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Determine se a sequência é crescente, decrescente ou não monótona. É limitada? a) 𝒂𝒏 = 𝟏 𝟓𝒏 Quanto maior o denominador, menor é a fração. Então a medida que n aumenta o denominador vai ficando maior e an vai decrescendo. Para determinar se a sequência é limitada calculemos o limite: 𝒍𝒊𝒎 𝒏→∞ 𝒂𝒏 = 𝒍𝒊𝒎 𝒏→∞ ( 𝟏 ∞ ) = 𝟎 É limitada inferiormente por 0. b) 𝒂𝒏 = 𝟏 𝟐𝒏+𝟑 Quanto maior o denominador, menor é a fração: percebemos isso com o 2n sendo somado ao determinador da fração. Então a medida que n aumenta o denominador vai ficando maior e na vai decrescendo. Para determinar se a sequência é limitada calculemos o limite: 𝒍𝒊𝒎 𝒏→∞ 𝒂𝒏 = 𝒍𝒊𝒎 𝒏→∞ ( 𝟏 𝟐𝒏 + 𝟑 ) = 𝟎 É limitada inferiormente por 0. c) 𝟐𝒏−𝟑 𝟑𝒏+𝟒 Temos que 2n está sendo somado ao sumerador da fração na, mas 3n está sendo somado ao denominador, então ainda não sabemos se a fração aumenta ou não. Então comparemos 𝒂𝒏+𝟏 𝒆 𝒂𝒏. 𝒂𝒏+𝟏 = 𝟐(𝒏 + 𝟏) − 𝟑 𝟑(𝒏 + 𝟏) + 𝟒 = 𝟐𝒏 + 𝟐 − 𝟑 𝟑𝒏 + 𝟑 + 𝟒 = 𝟐𝒏 − 𝟏 𝟑𝒏 + 𝟕 Supomos que 𝒂𝒏+𝟏 > 𝒂𝒏 e é verdade, pois: 𝟐𝒏 − 𝟏 𝟑𝒏 + 𝟕 > 𝟐𝒏 − 𝟑 𝟑𝒏 + 𝟒 (𝟐𝒏 − 𝟏)(𝟑𝒏 + 𝟒) > (𝟐𝒏 − 𝟑)(𝟑𝒏 + 𝟕) 𝟔𝒏𝟐 + 𝟖𝒏 − 𝟑𝒏 − 𝟒 > 𝟔𝒏𝟐 + 𝟏𝟒𝒏𝟗𝒏 − 𝟐𝟏 −𝟒 > 𝟐𝟏 Chegamos em uma inequação verdadeira, portanto assumimos que a sequência é crescente. Para saber se ela é limitada, basta calcular o limite: 𝒍𝒊𝒎 𝒏→∞ 𝟐𝒏 − 𝟑 𝟑𝒏 + 𝟒 = 𝐥𝐢𝐦 𝒏 → ∞ 𝟐 − 𝟑 𝒏 𝟑 + 𝟒 𝒏 = 𝟐 − 𝟎 𝟑 + 𝟎 = 𝟐 𝟑 É limitada superiormente por 𝟐 𝟑
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