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Determine se a sequência é crescente, decrescente ou não monótona.

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Determine se a sequência é crescente, decrescente ou não monótona. É limitada? 
a) 𝒂𝒏 =
𝟏
𝟓𝒏
 
Quanto maior o denominador, menor é a fração. Então a medida que n aumenta o 
denominador vai ficando maior e an vai decrescendo. Para determinar se a sequência é limitada 
calculemos o limite: 
𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒂𝒏 = 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
(
𝟏
∞
) = 𝟎 
É limitada inferiormente por 0. 
 
b) 𝒂𝒏 =
𝟏
𝟐𝒏+𝟑
 
Quanto maior o denominador, menor é a fração: percebemos isso com o 2n sendo somado ao 
determinador da fração. Então a medida que n aumenta o denominador vai ficando maior e na 
vai decrescendo. Para determinar se a sequência é limitada calculemos o limite: 
𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝒂𝒏 = 𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
(
𝟏
𝟐𝒏 + 𝟑
) = 𝟎 
É limitada inferiormente por 0. 
c) 
𝟐𝒏−𝟑
𝟑𝒏+𝟒
 
Temos que 2n está sendo somado ao sumerador da fração na, mas 3n está sendo somado ao 
denominador, então ainda não sabemos se a fração aumenta ou não. Então comparemos 
𝒂𝒏+𝟏 𝒆 𝒂𝒏. 
𝒂𝒏+𝟏 =
𝟐(𝒏 + 𝟏) − 𝟑
𝟑(𝒏 + 𝟏) + 𝟒
=
𝟐𝒏 + 𝟐 − 𝟑
𝟑𝒏 + 𝟑 + 𝟒
=
𝟐𝒏 − 𝟏
𝟑𝒏 + 𝟕
 
Supomos que 𝒂𝒏+𝟏 > 𝒂𝒏 e é verdade, pois: 
𝟐𝒏 − 𝟏
𝟑𝒏 + 𝟕
>
𝟐𝒏 − 𝟑
𝟑𝒏 + 𝟒
 
(𝟐𝒏 − 𝟏)(𝟑𝒏 + 𝟒) > (𝟐𝒏 − 𝟑)(𝟑𝒏 + 𝟕) 
𝟔𝒏𝟐 + 𝟖𝒏 − 𝟑𝒏 − 𝟒 > 𝟔𝒏𝟐 + 𝟏𝟒𝒏𝟗𝒏 − 𝟐𝟏 
−𝟒 > 𝟐𝟏 
Chegamos em uma inequação verdadeira, portanto assumimos que a sequência é crescente. 
Para saber se ela é limitada, basta calcular o limite: 
𝒍𝒊𝒎
𝒏→∞
𝟐𝒏 − 𝟑
𝟑𝒏 + 𝟒
= 𝐥𝐢𝐦 𝒏 → ∞
𝟐 −
𝟑
𝒏
𝟑 +
𝟒
𝒏
=
𝟐 − 𝟎
𝟑 + 𝟎
=
𝟐
𝟑
 
É limitada superiormente por 
𝟐
𝟑

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