2020 1 P2 - ADM05008 - MATEMTICA II - T1

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MATEMÁTICA II - 1º Semestre / 2020 - P2 - TIPO 1 
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FUNDAÇÃO GETULIO VARGAS 
Programa de Certificação de Qualidade 
Curso de Graduação em Administração 
 
PROVA DE MATEMÁTICA II 
1º Semestre / 2020 - P2 - TIPO 1 
 
 DADOS DO ALUNO: 
Nome: 
 
 
 
_____________________ 
Assinatura 
 
INSTRUÇÕES: 
Você receberá do professor o seguinte material: 
1. Um caderno de prova com um conjunto de páginas numeradas sequencialmente, contendo 20 (vinte) questões. 
2. Um cartão-resposta, com seu nome e número de matrícula e demais informações da disciplina a que se refere esta prova. 
 
Atenção: 
 Confira o material recebido, verificando se a numeração das questões e a paginação estão corretas. 
 Confira se o seu nome no cartão-resposta está correto. 
 Leia atentamente cada questão e assinale no cartão uma única resposta para cada uma das 20 (vinte) questões. 
 Observe que o cartão-resposta deve ser preenchido até o número correspondente de questões da prova, ou seja, 20 (vinte) 
questões. 
 O cartão-resposta não pode ser dobrado, amassado, rasurado ou conter qualquer registro fora dos locais destinados às respostas. 
Caso tenha necessidade de substituir o cartão-resposta, solicite um novo cartão em branco ao professor, e devolva juntos os dois 
cartões quando finalizar a prova. A não devolução de ambos os cartões acarretará a anulação de sua prova, gerando grau zero. 
 No cartão-resposta, a marcação das letras correspondentes às respostas deve ser feita cobrindo a letra e preenchendo todo o 
retângulo, com um traço contínuo e denso. 
Exemplo: A B C D E 
 Deve-se usar caneta azul ou preta. 
 Marcar apenas 1 (uma) alternativa por questão. 
 A leitora não registrará marcação de resposta onde houver falta de nitidez. 
 Se você precisar de algum esclarecimento, solicite-o ao professor. 
 Você dispõe de duas horas para fazer esta prova. 
 Após o término da prova, entregue ao professor o cartão-resposta e esta página devidamente preenchida e assinada. 
 Não se esqueça de assinar o cartão-resposta, assim como a lista de frequência. 
Fórmula de cálculo:  10Nota= nº de questões certas
nº de questões da prova

 
ATENÇÃO: 
Confira se o tipo de prova marcado em seu cartão-resposta corresponde 
ao tipo indicado nesta prova. 
 
 
 
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FORMULÁRIO 
 
Módulos |𝑓(𝑥)| = 𝑘 ⇒ {𝑓(𝑥) = 𝑘 , se 𝑓(𝑥) ≥ 0𝑓(𝑥) = −𝑘, se 𝑓(𝑥) < 0 |𝑓(𝑥)| = |𝑔(𝑥)| ⇒ {𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) ou 𝑓(𝑥) = −𝑔(𝑥) |𝑓(𝑥)| = 𝑔(𝑥) ⇒ {𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) se 𝑓(𝑥) ≥ 0 e 𝑔(𝑥) ≥ 0𝑓(𝑥) = −𝑔(𝑥) se 𝑓(𝑥) < 0 e 𝑔(𝑥) ≥ 0 
 
Exponenciais e Logaritmos 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏 ⇒ 𝑓(𝑥) = loga 𝑏 = ln 𝑏ln 𝑎 𝑎𝑓(𝑥) = 𝑏𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) = loga 𝑏 × 𝑔(𝑥) = ln 𝑏ln 𝑎 × 𝑔(𝑥) log𝑏 𝑓(𝑥) = log𝑏 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) se 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥) > 0 log𝑏 𝑓(𝑥) = 𝛼 ⇒ 𝑓(𝑥) = 𝑏𝛼 log𝑏(𝑥𝑦) = log𝑏 𝑥 + log𝑏 𝑦 log𝑏 (𝑥𝑦) = log𝑏 𝑥 − log𝑏 𝑦 log𝑏 𝑥𝑘 = 𝑘 × log𝑏 𝑥 log𝑏 √𝑥𝑛 = 1𝑛 × log𝑏 𝑥 ∀𝑛 ∈ ℕ∗ log𝑏 𝑥 = log𝑎 𝑥log𝑎 𝑏 
 
Álgebra Linear 
det(𝐴) = |𝐴|𝑛×𝑛 = ∑ 𝑎𝑖𝑗(−1)𝑖+𝑗|𝑀𝑖𝑗|𝑛𝑖=1= ∑ 𝑎𝑖𝑗(−1)𝑖+𝑗|𝑀𝑖𝑗|𝑛𝑗=1 𝐴−1 = 1det(𝐴) × adj(𝐴) adj(𝐴) = 𝐶𝑡 𝐶 = [𝐶𝑖𝑗] 𝐶𝑖𝑗 = (−1)𝑖+𝑗|𝑀𝑖𝑗| 𝐴. 𝑥 = 𝑏 ⇒ 𝑥𝑖 = |𝐴𝑖||𝐴| 
 
Derivadas 𝑓′(𝑥) = lim∆𝑥→0 𝑓(𝑥+∆𝑥)−𝑓(𝑥)∆𝑥 𝑦 = 𝑓(𝑥) ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑦′ = 𝐷 𝑥 𝑦 = 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑐 × 𝑓(𝑥) ⇒ 𝑔′(𝑥) = 𝑐 × 𝑓′(𝑥) 
𝑓(𝑥) = 𝑥𝑟 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑟𝑥𝑟−1 ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥) ⇒ ℎ′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(x) ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥) × 𝑔(𝑥) ⇒ ℎ′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) × 𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) ×𝑔′(𝑥) ℎ(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) ⇒ ℎ′(𝑥) = 𝑓′(𝑥)×𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)×𝑔′(𝑥)[𝑔(𝑥)]2 𝑦 = 𝑓(𝑢) e 𝑢 = 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) ⇒ 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑑𝑦𝑑𝑢 × 𝑑𝑢𝑑𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 𝑎𝑥 × ln 𝑎 𝑓(𝑥) = ln 𝑥 ⇒ 𝑓′(𝑥) = 1𝑥 𝑓(𝑥) = log𝑎 𝑥 ⇒ 𝑓′(𝑥) = log𝑎 𝑒𝑥 
 
Otimização (𝑓′(𝑐) = 0) e (𝑓′′(𝑐) < 0) → (𝑐, 𝑓(𝑐)) é ponto de máximo (𝑓′(𝑐) = 0) e (𝑓′′(𝑐) > 0) → (𝑐, 𝑓(𝑐)) é ponto de mínimo 
 
Integral ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 ⇔ 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∫ 𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑎. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝑥𝑛 𝑑𝑥 = 𝑥𝑛+1𝑛+1 + 𝐶 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 ≠ −1 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 ⇒ ∫ 𝑓(𝑔(𝑥))[𝑔′(𝑥)𝑑𝑥] = 𝐹(𝑔(𝑥)) + 𝐶 ∫ 1𝑥 𝑑𝑥 = ln |𝑥| + 𝐶 ∫ 1𝑔(𝑥) 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = ln |𝑔(𝑥)| + 𝐶 ∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑒𝑔(𝑥)𝑔′(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑒𝑔(𝑥) + 𝐶 ∫ 𝑎𝑥 𝑑𝑥 = 𝑎𝑥ln 𝑎 + 𝐶 0 < 𝑎 ≠ 1 ∫ 𝑎𝑔(𝑥) 𝑔′(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎𝑔(𝑥)ln 𝑎 + 𝐶 0 < 𝑎 ≠ 1 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 ⇒ ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑎 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑎 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑐𝑎 + ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏𝑐 
 
Funções de Várias Variáveis 𝜕𝑓(𝑥1,…,𝑥𝑖,…,𝑥𝑛)𝜕𝑥𝑖 = lim∆𝑥𝑖→0 𝑓(𝑥1,…,𝑥𝑖+∆𝑥𝑖,…,𝑥𝑛)−𝑓(𝑥1,…,𝑥𝑖,…,𝑥𝑛)∆𝑥𝑖 
 
 
 
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MATEMÁTICA II 
 
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Sendo A = (1 20 1) e B = (1 −20 1 ), é correto afirmar que: 
 
(A) A × B = I. 
(B) A × BT = I. 
(C) A + B = I. 
(D) B − A = I. 
(E) A − B = I. 
 
 
2 
Sendo A = ( 2 3−1 46 7) e B = (20), o produto A × B é igual a: 
 
(A) (4 60 0). 
(B) ( 0 4 6−1 0 812 14 0). 
(C) ( 4−212). 
(D) ( 4 6−2 812 14). 
(E) (6 8 14). 
 
 
3 
Seja a matriz 𝐴 = (1 2 −13 1 2𝑥 −1 4 ). Para que det ฀ = 10, o valor de ฀ deve ser: 
 
(A) -3. 
(B) 5. 
(C) 0. 
(D) -1. 
(E) 1. 
 
 
 
 
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Sendo A = ( 1 2−1 3), sua inversa será a matriz: 
 
(A) (6 −42 2 ). 
(B) (−1 31 2). 
(C) (2 13 −1). 
(D) (1 −12 3 ). 
(E) (0,6 −0,40,2 0,2 ). 
 
 
5 
A balança do entreposto comercial está com defeito e só é possível pesar coisas com mais de 120 kg. Um funcionário da ACME 
Logística Ltda. precisa determinar o peso de três caixas (A, B e C). Porém, como sabe que as caixas B e C muito provavelmente 
pesam menos que 120 kg, ele bolou um procedimento engenhoso, pesando duas caixas de cada vez. Ele anotou que: 
 
 Quando as caixas A e C são pesadas juntas, a balança marca 174 kg; 
 Quando as caixas A e B são pesadas juntas, a balança marca 246 kg; e 
 Quando as caixas B e C são pesadas juntas, a balança marca 132 kg. 
 
Sendo assim, é correto afirmar que: 
 
(A) a caixa A pesa 32 kg a mais que a caixa B. 
(B) a caixa C pesa 104 kg a menos que a caixa A. 
(C) a caixa B pesa 110 kg e a caixa A pesa 136 kg. 
(D) a caixa A pesa 144 kg e a caixa C pesa 30 kg. 
(E) a caixa C pesa 35 kg e a caixa B pesa 97 kg. 
 
 
6 
Para que o sistema { x + y + z = 13x − y + 2z = 3y + Kz = −2 tenha uma única solução não trivial, devemos ter: 
 
(A) 𝑘 ≠ 4. 
(B) 𝑘 = 1. 
(C) 𝑘 = 4. 
(D) 𝑘 = 14. 
(E) 𝑘 ≠ 14. 
 
 
7 
O conjunto solução da inequação modular |3x| > |5 − 2x| é: 
 
(A) S = {x ∈ ℝ| x < −5 ou x > 1}. 
(B) S = {x ∈ ℝ| 1 < x < 5 2⁄ }. 
(C) S = {x ∈ ℝ| x < 1 ou x ≥ 5 2⁄ }. 
(D) S = {x ∈ ℝ| − 5 < x ≤ 5 2⁄ }. 
(E) S = {x ∈ ℝ| − 5 < x < 1}. 
 
 
 
 
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A população brasileira, estimada pelo censo de 2010 do IBGE, era de 190.755.799 pessoas, com uma taxa de crescimento de 
1,4% ao ano, que vamos considerar como constante para os anos de 2010 a 2030. 
 
Em 2014, o rebanho bovino era de 150.000.000 cabeças de gado, e estudos sugerem que o ideal é que haja uma relação de uma 
cabeça de gado para cada habitante em 2030. 
 
Para que a relação sugerida pelos estudos seja alcançada em 2030, é necessário que a taxa de crescimento anual do rebanho, a 
partir de 2014, seja de: 
 
(A) 0,24%. 
(B) 2,34%. 
(C) 3,29%. 
(D) 1,03%. 
(E) 2,62%. 
 
 
9 
O valor de 𝑥 que é a solução da equação 2+ln 𝑥ln 𝑥 + ln 𝑥1+ln 𝑥 = 2 é: 
 
(A) 0. 
(B) 𝑒−1. 
(C) 𝑒2. 
(D) 𝑒−2. 
(E) 𝑒. 
 
 
10 
Em um triângulo retângulo, um dos catetos mede 18 cm, e a hipotenusa excede o outro cateto em 6 cm. A hipotenusa e o 
segundo cateto medem, respectivamente: 
 
(A) 20 cm e 14 cm. 
(B) 25 cm e19 cm. 
(C) √18 cm e √6 cm. 
(D) 35 cm e 29 cm. 
(E) 30 cm e 24 cm. 
 
 
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Uma gráfica que confeccionou material de campanha determina o custo unitário de um de seus produtos, em reais, de acordo 
com a lei C(t) = 200 + 120 sen (πt2 ), com t medido em horas de trabalho. Assim, os custos máximo e mínimo desse produto 
são: 
 
(A) 320 e 200. 
(B) 200 e 120. 
(C) 320 e 80. 
(D) 120 e 80. 
(E) 200 e 80. 
 
 
 
 
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O gerente de uma fábrica de bolsas verificou que, quando se produziam 500 bolsas por mês, o custo total da empresa era de R$ 
25.000,00 e que, quando se produziam 700 bolsas, o custo total era de R$ 33.000,00. 
 
Admitindo-se que o custo mensal C (em milhares de reais) é uma função linear do número x de bolsas produzidas, a expressão 
matemática que representa C(x) é: 
 
(A) 𝑐(𝑥) = 𝑥25 + 5. 
(B) 𝑐(𝑥) = 33𝑥 + 700. 
(C) 𝑐(𝑥) = 𝑥5 + 25. 
(D) 𝑐(𝑥) = 25𝑥 + 500. 
(E) 𝑐(𝑥) = 𝑥33 + 5. 
 
 
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Sabe-se que a reta s é perpendicular à reta t: 2x + 3y − 4 = 0 e passa pelo ponto (3, 4). Sendo assim, sua equação é: 
 
(A) s: 2x + 3y + 1 = 0. 
(B) s: 3x + 2y + 1 = 0. 
(C) s: 2x − 3y + 1 = 0. 
(D) s: 3x + 2y − 1 = 0. 
(E) s: 3x − 2y − 1 = 0. 
 
 
14 
Calcule limx→25 5−√x25−x. 
 
(A) +∞. 
(B) 0. 
(C) O limite não existe. 
(D) 1/10. 
(E) −∞. 
 
 
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O custo de uma fábrica para produzir x unidades de determinado item é dado pela expressão 
 C(x) = 2.000 + 100x − 0,1x2 
 
Portanto, o custo marginal de produção para x = 100 é de: 
 
(A) 13.000. 
(B) 100. 
(C) 11.000. 
(D) 80. 
(E) 110. 
 
 
 
 
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No gerenciamento de estoques, sabe-se que o custo médio semanal de pedidos, pagamentos e armazenamento de mercadorias 
é dado pela expressão 
 A(q) = k ⋅ mq + c ⋅ m + h ⋅ q2 
 
Onde: 
• q é a quantidade de itens solicitados para compra, a cada vez que há necessidade de ressuprimento. 
• m é a demanda semanal pelo item. 
• k é o custo de se fazer um pedido (constante). 
• c é o custo unitário de cada item (constante). 
• h é o custo semanal de se manter cada item armazenado (constante que incorpora o custo de espaço, seguros, segurança, 
mão de obra etc.). 
 
A expressão que nos dá a taxa de variação da função A(q) em relação à quantidade ฀ (ou seja, a derivada de A(q)) é: 
 
(A) A′(q) = − k⋅mq2 + h2. 
(B) A′(q) = k⋅mq2 − h2. 
(C) A′(q) = −k ⋅ m ⋅ q2 + h2⋅q. 
(D) A′(q) = k ⋅ m ⋅ q + h2⋅q. 
(E) A′(q) = − k⋅mq + h2 ⋅ q. 
 
 
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Durante determinado período, o consumo mensal de um produto seguiu a expressão 
 q(t) = 33,5 + 2,1t − 0,07t2 
 
Onde: 
• t é o tempo desde o início do período considerado (0 ≤ t ≤ 20). 
• q é a quantidade consumida. 
 
Com base nisso, é correto afirmar que: 
 
(A) até o mês 10 o consumo era decrescente e, a partir de então, passou a ser crescente. 
(B) no mês 10, o consumo era crescente e, no mês 15, também era crescente. 
(C) no mês 10, o consumo era decrescente e, a partir do mês 20, passou a ser crescente. 
(D) o consumo era crescente em todo o intervalo de tempo. 
(E) no mês 10, o consumo era crescente e, a partir do mês 15, passou a ser decrescente. 
 
 
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O custo marginal de uma empresa é dado pela função C′(q) = 2e0,2q. Portanto, para encontrar o custo total C(q), deve-se 
calcular a integral de C′(q). Sabendo-se que o custo fixo é 90, a expressão para o custo total C(q) é: 
 
(A) C(q) = 80e0,2q. 
(B) C(q) = 2e0,2q + 80. 
(C) C(q) = 80e10q + 2. 
(D) C(q) = 0,2e−0,8q + 80. 
(E) C(q) = 10e0,2q + 80. 
 
 
 
 
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Uma empresa produz dois tipos de detergente nas quantidades x e y em litros, respectivamente. 
 
O custo total da produção é dado pela função Ct(x, y) = x2 + 50x + y2 − xy, e a receita total é dada por Rt(x, y) = 50x − x2 +2.000y + xy. Para que a empresa alcance o lucro máximo, deve produzir, respectivamente: 
 
(A) x = 1.500 unidades e y = 1.500 unidades. 
(B) x = 1.000 unidades e y = 2.000 unidades. 
(C) x = 10.000 unidades e y = 20.000 unidades. 
(D) x = 2.000 unidades e y = 1.000 unidades. 
(E) x = 20.000 unidades e y = 10.000 unidades. 
 
 
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Calculando o limite limx→∞ e−x−1x , encontramos, como resultado: 
 
(A) 𝑒. 
(B) 1. 
(C) +∞. 
(D) −∞. 
(E) 0.