Capitulo 1 - notacao indicial

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Fundamentos da Mecânica das Estruturas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas de Aula 
Capítulo 1 - Notação indicial 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Professor Dr. Luiz Antonio Farani de Souza 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apucarana, agosto de 2020. 
Capítulo 1 - Notação indicial e tensor 
Prof. Dr. Luiz Antonio Farani de Souza 
 
Conteúdo 
1. Notação indicial ......................................................................................................................... 2 
1.1 Convenção soma e somatório e os índices mudos ou fictícios ........................................... 2 
1.2 Índice livre ........................................................................................................................... 3 
1.3 Delta de Kronecker .............................................................................................................. 4 
1.4 Símbolo de permutação ...................................................................................................... 5 
1.5 Manipulações com notação indicial .................................................................................... 7 
1.5.1 Substituição .................................................................................................................. 7 
1.5.2 Multiplicação ................................................................................................................ 7 
1.5.3 Fatoração ...................................................................................................................... 8 
1.5.4 Contração ..................................................................................................................... 8 
Referência ................................................................................................................................. 8 
 
1. Notação indicial 
1.1 Convenção soma e somatório e os índices mudos ou fictícios 
 
Considere a soma: 
 
 
 
Podemos usar a forma compacta com o sinal de somatório : 
 
 
 
 
 
 
As seguintes equações têm o mesmo significado: 
 
 
 
 
 
ou 
 
 
 
 
Os índices i, j e m são chamados de índices mudos ou fictícios, no sentido de que a 
soma é independente da letra utilizada. 
Podemos simplificar a escrita por: 
 
 com i = 1, ,n ou com j = 1, ,n ou com m = 1, ,n 
 
Capítulo 1 - Notação indicial e tensor 
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Assim, quando acontecer de um índice aparecer repetido uma vez, esse é um índice 
mudo que indica que o somatório com o índice percorre os valores inteiros de 1, 2, ..., n. 
Essa convenção é conhecida como convenção de soma de Einstein. 
 
Nota-se que: 
 
 
 
Deve-se enfatizar que expressões como ou não estão definidos dentro 
dessa convenção. Um índice não deve ser repetido mais do que uma vez quando a 
convenção de soma é utilizada. 
De agora em diante, nó devemos sempre tomar n = 3. Por exemplo, 
 
 
 
 
 
Nós podemos expressar o somatório: 
 
 
 
 
 
 
 
 
de uma maneira concisa por: 
 
 
 
Expandindo a soma, temos (a expansão é executada primeiro sobre o índice i e depois 
sobre o índice j): 
 
 
 
 
Similarmente, a notação indicial aijkxixjxk representa uma soma tripla de 27 termos. 
 
1.2 Índice livre 
Considere o seguinte sistema de 3 equações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Usando a convenção de soma, podemos escrever o sistema como: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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ou 
 
 
 , com i = 1,2,3 
 
Matricialmente, o sistema fica: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O índice que aparece somente uma vez em cada termo da equação, tal como o índice i, é 
chamado de índice livre. Salvo disposição em contrário, um índice livre assume os 
números inteiros 1, 2 ou 3. 
O índice livre que aparece em todo termo de uma equação deve ser o mesmo. 
Então as seguintes equações são significativos: 
 
 ou 
 
Se há dois índices livres aparecendo em uma equação tal que: 
 
 
 
então a equação é uma abreviação para nove equações, e cada uma com três termos do 
lado direito. 
 
 
 
 
 
 
 
Índice mudo 
- aparece duas vezes no mesmo monômio 
- pode não figurar em todos os monômios 
- implica a existência de um somatório de 1 a 3 ao nível do monômio 
 
Índice livre 
- aparece uma vez em cada monômio 
- pode adotar os valores 1, 2 ou 3 
- figura em todos os monômios 
 
1.3 Delta de Kronecker 
 
O Delta de Kröenecker é definido como: 
 
 
 
 
 
 
Que é 11 = 22 = 33 = 1 e 12 = 13 = 21 = 23 = 31 = 32 = 0. 
 
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Em notação matricial, a matriz do Delta de Kronecker é a Matriz Identidade I: 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, 
a) A soma dos elementos da diagonal principal de [ij] pode ser escrito por: 
 
 
 
b) O sistema de equações 
 
 
 
 
 
pode ser escrito por: 
 
 
 
Em particular, 
 
 
 
 
c) Sejm , e vetores unitários
1
 e ortogonais
2
 entre si, então: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Portanto, 
 
 
 
1.4 Símbolo de permutação 
 
O símbolo de permutação, designado por ijk, é definido por: 
 
 
1
 Vetor unitário é um vetor que tem módulo igual a 1. 
 
2
 Dois vetores são ortogonais, se e somente se, o produto escalar entre eles é nulo. 
 
 
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 se formam uma permutação par ou cíclica de 1, 2 e 3 
 se formam uma permutação ímpar ou não cíclica de 1, 2 e 3 
 se não formam uma permutação cíclica de 1, 2 e 3 
 
Uma permutação é dita par (ou cíclica) quando segue a orientação abaixo (sentido 
horário): 
 
 
Dos 3
3
 = 27 possíveis valores de ijk, os únicos que são diferentes de zero são: 
 
 
 
 
Uma aplicação do símbolo de permutação é na representação do produto vetorial de 
vetores unitários de um sistema de coordenadas ortogonal: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pode ser escrito de forma reduzida por: 
 
 
 
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Fazendo i = 1 e j = 2, temos: 
 
 
 
Relações 
 
     
 
Demonstração : 
Partindo da relação     , temos que: 
     
Como      e    , então: 
 
 
1.5 Manipulações com notação indicial 
 
1.5.1 Substituição 
 
Seja 
 
 
e 
 
 
Para substituir o bi na segunda equação no bm da primeira, nós devemos mudar o índice 
livre i para m na segunda equação e o índice m para qualquer outra letra diferente de i. 
 
 
 
 
 
1.5.2 Multiplicação 
 
Se 
 
 
e 
 
 
então 
 
 
 
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É importante notar que . De fato o lado direito dessa equação não está 
definido na convenção soma, e portanto: 
 
 
 
 
 
 
1.5.3 Fatoração 
 
Se , então usando o delta de Kronecker , nós podemos escrever: 
 
  
 
então nós temos que: 
 
   
1.5.4 Contração 
 
A operação de identificar dois índices é conhecida como uma contração. Contração 
indica uma soma sobre o índice. Por exemplo, Tii é uma contração de Tij com: 
 
 
 
Se 
 
 
 
então 
 
 
 
Referência 
 
LAI, W. M.; RUBIN, D. H.; KREMPL, E.. Introduction to continuum mechanics. 
Burlington: Butterworth-Heinemann, 2010.