Lista 4 - Derivadas, Aplicações em Economia - MQE

Prévia do material em texto

Universidade Paulista 
 Curso: Ciências Econômicas 
 Disciplina: Métodos Quantitativos 
 Prof. Dra. Deiby Santos Gouveia 
Prof Dra Deiby Santos Gouveia Disciplina: Métodos Quantitativos 
 
Lista n. 4: Derivadas: Aplicações em Economia 
Funções: Demanda, Oferta, Receita, Custo 
Elasticidade, Poupança, Renda e Consumo 
 
1. Na fabricação de um produto, o custo, em reais, para produzir q unidades é dado por 
 𝐶(𝑞) = 0,1𝑞3 − 3𝑞2 + 36𝑞 + 100 
 
a) Obter as funções Custo Marginal (Cmg) e Custo Médio (Cme) 
b) Qual o Custo Marginal (Cmg) aos níveis de q = 5, q = 10 e q = 15 
 
2. Em uma indústria têxtil, o preço de um tipo de toalha é dado por 𝑝 = −0,001𝑞 + 10, onde 
 0≤ q ≤ 10.000 
 
a) Obter a função Receita (RT) 
b) Obter a função Receita Marginal (Rmg) 
c) Obter a Receita Marginal (Rmg) aos níveis q =4000, q = 5000 e q = 6000 
d) Esboçar o gráfico da função Receita Marginal (Rmg) 
3. Em uma fábrica de ventiladores, a receita na venda de um tipo de ventilador é dado por 
 𝑅(𝑞) = −2𝑞2 + 800𝑞, onde 0≤ q ≤ 400. Suponha que o custo para a produção dos ventiladores seja dada 
por 𝐶(𝑞) = 200𝑞 + 25.000. 
 
a) Obter a função Lucro (LT) 
b) Obter a Função Lucro Marginal (Lmg) 
c) Obter o Lucro Marginal (Lmg) aos níveis q = 100 e q = 200 
d) Representar graficamente a função Lucro Marginal (Lmg) 
 
 
 
2 
 
Prof Dra Deiby Santos Gouveia Disciplina: Métodos Quantitativos 
4. Numa indústria farmacêutica, o custo para se produzir uma certa quantidade q de remédios ansiolíticos é 
dado pela fórmula 𝐶𝑇 = 100𝑒
1
20
𝑞
. Determinar: 
 
a) A função Custo Marginal (Cmg ) 
b) O Custo Marginal (Cmg) ao nível de 20 unidades 
c) O Custo médio (Cme) 
d) O Custo Médio Marginal (Cmemg) 
 
5. Se 𝑄 = 10 − 0,2𝑝 é a função de demanda de um bem. Determinar: 
a) A função Receita Total (RT) 
b) A Receita marginal (Rmg) 
c) A Receita Marginal no ponto q = 8 unidades 
d) Esboçar o gráfico da função Receita Marginal (Rmg) e interpretar seu resultado quando forem vendidas q 
= 3, q = 5 e q = 8 unidades 
 
6. Se a equação de demanda for dada por 𝑄 =
10−𝑝
5
, obtenha a Elasticidade da demanda para p = 5 e 
p = 3 e interprete os resultados. 
 
7. Considere a função demanda dada por 𝑝 = √200 − 𝑞. Obtenha a Elsticidade da demanda para 
q = 100 e interprete o resultado. 
 
8. Se a equação da Oferta for 𝑄 = 64 + 𝑝2, obtenha a Elasticidade da Oferta para p = 6 e interprete o 
resultado. 
 
9. Dada a função de produção 𝑃 = 500𝑥0,5, sendo que x é o número de homesn-hora empregados por 
mês e P o número de litros porduzindos de um produto mensalmente. Determinar a produtividade marginal 
do trabalho para x = 6400. 
 
10. A quantidade P (em toneladas) produzidas por M~es de certo produto e x o trabalho mensal envolvido 
(medidos em homens-hora) é dada pela função produção 𝑃(𝑥) = 1016√𝑥. Determinar a produtividade 
marginal quando x = 64. 
 
3 
 
Prof Dra Deiby Santos Gouveia Disciplina: Métodos Quantitativos 
11. Considere a função produção 𝑃(𝐻) = 500√𝐻 − 6𝐻, onde P é a rpodução mensal (em toneladas) e, H 
o número de homens-hora empregados. Calcular: 
a) A produtividade marginal P’(H) 
b) P’(100) 
 
12. Dada a função Consumo 𝐶 = 500 + 0,7𝑦, obtenha; 
a) A propensão marginal a consumir (𝑃𝑚𝑔
𝐶 ) 
b) A propensão marginal a poupar (𝑃𝑚𝑔
𝑆 ) 
 
13. Dada a função Consumo 𝐶 = 30 + 0,4𝑦0,5, obtenha; 
a) A propensão marginal a consumir 𝑃𝑚𝑔
𝐶 (64), interprete o resultado 
b) A propensão marginal a poupar 𝑃𝑚𝑔
𝑆 (64), interprete o resultado 
 
 
 
4 
 
Prof Dra Deiby Santos Gouveia Disciplina: Métodos Quantitativos 
Respostas 
 
1. 
a) 𝐶𝑚𝑔 = 0,3𝑞
2 − 6𝑞 + 36 
b) 𝐶𝑚𝑔(5) = 13,50 
 𝐶𝑚𝑔(10) = 6 
 𝐶𝑚𝑔(15) = 13,50 
2. 
a) 𝑅 = −0,001𝑞2 + 10𝑞 
b) 𝑅𝑚𝑔 = −0,002𝑞 + 10 
 
c) 𝑅𝑚𝑔(4000) = 2 
 𝑅𝑚𝑔(5000) = 0 
 𝑅𝑚𝑔(6000) = −2 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. 
a) 𝐿 = −2𝑞2 + 100𝑞 − 25000 
b) 𝐿𝑚𝑔 = −4𝑞 + 600 
c) 𝐿𝑚𝑔(100) = 200 
𝐿𝑚𝑔(200) = −200 
 
 
 
 
 
 
 
q 
5000
0 
10 
Rmg 
0 
5 
 
Prof Dra Deiby Santos Gouveia Disciplina: Métodos Quantitativos 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. 
a) 𝐶𝑚𝑔 = 5𝑒
1
20
𝑞
 
b) 𝐶𝑚𝑔 = 5𝑒 
c) 𝐶𝑚𝑒 =
100𝑒
1
20
𝑞
𝑞
 
d) 𝐶𝑚𝑒𝑚𝑔 =
𝑞.
1
20
𝑒
1
20
𝑞
−𝑒
1
20
𝑞
𝑞2
 
 
 
5. 
a) 𝑅 = 50𝑞 − 5𝑞2 
b) 𝑅𝑚𝑔 = 50 − 10𝑞 
c) 𝑅𝑚𝑔 = −30 
 
d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6. E = -1, |𝐸| = 1 Elasticidade unitária 
 E = -0,42, |𝐸| < 1 Inelástica (um aumento de 1% no preço provoca uma queda de 0,42% na demanda) 
q 150 
600 
Lmg 
0 
5 
50 
Rmg 
0 q 
6 
 
Prof Dra Deiby Santos Gouveia Disciplina: Métodos Quantitativos 
7. E – 2 , |𝐸| > 1 Elástica (um aumento de 1% no preço provoca uma queda de 2% na demanda) 
 
8. E = 0,72, |𝐸| < 1 Inelástica (um aumento de 1% no preço provoca um aumento de 0,72% na oferta) 
 
9. P’(6400) = 3125 litros. Se o número de homens-hora passar de 6400 para 6401, o aumento na produção mensal 
será aproximadamente 3125 litros. 
10. P’(64) = 63,5 ton. Se o número de homens-hora passar de 64 para 65, o aumento na produção mensal será 
aproximadamente 63,5 ton. 
 
11. 
a) 𝑃′(𝐻) = 250𝐻−
1
2 − 6 
b) P’(100) = 19 ton. Se o número de homens-hora passar de 19 para 20, o aumento na produção mensal será 
aproximadamente 19 ton. 
 
12. 
a) 𝑃𝑚𝑔
𝐶 = 0,7 
b) 𝑃𝑚𝑔
𝑆 = 0,3 
 
13. 
a) 𝑃𝑚𝑔
𝐶 (64) = 0,025 O aumento de uma unidade na renda (y) a familia irá consumir 0,15 
b) 𝑃𝑚𝑔
𝑆 (64) = 0,975 O aumento de uma unidade na renda (y) a familia irá poupar 0,975