computing Cross Product
 Defina:
(𝒖 × 𝒗)
 𝑥 × 𝑦 = 𝑧 𝑦 × 𝑧 = 𝑥 𝑧 × 𝑥 = 𝑦
 𝑥 𝑦
 𝑧
𝑢 = 𝑢1 𝑥 + 𝑢2 𝑦 + 𝑢3 𝑧
 𝑣 = 𝑣1 𝑥 + 𝑣2 𝑦 + 𝑣3 𝑧
𝑢 × 𝑣 =
= 𝑢1𝑣1 𝑥 × 𝑥 + 𝑢1𝑣2 𝑥 × 𝑦 + 𝑢1𝑣3 𝑥 × 𝑧
+ 𝑢2𝑣1 𝑦 × 𝑥 + 𝑢2𝑣2 𝑦 × 𝑦 + 𝑢2𝑣3 𝑦 × 𝑧
+ 𝑢3𝑣1 𝑧 × 𝑥 + 𝑢3𝑣2 𝑧 × 𝑦 + 𝑢3𝑣3 𝑧 × 𝑧
𝑢1 𝑥 + 𝑢2 𝑦 + 𝑢3 𝑧 × (𝑣1 𝑥 + 𝑣2 𝑦 + 𝑣3 𝑧)
Computing Cross Product
 Defina:
(𝒖 × 𝒗)
 𝑥 × 𝑦 = 𝑧 𝑦 × 𝑧 = 𝑥 𝑧 × 𝑥 = 𝑦
 𝑥 𝑦
 𝑧
𝑢 = 𝑢1 𝑥 + 𝑢2 𝑦 + 𝑢3 𝑧
 𝑣 = 𝑣1 𝑥 + 𝑣2 𝑦 + 𝑣3 𝑧
𝑢 × 𝑣 =
= 𝑢1𝑣1 𝑥 × 𝑥 + 𝑢1𝑣2 𝑥 × 𝑦 + 𝑢1𝑣3 𝑥 × 𝑧
+ 𝑢2𝑣1 𝑦 × 𝑥 + 𝑢2𝑣2 𝑦 × 𝑦 + 𝑢2𝑣3 𝑦 × 𝑧
+ 𝑢3𝑣1 𝑧 × 𝑥 + 𝑢3𝑣2 𝑧 × 𝑦 + 𝑢3𝑣3 𝑧 × 𝑧
= 𝑢2𝑣3 − 𝑢3𝑣2 𝑥
𝑢1 𝑥 + 𝑢2 𝑦 + 𝑢3 𝑧 × (𝑣1 𝑥 + 𝑣2 𝑦 + 𝑣3 𝑧)
Computing Cross Product
 Defina:
(𝒖 × 𝒗)
 𝑥 × 𝑦 = 𝑧 𝑦 × 𝑧 = 𝑥 𝑧 × 𝑥 = 𝑦
 𝑥 𝑦
 𝑧
𝑢 = 𝑢1 𝑥 + 𝑢2 𝑦 + 𝑢3 𝑧
 𝑣 = 𝑣1 𝑥 + 𝑣2 𝑦 + 𝑣3 𝑧
𝑢 × 𝑣 =
= 𝑢1𝑣1 𝑥 × 𝑥 + 𝑢1𝑣2 𝑥 × 𝑦 + 𝑢1𝑣3 𝑥 × 𝑧
+ 𝑢2𝑣1 𝑦 × 𝑥 + 𝑢2𝑣2 𝑦 × 𝑦 + 𝑢2𝑣3 𝑦 × 𝑧
+ 𝑢3𝑣1 𝑧 × 𝑥 + 𝑢3𝑣2 𝑧 × 𝑦 + 𝑢3𝑣3 𝑧 × 𝑧
= 𝑢2𝑣3 − 𝑢3𝑣2 𝑥
𝑢1 𝑥 + 𝑢2 𝑦 + 𝑢3 𝑧 × (𝑣1 𝑥 + 𝑣2 𝑦 + 𝑣3 𝑧)
+ 𝑢3𝑣1 − 𝑢1𝑣3 𝑦 + ⋯
Computing Cross Product
 Defina:
(𝒖 × 𝒗)
 𝑥 × 𝑦 = 𝑧 𝑦 × 𝑧 = 𝑥 𝑧 × 𝑥 = 𝑦
 𝑥 𝑦
 𝑧
𝑢 = 𝑢1 𝑥 + 𝑢2 𝑦 + 𝑢3 𝑧
 𝑣 = 𝑣1 𝑥 + 𝑣2 𝑦 + 𝑣3 𝑧
𝑢 × 𝑣 =
= 𝑢1𝑣1 𝑥 × 𝑥 + 𝑢1𝑣2 𝑥 × 𝑦 + 𝑢1𝑣3 𝑥 × 𝑧
+ 𝑢2𝑣1 𝑦 × 𝑥 + 𝑢2𝑣2 𝑦 × 𝑦 + 𝑢2𝑣3 𝑦 × 𝑧
+ 𝑢3𝑣1 𝑧 × 𝑥 + 𝑢3𝑣2 𝑧 × 𝑦 + 𝑢3𝑣3 𝑧 × 𝑧
= 𝑢2𝑣3 − 𝑢3𝑣2 𝑥
𝑢1 𝑥 + 𝑢2 𝑦 + 𝑢3 𝑧 × (𝑣1 𝑥 + 𝑣2 𝑦 + 𝑣3 𝑧)
+ 𝑢3𝑣1 − 𝑢1𝑣3 𝑦 + ⋯
Computing Cross Product
 Defina:
(𝒖 × 𝒗)
 𝑥 × 𝑦 = 𝑧 𝑦 × 𝑧 = 𝑥 𝑧 × 𝑥 = 𝑦
 𝑥 𝑦
 𝑧
𝑢 = 𝑢1 𝑥 + 𝑢2 𝑦 + 𝑢3 𝑧
 𝑣 = 𝑣1 𝑥 + 𝑣2 𝑦 + 𝑣3 𝑧
𝑢 × 𝑣 =
= 𝑢1𝑣1 𝑥 × 𝑥 + 𝑢1𝑣2 𝑥 × 𝑦 + 𝑢1𝑣3 𝑥 × 𝑧
+ 𝑢2𝑣1 𝑦 × 𝑥 + 𝑢2𝑣2 𝑦 × 𝑦 + 𝑢2𝑣3 𝑦 × 𝑧
+ 𝑢3𝑣1 𝑧 × 𝑥 + 𝑢3𝑣2 𝑧 × 𝑦 + 𝑢3𝑣3 𝑧 × 𝑧
= 𝑢2𝑣3 − 𝑢3𝑣2 𝑥
𝑢1 𝑥 + 𝑢2 𝑦 + 𝑢3 𝑧 × (𝑣1 𝑥 + 𝑣2 𝑦 + 𝑣3 𝑧)
+ 𝑢3𝑣1 − 𝑢1𝑣3 𝑦 + ⋯
Geometric Property of 
249
𝒖 × 𝒗
𝑢
 𝑣
 𝑣 × 𝑢
Geometric Property of 
250
𝒖 × 𝒗
𝑢
 𝑣
 𝑣 × 𝑢
Geometric Property of 
251
𝒖 × 𝒗
𝑢
 𝑣
 𝑣 × 𝑢
Área = 𝑣 × 𝑢
Geometric Property of 
252
𝒖 × 𝒗
𝑢
 𝑣
 𝑣 × 𝑢
Área = 𝑣 × 𝑢 = 𝑢 𝑣 sin 𝜃
𝜽
Geometric Property of 
253
𝒖 × 𝒗
𝑢
 𝑣
 𝑣 × 𝑢
Área = 𝑣 × 𝑢 = 𝑢 𝑣 sin 𝜃
𝜽
Se 𝜃 = 90° ?
Geometric Property of 
254
𝒖 × 𝒗
𝑢
 𝑣
 𝑣 × 𝑢
Área = 𝑣 × 𝑢 = 𝑢 𝑣 sin 𝜃
𝜽
Se 𝜃 = 90° ?
Se 𝜃 = 0° ?
Geometric Property of 
255
𝒖 × 𝒗
𝑢
 𝑣
 𝑣 × 𝑢
Área = 𝑣 × 𝑢 = 𝑢 𝑣 sin 𝜃
𝜽
Se 𝜃 = 90° ?
Se 𝜃 = 0° ?
Se 𝜃 = 180° ?
Aplicação do Cross Product
 Calculando vetores normais de planos:
256
Aplicação do Cross Product
 Calculando vetores normais de planos:
257
Aplicação do Cross Product
 Calculando vetores normais de planos:
258
Aplicação do Cross Product
 Calculando vetores normais de planos:
259
Aplicação do Cross Product
 Calculando vetores normais de planos:
260
Aplicação do Cross Product
 Calculando vetores normais de planos:
261
Perguntas?
262
Pontos
263
Pontos
 Representam uma localização no espaço
 Não são vetores!
 Sejam p e q dois pontos em 3D
 Faz sentido a operação p + q?
 Faz sentido a operação p − q?
264
Pontos
 Representam uma localização no espaço
 Não são vetores!
 Sejam p e q dois pontos em 3D
 Faz sentido a operação p + q?
 Faz sentido a operação p − q?
265
Pontos
 Representam uma localização no espaço
 Não são vetores!
 Sejam p e q dois pontos em 3D
 Faz sentido a operação p + q?
 Faz sentido a operação p − q?
266
Representaçao de Pontos 3D
267
Representaçao de Pontos 3D
268
(quantos?)
Representaçao de Pontos 3D
 Sistema de coordenadas composto de
 Ponto de Origem o
 Vetores de Base
 Mais comum: Coordenadas Cartesianas
 Base de Vetores ortonormais
 Qualquer ponto p é representado como 
um deslocamento em relação à origem o
269
(quantos?)
Representaçao de Pontos 3D
 Sistema de coordenadas composto de
 Ponto de Origem o
 Vetores de Base
 Mais comum: Coordenadas Cartesianas
 Base de Vetores ortonormais
 Qualquer ponto p é representado como 
um deslocamento em relação à origem o
270
(quantos?)
 𝑥, 𝑦, 𝑧
 𝑥 𝑦
 𝑧
Representaçao de Pontos 3D
 Sistema de coordenadas composto de
 Ponto de Origem o
 Vetores de Base
 Mais comum: Coordenadas Cartesianas
 Base de Vetores ortonormais
 Qualquer ponto p é representado como 
um deslocamento em relação à origem o
271
(quantos?)
 𝑥, 𝑦, 𝑧
 𝑥 𝑦
 𝑧
Representaçao de Pontos 3D
 Sistema de coordenadas composto de
 Ponto de Origem o
 Vetores de Base
 Mais comum: Coordenadas Cartesianas
 Base de Vetores ortonormais
 Qualquer ponto p é representado como 
um deslocamento em relação à origem o
272
(quantos?)
 𝑥, 𝑦, 𝑧
p= o+ 𝑑
 𝑥 𝑦
 𝑧
Representaçao de Pontos 3D
 Sistema de coordenadas composto de
 Ponto de Origem o
 Vetores de Base
 Mais comum: Coordenadas Cartesianas
 Base de Vetores ortonormais
 Qualquer ponto p é representado como 
um deslocamento em relação à origem o
273
(quantos?)
 𝑥, 𝑦, 𝑧
p= o+ 𝑑
 𝑥 𝑦
 𝑧
Representaçao de Pontos 3D
 Sistema de coordenadas composto de
 Ponto de Origem o
 Vetores de Base
 Mais comum: Coordenadas Cartesianas
 Base de Vetores ortonormais
 Qualquer ponto p é representado como 
um deslocamento em relação à origem o
274
(quantos?)
 𝑥, 𝑦, 𝑧
p= o+ 𝑑 = o+ 𝑝1 𝑥 + 𝑝2 𝑦 + 𝑝3 𝑧
 𝑥 𝑦
 𝑧
Representaçao de Pontos 3D
 Sistema de coordenadas composto de
 Ponto de Origem o
 Vetores de Base
 Mais comum: Coordenadas Cartesianas
 Base de Vetores ortonormais
 Qualquer ponto p é representado como 
um deslocamento em relação à origem o
275
(quantos?)
 𝑥, 𝑦, 𝑧
p= o+ 𝑑 = o+ 𝑝1 𝑥 + 𝑝2 𝑦 + 𝑝3 𝑧 ≡
𝑝1
𝑝2
𝑝3
 𝑥 𝑦
 𝑧
Representaçao de Pontos 3D
 Sistema de coordenadas composto de
 Ponto de Origem o
 Vetores de Base
 Mais comum: Coordenadas Cartesianas
 Base de Vetores ortonormais
 Qualquer ponto p é representado como 
um deslocamento em relação à origem o
276
(quantos?)
 𝑥, 𝑦, 𝑧
p= o+ 𝑑 = o+ 𝑝1 𝑥 + 𝑝2 𝑦 + 𝑝3 𝑧 ≡
𝑝1
𝑝2
𝑝3
 𝑥 𝑦
 𝑧
Relação entre Pontos e Vetores
277
q
p
Relação entre Pontos e Vetores
278
= Vetor 𝑑
q
p𝑑
Relação entre Pontos e Vetores
 Ponto q − Ponto p
 Ponto p + Vetor 𝑑
 𝑑 ≡
279
= Vetor 𝑑
q
p
 𝑑
 𝑑
p
Relação entre Pontos e Vetores
 Ponto q − Ponto p
 Ponto p + Vetor 𝑑
 𝑑 ≡
280
= Vetor 𝑑
= Ponto q
q
p
 𝑑
 𝑑q
p
Relação entre Pontos e Vetores
 Ponto q − Ponto p
 Ponto p + Vetor 𝑑
 𝑑 ≡
281
= Vetor 𝑑
= Ponto q
q
p
 𝑑
 𝑑q
p
Relação entre Pontos e Vetores
 Ponto q − Ponto p
 Ponto p + Vetor 𝑑
 𝑑 ≡
282
= Vetor 𝑑
= Ponto q
q
p
 𝑑
 𝑑q
p
distância entre p e q
Coordenadas Polares (2D)
283
 𝑥
 𝑦
𝑝1
𝑝2
p
o
Coordenadas Polares (2D)
284
 𝑥
 𝑦
≡
𝑝1
𝑝2
𝑝1
𝑝2
p
o
Coordenadas Polares (2D)
285
 𝑥
 𝑦
≡
𝑝1
𝑝2
𝑝1
𝑝2
p
o
(Coordenadas
Cartesianas)
Coordenadas Polares (2D)
286
 𝑥
 𝑦
≡
𝑝1
𝑝2
𝑝1
𝑝2
p
o
(Coordenadas
Cartesianas)
𝜃
Coordenadas Polares (2D)
287
 𝑥
 𝑦
≡
𝑝1
𝑝2
𝑝1
𝑝2
p
o
(Coordenadas
Cartesianas)
𝜃
Coordenadas Polares (2D)
288
 𝑥
 𝑦
≡
𝑝1
𝑝2
𝑝1
𝑝2
p
o
≡
𝑟
𝜃
(Coordenadas
Cartesianas)
𝜃
Coordenadas Polares (2D)
289
 𝑥
 𝑦
≡
𝑝1
𝑝2
𝑝1
𝑝2
p
o
≡
𝑟
𝜃
(Coordenadas
Cartesianas)
(Coordenadas
Polares)
𝜃
Coordenadas Polares (2D)
290
 𝑥
 𝑦
≡
𝑝1
𝑝2
𝑝1
𝑝2
p
o
≡
𝑟
𝜃
cos θ = 𝑝1/𝑟
(Coordenadas
Cartesianas)
(Coordenadas
Polares)
𝜃
Coordenadas Polares (2D)
291
 𝑥
 𝑦
≡
𝑝1
𝑝2
𝑝1
𝑝2
p
o
≡
𝑟
𝜃
cos θ = 𝑝1/𝑟
sin θ = 𝑝2/𝑟
(Coordenadas
Cartesianas)
(Coordenadas
Polares)
𝜃
Coordenadas Polares (2D)
292
 𝑥
 𝑦
≡
𝑝1
𝑝2
𝑝1
𝑝2
p
o
≡
𝑟
𝜃
cos θ = 𝑝1/𝑟
sin θ = 𝑝2/𝑟
𝑝1 = 𝑟 cos θ
𝑝2 = 𝑟 sin θ
(Coordenadas
Cartesianas)
(Coordenadas
Polares)
𝜃
Coordenadas Polares (2D)
293
 𝑥
 𝑦
≡
𝑝1
𝑝2
𝑝1
𝑝2
p
o
≡
𝑟
𝜃
𝑟 = 𝐩 − 𝐨
cos θ = 𝑝1/𝑟
sin θ = 𝑝2/𝑟
𝑝1 = 𝑟 cos θ
𝑝2 = 𝑟 sin θ
(Coordenadas
Cartesianas)
(Coordenadas
Polares)
𝜃
Coordenadas Polares (2D)
294
 𝑥
 𝑦
≡
𝑝1
𝑝2
𝑝1
𝑝2
p
o
≡
𝑟
𝜃
𝑟 = 𝐩 − 𝐨
cos θ = 𝑝1/𝑟
sin θ = 𝑝2/𝑟
𝑝1 = 𝑟 cos θ
𝑝2 = 𝑟 sin θ
(Coordenadas
Cartesianas)
(Coordenadas
Polares)
𝜃 = cos−1
𝑝1
𝑟
?
𝜃
Coordenadas Polares (2D)
295
 𝑥
 𝑦
≡
𝑝1
𝑝2
𝑝1
𝑝2
p
o
≡
𝑟
𝜃
𝑟 = 𝐩 − 𝐨
cos θ = 𝑝1/𝑟
sin θ = 𝑝2/𝑟
𝑝1 = 𝑟 cos θ
𝑝2 = 𝑟 sin θ
(Coordenadas
Cartesianas)
(Coordenadas
Polares)
𝜃 = cos−1
𝑝1
𝑟
?
𝜃 = sin−1
𝑝2
𝑟
?
𝜃
Coordenadas Polares (2D)
296
 𝑥
 𝑦
≡
𝑝1
𝑝2
𝑝1
𝑝2
p
o
≡
𝑟
𝜃
𝑟 = 𝐩 − 𝐨
cos θ = 𝑝1/𝑟
sin θ = 𝑝2/𝑟
𝑝1 = 𝑟 cos θ
𝑝2 = 𝑟 sin θ
(Coordenadas
Cartesianas)
(Coordenadas
Polares)
𝜃 = cos−1
𝑝1
𝑟
?
𝜃 = sin−1
𝑝2
𝑟
?
𝜃 = atan2 𝑝2, 𝑝1
Projection on the XY plane
𝜑
Coordenadas Esféricas (3D)
 𝑥
 𝑦
 𝑧
o
≡
𝜌
𝜃
𝜑
𝑧 = 𝜌 cos𝜑
𝑥 = 𝜌 sin𝜑 cos 𝜃
𝑦 = 𝜌 sin𝜑 sin 𝜃
𝜌
𝜃
𝜌 sin𝜑
(Coordenadas
Cartesianas)
(Coordenadas
Esféricas)
≡
𝑥
𝑦
𝑧
p
Projection on the XY plane
𝜑
Coordenadas Esféricas (3D)
 𝑥
 𝑦
 𝑧
o
≡
𝜌
𝜃
𝜑
𝜌
𝜃
𝜌 sin𝜑
(Coordenadas
Cartesianas)
(Coordenadas
Esféricas)
≡
𝑥
𝑦
𝑧
p
𝜌 = 𝐩 − 𝐨
𝜃 = atan2 𝑦, 𝑥
𝜑 = atan2 𝜌 sin 𝜃 , 𝑧
Linhas / Retas
299
Linhas / Retas
 Conjunto contínuo de pontos colineares
 Finita: ponto inicial a e final b
 Infinita: ponto a e direção 𝑑
300
b
a
Linhas / Retas
 Conjunto contínuo de pontos colineares
 Finita: ponto inicial a e final b
 Infinita: ponto a e direção 𝑑
301
𝐿
b
a
Linhas / Retas
 Conjunto contínuo de pontos colineares
 Finita: ponto inicial a e final b
 Infinita: ponto a e direção 𝑑
302
= 𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚 | 𝑡 ∈ [0,1]{ }𝐿
b
a
Linhas / Retas
 Conjunto contínuo de pontos colineares
 Finita: ponto inicial a e final b
 Infinita: ponto a e direção 𝑑
303
= 𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚 | 𝑡 ∈ [0,1]{ }𝐿
 𝑑b
a
Linhas / Retas
 Conjunto contínuo de pontos colineares
 Finita: ponto inicial a e final b
 Infinita: ponto a e direção 𝑑
304
= 𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚 | 𝑡 ∈ [0,1]{ }𝐿
 𝑑b
a
𝑡 = 0?
𝑡 = 1?
Linhas / Retas
 Conjunto contínuo de pontos colineares
 Finita: ponto inicial a e final b
 Infinita: ponto a e direção 𝑑
305
= 𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚 | 𝑡 ∈ [0,1]{ }𝐿
 𝑑b
a
𝑡 = 0?
𝑡 = 1?
Linhas / Retas
 Conjunto contínuo de pontos colineares
 Finita: ponto inicial a e final b
 Infinita: ponto a e direção 𝑑
306
= 𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚 | 𝑡 ∈ [0,1]{ }𝐿
 𝑑b
a
(interpolação linear)
Linhas / Retas
 Conjunto contínuo de pontos colineares
 Finita: ponto inicial a e final b
 Infinita: ponto a e direção 𝑑
307
= 𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚 | 𝑡 ∈ [0,1]{ }
a
 𝑑
𝐿
 𝑑b
a
(interpolação linear)
Linhas / Retas
 Conjunto contínuo de pontos colineares
 Finita: ponto inicial a e final b
 Infinita: ponto a e direção 𝑑
308
= 𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚 | 𝑡 ∈ [0,1]{ }
a
 𝑑
𝐿
𝐿
 𝑑b
a
(interpolação linear)
Linhas / Retas
 Conjunto contínuo de pontos colineares
 Finita: ponto inicial a e final b
 Infinita: ponto a e direção 𝑑
309
= 𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚 | 𝑡 ∈ [0,1]{ }
a
 𝑑
= 𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝑑 | 𝑡 ∈ ℝ{ }
𝐿
𝐿
 𝑑b
a
(interpolação linear)
Linhas / Retas
 Conjunto contínuo de pontos colineares
 Finita: ponto inicial a e final b
 Infinita: ponto a e direção 𝑑
310
= 𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚 | 𝑡 ∈ [0,1]{ }
 𝑑
= 𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝑑 | 𝑡 ∈ ℝ{ }
𝐿
𝐿
 𝑑
a
b
a
(interpolação linear)
Linhas / Retas
 Conjunto contínuo de pontos colineares
 Finita: ponto inicial a e final b
 Infinita: ponto a e direção 𝑑
311
= 𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚 | 𝑡 ∈ [0,1]{ }
 𝑑
= 𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝑑 | 𝑡 ∈ ℝ{ }
𝐿
𝐿
 𝑑
a
ℝ
b
a
(interpolação linear)
Linhas / Retas
 Conjunto contínuo de pontos colineares
 Finita: ponto inicial a e final b
 Infinita: ponto a e direção 𝑑
312
= 𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚 | 𝑡 ∈ [0,1]{ }
 𝑑
= 𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝑑 | 𝑡 ∈ ℝ{ }
𝐿
𝐿
 𝑑
a
ℝ
b
a
(interpolação linear)
Linhas / Retas (Eq. Implícita 2D)
313
𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝑑
Linhas / Retas (Eq. Implícita 2D)
314
𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝑑
𝑝1
𝑝2
=
𝑎1
𝑎2
+ 𝑡
𝑑1
𝑑2
Linhas / Retas (Eq. Implícita 2D)
315
𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝑑
𝑝1
𝑝2
=
𝑎1
𝑎2
+ 𝑡
𝑑1
𝑑2
𝑝1 = 𝑎1 + 𝑡 𝑑1
𝑝2 = 𝑎2 + 𝑡 𝑑2
{
Linhas / Retas (Eq. Implícita 2D)
316
𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝑑
𝑝1
𝑝2
=
𝑎1
𝑎2
+ 𝑡
𝑑1
𝑑2
𝑝1 = 𝑎1 + 𝑡 𝑑1
𝑝2 = 𝑎2 + 𝑡 𝑑2
{ ⟹ 𝑝1 − 𝑎1𝑑1 −
𝑝2 − 𝑎2
𝑑2
= 0
Linhas / Retas (Eq. Implícita 2D)
317
𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝑑
𝑝1
𝑝2
=
𝑎1
𝑎2
+ 𝑡
𝑑1
𝑑2
𝑝1 = 𝑎1 + 𝑡 𝑑1
𝑝2 = 𝑎2 + 𝑡 𝑑2
{ ⟹ 𝑝1 − 𝑎1𝑑1 −
𝑝2 − 𝑎2
𝑑2
= 0
(Equação Implícita
da Reta Infinita)
Linhas / Retas (Eq. Implícita 2D)
318
𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝑑
𝑝1
𝑝2
=
𝑎1
𝑎2
+ 𝑡
𝑑1
𝑑2
𝑝1 = 𝑎1 + 𝑡 𝑑1
𝑝2 = 𝑎2 + 𝑡 𝑑2
{ ⟹ 𝑝1 − 𝑎1𝑑1 −
𝑝2 − 𝑎2
𝑑2
= 0
(Equação Implícita
da Reta Infinita)
Utilidades?
Eq. Explícita vs Implícita
319
𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚
Eq. Explícita vs Implícita
 Explícita
 Paramétrica
 Diz como gerar pontos
 Implícita
 Solução de uma equação
 Não diz diretamente como gerar pontos
 Mas: diz como verificar se um ponto pertence ao 
conjunto (eg, está na reta)
320
𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚
Eq. Explícita vs Implícita
 Explícita
 Paramétrica
 Diz como gerar pontos
 Implícita
 Solução de uma equação
 Não diz diretamente como gerar pontos
 Mas: diz como verificar se um ponto pertence ao 
conjunto (eg, está na reta)
321
𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚
(parâmetro?)
Eq. Explícita vs Implícita
 Explícita
 Paramétrica
 Diz como gerar pontos
 Implícita
 Solução de uma equação
 Não diz diretamente como gerar pontos
 Mas: diz como verificar se um ponto pertence ao 
conjunto (eg, está na reta)
322
𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚
(parâmetro?)
Eq. Explícita vs Implícita
 Explícita
 Paramétrica
 Diz como gerar pontos
 Implícita
 Solução de uma equação
 Não diz diretamente como gerar pontos
 Mas: diz como verificar se um ponto pertence ao 
conjunto (eg, está na reta)
323
𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚
(parâmetro?)
Eq. Explícita vs Implícita Explícita
 Paramétrica
 Diz como gerar pontos
 Implícita
 Solução de uma equação
 Não diz diretamente como gerar pontos
 Mas: diz como verificar se um ponto pertence ao 
conjunto (eg, está na reta)
324
𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚
(parâmetro?)
𝑝1 − 𝑎1
𝑑1
−
𝑝2 − 𝑎2
𝑑2
= 0
Eq. Explícita vs Implícita
 Explícita
 Paramétrica
 Diz como gerar pontos
 Implícita
 Solução de uma equação
 Não diz diretamente como gerar pontos
 Mas: diz como verificar se um ponto pertence ao 
conjunto (eg, está na reta)
325
𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚
(parâmetro?)
𝑝1 − 𝑎1
𝑑1
−
𝑝2 − 𝑎2
𝑑2
= 0
Eq. Explícita vs Implícita
 Explícita
 Paramétrica
 Diz como gerar pontos
 Implícita
 Solução de uma equação
 Não diz diretamente como gerar pontos
 Mas: diz como verificar se um ponto pertence ao 
conjunto (eg, está na reta)
326
𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚
(parâmetro?)
𝑝1 − 𝑎1
𝑑1
−
𝑝2 − 𝑎2
𝑑2
= 0
Eq. Explícita vs Implícita
 Explícita
 Paramétrica
 Diz como gerar pontos
 Implícita
 Solução de uma equação
 Não diz diretamente como gerar pontos
 Mas: diz como verificar se um ponto pertence ao 
conjunto (eg, está na reta)
327
𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚
(parâmetro?)
𝑝1 − 𝑎1
𝑑1
−
𝑝2 − 𝑎2
𝑑2
= 0
Planos (em 3D)
328
 Conjunto contínuo de pontos que ... ???
 Infinito:
 Finito: inúmeras representações...
Planos (em 3D)
329
 Conjunto contínuo de pontos que ... ???
 Infinito:
 Finito: inúmeras representações...
Planos (em 3D)
330
a
𝑛
 Conjunto contínuo de pontos que ... ???
 Infinito:
 Finito: inúmeras representações...
Planos (em 3D)
331
a
𝑛
{ }Π=
 Conjunto contínuo de pontos que ... ???
 Infinito:
 Finito: inúmeras representações...
Planos (em 3D)
332
a
𝑛
{ }Π= 𝐩 ∈ ℝ3 |
 Conjunto contínuo de pontos que ... ???
 Infinito:
 Finito: inúmeras representações...
Planos (em 3D)
333
a
𝑛
(𝐩 − 𝐚) ⋅ 𝑛 = 0{ }Π= 𝐩 ∈ ℝ3 |
 Conjunto contínuo de pontos que ... ???
 Infinito:
 Finito: inúmeras representações...
Planos (em 3D)
334
a
𝑛
(𝐩 − 𝐚) ⋅ 𝑛 = 0{ }Π=
p
𝐩 ∈ ℝ3 |
 Conjunto contínuo de pontos que ... ???
 Infinito:
 Finito: inúmeras representações...
Planos (em 3D)
335
a
𝑛
(𝐩 − 𝐚) ⋅ 𝑛 = 0{ }Π=
p
𝐩 ∈ ℝ3 |
(eq. explícita ou implícita?)
 Conjunto contínuo de pontos que ... ???
 Infinito:
 Finito: inúmeras representações...
Planos (em 3D)
336
a
𝑛
(𝐩 − 𝐚) ⋅ 𝑛 = 0{ }Π=
p
𝐩 ∈ ℝ3 |
(eq. explícita ou implícita?)
 Conjunto contínuo de pontos que ... ???
 Infinito:
 Finito: inúmeras representações...
Planos (em 3D)
337
a
𝑛
(𝐩 − 𝐚) ⋅ 𝑛 = 0{ }Π=
p
𝐩 ∈ ℝ3 |
(eq. explícita ou implícita?)
Em 2D?
Intersecção Reta-Plano
338
Intersecção Reta-Plano
 Ponto p que...
 Ideia: inserir eq. explícita da reta na eq. 
implícita do plano
339
p
Intersecção Reta-Plano
 Ponto p que...
 Ideia: inserir eq. explícita da reta na eq. 
implícita do plano
340
satisfaz ambas equações
p
Intersecção Reta-Plano
 Ponto p que...
 Ideia: inserir eq. explícita da reta na eq. 
implícita do plano
341
satisfaz ambas equações
b
a
p
𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚
Intersecção Reta-Plano
 Ponto p que...
 Ideia: inserir eq. explícita da reta na eq. 
implícita do plano
342
satisfaz ambas equações
b
a
p
c
𝑛
𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚
(𝐩 − 𝐜) ⋅ 𝑛 = 0
Intersecção Reta-Plano
 Ponto p que...
 Ideia: inserir eq. explícita da reta na eq. 
implícita do plano
343
satisfaz ambas equações
b
a
p
c
𝑛
𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚
(𝐩 − 𝐜) ⋅ 𝑛 = 0{
Intersecção Reta-Plano
 Ponto p que...
 Ideia: inserir eq. explícita da reta na eq. 
implícita do plano
344
satisfaz ambas equações
b
a
p
c
𝑛
𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚
(𝐩 − 𝐜) ⋅ 𝑛 = 0{
⇒ (𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚 − 𝐜) ⋅ 𝑛 = 0
Intersecção Reta-Plano
 Ponto p que...
 Ideia: inserir eq. explícita da reta na eq. 
implícita do plano
345
satisfaz ambas equações
b
a
p
c
𝑛
𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚
(𝐩 − 𝐜) ⋅ 𝑛 = 0{
⇒ (𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚 − 𝐜) ⋅ 𝑛 = 0
(quem é a incógnita?)
Intersecção Reta-Plano
 Ponto p que...
 Ideia: inserir eq. explícita da reta na eq. 
implícita do plano
346
satisfaz ambas equações
b
a
p
c
𝑛
𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚
(𝐩 − 𝐜) ⋅ 𝑛 = 0{
⇒ (𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚 − 𝐜) ⋅ 𝑛 = 0
𝑡 =
𝐜 − 𝐚 ⋅ 𝑛
𝐛 − 𝐚 ⋅ 𝑛
⇒
Intersecção Reta-Plano
 Ponto p que...
 Ideia: inserir eq. explícita da reta na eq. 
implícita do plano
347
satisfaz ambas equações
b
a
p
c
𝑛
𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚
(𝐩 − 𝐜) ⋅ 𝑛 = 0{
⇒ (𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚 − 𝐜) ⋅ 𝑛 = 0
𝑡 =
𝐜 − 𝐚 ⋅ 𝑛
𝐛 − 𝐚 ⋅ 𝑛
⇒ ?
Intersecção Reta-Plano
 Ponto p que...
 Ideia: inserir eq. explícita da reta na eq. 
implícita do plano
348
satisfaz ambas equações
b
a
p
c
𝑛
𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚
(𝐩 − 𝐜) ⋅ 𝑛 = 0{
⇒ (𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚 − 𝐜) ⋅ 𝑛 = 0
𝑡 =
𝐜 − 𝐚 ⋅ 𝑛
𝐛 − 𝐚 ⋅ 𝑛
⇒
Intersecção Reta-Plano
 Ponto p que...
 Ideia: inserir eq. explícita da reta na eq. 
implícita do plano
349
satisfaz ambas equações
b
a
p
c
𝑛
𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚
(𝐩 − 𝐜) ⋅ 𝑛 = 0{
⇒ (𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚 − 𝐜) ⋅ 𝑛 = 0
𝑡 =
𝐜 − 𝐚 ⋅ 𝑛
𝐛 − 𝐚 ⋅ 𝑛
⇒
Sempre existe solução?
Se 𝑡 > 1?
Se 𝑡 < 0?
Intersecção Reta-Plano
 Ponto p que...
 Ideia: inserir eq. explícita da reta na eq. 
implícita do plano
350
satisfaz ambas equações
b
a
p
c
𝑛
𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚
(𝐩 − 𝐜) ⋅ 𝑛 = 0{
⇒ (𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚 − 𝐜) ⋅ 𝑛 = 0
𝑡 =
𝐜 − 𝐚 ⋅ 𝑛
𝐛 − 𝐚 ⋅ 𝑛
⇒
Sempre existe solução?
Se 𝑡 > 1?
Se 𝑡 < 0?
Intersecção Reta-Plano
 Ponto p que...
 Ideia: inserir eq. explícita da reta na eq. 
implícita do plano
351
satisfaz ambas equações
b
a
p
c
𝑛
𝐩 = 𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚
(𝐩 − 𝐜) ⋅ 𝑛 = 0{
⇒ (𝐚 + 𝑡 𝐛 − 𝐚 − 𝐜) ⋅ 𝑛 = 0
𝑡 =
𝐜 − 𝐚 ⋅ 𝑛
𝐛 − 𝐚 ⋅ 𝑛
⇒
Sempre existe solução?
Se 𝑡 > 1?
Se 𝑡 < 0?
Triângulos (em 3D)
 Plano limitado por três pontos: a, b, e c
352
a
b
c
𝑇
Triângulos (em 3D)
 Plano limitado por três pontos: a, b, e c
353
a
b
c
{ }𝑇=
𝑇
Triângulos (em 3D)
 Plano limitado por três pontos: a, b, e c
354
a
b
c
𝐩 = 𝐛 + 𝑡 𝐪 − 𝐛 | 𝐪 ∈ 𝐴𝐶 e 𝑡 ∈ [0,1]{ }𝑇=
𝑇
Triângulos (em 3D)
 Plano limitado por três pontos: a, b, e c
355
a
b
c
𝐩 = 𝐛 + 𝑡 𝐪 − 𝐛 | 𝐪 ∈ 𝐴𝐶 e 𝑡 ∈ [0,1]{ }𝑇=
𝐴𝐶
𝑇
Triângulos (em 3D)
 Plano limitado por três pontos: a, b, e c
356
a
b
c
𝐩 = 𝐛 + 𝑡 𝐪 − 𝐛 | 𝐪 ∈ 𝐴𝐶 e 𝑡 ∈ [0,1]{ }𝑇=
𝐴𝐶
q
𝑇
Triângulos (em 3D)
 Plano limitado por três pontos: a, b, e c
357
a
b
c
𝐩 = 𝐛 + 𝑡 𝐪 − 𝐛 | 𝐪 ∈ 𝐴𝐶 e 𝑡 ∈ [0,1]{ }𝑇=
𝐴𝐶
q
p
𝑇
Triângulos (em 3D)
 Plano limitado por três pontos: a, b, e c
358
a
b
c
𝐩 = 𝐛 + 𝑡 𝐪 − 𝐛 | 𝐪 ∈ 𝐴𝐶 e 𝑡 ∈ [0,1]{ }𝑇=
𝐴𝐶
q
p
{
}
𝑇=
𝑇
Triângulos (em 3D)
 Plano limitado por três pontos: a, b, e c
359
a
b
c
𝐩 = 𝐛 + 𝑡 𝐪 − 𝐛 | 𝐪 ∈ 𝐴𝐶 e 𝑡 ∈ [0,1]{ }𝑇=
𝐴𝐶
q
p
𝐩 = 𝛼1𝐚 + 𝛼2𝐛 + 𝛼3𝐜 | 0 ≤ 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3 ≤ 1{
}
𝑇=
e 𝛼1 + 𝛼2 + 𝛼3 = 1
𝑇
Triângulos (em 3D)
 Plano limitado por três pontos: a, b, e c
360
a
b
c
𝐩 = 𝐛 + 𝑡 𝐪 − 𝐛 | 𝐪 ∈ 𝐴𝐶 e 𝑡 ∈ [0,1]{ }𝑇=
𝐴𝐶
q
p
𝐩 = 𝛼1𝐚 + 𝛼2𝐛 + 𝛼3𝐜 | 0 ≤ 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3 ≤ 1{
}
𝑇=
e 𝛼1 + 𝛼2 + 𝛼3 = 1
𝑇
coordenadas baricêntricas
Triângulos (em 3D)
 Plano limitado por três pontos: a, b, e c
361
a
b
c
𝐩 = 𝐛 + 𝑡 𝐪 − 𝐛 | 𝐪 ∈ 𝐴𝐶 e 𝑡 ∈ [0,1]{ }𝑇=
𝐴𝐶
q
p
𝐩 = 𝛼1𝐚 + 𝛼2𝐛 + 𝛼3𝐜 | 0 ≤ 𝛼1, 𝛼2, 𝛼3 ≤ 1{
}
𝑇=
e 𝛼1 + 𝛼2 + 𝛼3 = 1
𝑇
coordenadas baricêntricas
3?
Combinações Convexas
362
𝐚𝟏
𝐚𝟐
𝐚𝟒
𝐚𝟓 𝐚𝟑
𝐚𝟔
𝐶
Combinações Convexas
363
𝐚𝟏
𝐚𝟐
𝐚𝟒
𝐚𝟓 𝐚𝟑
𝐚𝟔
𝐩 = 𝛼1𝐚𝟏 +⋯+ 𝛼6𝐚𝟔 |
0 ≤ 𝛼1, … , 𝛼6 ≤ 1
e 𝛼1 +⋯+ 𝛼6 = 1
{𝐶 =
}
𝐶
Combinações Convexas
364
𝐚𝟏
𝐚𝟐
𝐚𝟒
𝐚𝟓 𝐚𝟑
𝐚𝟔
𝐩 = 𝛼1𝐚𝟏 +⋯+ 𝛼6𝐚𝟔 |
0 ≤ 𝛼1, … , 𝛼6 ≤ 1
e 𝛼1 +⋯+ 𝛼6 = 1
{𝐶 =
}
Em 3D?
Intersecções Geométricas
365
Intersecções Geométricas
 Vários algoritmos...
 Ideia sempre a mesma: ponto que 
satisfaz todas as equações envolvidas
 Exercício: intersecção Reta-Triângulo Sistema linear de três variáveis
 Exercício: menor distância Ponto-Plano
 Recurso online:
http://www.realtimerendering.com/intersections.html
366
Intersecções Geométricas
 Vários algoritmos...
 Ideia sempre a mesma: ponto que 
satisfaz todas as equações envolvidas
 Exercício: intersecção Reta-Triângulo
 Sistema linear de três variáveis
 Exercício: menor distância Ponto-Plano
 Recurso online:
http://www.realtimerendering.com/intersections.html
367
Intersecções Geométricas
 Vários algoritmos...
 Ideia sempre a mesma: ponto que 
satisfaz todas as equações envolvidas
 Exercício: intersecção Reta-Triângulo
 Sistema linear de três variáveis
 Exercício: menor distância Ponto-Plano
 Recurso online:
http://www.realtimerendering.com/intersections.html
368
Intersecções Geométricas
 Vários algoritmos...
 Ideia sempre a mesma: ponto que 
satisfaz todas as equações envolvidas
 Exercício: intersecção Reta-Triângulo
 Sistema linear de três variáveis
 Exercício: menor distância Ponto-Plano
 Recurso online:
http://www.realtimerendering.com/intersections.html
369
E outras formas geométricas?
370
E outras formas geométricas?
 Como representar um Cone?
 Conjunto de Triângulos
 Aproximação...
 Centro e raio da base, altura
 Triângulo planar rotacionado ao redor de 
seu eixo principal
 ...
371
E outras formas geométricas?
 Como representar um Cone?
 Conjunto de Triângulos
 Aproximação...
 Centro e raio da base, altura
 Triângulo planar rotacionado ao redor de 
seu eixo principal
 ...
372
(quantos?)
E outras formas geométricas?
 Como representar um Cone?
 Conjunto de Triângulos
 Aproximação...
 Centro e raio da base, altura
 Triângulo planar rotacionado ao redor de 
seu eixo principal
 ...
373
(quantos?)
E outras formas geométricas?
 Como representar um Cone?
 Conjunto de Triângulos
 Aproximação...
 Centro e raio da base, altura
 Triângulo planar rotacionado ao redor de 
seu eixo principal
 ...
374
(quantos?)
E outras formas geométricas?
 Como representar um Cone?
 Conjunto de Triângulos
 Aproximação...
 Centro e raio da base, altura
 Triângulo planar rotacionado ao redor de 
seu eixo principal
 ...
375
(quantos?)
Perguntas?
376