GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS MANOEL SANTOS ATIV 2

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MANOEL SANTOS
GRA1594 CÁLCULO APLICADO VÁRIAS VARIÁVEIS 
ATIVIDADE 2 (A2)
16/02/21 13:11
18/02/21 07:45
Completada
10 em 10 pontos 
Tempo decorrido 42 horas, 33 minutos
Resultados
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Respostas enviadas, Respostas corretas, Comentários
Pergunta 1
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da resposta:
Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um software
pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse problema, outro recurso que
podemos utilizar para visualizar geometricamente o comportamento da função é o
conceito de curva de nível. 
A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta.
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço .
Resposta correta. A alternativa está correta. O gráfico de uma função de duas
variáveis é um conjunto de pontos do espaço , para poder visualizar uma
representação geométrica da função no plano recorremos ao uso das curvas de
nível, que são curvas planas do plano . Portanto, uma curva de nível é um
subconjunto do plano .
Pergunta 2
A derivada direcional é uma taxa de variação que nos diz qual é o valor de aumento
ou decrescimento da função em uma dada direção a partir de um ponto. Considere,
então, a seguinte situação: A temperatura em cada ponto de uma placa retangular é
determinada por meio da função . 
 Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura no ponto 
 na direção do vetor .
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Resposta
Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário
da resposta:
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93 unidades.
A temperatura está aumentando à taxa de aproximadamente 9,93
unidades.
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e seu
vetor gradiente são: , e . Assim,
dado o ponto (3,4), temos . O vetor é unitário, então a
derivada direcional irá nos fornecer a taxa de variação desejada:
.
Pergunta 3
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente
da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo entre os
dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é
máxima para o vetor unitário do vetor gradiente. 
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo
crescimento da função no ponto P(-1,1). 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função e o vetor
gradiente são: , e
. Logo, . Como a direção de
máximo crescimento se dá no vetor unitário com mesma direção e sentido do vetor
gradiente, temos que o vetor procurado é
.
Pergunta 4
O domínio de uma função corresponde a todos os valores que, ao serem trocados
no lugar da variável (ou variáveis), produzem um resultado válido. Alguns
exemplos: em funções raízes, o domínio corresponde a todos os valores que não
geram um valor negativo dentro da raiz, já no caso de funções quocientes, o
domínio corresponde a todos os valores que não zeraram o denominador. 
 
Com base nessas informações, analise as afirmativas a seguir.
 
I - O domínio da função é o conjunto
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário da
resposta:
 .
II - O domínio da função é o conjunto
 .
 
III - O domínio da função é o conjunto .
 
IV - O domínio da função é o conjunto 
 .
 
 
 
I, IV
I, IV
Resposta correta. A alternativa está correta. Avaliando as restrições de cada
função, concluímos que: 
Afirmativa I: Correta. O domínio da função é o conjunto 
. 
Afirmativa IV: Correta. O domínio da função é o conjunto
.
Pergunta 5
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Derivar funções compostas é um processo que requer muito cuidado em cada
etapa. Esse tipo de função é derivada fazendo o uso da chamada regra da cadeia.
No caso de funções de duas variáveis, temos que observar quais são as variáveis
independentes, as variáveis intermediárias e a variável dependente. Sabemos que
podemos escrever . Se e e .
 
 Com base no exposto, assinale a alternativa correta. 
 
 
As variáveis e são as variáveis independentes.
As variáveis e são as variáveis independentes.
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos que a variável depende das
variáveis e , pois . No entanto, as variáveis e dependem das
variáveis e e essas últimas não possuem dependência de nenhuma outra variável.
Dessa forma, concluímos que as variáveis e são as variáveis independentes.
Pergunta 6
Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas
variáveis temos que o domínio desse tipo de função pode ser dado como o
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Resposta
Selecionada:
Resposta Correta:
Comentário da
resposta:
conjunto de pares ordenados pertencentes ao plano que satisfazem a lei
de formação da função . Assim, para determinar o domínio da função 
 precisamos verificar se não há restrições para os valores que e podem
assumir. 
 
 Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta.
 
 
O domínio da função é o conjunto
.
O domínio da função é o conjunto 
.
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes restrições para
os valores de e : 
(I) A expressão dentro da raiz deve ser não negativa, isto é,
 
 
(II) A expressão do denominador deve ser não nula, isto é,
 
 
Portanto, a interseção dos conjuntos (I) e (II) resulta em . Logo,
.
Pergunta 7
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são
funções da variável , isto é, e . A derivada da função com
relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia expressa por 
 . Pela regra da cadeia, podemos notar que precisamos das
derivadas parciais da função com relação às variáveis e e precisamos das
derivadas das funções e com relação à variável . 
 
 A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da
função com relação à variável , sabendo que e 
 . 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as seguintes derivadas:
1 em 1 pontos
, , e . Aplicando a regra da cadeia,
obtemos a expressão da derivada desejada:
. Trocando as expressões
de e temos
.
Pergunta 8
Resposta Selecionada: 
Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
Para determinar a equação de um plano, precisamos conhecer um vetor normal a
ele e um ponto pertencente a ele. Dado que o vetor gradiente é perpendicular à
curva de nível que passa por um P, para determinar a equação de um
plano tangente à função no ponto P, precisamos conhecer o vetor gradiente
da função nesse ponto. Dessa forma, a equação do plano tangente pode ser escrita
como . 
 
A partir dessas considerações, assinale a alternativa que representa a equação do
plano tangente à função no ponto P(1,-1).
 
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função são:
 e . Calculando o valor da função e suas derivadas
parciais no ponto P(1,-1) temos: , e .
Assim, trocando essas informações na equação do plano
 obtemos 
 
.
Pergunta 9
As derivadas parciais com relação a e a fornecem em cada uma delas a
inclinação da reta tangente a uma função de duas variáveis quando fixadas
as direções que correspondem a cada um desses eixos. No entanto, é possível,
também, determinar a derivada da função com relação a qualquer direção
diferente das direções paralelas aos eixos coordenados, desde que essa direção
seja fornecida por um vetor unitário. 
 
 Com base nisso, conceituamos a ideia de derivada direcional que pode ser
expressa por . Assinale a alternativa que corresponde à
derivada direcional da função no ponto na direção do vetor 
 .
 
1 em 1 pontos
1 em 1 pontos
Resposta Selecionada:Resposta Correta: 
Comentário
da resposta:
 
 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais da função são:
 e , que implicam que o vetor gradiente seja
. Calculando o vetor gradiente no ponto P, temos que
. Para calcular a derivada direcional, necessitamos de um vetor
unitário, assim, tome . Logo, a derivada direcional
procurada é .
Pergunta 10
Resposta Selecionada:
 
Resposta Correta:
 
Comentário
da resposta:
Considere a função de duas variáveis , tal que as variáveis e são
funções das variáveis e , isto é, e . A derivada da função
 com relação à variável é obtida por meio da regra da cadeia
expressa por . Já a derivada de com relação à variável é obtida
por meio da expressão . 
 
 
 A partir dessa informação, assinale a alternativa que representa a derivada da
função com relação às variáveis e , sabendo que e 
 . 
 
 
 e 
 e 
Resposta correta. A alternativa está correta. Usando a regra da cadeia, temos que a
derivada parcial de com relação a é: . Já a
derivada parcial de com relação a é:
.
1 em 1 pontos