Aula 3 - Campo Eletrico em distribuição continua

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Eletromagnetismo I
Prof. Dr. Hugo Vasconcelos
Campo Elétrico Em distribuição contínua
Se agora observarmos uma região do espaço preenchida com uma grande
quantidade de cargas que estão afastadas por distâncias muito pequenas.
Podemos considerar essa distribuição como uma distribuição continua
descrita por uma densidade volumétrica de carga.
𝜌 = lim
Δ𝑣→0
Δ𝑄
Δ𝑣
A carga total dentro de um volume finito é obtida por 𝑄 = න
𝑣𝑜𝑙
𝜌 𝑑𝑣
Onde a integral de um volume é uma integral tripla.
Exemplo: Exemplificando a solução de uma integral volumétrica, vamos
encontrar a carga total contida em um feixe de elétrons de
2 𝑐𝑚 de comprimento, mostrado na figura.
𝝆 = −𝟓 × 𝟏𝟎−𝟔𝒆−𝟏𝟎
𝟓𝑹𝒛 𝝁𝑪/𝒎𝟑
𝑄 = න
𝑣𝑜𝑙
𝜌 𝑑𝑣
𝑹 = 𝟏 𝒄𝒎 𝑄 = න
𝑧1
𝑧2
න
𝜙0
𝜙
න
𝑅0
𝑅
𝜌 𝑅𝑑𝑅 𝑑𝜙 𝑑𝑧
𝑄 = න
0,02
0,04
න
0
2𝜋
න
0
0,01
−𝟓 × 𝟏𝟎−𝟔𝒆−𝟏𝟎
𝟓𝑹𝒛 𝑅𝑑𝑅 𝑑𝜙 𝑑𝑧
Exemplo: Exemplificando a solução de uma integral volumétrica, vamos
encontrar a carga total contida em um feixe de elétrons de
2 𝑐𝑚 de comprimento, mostrado na figura.
𝑄 = න
0,02
0,04
න
0
2𝜋
න
0
0,01
−𝟓 × 𝟏𝟎−𝟔𝒆−𝟏𝟎
𝟓𝑹𝒛 𝑅𝑑𝑅 𝑑𝜙 𝑑𝑧
Integrando em relação a 𝜙 por ser mais fácil
𝑄 = න
0,02
0,04
න
0
0,01
𝟐𝝅 −𝟓 × 𝟏𝟎−𝟔𝒆−𝟏𝟎
𝟓𝑹𝒛 𝑅𝑑𝑅 𝑑𝑧
𝑄 = න
0,02
0,04
න
0
0,01
−𝟏𝟎𝝅 × 𝟏𝟎−𝟔𝒆−𝟏𝟎
𝟓𝑹𝒛 𝑅𝑑𝑅 𝑑𝑧
Exemplo: Exemplificando a solução de uma integral volumétrica, vamos
encontrar a carga total contida em um feixe de elétrons de
2 𝑐𝑚 de comprimento, mostrado na figura.
𝑄 = න
0,02
0,04
න
0
0,01
−𝟏𝟎−𝟓𝝅𝒆−𝟏𝟎
𝟓𝑹𝒛 𝑅𝑑𝑅 𝑑𝑧
Integrando em relação a 𝑧
𝑄 = න
0
0,01 −𝟏𝟎−𝟓𝝅
−𝟏𝟎𝟓𝑹
𝒆−𝟏𝟎
𝟓𝑹𝒛𝑅𝑑𝑅
𝟎,𝟎𝟐
0,04
𝑄 = න
0
0,01−10−5𝜋
−105
𝑒−10
5𝑅 0,04 − 𝑒−10
5𝑅 0,02 𝑑𝑅
Exemplo: Exemplificando a solução de uma integral volumétrica, vamos
encontrar a carga total contida em um feixe de elétrons de
2 𝑐𝑚 de comprimento, mostrado na figura.
𝑄 = න
0
0,01
−10−10𝜋 𝑒−2000𝑅 − 𝑒−4000𝑅 𝑑𝑅
Finalmente, em relação a 𝑅,
𝑄 = −10−10𝜋
𝑒−2000𝑅
−2000
−
𝑒−4000𝑅
−4000
0
0,01
𝑄 = −10−10𝜋
1
−2000𝑒2000𝑅
−
1
−4000𝑒4000𝑅 0
0,01
Exemplo: Exemplificando a solução de uma integral volumétrica, vamos
encontrar a carga total contida em um feixe de elétrons de
2 𝑐𝑚 de comprimento, mostrado na figura.
𝑄 = −10−10𝜋
1
−2000𝑒2000∙(0,01)
−
1
−4000𝑒4000∙(0,01)
−
1
−2000𝑒2000∙(0)
−
1
−4000𝑒4000∙(0)
𝑄 = −10−10𝜋
1
−2000𝑒20
−
1
−4000𝑒40
−
1
−2000
−
1
−4000
𝑄 = −10−10𝜋 1,0306 × 10−12 −
1
−4000
𝑄 = −10−10𝜋 1,03 × 10−12 + 2,50 × 10−4
𝑄 ≈ −7,85 × 10−14 𝐶 = −0,0785 𝑝𝐶
Campo Elétrico de uma linha de cargas
Até agora consideramos dois tipos de distribuição de cargas: a carga pontual
e a carga distribuída em um volume com uma densidade 𝜌.
Se agora considerarmos uma densidade de carga volumétrica distribuída na
forma de um filamento, tal qual um condutor carregado de raio pequeno.
𝜆 = lim
Δ𝑣→0
Δ𝑄
Δ𝑙
Cada incremento do comprimento da linha de cargas age como uma carga
pontual e produz um incremento de campo elétrico que se direciona para
fora se a carga for positiva.
Campo Elétrico de uma linha de cargas
𝝀
𝒅𝑸 = 𝝀𝒅𝒛′ 𝐸𝜙 = 0
𝐸𝑧 = 𝐸𝑧′
Temos apenas um componente 𝐸𝑅
𝑑𝐸 =
𝑑𝑄
4𝜋𝜖0
(Ԧ𝑟 − Ԧ𝑟′)
Ԧ𝑟 − Ԧ𝑟′ 3
=
𝜆𝑑𝑧′
4𝜋𝜖0
(Ԧ𝑟 − Ԧ𝑟′)
Ԧ𝑟 − Ԧ𝑟′ 3
Ԧ𝑟 = 𝑦 Ƹ𝑗 = 𝑅 ො𝑎𝑅
Ԧ𝑟′ = 𝑧෠𝑘
Ԧ𝑟 − Ԧ𝑟′ = 𝑅ො𝑎𝑅 − 𝑧෠𝑘
𝑺 = 𝒓 − 𝒓′
𝑑𝑬𝑅
𝐚𝑺
Campo Elétrico de uma linha de cargas
𝝀
𝒅𝑸 = 𝝀𝒅𝒛′
𝑑𝐸 =
𝜆𝑑𝑧′
4𝜋𝜖0
𝑅 ො𝑎𝑅 − 𝑧෡𝑘
𝑅2 + 𝑧′2 3/2
De modo que o campo em 𝑅
𝑑𝐸𝑅 =
𝜆𝑑𝑧′
4𝜋𝜖0
𝑅
𝑅2 + 𝑧′2 3/2
𝐸𝑅 = න
−∞
∞ 𝜆𝑅
4𝜋𝜖0
𝑑𝑧′
𝑅2 + 𝑧′2 3/2
𝑺 = 𝒓 − 𝒓′
𝑑𝑬𝑅
𝐚𝑺
Campo Elétrico de uma linha de cargas
𝝀
𝒅𝑸 = 𝝀𝒅𝒛′ 𝐸𝑅 =
𝜆𝑅
4𝜋𝜖0
න
−∞
∞ 𝑑𝑧′
𝑅2 + 𝑧′2 3/2
Sabendo que:
න
𝑑𝑥
𝑥2 + 𝑎2
3 =
𝑥
𝑎2 𝑥2 + 𝑎2
𝐸𝑅 =
𝜆𝑅
4𝜋𝜖0
1
𝑅2
𝑧′
𝑅2 + 𝑧′2 −∞
∞
𝐚𝑺
𝑺 = 𝒓 − 𝒓′
𝑑𝑬𝑅
Campo Elétrico de uma linha de cargas
𝐸𝑅 =
𝜆𝑅
4𝜋𝜖0
2
𝑅2
=
𝜆
2𝜋𝜖0𝑅
𝑬 =
𝝀
𝟐𝝅𝝐𝟎𝑹
ෝ𝒂𝑹
Agora o campo é proporcional ao inverso da distância em relação a linha de
cargas.
Campo Elétrico de uma lâmina de cargas
Uma outra configuração básica de cargas é a lâmina infinita de cargas.
𝜎 = lim
Δ𝑣→0
Δ𝑄
Δ𝑎
Onde 𝜎 é a densidade superficial de cargas, já que as cargas em um
condutor se posiciona na superfície do condutor e não no interior.
Campo Elétrico de uma lâmina de cargas
𝝈
Dividindo a lâmina em fita ou
linha diferencial
𝜆 = 𝜎𝑑𝑦′
A contribuição em 𝑃 para 𝐸𝑥 é
𝑑𝐸𝑥 =
𝜎𝑑𝑦′
2𝜋𝜖0 𝑥
2 + 𝑦′2
cos 𝜃
Campo Elétrico de uma lâmina de cargas
𝑑𝐸𝑥 =
𝜎𝑑𝑦′
2𝜋𝜖0 𝑥
2 + 𝑦′2
cos 𝜃 =
𝜎
2𝜋𝜖0
𝑥𝑑𝑦′
𝑥2 + 𝑦′2
O campo para todas as fitas é
𝐸𝑥 =
𝜎
2𝜋𝜖0
න
−∞
∞ 𝑥𝑑𝑦′
𝑥2 + 𝑦′2
Sabendo que:
න
𝑑𝑥
𝑥2 + 𝑎2
=
1
𝑎
tan−1
𝑥
𝑎
𝐸𝑥 =
𝜎
2𝜋𝜖0
tan−1
𝑦′
𝑥
−∞
∞
=
𝜎
2𝜋𝜖0
𝜋
2
+
𝜋
2
Campo Elétrico de uma lâmina de cargas
𝝈 𝐸𝑥 =
𝜎
2𝜖0
Se a lamina está no plano 𝑦𝑧
𝐸 =
𝜎
2𝜖0
î
Bibliografia
HAYT JR, William H; BUCK, John A. Eletromagnetismo.
8.ed. Porto Alegre: AMGH, 2003.