MQE_1ps

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1 
Seção 1 
Introdução 
Modelos de Equilíbrio 
Métodos Quantitativos em Economia 
 
Prof. Gerson Lachtermacher 
Prof. Paulo Sérgio Coelho 
1 
Seção 1 
Métodos na Economia 
2 
Economia 
Matemática Economia não 
Matemática 
2 
Seção 1 
Métodos na Economia 
 
3 
Economia 
Matemática Econometria 
Seção 1 
Modelo Matemático 
 Variáveis, constantes e parâmetros 
 Equações 
 Definicional 
 
 Comportamental (baseadas em premissas) 
 
 
 
 Condicional (requisitos a serem atendidos) 
 
4 
R C  
Lucro total é igual a receita total 
menos o custo total 
75 10C Q 
2110C Q 
Diferentes formas de relacionar o custo 
à quantidade 
d sQ Q
Rm Cm
Condição de equilíbrio 
Condição de otimização 
3 
Seção 1 
Conjuntos Numéricos 
5 
Inteiros 
Números 
Racionais 
Números 
Irracionais 
Números 
Reais 
Números 
Imaginários 
Números 
Complexos 
Frações 
Seção 1 
Conjuntos 
 Conjunto, elemento: pertinência 
 Relações entre conjuntos 
 Contém, está contido 
 Subconjuntos, subconjuntos próprios 
 Conjunto Vazio 
 Operações com conjuntos 
 União, Interseção, complementos 
 Lei associativa e lei distributiva (união e interseção) 
6 
4 
Seção 1 
Relações e Funções 
 Pares Ordenados, representação gráfica 
 
 Relações: conjunto de pares ordenados 
 
 Funções: relações que determinam unicamente um valor 
de y 
 Argumentos e variáveis independentes; valor e variáveis 
dependentes; 
 Domínio e Imagem (primeiro quadrante?) 
7 
Seção 1 
Tipos de Função 
 Funções Constantes 
 Funções Polinomiais 
 Linear, quadrática, etc. 
 Funções Racionais 
 Funções não algébricas 
 Logarítmicas e exponenciais 
 Trigonométricas 
 Funções de várias variáveis 
8 
5 
Seção 1 
Níveis de Generalidade 
9 
2 3 2y x x  
2y ax bx c  
 y f x
Aumento da 
generalidade 
Seção 1 
O Significado de 
Equilíbrio em Economia 
 “Equilíbrio é uma constelação de variáveis 
selecionadas que se inter-relacionam entre si, de tal 
forma ajustadas umas às outras que não existe nenhuma 
tendência inerente à mudança que prevaleça no modelo 
constituído por elas” 
 Fritz Machlup 
 (Economic Journal, 1963) 
10 
6 
Seção 1 
O Significado de 
Equilíbrio em Economia 
 “Equilíbrio é uma constelação de variáveis 
selecionadas que se inter-relacionam entre si, de tal 
forma ajustadas umas às outras que não existe nenhuma 
tendência inerente à mudança que prevaleça no modelo 
constituído por elas” 
 
 Fatos econômicos que, na análise, têm valores que 
dependem um dos outros 
11 
Seção 1 
O Significado de 
Equilíbrio em Economia 
 “Equilíbrio é uma constelação de variáveis 
selecionadas que se inter-relacionam entre si, de tal 
forma ajustadas umas às outras que não existe nenhuma 
tendência inerente à mudança que prevaleça no modelo 
constituído por elas” 
 
 Ressalta o fatos que algumas variáveis não 
relevantes ou menos relevantes ao modelo não o 
compõem 
12 
7 
Seção 1 
O Significado de 
Equilíbrio em Economia 
 “Equilíbrio é uma constelação de variáveis 
selecionadas que se inter-relacionam entre si, de tal 
forma ajustadas umas às outras que não existe 
nenhuma tendência inerente à mudança que 
prevaleça no modelo constituído por elas” 
 
 Ressalta o fato que para o equilíbrio existir todas 
as variáveis do modelo precisam estar, 
simultaneamente, em uma situação de repouso. 
13 
Seção 1 
O Significado de 
Equilíbrio em Economia 
 “Equilíbrio é uma constelação de variáveis 
selecionadas que se inter-relacionam entre si, de tal 
forma ajustadas umas às outras que não existe nenhuma 
tendência inerente à mudança que prevaleça no modelo 
constituído por elas” 
 
 
Implica em dizer que o equilíbrio é baseado 
exclusivamente na mútua compensação de forças 
internas do modelo, enquanto fatores externos são 
considerados fixos 
14 
8 
Seção 1 
Análise Estática 
 O problema padrão da análise estática ou de equilíbrio é 
achar o conjunto de valores das variáveis endógenas 
que satisfarão a condição de equilíbrio do modelo. 
 
 Uma vez identificado esses valores, teremos na 
verdade, identificado o estado de equilíbrio. 
15 
Seção 1 
Limitações da Análise Estática 
 Uma limitação da análise estática está no fato de nos 
abstraímos do processo de ajustamento que acontece na 
realidade, nos limitamos apenas em determinar o ponto 
de equilíbrio. 
 Dois problemas não considerados 
 Tempo que o processo de ajustamento leva para atingir o 
equilíbrio. 
 Ponto de equilíbrio ser inatingível. Processo de ajuste faz com 
que as variáveis se afastem cada vez mais do equilíbrio. 
(equilíbrio instável). 
16 
9 
Seção 1 
Equilíbrio Parcial de Mercado 
Modelo Linear 
 Suponha um mercado onde apenas exista uma única 
mercadoria. 
 Variáveis do modelo 
 Qs – Quantidade ofertada do bem pelo produtor 
 Qd – Quantidade demanda do bem pelos consumidores 
 Ps – Preço do bem ofertado 
 Pd – Preço do bem demandado 
 
17 
Seção 1 
Renda 
Preços de Bens Substitutos 
Gostos 
Expectativas 
Número de compradores 
Desloca a curva de demanda 
Desloca a curva de demanda 
Desloca a curva de demanda 
Desloca a curva de demanda 
Desloca a curva de demanda 
Variações na Quantidade Demandada 
Preço do Próprio Bem Movimento ao longo da 
curva de demanda 
Variações na Demanda 
Análise da Demanda de Mercado 
18 
10 
Seção 1 
Variações na Quantidade Ofertada 
Preços dos Insumos 
Preços dos Bens Substitutos 
Tecnologia 
Objetivo do empresário 
Número de Vendedores 
Desloca a curva de oferta 
Desloca a curva de oferta 
Desloca a curva de oferta 
Desloca a curva de oferta 
Desloca a curva de oferta 
Preço do Bem Movimento ao longo da 
curva de oferta 
Variações na oferta 
Análise da Oferta de Mercado 
19 
Seção 1 
 O preço em uma economia de mercado é determinado 
tanto pela oferta como pela demanda. 
 
 O equilíbrio se encontra onde as curvas de oferta e de 
demanda se cruzam. 
 
 Ao preço de equilíbrio, a quantidade oferecida é igual a 
quantidade demandada (quantidade de equilíbrio). 
O Equilíbrio de Mercado 
20 
11 
Seção 1 
 Características do equilíbrio de mercado: 
 QD = QS 
 Não há excedente, nem escassez 
 Não há pressão para variação no preço 
 O Modelo Econômico de Equilíbrio de Mercado 
 
O Equilíbrio de Mercado 
)0,(
)0,(



dcdPcQ
babPaQ
QQ
s
d
sd
)0,(
1
)0,(
1



dcQ
dd
c
P
baQ
bb
a
P
QQ
s
d
sd
ou 
21 
Seção 1 
Qd , Qs 
O Equilíbrio de Mercado 
Q
D 
S 
P 
a 
a/b 
-c 
P
)0,(
)0,(



dcdPcQ
babPaQ
QQ
s
d
sd
22 
12 
Seção 1 
Qd , Qs 
O Equilíbrio de Mercado 
Modelo Alternativo 
Q
D 
S P 
a 
a/b 
c/d 
P )0,(
1
)0,(
1



dcQ
dd
c
P
baQ
bb
a
P
QQ
s
d
sd
23 
Seção 1 
Demanda 
Lei da Oferta e da Demanda 
O preço de qualquer bem se ajusta de forma a equilibrar a 
oferta e a demanda desse bem (Mecanismo de Preço). 
Não há excesso de oferta, nem excesso de demanda 
(A quantidade que os consumidores querem comprar é 
igual a quantidade que os produtores desejam vender). 
O Equilíbrio de Mercado 
24 
13 
Seção 1 
O Equilíbrio de Mercado 
O Excesso de Oferta 
Excesso do Bem 
Fornecedores reduzem 
 os preços 
Mercado atinge o 
Equilíbrio 
O Excesso de Demanda 
Escassez do Bem 
Fornecedores aumentam 
os preços 
Mercado atinge o 
Equilíbrio 
25 
Seção 1 
Equilíbrio 
0 5 10 15 20 
Preço do 
Bem 
Quantidade do Bem. 
O 
D 
Excesso de 
Oferta 
O Equilíbrio de Mercado 
80 
60 
40 
20 
Excesso de 
Demanda 
S 
D 
26 
14 
Seção 1 
 Excedente 
 O Preço de Mercado é superior ao preço de equilíbrio 
 Existe um excesso de oferta; 
 Produtores reduzem seus preços; 
 A quantidade demandada aumenta e a quantidade ofertada 
diminui; 
 O mercado continua ase ajustar até que o preço de 
equilíbrio seja alcançado. 
 
O Equilíbrio de Mercado 
27 
Seção 1 
Oferta, Demanda e 
Equilíbrio de Mercado 
 Condição Inicial 
 Preço do Bem P1 
 Quantidade Demandada Q1 
 Quantidade Ofertada Q2 
 Condição de Excesso de 
Oferta (Q2 - Q1 ) 
Q1 
P1 
Q2 Q 
P 
S 
D 
Excesso 
de Oferta 
28 
15 
Seção 1 
Oferta, Demanda e 
Equilíbrio de Mercado 
 Produtores Reduzem os 
preços de P1 para P2 tentando 
acabar com o estoque e 
reduzem a produção. 
 Quantidade Ofertada diminui 
para Q’2 
 Quantidade Demandada 
aumenta para Q’1 
 Permanece a Condição de 
Excesso de Oferta (Q’2 – Q’1) 
Q’1 
P1 
Q’2 Q 
P 
S 
D 
Excesso 
de Oferta 
P2 
Q1 Q2 
29 
Seção 1 
Oferta, Demanda e 
Equilíbrio de Mercado 
 Produtores Reduzem os 
preços de P2 para P3 tentando 
acabar com o estoque e 
reduzem a produção, com isto 
aumentando a demanda. 
 O processo continua até que o 
equilíbrio é alcançado em Qe 
ao preço Pe 
 
Q’1 
P1 
Q’2 Q 
P 
S 
D 
Excesso 
de Oferta 
P2 
Q1 Q2 
Pe 
Qe 
30 
16 
Seção 1 
 Escassez 
 O Preço de Mercado é inferior ao preço de equilíbrio 
 Existe Escassez de Oferta ou Excesso de Demanda 
 Produtores aumentam o preço. 
 A quantidade demandada diminui e a quantidade ofertada 
aumenta. 
 O mercado continua a ajustar até que o novo preço de 
equilíbrio seja alcançado. 
 
Oferta, Demanda e 
Equilíbrio de Mercado 
31 
Seção 1 
Oferta, Demanda e 
Equilíbrio de Mercado 
Q1 
P1 
Q2 
P 
S 
D 
Excesso 
de Demanda 
 Condição Inicial 
 Preço do Bem P1 
 Quantidade Demanda Q2 
 Quantidade Ofertada Q1 
 Condição de Excesso de 
Demanda (Q2 - Q1 ) 
32 
17 
Seção 1 
Oferta, Demanda e 
Equilíbrio de Mercado 
Q1 
P1 
Q2 
P 
S 
D 
 Produtores Aumentam os 
preços de P1 para P2 tentando 
com acabar com a escassez 
do bem e aumentam a 
produção. 
 Quantidade Ofertada aumenta 
para Q’1 
 Quantidade Demandada 
diminui para Q’2 
 Permanece a Condição de 
Excesso de Demanda 
 (Q’2 – Q’1) 
P2 
Q´1 Q´2 
33 
Seção 1 
Oferta, Demanda e 
Equilíbrio de Mercado 
Q1 
P1 
Q2 
P 
S 
D 
 Produtores Aumentam os 
preços de P2 para P3 e o 
processo se repete até que a 
Quantidade Ofertada se 
iguale Quantidade 
Demandada. (QS =QD=Qe) ao 
preço Pe P2 
Q´1 Q´2 
Pe 
Qe 
34 
18 
Seção 1 
 Sumário do Mecanismo do Mercado 
 Oferta e Demanda interagem para determinar o equilíbrio de 
mercado. 
 Quando não houver equilíbrio, o mercado se ajustará, por 
meio de variações no preço, até que se alcance o equilíbrio. 
 Os mercados devem ser competitivos para que o mecanismo 
seja eficiente. 
 
Oferta, Demanda e 
Equilíbrio de Mercado 
35 
Seção 1 
Solução do Modelo Econômico 
36 
( )
a c
a bP c dP b d P a c P
b d

         

( )
d
a c ba bc a b d ba bc ad bc
Q a b a
b d b d b d b d
      
      
    
( )
s
a c da dc c b d da dc ad bc
Q c d c
b d b d b d b d
       
        
    
sd
s
d
sdsd
QQéIsto
db
bcad
db
dcdadbc
db
dcda
c
db
ca
dcQ
equaçãosegundanadoSubstituin
db
bcad
db
bcbadba
db
bcba
a
db
ca
baQ
equaçãoprimeiranadoSubstituin
db
ca
PcaPdbdPcbPa
terceiranaequaçõesprimeirasduasasdoSubstituin
QQdPcQbPaQ







































)(
)(
)(
;;
d
s
d s
Q a bP
Q c dP
Q Q
 
  

Achar o ponto de equilibrio: 
19 
Seção 1 
Solução do Modelo Econômico 
37 
d sQ Q
( )
d
a c ba bc a b d ba bc ad bc
Q a b a
b d b d b d b d
      
      
    
( )
s
a c da dc c b d da dc ad bc
Q c d c
b d b d b d b d
       
        
    
d
s
d s
Q a bP
Q c dP
Q Q
 
  

Achar o ponto de equilibrio: 
( )b d P a c   
a c
P
b d

 

Seção 1 
Solução do Modelo Econômico 
Alternativo 
db
ca
dbd
bcdacdcb
dbd
bcdadbc
db
bcda
dd
c
P
db
ca
dbb
bcdadaab
dbb
bcdadba
db
bcda
bb
a
P
equaçõesnaenadoSubstituin
db
bcda
Q
bd
bcda
Q
bd
bd
d
c
b
a
Q
db
Q
dd
c
Q
bb
a
resultadooigualandoeenaequaçãoadoSubstituin
QQQQ
dd
c
PQ
bb
a
P sdsd











































 








)()(
)(1
)()(
)(1
ª2ª1
1111
ª2ª1ª3
;
1
;
1
38 
20 
Seção 1 
Caso LCL Motores Ltda. 
 Uma pesquisa de mercado levantou o modelo matemático que 
representa a demanda de motores da LCL Motores Ltda. O 
modelo pode ser especificado pela função de demanda: 
 
 O fabricante, com base em seus custos, estabeleceu a seguinte 
curva não linear de oferta: 
 
 
 Sendo que, em ambos os modelos, a quantidade foi medida em 
milhares de unidades e o preço em milhares de reais. 
 O gerente deseja saber qual é o ponto de equilíbrio de mercado. 
2Preço Demanda 2( ) 5Demanda  
2Preço de Oferta ( ) 3 ( ) 1Oferta Oferta   
39 
Seção 1 
Caso LCL Motores Ltda. 
Solução Analítica 
 No caso de equilíbrio de mercado, a quantidade e o 
preço de demanda e oferta são iguais. 
 
 
 
 
 
 Somente a raiz positiva tem significado econômico, 
portanto, esse é o ponto de equilíbrio procurado. 
2 2
2 2
2
1 2
Preço Demanda Preço de Oferta
2( ) 5 ( ) 3 ( ) 1
2 5 3 1
3 3 6 0
2 ; 1
Demanda Oferta Oferta
q q q
q q
Raizes q q

     
     
   
  
40 
21 
Seção 1 
Caso LCL Motores Ltda. 
Análise Gráfica 
Oferta 
Demanda 
Com Significado 
Econômico 
Sem Significado 
Econômico 
41 
Seção 1 
 A interpretação econômica: 
 0 < q < 1 excesso de demanda 
 q = 1 oferta = demanda 
 q > 1 excesso de oferta 
 
Caso LCL Motores Ltda. 
Interpretação Econômica 
42 
22 
Seção 1 
Caso LCL Eletrônicos Ltda. 
 A LCL Eletrônicos Ltda. tem a função lucro dada por 
 A relação entre preço e quantidade é 
dada por , em que x é quantidade em milhares e y é 
preço em milhares de reais. Pede-se: 
 A função Receita Total 
 A função Custo Total 
 O valor do Custo Fixo 
 O Ponto de equilíbrio da empresa 
. 232  xxLt
43 
5y x 
Seção 1 
Caso LCL Eletrônicos Ltda. 
Receita Total 
 A função receita total: 
 A receita total é o produto entre o preço unitário e a 
quantidade produzida. 
 
 Como o preço é uma função da quantidade, nesse caso: 
 
 temos 
unidadesdem ilharesemquantidadeP reço  5
  255 xxRxxR tt 
QuantidadePreçoRt 
44 
23 
Seção 1 
 A função custo total: 
 
 
 
 
 O valor do custo fixo: 
 
 
Caso LCL Eletrônicos Ltda. 
Custo Total e Custo Fixo 
   2 2 5 3 2 
2 2
t t t t t t
t
t
L R C C R L
C x x x x
C x
    
     
 
2 2 se 0 o custo fixo é de 2000tC x x   
45 
Seção 1 
 O ponto de equilíbrio: 
 
 
 
 
Caso LCL Eletrônicos Ltda. 
O Ponto de Equilíbrio 
t tR C
 3 9 4 1 2
2
x
     


46 
25 2 2x x x    2 3 2 0x x   
3 1
2
 


2 3 6x y R C
t t
     
1ou 2x x  
1 4 4x y R C
t t
     
24 
Seção 1 
Caso LCL Eletrônicos Ltda. 
Representação Gráfica 
 Esboço do gráfico de 
 
Lucro 
Receita 
Custo 
Lucro Prejuízo Prejuízo 
t
Re
t
C
t
L , , 
47